Một trong các nội dung thường gặp trong các bài toán về DÃY SỐ là xác định số hạng tổng quát của các dãy số được cho bởi công thức truy hồi và có nhiều phương pháp để giải quyết yêu cầ[r]
ÁP DỤNG CẤP SỐ ĐỂ XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ Một nội dung thường gặp toán DÃY SỐ xác định số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi có nhiều phương pháp để giải yêu cầu Nội dung trọng tâm chuyên đề giới thiệu kỹ thuật biến đổi để qui dãy số quen thuộc chương trình Tốn cấp trung học : CẤP SỐ CỘNG , CẤP SỐ NHÂN để giải yêu cầu đặt Nội dung chuyên đề trình bày dạng BÀI TOÁN TỔNG QUÁT , theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp , có ví dụ để minh họa số tập áp dụng BÀI TOÁN 1: Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) với u1 c un 1 a.un b a, b, c R PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Trường hợp : Nếu a = dãy ( un ) cấp số cộng , công sai b Trường hợp :Nếu a ≠ , ta qui dãy (un) thành dãy (vn) cấp số nhân , công bội a sau: b Đặt = un + a cấp số nhân b b b a un a = a.vn Thật : vn+1 = un+1 + a = aun + b + a = b Nên : vn+1 = a.vn cấp số nhân công bội a v1 = u1 + a b b n–1 n – Từ số hạng = v1.a Suy : un = – a = v1.a – a b b Vậy số hạng tổng quát dãy số : un = v1.an – – a với v1 = c + a VÍ DỤ 1: un un 1 2u , n 1, n N n u 1 Tìm số hạng tổng quát dãy số un xác định : GIẢI : Ta có u1 > , qui nạp ta un > 2 un Từ giả thiết suy : un 1 Đặt = un , ta : vn+1 = 3vn + với v1 = (*) Đặt zn = + , (*) trở thành : zn+1 = 3zn với z1 = Như (zn) cấp số nhân có cơng bội z1 = nên zn = z1.3n – = 3n Suy : = zn – = 3n – n Vậy dãy số (un) có un = , n * BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1.Xác định số hạng tổng quát dãy số cho u1 u1 3 un un un 1 2u ; n 1 un 1 u ; n 1 n n a b u1 2 u 3un , n 1 2.Cho dãy số (un) xác định : n 1 n S ui i 1 Tình tổng 3.Cho n vịng trịn hai vịng trịn giao điểm khơng có ba vòng tròn giao điểm Hỏi n vòng tròn cho chia mặt phẳng làm phần? BÀI TOÁN 2: Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) với đa thức theo n u1 c un 1 a.un f ( n) a, b, c R f(n) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Trường hợp 1: a = ta có un+1 = un + f(n) n Cho n nhận giá trị ; 2; 3; …n ta được: n f (i) n un u1 f (i ) i 1 n n i i i Trong i 1 tính thơng qua tổng i 1 ; i 1 ; i 1 … Trường hợp 2: a ≠ Đặt = un + g(n) với deg(g) = deg(f) g(n) xác định thông qua phương pháp hệ số bất định dồng thời thỏa : vn+1 = avn Ta qui dãy (un) thành dãy (vn) cấp số nhân có cơng bội q = a VÍ DỤ 2: Tìm số hạng tổng qt dãy số un xác định : un 1 un n 2, n 1, n N u1 2 GIẢI: Theo đề ta có un +1 = un + n + un + – un = n3 + Thay n 1, 2,…,n – cộng (n – 1) đẳng thức ta được: n n( n 1) (i 2) un – u1 = i 1 = +2(n – 1) n( n 1) Vậy un = +2n VÍ DỤ3: un 1 3un n 1, n 1, n N u 2 Tìm số hạng tổng quát dãy số un xác định : GIẢI: Đặt g(n) = an2 + bn + c