Chuyên đề xác định tâm, bán kính, diện tích, thể tích mặt cầu

Thay t ọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy chỉ có tọa độ điểm M th ỏa mãn... Tính di ện tích tam giác IAB..[r]

Tailieumontoan.com



Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ XÁC ĐỊNH

TÂM, BÁN KÍNH, DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH MẶT CẦU

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Phương trình mặt cầu dạng tắc:

Cho mặt cầu có tâm I a b c( ; ; ), bán kính R Khi phương trình tắc mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x−a + y b− + −z c =R

 Phương trình mặt cầu dạng khai triển ( ) 2

: 2

S x +y +z − ax− by− cz+ =d

Khi mặt cầu có có tâm I a b c( ; ; ), bán kính 2 ( 2 ) R= a +b + −c d a +b + − >c d

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Hệ Oxyz ( Tìm tọa độ tâm mặt cầu )

 Tìm tâm bán kính, ĐK xác định mặt cầu

 PTMC biết tâm, dễ tính bán kính (Chưa học PTMP)

 PTMC biết đầu mút đường kính

 PTMC ngoại tiếp tứ diện

 PTMC qua nhiều điểm, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm, tiếp xúc với mặt phẳng

 PTMC biết tâm đường trịn

 PTMC biết tâm ĐK dây cung

 PTMC biết tâm thuộc d, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm thuộc mặt phẳng, thỏa ĐK

 PTMC biết tâm, thỏa ĐK khác

 Toán Max-Min liên quan đến mặt cầu

 Điểm thuộc mặt cầu thỏa ĐK

 Tốn thực tế, liên mơn liên quan PTMC

BÀI TẬP MẪU

(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trong không gian oxyz, cho mặt cầu

( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x− + y+ + z− = Tâm ( )S có tọa độ

A (−2; 4; 1− ) B. (2; 4;1− ) C (2; 4;1) D. (− − −2; 4; 1)

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn xác định tâm mặt cầu

2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Cho mặt cầu ( ) (S : x−a) (2+ y b− ) (2+ −z c)2 =R2 ( )S có tâm I a b c( ; ; )

Từ đó, ta giải tốn cụ thể sau:

Lời giải

Chọn B

Ta có mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y+4) (2+ z−1)2 =9 có tọa độ tâm (2; 4;1− )

Bài tập tương tự phát triển:

 Mức độ

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) : (S x 1)2 (y2)2  (z 3)2 16 Tâm ( )S có tọa độ

A. ( 1; 2; 3).   B.(1;2;3) C. ( 1;2; 3).  D. (1; 2;3). Lời giải

Chọn D

Từ phương trình mặt cầu dạng 1, suy tâm I(1; 2;3).

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu có phương trình ( ) (2 )2

1

x− + y+ +z =

Tìm tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu

A I(−1;3; 0); R= B I(1; 3; 0− ); R= C I(1; 3; 0− ); R= D I(−1;3; 0); R= Lời giải

Chọn C

Mặt cầu cho có tâm I(1; 3; 0− ) bán kính R=

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S : x2+y2+z2−6x+4y−8z+ = Tìm

tọa độ tâm I mặt cầu ( )S

A I(3; 2; 4− − ) B I(−3; 2; 4) C I(3; 2; 4− ) D I(−3; 2; 4− )

Lời giải

Chọn C

Câu Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z22y 4z  2 Độ dài đường kính mặt cầu ( )S bằng

A. B. C. D.

Lời giải Chọn A

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy (0;1; 2),I  R 0   1 3,

Câu Trong không gian Oxyz , phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0),I  bán kính R 

A. (x 1)2 (y2)2 z2 3 B.(x 1)2 (y2)2 z2 9

C. (x1)2 (y2)2 z2 9 D. (x 1)2 (y2)2 z2 

Lời giải Chọn B

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm ( 1;2;0),I  bán kính R 3

2 2

(x 1) (y2) z 9

Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có phương trình

2 2

2

x +y +z − x− y− z+ = Tính diện tích mặt cầu ( )S

A 42π B 36π C 9π D 12π

Lời giải

Chọn B

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) bán kính R= 12+22+ −32 =

Diện tích mặt cầu ( )S là: S=4π R2 =4 3π =36π

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( ) (2 )2

:

