Đề tài : Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số pdf

Đề tài Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT II SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ĐỂ XÁC ĐỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 23 III XÁC ĐỊNH CTTQ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH 28 IV ỨNG DỤNG BÀI TOÁN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ 32 BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 32 BÀI TậP ÁP DụNG 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -1- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình tốn học THPT tốn liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tốn liên qua đến dãy số đặc biệt toán xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Hơn số lớp toán xác định công thức tổng quát dãy số nội dung tốn gần giải Do xác định cơng thức tổng quát dãy số chiếm vị trí định toán dãy số Chuyên đề “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ” nhằm chia sẻ với bạn số kinh nghiệm giải tốn tìm CTTQ dãy số mà thân đúc rút qua trình học tập Nội dung chuyên đề chia làm bốn mục : I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ số dạng dãy số có dạng cơng thức truy hồi đặc biệt II: Sử dụng phương pháp lượng giác để xác định CTTQ dãy số III: Sử dụng phương pháp hàm sinh để xác định CTTQ dãy số IV: Ứng dụng toán xác định CTTQ dãy số vào giải số toán dãy số - tổ hợp Một số kết chuyên đề có số sách tham khảo dãy số, nhiên chuyên đề kết xây dựng cách tự nhiên từ đơn giản đến phức tạp giúp em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng phát triển tư cho em học sinh Trong trình viết chuyên đề, nhận động viên, giúp đỡ nhiệt thành BGH quý thầy cô tổ Tốn Trường THPT BC Lê Hồng Phong Chúng tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc Vì lực thời gian có nhiều hạn chế nên chuyên đề có thiếu sót Rất mong quý Thầy – Cô bạn đồng nghiệp thông cảm góp ý để chuyên đề tốt Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -2- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I SỬ DỤNG CSC – CSN ĐỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ĐẶC BIỆT Trong mục xây dựng phương pháp xác định CTTQ số dạng dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt Những phương pháp xây dựng dựa kết biết CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp Trước hết ta nhắc lại số kết biết CSN – CSC Số hạng tổng quát cấp số cộng cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát cấp số cộng Định nghĩa: Dãy số (un ) gọi cấp số cộng có số thực d cho với số nguyên n ³ ta có: un = un -1 + d d : gọi công sai CSC; u1 : gọi số hạng đầu, un gọi số hạng tổng quát cấp số Định lí 1: Cho CSC (un ) Ta có : un = u1 + (n - 1)d (1) Định lí 2: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSC (un ) có cơng sai d Ta có: n [2u + (n - 1)d ] (2) 1 2: Số hạng tổng quát cấp số nhân Định nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un +1 = q.un "n ẻ Ơ * gi l cp s nhân cơng bội q Sn = n -1 Định lí 3: Cho CSN (un ) có cơng bội q Ta