Khi : vn+1 = 3vn = un + g(n) ( a, b, c R) với vn+1 = 3vn un+1 + g(n+1) = 3(un + g(n)) 3un + n2 + + g(n+1) = 3un + 3g(n) n2 + + a(n+1) + b(n+1) + c = 3an2 + 3bn + 3c (a + 1)n2 + (2a + b)n + 1+ a + b + c = 3an2 + 3bn + 3c a 3a 2a b 3b 1 1 a b c 3c a = ; b = ; c = Nên : 1 Do ta : g(n) = n2 + n + 1 1 2 Như = un + n + n + un = – ( n + n + 1) vn 1 3vn , n 1 un 1 3un n 1, n 1, n N u 2 v1 u1 g (1) 4 Suy : = 3n – 1.v1 = 4.3n – 1 Vậy : un = 4.3n – – n2 – n – 1 = 4.3n – – (n2 + n + 2) BÀI TẬP ÁP DỤNG : Xác định số hạng tổng quát dãy số xác định công thức sau: u1 4 u un 2n , n 1 n 1 u1 2 u 4un 3n3 3n 3n , n 1 n 1 u1 un un 1 , n 1 2(2n 1)un (HSGQG-2001) u1 un 1 un cos(3n 2) , n 1 BÀI TOÁN 3: Xác định số hạng tổng quát dãy số ( un ) với Trường hợp 1: a = ta có un+1 u1 b n un 1 a.un a, b, R, >0 PHƯƠNG PHÁP GIẢI: = u + n n n Cho n nhận giá trị ; 2; 3; …n – ta được: n un u1 i i 1 i Trong i 1 tính thơng qua tổng cấp số nhân có số hạng đầu công bội Trường hợp 2: a ≠ Ta qui toán toán cách đặt = un + g(n) với vn+1 = avn , đồng thời g(n) hàm số thỏa : + Nếu a ≠ g(n) = A n + Nếu a = g(n) = A.n n Trong A xác định thông qua phương pháp hệ số bất định Dãy số (vn) xác định theo cấp số nhân từ suy (un) VÍ DỤ 4: Tìm số hạng tổng quát un dãy (un) xác định : GIẢI: u1 3 n un 1 un 3.4 Theo đề ta có : un+1 = un + 4n un+1 – un = 4n Thay n 1, 2,…,n – cộng (n – 1) đẳng thức ta được: n n 3 4i 3.4 = 4n – un – u1 = i 1 = Vậy ta : un = 4n – VÍ DỤ 5: u1 6 un 1 3un 5.3n Tìm số hạng tổng quát un dãy (un) xác định: GIẢI: Ta thấy a = = nên ta đặt = un + An.3n với vn+1 = 3vn Với vn+1 = 3vn un+1 + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n ) 3un +5.3n + A(n+1)3n+1 = 3(un + An.3n ) 5.3n + A(n+1)3n+1 = 3An.3n 5+ 3A(n+1) = 3An Suy : A = 5 n Ta : = un n.3 un = + n.3n v1 1 u1 6 n u 3un 5.3 vn 1 3vn Khi n 1 Áp dụng cơng thức tính số hạng tổng quát cấp số nhân ta = 3n – Vậy ta un = 3n – 1+ n.3n = (1+5n)3n – VÍ DỤ 6: u1 5 u 2un n 3.2n , n 1 Tìm số hạng tổng quát un dãy (un) xác định: n 1 GIẢI: Ta có giả thiết un + = 2un + n2 + 3.2n Đặt un xn yn n với xn 1 2 xn n , n 1 ; yn 1 2 yn 3.2 , n 1 u1 = x1 + y1 = Suy : xn +1 + yn+1 = 2(xn + yn ) + n2 + 3.2n Ta giải tương tự ví dụ ví dụ ta xác định : xn = (x1+6) 2n – – (n2 + 2n + 3) yn = (y1–3) 2n – + 3n.2n– ta un = xn + yn = (x1+6).2n – – (n2 + 2n + 3) + (y1–3) 2n – + 3n.2n– = (x1+ y1+3).2n – + 3n.2n– – (n2 + 2n + 3) Vậy : un = 2n + + 3.2n – 1– (n2 + 2n + 3) BÀI TẬP ÁP DỤNG: u1 5 u 4un 3.4n 8.Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : n 1 u1 32 un 1 n2 2.un , n 1 9.Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : u1 a u 3un 2n ; n 1 10.Tìm tất giá trị a R cho dãy (un) xác định n 1 dãy số đồng biến BÀI TOÁN 4: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) với c, d un 1 aun b ; ad bc 0 cun c , n 1 theo u1 , a, b, PHƯƠNG PHÁP GIẢI ax b x cx d (*) Xét phương trình Trường hợp 1: phương trình (*) có nghiệm phân biệt : x1 ; x2 , ta tìm số un x1 u x k n 1 un x2 k un x2 aun b au b ax1 b ( ad bc)(un x1 ) x1 n cun d cun d cx1 d = (cun d )(cx1 d ) Thật : ( ad bc)(un x2 ) un x2 (cun d )(cx2 d ) un x1 cx2 d un x1 cx2 d un x1 un x1 k cx d un x2 cx d Nên : un x2 = un x2 ( với k = ) un x1 Ta đặt v = un x2 v = kv n n n–1 Từ áp dụng cấp số nhân , tìm , suy un Trường hợp 2: phương trình (*) có nghiệm kép : x0 1 k u x u x n n Tương tự , ta tìm k để có : Ta đặt = un x0 = – + k Áp dụng cấp số cộng tìm suy un VÍ DỤ 7: Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) xác định : GIẢI: 4un 5un Ta có u + = un + = un 4un ; n 1 un un u 3 n 4un 2un un – = un – = un un un un 2 u n Nên un u1 4 u u Đặt = n có = – v1 = 5 Áp dụng cấp số nhân ta có = n n 5 1 2v un n n un 1 5 4 2 Từ = un = – un suy n 5 1 un n 5 4 2 Vậy số hạng tổng quát dãy số : VÍ DỤ 8: Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) xác định : GIẢI: 5un ; n 1 un un u 2 5un 4un 1 Ta có un – = un = un 1 u 3 1 n u un un Nên n 1 Đặt = un có = – + v1 = u1 = n n 3 Áp dụng cấp số cộng = v1 +(n – 1) = + = 4 n 7 1 n 3 Suy un – = n hay un = n n 7 Vậy số hạng tổng quát dãy số un = n , với n * BÀI TẬP ÁP DỤNG: u1 2 2un un 1 u , n 1 n 11.Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : 12.Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : u1 3 un u , n 1 n un BÀI TOÁN u1 ; u2 un 1 ( a b)un abun 1; n 2 Xác định số hạng tổng quát dãy số (un) với số u1, u2 , a , b cho trước a ,b ≠ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ta có : un+1 = (a + b)un – abun – , n un+1 –aun = b(un –aun – 1) Đặt = un + –aun với n (*) vn 1 bvn ; n 1 v u2 au1 Ta : ; (vn ) cấp số nhân công bội b với v1 = au2 – u1 (**) Từ (*) ta thay n n–1, n–2 , n–3 , …3, ,2 , : vn un aun un aun un aun avn aun a un a 2v a 2u a 3u un aun n n n a n v a n 4u a n 3u v3 u4 au3 n n n v2 u3 au2 a v2 a u3 a u2 n v1 u2 au1 a v1 a n 2u2 a n 1u1 ( n – đẳng thức) Cộng đẳng thức cho ta : un a n 1u1 a n 2v1 a n 3v2 avn a n v1 a n 3b.v1 ab n v1 b n v1 (a n a n 3b ab n b n ).v1 (a n a n 3b ab n b n ).(u2 au1 ) Suy : un (a n a n 3b a n 4b ab n b n )u2 ab(a n a n 4b ab n b n )u1 Nếu a ≠ b : a n bn a n bn un u ab u1 a b a b , với n Nếu a = b : un (n 1) a n u2 (n 2) a n 1.u1 , với n VÍ DỤ 9: Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) xác định u1 2, u2 3 un 1 3un 2un ; n 2 GIẢI: (Áp dụng cách giải toán với a = , b = 2) Ta có un 1 3un 2un un 1 un 2(un un ) Đặt = un + –un với n vn 1 2vn ; n 1 v u2 u1 1 Ta : ; (vn ) cấp số nhân công bội với v1 = Suy : un (un un ) (un un ) (u2 u1 ) u1 vn v1 u1 2n u1 2n 1 Vậy số hạng tổng quát dãy số : un = 2n – + với n * v1 VÍ DỤ 10: Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) xác định u1 1, u2 2 un 2 9un 1 18un ; n 1 GIẢI Ta có : un+2 = 9un+1 – 18un , n un+2 –3un = 6(un+1 –3un ) Đặt = un + –3un với n (*) vn 