S x− + y+ +z = Mặt cầu

( )S có thể tích

A V =16π B V =36π. C V =14π D

36

V = π

Lời giải Chọn B

Mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y+2)2+z2 =9 có tâm (1; 2; 0− ), bán kính R=

Thể tích mặt cầu 36

V = πR = π

Câu Trong không gian Oxyz, Cho mặt cầu ( )S 2

3x +3y +3z +6x+12y−18z− = Tâm c3 ( )S có tọa độ

A I(− −3; 6;9) B.I(1; 2; 3− ) C I(− −1; 2;3) D I(3; 6; 9− ) Lời giải

Ta có 3x2+3y2+3z2+6x+12y−18z− = ⇔3 x2+y2+z2+2x+4y−6z− =

Mặt cầu ( )S có tâm I(− −1; 2;3)

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S x2+y2+ +(z 3)2 =25.Điểm

đây thuộc ( )S

A M(4; 0; 0) B N(0; 4; 0) C P(0; 4; 0) D Q(0; 0; 4)

Lời giải

Chọn A

Thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng, ta thấy có tọa độ điểm M thỏa mãn

Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) ( )2

:

S x + y− +z = Trong điểm

cho đây, điểm nằm mặt cầu ( )S ?

A M(1;1;1) B N(0;1; 0) C P(1; 0;1) D Q(1;1; 0)

Lời giải

Chọn C

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1; 0), bán kính R=

Khoảng cách từ điểm tâm mặt cầu:

2

MI = = ; R NI = < , R PI = 3> , R QI = <1 R Do điểm P nằm mặt cầu

 Mức độ

Câu Trong khơng gian Oxyz tìm t, ất tham số m để x2 y2 z2 2x 4ym 0 phương trình mặt cầu

A. m 5 B. m  5 C. m 5 D. m   5

Lời giải

Chọn D

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy 02   12 22 m 0 m 

Câu Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z2 2x 4y4z m 0 có bán kính

R  Giá trị tham số m

A. 16 B.16 C. D.  4

Lời giải Chọn B

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy tâm I1; 2;2 

1 4 16

Câu Trong không gian Oxyz cho m, ặt cầu ( ) :S x2 y2 z24x 8y2mz 6m0 có đường kính 12 tổng giá trị tham số m

A. 2 B. C. 6 D.

Lời giải

Chọn D

Đường kính 12 , suy bán kính R  6

Từ phương trình mặt cầu dạng 2, suy tâm I2; 4; m, R  416m2 6m  ,

Suy m26m16 0 m1 m2  (Theo Viet)

Câu Trong không gian Oxyz , phươngtrình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2)I  qua điểm (5; 1;4)A 

A. (x1)2 (y3)2 (z 2)2  24 B.(x 1)2 (y3)2 (z 2)2  24 C. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24 D. (x 1)2 (y3)2 (z 2)2 24

Lời giải

Chọn D

Phương trình mặt cầu ( )S có tâm (1; 3;2)I  bán kính RIA 42 22 22 2 6là

2 ( ( 24.

(x1)  y3)  z 2) 

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm điểm I(1; 0; 1− ) qua điểm (2; 2; 3)

M − Phương trình ( )S

A 2

(x 1)+ +y + −(z 1) =3 B 2 (x 1)− +y + +(z 1) =3.

C (x 1)+ 2+y2+ −(z 1)2 =9 D (x 1)− 2+y2+ +(z 1)2 =

Lời Giải Chon D

( )2

2

1 2

IM = + + − = =R

Mặt cầu (S) I (x 1)2 y2 (z 1)2 R



− + + + =

 

Taâm (1;0;-1)

co ùPT :

=

Câu Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(2;1;1) ,

(0;3; 1)

B −

A x2+(y−2)2+z2 =3. B (x−1)2+(y−2)2+z2 =3,

C (x−1)2+(y−2) (2+ +z 1)2 =9 D (x−1)2+(y−2)2+z2 =9

Lời Giải Chọn B

Tọa độ trung điểm AB: 1; ; 1 (1; 2; 0)