có: un = u1q (3) Định lí 4: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSN (un ) có cơng bội q Ta có: Sn = u1 - qn -q Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong (4) -3- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1 = 1, un = un -1 - "n ³ Giải: Ta thấy dãy (un ) CSC có cơng sai d = -2 Áp dụng kết (1) ta có: un = - 2(n - 1) = -2n + Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1 = 3, un = 2un -1 "n ³ Giải: Ta thấy dãy (un ) CSN có cơng bội q = Ta có: un = 3.2n -1 Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát dãy (un ) xác định bởi: u1 = -2, un = 3un -1 - "n ³ Giải: Trong toán gặp khó khăn dãy (un ) CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) khơng phải CSN xuất số -1 VT Ta tìm cách làm -1 chuyển dãy số CSN Để thực ý đồ ta đặt un = k + l ; k, l số k ¹ ( ta chọn k, l sau) 2l - Khi đó, ta có: k + l = 3k -1 + 3l - Û = 3vn + k ìk = 2l - 1 ï Ta chọn k, l : = Û l = k nên ta chọn í k l = ï ỵ ìvn = 3vn -1 ï Þ (vn ) : í Dễ thấy dãy (vn ) CSN với công bội q = v1 = ï ỵ 5.3n -1 Þ = v1 q n -1 = - 3n -1 Suy ra: un = + = + 2 2 Ta thấy k bất kì, đặt ta chọn k = Tương tự cách làm ta có kết tổng quát sau: Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -4- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x , un = aun -1 + b "n ³ ( a,b ¹ số) có CTTQ là: ìu1 + (n - 1)b a = ï un = í a n -1 - n -1 +b a ùu1 a ợ a -1 Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ dãy (un ) xác định u1 = 2; un +1 = 2un + 3n + Giải: Ở ví dụ sử dụng kết hệ số tự khơng phải số mà hàm bậc biến n Tuy nhiên bắt chước cách giải làm 3n + VP, ta đặt : un = k + t.n + l ; k , t, l số k ¹ Khi ta có: t+3 l -t +2 kvn + + t(n + 1) + l = 2kvn + 2tn + 2l + 3n + Û +1 = 2vn + n + k k ìt + ìt = -3 =0 ï ï ï Ta chọn k , t, l cho: í k Û íl = -1 , ta chọn k = ïl - t + = ùk ù k ợ ợ ỡv = ï Þ (vn ) : í Þ = 6.2n -1 = 3.2n Vậy un = - 3n - = 3.2n - 3n - ïv = 2vn -1 ỵ n Ta thấy cách giải không phụ thuộc vào k , nên đặt ta chọn k = ìu = ï Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : í Tìm CTTQ dãy (un ) ïun = un -1 + 2n + ỵ Giải: Với tốn ta thực cách làm không dẫn đến kết quả, 1-t sau đặt ta có : +1 = + n + dẫn đến ta làm n k k Ta tìm lời giải khác cho tốn Ta viết công thức truy hồi dãy cho dạng sau un - un -1 = 2n + Từ ta có: un = (un - un -1 ) + (un -1 - un - ) + + (u2 - u1 ) + u1 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -5- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ( ) = 2n + + 2(n - 1) + + + 2.2 + + = n + n - + + + + n - n(n + 1) + n - = n + 2n - Từ kết tìm được, ta thấy nguyên nhân mà cách làm ban đầu không cho ta kết CTTQ dãy số đa thức bậc hai theo n , mà với cách đặt ban đầu ta thấy CTTQ dãy đa thức bậc Từ phân tích ta giải toán theo cách khác sau: =2 Đặt un = + an + bn + c Khi đó, ta có: + an + bn + c = -1 + a(n - 1)2 + b(n - 1) + c + 2n + Û = -1 + 2(1 - a )n + a - b + ì1 - a = ìa = ï ï Ta chọn í , c nên ta chọn c = Ûí a -b +1 = b =2 ï ï ỵ ỵ ìv = -1 ï Khi đó: (vn ) : í Þ = -1 = - = = v1 = -1 = -1 ï ỵ Vậy un = + n + 2n = n + 2n - Vì c nên ta cần đặt un = + an + bn = + n(an + b) Dạng 2: Từ ví dụ cách giải thứ hai ví dụ ta rút cách tìm CTTQ ìu = x ï dãy (un ) xác định bởi: í , f (n ) đa thức bậc k un = a.un -1 + f (n ) ï ỵ theo n ; a số Ta làm sau: * Nếu a = , ta đặt un = + n.g(n ) với g(n ) đa thức theo n bậc k , thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn g(n ) : ng(n ) - (n - 1)g(n - 1) = f (n ) ta có ( ) ( ) dãy CSN với công bội q = từ ta tìm CTTQ dãy suy ta có CTTQ dãy (un ) * Nếu a ¹ , ta đặt un = + h(n ) với h(n ) đa thức theo n bậc k Thay vào công thức truy hồi dãy ta chọn h(n ) : h(n ) - ah(n - 1) = f (n ) ta có dãy (vn ) CSN với công bội q = a CTTQ dãy (un ) ( ) từ ta tìm CTTQ dãy Suy ta có Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -6- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ìu1 = ï Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : í Tìm CTTQ dãy (un ) un = 3un -1 + 2n ; n = 2, 3, ï ỵ Giải: Với cách giải tương tự ví dụ ta đặt: un = + a.2n Ta có: + a.2n = 3(vn -1 + a.2n -1 ) + 2n Û = 3vn -1 + 2n (a + 2) Ta chọn a = -2 Þ = 3vn -1 = v1.3n -1 = 5.3n -1 Vậy un = 5.3n -1 - 2n + Lưu ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un -1 + b.a n , ta đặt un = x n + y.a n Khi , ta có: x n + y.a n = a.xn -1 + ay.a n -1 + b.a n ba Þ xn = a.x n -1 + éy(a - a ) + ba ù a n -1 Do đó, a ¹ a , ta chọn y = ë û a -a ba n -1 ba Þ un = (u1 )a + a n Þ xn = a.xn -1 Þ x n = x1.a a -a a -a Trường hợp a = a Þ un - a.un -1 = b.a n n -1 Þ un = (un - a.un -1 ) + a(un -1 - un - ) + + a n - (u2 - au1 ) + u1.a n -1 Þ un = b(n - 1)a n + u1a n -1 Vậy ta có kết sau ìu1 = p ï Dạng 3: Cho dãy (un ) : í Khi ta có: un = a.un -1 + b.a n "n ³ ï ỵ · Nếu a = a Þ un = éab(n - 1) + u1 ù a n -1 ë û ba n -1 ba )a + a n a -a a -a Chú ý : Trong trường hợp a = a ta tìm CTTQ dãy (un ) nh sau: Ã Nu a a ị un = (u1 - Đặt un = x n + y.n.a n Khi ta có: x n + y.n.a n = a.x n -1 + ay(n - 1).a n -1 + b.a n Þ xn = a.xn -1 + (-y + b).a n nên ta chọn y = b Þ xn = x1.a n -1 Þ un = (u1 - ab)a n -1 + bn.a n = éab(n - 1) + u1 ù a n -1 ë û Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -7- Một số phương pháp xác định công thức tổng qt dãy số ìu1 = -2 ï Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ dãy (un ) : í un = 5un -1 + 2.3n - 6.7n + 12 ; n = 2, 3, ï ỵ Giải: Đặt un = + a.3n + b.7n + c Khi , ta có: + a.3n + b.7n + c = 5(vn -1 + a.3n -1 + b.7n -1 + c) + 2.3n - 6.7n + 12 Û = 5vn -1 + 3n -1(2a + 6) - 7n -1(2b + 42) + 4c + 12 ì2a + = ìa = -3 ï ï Ta chọn a, b, c : í2b + 42 = Û íb = -21 ï4c + 12 = ïc = -3 ỵ ỵ Khi đó: = 5vn -1 Þ = v1.5n -1 = 157.5n -1 Vậy un = - 3n +1 - 3.7n + - = 157.5n -1 - 3n +1 - 3.7n + - Qua ví dụ ta có kết sau: ìu1 = p ï Dạng 4: Để tìm CTTQ dãy số (un ) : í , n n ïun = a.un -1 + b.a + c.b + d ; "n ³ ỵ ( a,b, c ¹ 0; a , b ¹ 1; a b ¹ a ) ta làm sau: · Nếu a = Þ un - un -1 = b.a n + c.b n + d Þ un = u1 + = u1 + n -2 å (un -i - un -i -1 ) i =0 n -2 å (b.a i =0 n -i + c.b n -i n -2 + d ) = u1 + b å a i =0 n -i n -2 + c å b n - i + d (n - 