1 6vn ; n 1 v u2 3u1 Ta : ; (vn ) cấp số nhân công bội với v1 = – Thay n n–1, n – , n – , ….3, 2, vào (*) Ta : un 3un vn un 3un vn un 3un vn 3un un 3vn 32 u 33 u 32 v un 3un vn n n n 3n u 3n u 3n v u4 3u3 v3 3 u3 3u2 v2 3n u3 3n u2 3n v2 n u2 3u1 v1 3 u2 3n u1 3n v1 ( n – 1) đẳng thức Cộng n – đẳng thức suy ra: un 3n u1 3n v1 3n v2 3vn = (3n– +3n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 32.6n – + 3.6n – + 6n – )v1 Nên ta : un = 3n – 1.u1 + (3n– +3n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 32.6n – + 3.6n – + 6n – )v1 = 3n – – (3n– +3n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 32.6n – + 3.6n – + 6n – ) n– Ta có S = +3n– 3.6 +3n – 4.62 + ….+ 32.6n – + 3.6n – + 6n – tổng (n–1) số hạng n 1 n 2 = 2.6n – – 3n – cấp số nhân có cơng bội q = nên S = Vậy ta có : un = 3n – + 3n – – 2.6n – = 4.3n – – 2.6n – VÍ DỤ 11: Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) xác định u1 2, u2 3 un 1 5un 6un ; n 2 GIẢI: (Áp dụng cách giải toán với a = , b = 3) Ta có : un+1 = 5un – 6un – , n un+1 –2un = 3(un –2un – 1) Đặt = un + –2un với n (*) vn 1 3vn ; n 1 v u2 2u1 Ta : ; (vn ) cấp số nhân công bội với v1 = – Đáp số : un = 3.2n – – 3n – , với n * BÀI TẬP ÁP DỤNG : u1 2, u2 3 u 3un 1 2un ; n 1 13.Cho dãy số (un) : n 2 Hãy xác định số hạng tổng quát un dãy u1 0, u2 1 u 4un 1 3un ; n 1 14.Cho dãy số (un) : n 2 Hãy xác định số hạng tổng quát un dãy 15.Cho dãy số (un) thỏa điều kiện : un+1 – 2un + un – = n Hãy tính un theo u1 , u2 n u1 1, u2 0 u 2un 1 un n 1; n 1 16.Cho dãy số (un) : n 2 Hãy xác định số hạng tổng quát un dãy un 2 (un 1 un ) 17.Cho dãy số (un) thỏa điều kiện : n Hãy tính un theo u1 , u2 n 18.Cho a,b hai số cho trước , số hạng dãy (un) xác định hệ thức : un+1 = (a + b)un –abun – với n Hãy biểu diễn un qua u1 , u2 n 19.Cho a,b hai số cho trước với a + b a + 2b , số hạng dãy (un) xác au bun un 1 n a b với n định hệ thức : Hãy biểu diễn un qua u1 , u2 n Z Lời kết: Với mục đích giúp học sinh rèn luyện kỹ phân tích tốn để tìm mối liên hệ với kiến thức học , từ áp dụng để giải nội dung có liên quan , gây thích thú mơn học Một số ví dụ có lời giải ngắn gọn cách sử dụng phương pháp sai phân Tài liệu tham khảo: + Những toán sơ cấp – Tác giả Lê đình Thịnh + Dãy Số - Tác giả Phan huy Khải + Đề thi HSG QG năm + Báo Toán học & Tuổi trẻ ... 3) BÀI TẬP ÁP DỤNG: u1 5 u 4un 3.4n 8 .Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : n 1 u1 32 un 1 n2 2.un , n 1 9 .Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : u1... DỤNG: u1 2 2un un 1 u , n 1 n 11 .Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : 12 .Xác định số hạng tổng quát un dãy số xác định : u1 3 un u , n 1 n un BÀI... g(n) = A.n n Trong A xác định thông qua phương pháp hệ số bất định Dãy số (vn) xác định theo cấp số nhân từ suy (un) VÍ DỤ 4: Tìm số hạng tổng quát un dãy (un) xác định : GIẢI: u1 3 n