2 2

I + + − +  ⇒ I

( )2

2

1 1

IA= + − + = = Mặt cầu R (S): (1; 2; 0) I R    Tâm =

có PT: ( )2 (x−1) + y−2 +z =3

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng ( )P : x-2y-2z-8=0 Phương trình mặt cầu tâm (1; 2; 1)

I − tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

A. (x+1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 = B. (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =

C. (x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 = D (x+1) (2+ y+2) (2+ −z 1)2 =

. Lời Giải Chọn C

( )

( )

( ) ( )2

2

1

,

1 2

d I P = − + − = =R

+ − + −

Mặt cầu (S) I(1; 2; 1) R −    Tâm

= có PT: ( ) ( ) ( )

2 2

1

x− + y− + +z =

Câu Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) tiếp xúc với trục hồnh có

dạng

A. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =13 B. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =

C. (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 = D. (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =25

. Lời Giải Chọn A

( ) 2

, 13

d I Ox = + = =R

Mặt cầu (S) ( ) 1; 2;3 13 I R    Tâm

= có phương trình ( ) ( ) ( )

2 2

1 13

x− + y− + −z =

Câu Viết phương trình mặt cầu có tâmI(1; 2;3)và qua giao điểm đường thẳng

1

:

3

x t

d y t

z t = +   = −   = + 

với mặt phẳng( )Oxy

A (x+1)2+ +(y 2)2+ +(z 3)2 =27 B (x−1)2 + −(y 2)2+ −(z 3)2 =27

C 2

(x−1) +(y−2) + −(z 3) =3 D 2

(x+1) +(y+2) + +(z 3) =3

Mặt phẳng Oxyz : z = 0

Gọi A= ∩d (Oxyz)⇒ = − ⇒t A( 2;5; 0)−

Vì điểm A nằm mặt cầu nên bán kính mặt cầu R=IA= ( 3)− 2+ + −32 ( 3)2 =3

Phương trình mặt cầu ( )S tâm I(1; 2;3) bán kính R=3

( )2

2

(x−1) +(y−2) + −z =27

Câu 10 Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3) diện tích 32 π Phương trình ( )S

A (x−1) (2+ y−2) (2+ −z 3)2 =16 B (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =16

C (x−1) (2+ −y 2) (2+ −z 3)2 =8 D (x+1) (2+ y+2) (2+ +z 3)2 =8

Lời giải

Chọn C

Ta có: S =4πR2 ⇔4πR2 =32π ⇔ =R

Khi ( ): Tâm: 1; 2;3( ) Bán kính:

I S

R 



= 

 

( ) ( ) (2 ) (2 )2

:

S x y z

⇒ − + − + − =

 Mức độ

Câu Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0− ) C(0; 0; 6) Bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp OABC

A 7

2 B 11 C 11 D

7 Lời giải

Chọn A

Phương trình mặt cầu có dạng: ( ) 2

: 2

S x +y +z − ax− by− cz+ = d

Do A, B, C O thuộc mặt cầu ( )S nên:

4

9

36 12

0 a d

b d

c d

d

− + =



 + + = 

 − + = 

 = 

1 a

⇔ = ,

2

b= − , c=3 , d =

Do đó, mặt cầu có bán kính bằng: 2

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt cầu qua

(2 ;3 ; , ) (2; ; , ) (3 ;3 ; 4)

A − B − C có tâm nằm mặt phẳng (Oxy )

A (x 6)2  (y 1)2 z2 29 B (x 6)2  (y 1)2 z2 29

C (x6)2  (y 1)2 z2  29 D (x 6)2 (y1)2 z2  29

Lời giải

Chọn A

Giả sử I a b( ; ; 0)∈(Oxy ) r tâm bán kính mặt cầu ( )S qua

(2 ;3 ; , ) (2; ; , ) (3 ;3 ; 4)

A − B − C

Phương trình mặt cầu ( )S (x a )2  (y b)2 z2 r2 Vì mặt cầu qua A(2 ;3 ; , − ) (B 2; ; , − ) (C ;3 ; 4) nên

2 2

2 2

2 2 2 2 2

(2 ) (3 ) ( 3) 10 10

(2 ) ( ) 2 12

(3 ) (3 ) (3 ) (3 ) 29

a b r b b

a b r a a

a b r a b r r

 − + − + − = − + =  =

  