1) i =0 ỉ - an ỉ1 - bn Þ un = u1 + b.a ỗ - ữ + c.b ỗ - ữ + d (n - 1) ỗ 1-a ữ ỗ 1- b ữ è ø è ø · Nếu a ¹ , ta đặt un = + x a n + y.b n + z Ta có: = a.vn -1 + (ax - xa + ab)a n -1 + (by - y b + b c)b n -1 + z (a - 1) + d Ta chọn : x = ab bc d ;y = ;z = a -a b -b 1-a Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -8- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Khi đó: = a.vn -1 Þ = v1 a n -1 ỉ a 2b b 2c d n -1 = ỗ u1 ữa ỗ a -a b -b 1-a ữ ố ø ỉ a 2b b 2c d n -1 b c d un = ỗ u1 + an + bn + ữa ỗ a -a b -b 1-a ÷ a -a b -b 1-a è ø Chú ý : Nếu a = a b = a đặt un theo ta nhân thêm n vào trước a n b n ìu1 = ï Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ dãy (un ) : í un = 2un -1 + 3n - n; "n ³ ï ỵ ( ) Giải: Để tìm CTTQ dãy un ta sử dụng hai kết kết Đặt un = + a.3n + bn + c ( ) Ta có: + a.3n + bn + c = -1 + a.3n -1 + b(n - 1) + c + 3n - n Û = 2vn -1 + (-a + 1)3n -1 + (b - 1)n - 2b + c Ta chọn a = b = 1;c = Khi đó: = 2vn -1 Þ = v1.2n -1 = -5.2n -1 Vậy un = -5.2n -1 + 3n + n + ìu1 = p ï Dạng 5: Nếu dãy số (un ) : í , f (n ) đa un = a.un -1 + b.a n + f (n ); "n ³ ï ỵ thức theo n bậc k ta tìm CTTQ dãy sau: * Nếu a ¹ ta đặt un = + x a n + g(n ) , với g(n ) đa thức theo n bậc k Ta chọn cho dãy (vn ) CSN, ta tìm CTTQ dãy (vn ) từ ta có CTTQ dãy (un ) * Nếu a = ta tìm un theo cách làm kết Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -9- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Ví dụ 4.2: Cho dãy số (an ) : a0 = 0, a1 = 1, an +1 = 2an - an -1 + "n ³ Chứng minh A = 4anan + + số phương Giải: Từ cơng thức truy hồi dãy ta thay n + n ta được: ìan +1 = 2an - an -1 + ï Þ an + - 3an + 3an -1 - an - = í an = 2an -1 - an - + ï î Xét phương trình đặc trưng l - 3l + 3l - = Û l = Þ an = (a + b n + g n ) , a = 0, a1 = 1, a2 = Þ a = 0, b = g = (n + n ) Þ A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) = (n + 3n + 1)2 Þ đpcm Ví dụ 4.3: Cho dãy số (xn ) : x1 = 7, x = 50; x n +1 = 4x n = 5x n -1 - 1975 "n ³ Þ an = Chứng minh x1996 M1997 (HSG Quốc Gia – 1997 ) Giải: Vì -1975 = 22(mod1997) ta cần chứng minh dãy x n +1 = 4x n + 5x n -1 + 22 M1997 Đặt yn +1 = ax n +1 + b = a(4x n + 5xn -1 + 22) + b = 4(ax n + b) + 5(ax n -1 + b) + 22a - 8b = 4yn + 5yn -1 + 22a - 8b Ta chọn a, b cho: 22a - 8b = , ta chọn a = Þ b = 11 Þ yn +1 = 4x n +1 + 11 Þ y1 = 39, y2 = 211; yn +1 = 4yn + 5yn -1 8(-1)n + 25.5n + 25.51996 Từ ta có được: yn = Þ y1996 = 3 Vì + 25.51996 º -1 + = 0(mod 3) ị y1996 ẻ Â Theo nh lớ Fecma 51996 º 1(mod1997) Þ y1996 º 11(mod1997) Þ 4x1996 + 11 º 11(mod1997) Þ x1996 º 0(mod1997) Nhận xét: Từ tốn ta có kết tổng quát là: x p -1 M p với p số nguyên tố lẻ Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 33 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ìu = 20; u1 = 100 ï Ví dụ 4.4: Cho dãy số (un ) : í Tìm số nguyên dương un +1 = 4un + 5un -1 + 20 "n ³ ï ỵ h bé cho: un + h - un M1998 "n ẻ Ơ * (HSG Quốc Gia Bảng A – 1998 ) Giải: ìa = 45;a1 = 205 ï Đặt an = 2un + , ta có dãy (an ) : í ïan +1 = 4an + 5an -1 "n ³ ợ ị an = Vỡ an + h M an + h 10 125 n 125 n 5 (-1)n + Þ un = + (-1)n - 3 - an = 2(un + h - un ) Þ un + h - un M1998 Û an + h - an M 2.1998 = 22.33.37 (-1)n 10 é 125.5n h - an = (-1)h - 1ù + (5 - 1) ë û 3 · Nếu h chẵn Þ an + h ì5h - 1M ï 125.5 ï - an = (5h - 1)M 4.27.37 Û í5h - 1M 81 (*) ï h ï5 - 1M 37 ỵ n Gọi k số nguyên dương nhỏ thỏa mãn 5k - 1M 37 Vì 536 - 1M 37 Þ 36 M k ị k ẻ 1,2, 3, 4,12,18, 36 th trực tiếp ta thấy có k = 36 thỏa mãn { } Þ 5h - 1M 37 Þ h M 36 (1) Chứng minh tương tự, ta có: 5h - 1M 81 Þ h Mj(81) = 54 Từ (1) (2) ta suy (*) Û h M é36, 54 ù = 108 Þ h ³ 108 ë û (2) · Nếu h lẻ: Vì un + h º un (mod 1998) ìu º u º 20(mod1998) ï Nên ta có: í h Þ 5uh -1 º uh +1 - 4uh - 20 º 0(mod1998) ïuh + u1 100(mod1998) ợ ị uh -1 M 0(mod1998) 125 h 25 125 h -1 uh -1 = 5 6 6 º 0(mod1998) mâu thuẫn với uh º 20(mod1998) Vì h lẻ Þ h - chẵn Þ uh = Þ uh º 5uh -1 Với h = 108 ta dễ dàng chứng minh un + h º un (mod1998) "n ³ Vậy h = 108 giá trị cần tìm Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 34 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số Ví dụ 4.5: Cho dãy (xn ) : x = 2; xn + = 1) Tính x 2000 ? 2) Tìm phần nguyên A = xn - Giải: Ta có: x n + - = xn + 2x n + xn + 2000 å xi (Olympic 30 – – 2000 khối 11 ) i =1 Þ x n +1 - =1+ Đặt an = Þ a = xn - xn - 3n +1 - Þ xn = + n +1 -1 +1 an + = 3an + Þ an = a) Ta có: x 2000 = 32001 32001 - 2000 b) Ta có: A = 2000 + å i =1 Vậy [A] = 2000 3i +1 - Þ 2000 < A < 2000 + Ví dụ 4.6: Cho dãy (xn ) : x1 = 1; x n +1 = n 2000 å < 2001 i =1 3i (2 + cos 2a )xn + cos2 a (2 - cos 2a )x n + - cos 2a "n ³ Tìm a để dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới +1 i =1 i hạn ( HSG Quốc Gia Bảng A – 2004 ) Giải: Đặt yn = Ta có å 2x 2x n + n sin2 a 1 1 = + Þ = + (1 )sin2 a n n -1 +1 3(2x n + 1) 2x n + 3 Þ yn = å = 2x i + i =1 Vì lim n n å i =1 3i n + sin a å (1 i =1 3i -1 )= 1 (1 - ) + [n - (1 - )]sin2 a 2 3n 3n = nên dãy (yn ) có giới hạn hữu hạn Û sin a = Û a = kp Khi lim yn = Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 35 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số 2 ìx ï n + = -3x n - 2xn yn + 8yn "n ³ í 2 yn +1 = 2x n + 3x n yn - 2yn ï ỵ Tìm tất số ngun tố p cho x p + y p không chia hết cho p (TH&TT – 327 ) ìx = -1 ï Ví dụ 4.7: Cho hai dãy (xn ),(yn ) : í y1 = ï ỵ Giải: n -1 Ta có: x n + 2yn = (xn -1 + 2yn -1 )2 = = (x1 + 2y1 )2 = (1) Giả sử có số tự nhiên k để yk = 2xk Þ yk +1 = Khi đó, ta có: ìx ï k + = -3x k +1 vơ lí Vậy yn +1 = (2x n - yn )(x n + 2yn ) ¹ "n í xk +2 = ï ỵ Suy : xn +1 yn + Đặt an + = x n +1 yn + Þ an + + = Þ an = =- (3x n - 4yn )(x n + 2yn ) (2x n - yn )(x n + 2yn ) Þ a1 = -1; an + = an + 2an - 1 - 4.(-5)n -1 + 2.(-5)n -1 Þ = an + xn yn = -3x n + 4yn 2x n - yn -3an + 2an - 1 + 2(-5)n -1 =2Þ = +2 an + an + (2) - 4.(-5)n -1 + 2.