− + − − + = ⇔ − = ⇔ =

  

 − + − + =  − + − + =  =

 



Vậy phương trình mặt cầu ( )S (x 6)2  (y 1)2 z2 29

Câu Cho I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho

2 AB=

A (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16 B (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20

C (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25 D (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9

Lời giải

Chọn A

Gọi M hình chiếu vng góc I (1; -2;3) trục Ox ⇒ M (1;0;0) M trung điểm AB

Ta có: (1 1) (2 2) (2 3)2 13,

AB

IM = − + + + − = AM = =

IMA

∆ vuông M ⇒IA= IM2+AM2 = 13 3+ = ⇒ = R

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( ) (2 ) (2 )2

1 16

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;3) mặt phẳng

( )P : 2x−3y+6z+ =11 Biết mặt phẳng ( )P cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến đường

trịn có bán kính Viết phương trình mặt cầu ( )S

A ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =25 B ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =5

C ( ) (S : x+1) (2+ y+1) (2+ z+3)2 =25 D ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ z−3)2 =7

Lời giải

Chọn A

Ta có : ( ( ))

( )2

2

2.1 3.1 6.3 11

,

2

− + +

= = =

+ − +

d d I P

Suy R= d2 +r 2 = 42+32 =

Vậy, mặt cầu có phương trình : ( ) (S : x−1) (2+ y−1) (2+ −z 3)2 =25

Câu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng :

x y z

d − = = − điểm I(1; 2;5− ) Lập phương

trình mặt cầu ( )S tâm I cắt đường thẳng d tại hai điểm A , B cho tam giác IAB

vuông tại I

A.( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =40 B ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =49 C ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =69 D ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =64

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d qua M(2; 0;1) có véc tơ phương u =(3; 6; 2)

H

O A

Gọi H hình chiếu I đường thẳng d ta có ( )

, ,

IM u IH d I d

u

 

 

= =

 

 , với

(1; 2; 4) IM = − 

, u=(3; 6; 2) ( )

,

, 20

IM u IH d I d

u

 

 

= = =

 



Theo đề ta có tam giác IAB vuông cân I nênIA=IH = 40 Vậy phương trình mặt cầu ( )S ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ x−5)2 =40

Câu Viết phương trình mặt cầu  S có tâm I 1; 0;3  cắt : 1

2

− = + = −

x y z

d tại hai

điểm A, B cho tam giác IAB vuông tại I

A ( 1)2 ( 3)2 40

9

− + + − =

x y z B ( 1)2 ( 3)2 40

9

+ + + + =

x y z

C ( )2 ( )2 10

1

3 − + + − =

x y z D ( )2 ( )2 10

1

3 + + + + =

x y z

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d có vectơ phương u =(2;1; 2) P(1; 1;1− )∈d

Ta có: IP=(0; 1; 2− − )⇒u IP,=(0; 4; 2− ) Suy ra: ( )

, 20

d ;

3    

= =

 



u IP I d

u

∆IAB vuông I⇔ ∆IAB vuông cân I 2d( ), 40

IA= I d =

Vậy (S) : ( )2 2 ( )2 40

1

9

− + + − =

x y z

Câu Cho mặt cầu ( )S có tâm I(1;1;1) Một mặt phẳng ( )P cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn

( )C Biết chu vi lớn ( )C bằng 2π Phương trình ( )S

A (x−1) (2+ y−1) (2+ −z 1)2 =4 B (x+1) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =2

C (x+1) (2+ y+1) (2+ +z 1)2 =4 D (x−1) (2 + y−1) (2+ −z 1)2 =2

Lời giải

Chọn D

Đường tròn ( )C đạt chu vi lớn ( )C đi qua tâm I mặt cầu ( )S

Khi ( ) : Tâm: 1;1;1( ) Bán kính:

I S

R 



= 

 

( ) ( ) (2 ) (2 )2

: 1

S x y z

⇒ − + − + − =

Câu Cho I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox hai điểm A B cho

2 AB=

A (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =16 B (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =20

C (x−1)2+(y+2)2+(z−3)2 =25 D (x−1)2 +(y+2)2+(z−3)2 =9 Lời giải

Chọn A

Gọi M hình chiếu vng góc I (1; -2;3) trục Ox ⇒ M (1;0;0) M trung điểm AB

Ta có: (1 1) (2 2) (2 3)2 13,

AB

IM = − + + + − = AM = =

IMA

∆ vuông M ⇒IA= IM2+AM2 = 13 3+ = ⇒ = R

Phương trình mặt cầu cần tìm là: ( ) (2 ) (2 )2

1 16

x− + y+ + −z =

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng :

1

x y z

d − = = +

− − mặt cầu ( )S tâm I có phương trình ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ +z 1)2 =18 Đường thẳng d cắt ( )S hai điểm ,A B Tính diện tích tam giác IAB

A 8 11

3 B.

16 11

3 C 11

6 D.

8 11

Lời giải

Chọn A

Đường thẳng d qua điểm C(1; 0; 3− ) có vectơ phương u = −( 1; 2; 1− )

Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d

Khi đó: IH IC u, u

 

 

=

 

 , với IC=(0; 2; 2− − ); 2x+ −y 3z− =

Vậy

2 2

6 2 66

IH = + + =

+ +

Suy 18 22

3

HB= − =

Vậy, 1 66 8 11

2 3

IAB

S∆ = IH AB⋅ = ⋅ ⋅ =

Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu ( )S có tâm I(−1; 2;3) cắt

mặt phẳng ( )β : 2x− +y 2z− = theo hình trịn giao tuyến có chu vi bằng 88 π có diện tích

A 80π B 50π C 100π D 25π

Lời giải

Chọn A

Đường trịn giao tuyến có chu vi 8π nên bán kính r =4

Khoảng cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng giao tuyến ( ( ))

2

2

,

2 d =d I β = − − + − =

+ +

Theo công thức R2 =r2+d2 =20

Diện tích mặt cầu ( )S 80

S = πR = π

 Mức độ

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ z−3)2 =16 Gọi

M điểm thuộc mặt cầu ( )S cho biểu thức A=2xM −yM +2zM đạt giá trị lớn nhất, giá

trị biểu thức B=xM +yM +zM

A 21 B 3 C 5 D 10

Lời giải

Chọn D

Ta có A=2xM −yM +2zM =2(xM − −1) (yM − +2) (2 zM − + 3)

( 2 2 2)(( ) (2 ) (2 )2)

2 x y z 3.4 18

Dấu xảy

1

1

0

2

3 M

M M M

M

M

x t

x y z

t y t

Z t

= + 

− = − = − = > ⇒ = − 

− 

= + 

, thay vào phương trình

( )S ta được: 2

4 16

3

t + +t t = ⇒ =t Do 11 17; ; 3

M 

  B=xM +yM +zM =10

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3; 4; 0) đường thẳng :

1

x− y− z+

∆ = =

− Phương trình mặt cầu ( )S có tâm I cắt ∆ hai điểm A, B cho diện tích tam giác IAB

12

A (x+3) (2+ y+4)2+z2 =25 B (x−3) (2+ y−4)2+z2 =5

C (x−3) (2+ y+4)2+z2 =5 D (x−3) (2+ y−4)2+z2 =25

Lời giải

Chọn D

Đường thẳng ∆ qua điểm M(1; 2; 1− có véc-tơ phương ) u =(1;1; 4− )

Ta có IM= − − −( 2; 2; 1) ⇒ IM u, =(9; 9; 0− )⇒  IM u,  =9

Khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆ ( )

, 9 2

, 18 IM u d I u     ∆ = = =   

Diện tích tam giác IAB 12 nên

( ) 2.12 , IAB S AB d I = = = ∆

Bán kính mặt cầu ( )S ( )

2 2 2

,

2

AB

R=   +d I ∆  = + =

 

Phương trình mặt cầu ( )S cần lập ( ) (2 )2

3 25

x− + y− +z =

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 1− mặt phẳng ) ( )P :x+ − − =y z

Gọi ( )S mặt cầu có tâm I nằm mặt phẳng ( )P , qua điểm A gốc tọa độ O

cho diện tích tam giác OIA 17

2 Tính bán kính R mặt cầu ( )S

A R=3 B R=9 C R=1 D R=5

Lời giải

Chọn A

Gọi I a b c ( ; ; )