(-5)n -1 - 2(-5)n -1 ; yn = Þ x n + yn = 3 * Nếu p = Þ x + y2 = M Þ p = khơng thỏa u cầu tốn Từ (1) (2) Þ xn = * Nếu p = Þ x + y = -16 khơng chia hết cho Þ p = thỏa yêu cầu toán * Nếu p = ta thấy thỏa yêu cầu tốn * Nếu p > Þ (-5)p -1 º 1(mod p) Þ x p + y p º 0(mod p) Vậy p = 3, p = hai giá trị cần tìm ì ïu1 = ï Ví dụ 4.8: Cho dãy (un ) : í Tính tổng 2001 số un -1 ïun = "n ³ 2(2n - 1)un -1 + ï ỵ hạng dãy (un ) (HSG Quốc Gia – 2001 ) Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 36 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Giải: Ta có: 1 = + 4n - (1) Đặt = xn + n(an + b) thay vào (1) ta được: un un -1 un x n + an + bn = x n -1 + a(n - 1)2 + b(n - 1) + 4n - Þ xn = x n -1 + (-2a + 4)n + a - b - Ta chọn a = 2;b = b Þ x n = x1 = Þ un = Þ 2001 å i =1 (2n - 1)(2n + 1) 1 Þ = - + 2n = un 2 1 = (2n - 1)(2n + 1) 2n - 2n + ui = 2001 ỉ 1 å ç 2i - - 2i + ÷ = - 4003 i =1 è ø = 4002 4003 ìx = x + + x n -1 ìx = n -1 ï n ï ï Ví dụ 4.9: Cho hai dãy số (xn ); (yn ) xác định : í í yn -1 ïy1 = ïyn = ỵ + + yn -1 ï ỵ "n ³ Chứng minh < xn yn < "n ³ (Belarus 1999) Giải: Ta có: x1 = = cot p p p Þ x = cot + + cot2 = 6 Bằng quy nạp ta chứng minh được: x n = cot p p +1 p = cot p 2.6 sin cos 2n -1.6 p Theo kết ví dụ mục II, ta có: yn = tan 2n -1.3 p Đặt an = Þ x n = cot an ; yn = tan 2an Þ x n yn = tan 2an cot an 2n 2t Đặt t = tan an Þ tan 2an cot an = = t 1-t 1-t p p Vì n ³ Þ < an < Þ < t < tan = Þ £ - t2 < 6 3 Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 37 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Þ2< 1-t < Þ < x n yn £ "n ³ Þ đpcm ì| x1 |< ï Ví dụ 4.10: Cho dãy số (xn ) : í -x n + - 3x n ïx n +1 = "n ³ ỵ 1) Cần có thêm điều kiện x1 để dãy gồm tồn số dương ? 2) Dãy số có tuần hồn khơng ? Tại ? (HSG Quốc Gia 1990) Giải: ỉ p pư Vì | x1 |< nên tn ti a ẻ ỗ - ; ữ : sin a = x1 Khi đó: è 2ø p x = - sin a + cos a = sin( - a ) 2 p p x = - sin( - a ) + | cos( - a ) | 3 p p · Nếu - £ a < Þ x = sin a p p 2p · Nếu - < a < - Þ x = sin(a - ) Bằng quy nạp ta chứng minh được: ìsin a n = 2k + p p ï i ) Nếu - £ a < thì: x n = í p n = 2k ïsin( - a ) ỵ ì 2p ) n = 2k + ïsin(a p p ï ii ) Nếu - < a < - thì: x n = í "k ³ p ïsin( - a ) n = 2k ï ỵ ì p ìsin a > ï0 < a < p ï ï 1) Dãy gồm tồn số dương Û í ổ p 0 ï- p £ a < p ø ỵ è ï ỵ 3 điều kiện cần phải tìm 2) Dựa vào kết ta có: Vậy < x1 < Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 38 - Một số phương pháp xác định công thức tổng qt dãy số ỉp p · Nu sin a = sin ỗ - a ữ a = Û x1 = Khi từ (1) ta có è3 ø x = x = = x n = Þ (x n ) dãy tuần hồn ì ï - £ x1 < ï dãy số có dạng x1, x , x1, x , · Nu ùx ù ợ · Nếu -1 < x1 < - dãy số có dạng x1, x , x , x , x Ví dụ 4.11: Tính tổng Sn = + + + + 2n - , với n số tự nhiên n ³ Giải: Ta có: S1 = Sn - Sn -1 = 2n - Áp dụng nhận xét (1), ta đặt : Sn = x n + n(an + b) , thay vào (1), ta được: x n - x n -1 + n(an + b) - (n - 1) éa(n - 1) + b ù = 2n - ë û Þ xn - x n -1 + 2an + b - a = 2n - Þ ta chọn a = 1;b = Þ xn = xn -1 = = x1 = Þ Sn = n Ví dụ 4.12: Tính tổng Sn = 12 + 22 + 32 + + n với n số tự nhiên n ³ Giải: Ta có S1 = Sn - Sn -1 = n (2) Sử dụng nhận xét 1, ta đặt Sn = x n + n(an + bn + c) Thay vào (2) ta được: x n - x n -1 + n(an + bn + c) - (n - 1) éa(n - 1)2 + b(n - 1) + c ù = n ë û Þ xn - x n -1 + 3an - (3a - 2b)n + a - b + c = n ì ïa = ì3a = ï ï ï Ta chọn a, b, c : í3a - 2b = Û íb = ïa - b + c = ï ỵ ïc = ï ỵ ỉ1 1 n(2n + 1)(n + 1) Þ xn = x n -1 = = x1 = ị Sn = n ỗ n + n + ÷ = 6ø è Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 39 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Ví dụ 4.13: Tính tổng Sn = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n + 1)(n + 2) "n ³ Giải: Ta có: S1 = Sn - Sn -1 = n(n + 1)(n + 2) "n ³ 1é (n + 1)4 - n ù + é(n + 1)3 - n ù û 2ë û 4ë 1 - é(n + 1)2 - n ù - é(n + 1) - n ù û û 2ë 4ë 1 1 Đặt f (n ) = (n + 1)4 + (n + 1)3 - (n + 1)2 - (n + 1) 4 Þ Sn - f (n ) = Sn -1 - f (n - 1) = = S1 - f (1) = Do n(n + 1)(n + 2) = Þ Sn = f (n ) = n(n + 1)(n + 1)(n + 3) Ví dụ 4.14: Trong mp cho n đường thẳng, khơng có ba đường đồng quy đôi không cắt Hỏi n đường thẳng chia mặt phẳng thành miền ? Giải: Gọi an số miền n đường thẳng tạo thành Ta có: a1 = Ta xét đường thẳng thứ n + (ta gọi d ), d cắt n đường thẳng cho n điểm bị n đường thẳng chia thành n + phần đồng thời phần thuộc miền an Mặt khác với đoạn nằm miền an chia miền thành miền, nên số miền có thêm n + Do vậy, ta có:an +1 = an + n + n(n + 1) Chú ý : Với giả thiết ví dụ thay yêu cầu tính số miên tính số đa (n - 2)(n - 1) giác tạo thành ta tìm được: an = Ví dụ 4.15: Trong không gian cho n mặt phẳng, ba mặt phẳng cắt khơng có bốn mặt phẳng qua qua điểm Hỏi n mặt phẳng chia không gian thành miền ? Giải: Gọi bn số miền n mặt phẳng tạo thành Xét mặt phẳng thứ n + (ta gọi (P ) ) Khi (P ) chia n mặt phẳng ban đầu theo n Từ ta có: an = + Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 40 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số giao tuyến n giao tuyến chia (P ) thành + n(n + 1) miền, miền nằm miền bn chia miền làm hai phần.Vậy bn +1 = bn + Từ đó, ta có: bn = (n + 1)(n - n + 6) n2 + n + Ví dụ 4.16: Trong thi đấu thể thao có m huy chương, phát n ngày thi đấu Ngày thứ nhất, người ta phất huy chương số huy chương lại Ngày thứ hai, người ta phát hai huy chương số huy chương lại Những ngày lại tiếp tục tương tự Ngày sau lại n huy chương để phát Hỏi có tất huy chương phát ngày? (IMO 1967) Giải: Gọi ak số huy chương cịn lại trước ngày thứ k Þ a1 = m , ta có: ak +1 k -1 ỉ6ư 6k = ak ị ak = ỗ ữ 7 è7ø n -1 ỉ6ư Þ an = n = ç ÷ è7ø ( ) (m - 36) - 6k + 42 n -1 ỉ7ư (m - 36) - 6n + 42 Þ m - 36 = 7(n - 6) ç ÷ è6ø Vì 6, = 6n -1 > n - nên ta có n - = Û n = Þ m = 36 Vậy có 36 huy chương phát phát ngày Ví dụ 4.17: Có xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit đứng cạnh nhau? Giải: Gọi cn số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu Ta có c1 = ; c2 = Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu có dạng anan -1an - a2a1 Có hai trường hợp · an = Khi an -1 = an - a2a1 chọn xâu độ dài n - thỏa điều kiện Có cn -2 xâu vậy, suy trường hợp có cn -2 xâu Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 41 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số · an = Khi an -1 a2a1 chọn xâu độ dài n - thỏa điều kiện Có cn -1 xâu vậy, suy trường hợp có cn -1 xâu