Ta có IA=IO=R ⇔ hình chiếu I lên OA là trung điểm 1; 0; 2

H − 

( )

2

2

2 2

1 1

1

2 2

OIA

S∆ = IH OA= a−  +b +c+  + + −

   

2 2

17 1

2 a b c a c

⇔ = + + − + + 2

17 2a 2b 2c 2a 2c

⇔ = + + − + +

2 2

2a 2b 2c 2a 2c 16 ⇔ + + − + − =

Theo ta có

( ) 17 OIA OI IA S I P ∆ =    =    ∈ 

( )2 ( )2

2 2

2 2

1

2 2 2 16

3

a b c a b c

a b c a c

a b c

 + + = − + + +   ⇔ + + − + − =  + − − = 

2 2

1

8

3

a c

a b c a c

a b c

− − =   ⇔ + + − + − =  + − − =  ( ) ( ) ( )

Từ ( )1 ( )3 ta có a c b − =   =  a c b = +  ⇔  =

 vào ( )2 ta có

( )2 2 ( )

1

c+ + +c − + + − =c c

1 c c = −  ⇔  =  ( ) ( )

1; 2;

2; 2;1 I I − −  ⇒ 

 ⇒OI = = R

Câu Trong không gian Oxyz, cho điểm 1; 3; 2

M 

  mặt cầu ( )

2 2

:

S x +y +z = Đường

thẳng d thay đổi, qua điểm M, cắt mặt cầu ( )S tại hai điểm phân biệt A B Tính diện

tích lớn S tam giác OAB

A S = B S = C S =2 D S =2

Lời giải

Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm O(0; 0; 0) bán kính R=2

Vì OM = < nên R M thuộc miền mặt cầu ( )S Gọi H là chân đường cao hạ từ O

của tam giác OAB

Đặt x OH= , ta có 0< ≤x OM = , đồng thời HA= R2−OH2 = 8−x2 Khi diện tích tam giác OAB là:

A

B M H

2

2 OAB

S = OH AB=OH HA=x −x

Khảo sát hàm số ( )

f x =x −x (0;1], ta

(0;1] ( ) ( )

max f x = f =

Vậy giá trị lớn S∆OAB = , đạt x= hay H ≡M , nói cách khác

d ⊥OM

Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−2) (2+ y−3) (2+ −z 5)2 =

tam giác ABC với A(5; 0; 0), B(0;3; 0),C(4;5; 0) Tìm tọa độ điểm M thuộc cầu ( )S cho

khối tứ diên MABC tích lớn

A M(0; 0;3) B M(2;3; 2) C M(2;3;8) D M(0; 0; 3− )

Lời giải

Chọn C

Kẻ MJ ⊥(ABC), .

M ABC ABC

V = S MJ

Để VM ABC lớn ⇔MJ lớn ⇔MJđi qua tâm Icủa mặt cầu ( )S ( )

M IJ S

⇒ = ∩

Phương trình mặt phẳng (ABC : ) z=

Đường thẳng :JI

2

3

5 x

y

z t

= 

 =

  = + 

(2;3;5 )

M t

⇒ +

( )

M∈ S ⇒ (2 2− ) (2+ −3 3) (2+ + −5 t 5)2 =9 ⇒ = ± t ⇒M(2;3; ,) M1(2;3;8)

Do MJ =d M( 1,(ABC))>d M( ,(ABC)) ⇒M1(2;3;8)

Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−3) (2+ −z 2)2 =4 Gọi

( 0; 0; 0)

N x y z điểm thuộc ( )S cho khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (Oxz l) ớn

nhất Giá trị biểu thức P=x0+y0+ bz0 ằng

A 6 B 8 C 5 D 4

Lời giải

Gọi d đường thẳng qua tâm I(1;3; 2) mặt cầu ( )S vng góc với (Oxz )

Phương trình tham số ( )

: ,

x

d y t t

z

= 

 = + ∈ 

 = 



Gọi A B, lần lượt giao điểm d ( )S suy ra: A(1;5; 2), B(1;1; 2)

Ta có: d A Oxz( ;( ))>d B Oxz( ;( ))

Theo đề N A≡ ⇒N(1;5; 2)⇒x0+y0+z0 =

Câu Cho mặt phẳng ( )P : 2x+2y−2z 15+ =0 mặt cầu ( ) 2

: 2z

S x +y +z − y− − =

Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc mặt phẳng ( )P đến điểm thuộc mặt cầu( )S

A 3

2 B C

3

2 D

3 Lời giải

Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(0;1;1) bán kính R=

Gọi H hình chiếu I ( )P A giao điểm IH với ( )S

Khoảng cách nhỏ từ điểm thuộc mặt phẳng ( )P đến điểm thuộc mặtcầu ( )S

đoạn , ( ,( )) 3

AH AH =d I P − =R

Câu Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm mặt cầu Mặt phẳng qua cắt theo thiết diện đường trịn có diện tích nhỏ Bán kính đường trịn

A B C D

Lời giải Chọn D

Mặt cầu có tâm bán kính

Oxyz A(2;1; 2)

( ) 2

: 2

S x +y +z − y− z− = ( )P A ( )S

( )C ( )C

1

Ta có nên nằm mặt cầu

Đặt khoảng cách từ đến mặt phẳng , bán kính đường trịn Khi đó:

và

Đường trịn có diện tích nhỏ nên

Câu 9.Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y+2) (2+ −z 3)2 =27 Gọi ( )α mặt phẳng qua hai điểm A(0; 0; 4− , ) B(2; 0; 0) cắt ( )S theo giao tuyến đường tròn ( )C cho khối nón đỉnh tâm ( )S và đáy là đường trịn ( )C có thể tích lớn Biết

( )α :ax by+ − + = , a b cz c − +

A −4 B 8 C 0 D 2

Lời giải Chọn A

Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 2;3− ) bán kính R=3

Vì ( )α :ax by+ − + = qua hai điểm z c A(0; 0; 4− , ) B(2; 0; 0) nên c= − a= Suy ( )α : 2x by+ − − = z

Đặt IH x= , với 0< <x 3 ta có r= R2−x2 = 27−x2

Thể tích khối nón π

V = r IH π 27( 2)

3 x x

= − π 27( 2) ( 27 2).2

3 x x x

= − − ≤18π

max 18π

V = 2

27−x =x ⇔ = x

Khi đó, d I( ;( )α ) 2

5 b

b + =

+ =3 ( ) ( )

2

2b b

⇔ + = + ⇔ = b

Vậy a b c− + = −

( ) (2 ) (2 )2

2 1

IA= − + − + − = 5< =3 R A ( )S

h I ( )P r ( )C

5

h≤IA= h= IA⊥( )P

2

2 2

3

r =R −h ≥ − = ⇒ ≥r

Câu 10.Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( ) (S : x−1) (2+ y−2) (2+ z−3)2 =9 mặt phẳng

( )P :2x−2y+ + = Gọi z M a b c ( ; ; ) điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến ( )P lớn Khi đó:

A a b c+ + =8 B a b c+ + =5 C a b c+ + =6 D a b c+ + =7

Lời giải Chọn D

Mặt ( )S cầu có tâm I(1; 2;3 ,) R=

( )

( )

( )2

2

2.1 2.2 3 ,

3

2

d I P = − + + = < R

+ − + mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường tròn

Gọi M a b c ( ; ; ) điểm mặt cầu cho khoảng cách từ M đến ( )P lớn Khi M

thuộc đường thẳng ∆ vng qua M vng góc với ( )P

1

: 2

3

x t

y t

z t

= +   ∆  = −

 = + 

Thay vào mặt cầu ( )S ( ) ( ) ( )2 2

2t 2t t 9t t ⇒ + − + = ⇒ = ⇒ = ±

Với ( ) ( ( ))

( )2

2

2.3 2.0 10

1 3; 0; ;

3

2

t= ⇒M ⇒d M P = − + + =

+ − +

Với ( ) ( ( )) ( )

( )2

2

2 2.4 1

1 1; 4; ;

3

2

t= − ⇒M − ⇒d M P = − − + + =

+ − +

Vậy M(3; 0; 4)⇒ + + = a b c