Vậy tổng cộng xây dựng cn -1 + cn - xâu, hay cn = cn -1 + cn - n -1 n -1 - ỉ1 - - ỉ1 + ị cn = + ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố è ø ø Ví dụ 4.18: Cho số nguyên dương n Tìm tất tập A tập X = 1,2, 3, ,2n cho không tồn hai phần tử x , y Ỵ A thỏa mãn: x + y = 2n + { } (Thụy Sỹ 2006) Giải: Để giải toán ta đếm số tập A X thỏa mãn tôn hai phần tử x , y Î A cho x + y = 2n + (ta gọi tập A có tính chất T ) { } Gọi an số tập A tập 1, 2, ,2n có tính chất T { } Khi tập A Ì 1,2, ,2n,2n + 1,2n + xảy hai trường hợp TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 2n + , trường hợp số tập A có tính chất T chình số tập tập gồm 2n phần tử 2, 3, 4, ,2n,2n + số tập { } tập 22n TH2: Trong tập A không chứa đầy đủ hai phần tử 2n + Khi A phải chứa tập A ' tập tập 2, 3, 4, ,2n,2n + cho có hai phần tử x ', y ' Ỵ A ' : { } x ' + y ' = 2n + Ta thấy số tập A ' số tập tập { } {1,2, ,2n} có tính chất T (Vì ta trừ phần tử 2, 3, 4, ,2n,2n + đơn vị ta tập {1,2, ,2n} x ', y ' Ỵ A ' : x ' + y ' = 2n + ) Hơn với tập A ' ta có ba tập A (bằng cách ta chọn A A ' {1} È A ' {2n + 2} È A ' ) Do vậy: an +1 = 3an + 22n Þ an = 4n - 3n Vậy số tập thỏa mãn yêu cầu toán là: 4n - an = 3n Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 42 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ dãy số sau 1) u1 = 1; u2 = 0, un + - 2un + un -1 = n + 1, n ³ 2) u1 = 0; u2 = 0, un +1 - 2un + un -1 = 3.2n , n ³ 3) u1 = 0; u2 = 0, un + - 2un - 3un -1 = n + 2n , n ³ 4) u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un -1 - 11.un - + 5.un - , n ³ ì ïu1 5) í ïu ỵ n ì ïu1 ï 6) í ïu ï n ỵ = = 24un -1 - 12 6un -1 + 15un -1 - "n ³ = = 3 un -1 + - "n ³ - ( - 2)un -1 { } Bài 2: Cho dãy số bn ìb = 2.b + bn - ï n -1 xác định : í n ïb1 = 1, b2 = ợ n ẻN (n ) n ổ5ử Chng minh rng bn Ê ỗ ữ , "n Î N è2ø { } Bài 3: Cho dãy số un ìu Ỵ Z + , " Ỵ N ï n thoả mãn sau : íu = 1, u1 = ïu = 10.u - un - "n ẻ N , n n -1 ợ n Chứng minh : "k Ỵ N , k ³ 2 1) uk + uk -1 - 10uk uk -1 = -8 2) 5.uk - uk -1 M 3.uk - 1M Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 43 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ìx = 1; x1 = ï Bài 4: Cho dãy số x n xác định sau: í x n - 2x n -1 + x n - = "n ³ ï ỵ Xác định số tự nhiên n cho : x n +1 + xn = 22685 ìx = 1; x1 = ï Bài 5: Cho dãy (xn ) xác định í ïx n + = 6xn - x n -1 "n ³ ỵ Tìm lim x n { 2x } n (TH&TT T7/253) ổ 2 ỗ - (1 - a ) n ư2 ÷ Bài 6: Xét dãy (an ) : a1 = an + = ỗ ữ "n 2 ỗ ữ ỗ ữ ố ứ Chng minh rng: a1 + a2 + + a2005 < 1, 03 (TH&TT T10/335) Bài 7: Cho dãy (an ) : a = 2; an + = 4an + 15an - 60 "n ³ Hãy xác định CTTQ (a + 8) biểu diễn thành tổng bình phương 2n ba số nguyên liên tiếp với "n ³ (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy số p(n ) xác định sau: p(1) = 1; an chứng minh số { } p(n ) = p(1) + 2p(2) + + (n - 1)p(n - 1) "n ³ Xác định p(n ) (TH&TT T7/244) ìu1 = ï Bài 9: Xét dãy (un ) : í Chứng minh un = 3un -1 + 2n - 9n + 9n - "n ³ ï ỵ p -1 với số nguyên tố p 2000 å ui chia hết cho p (TH&TT T6/286) i =1 ìx = a ï Bài 10: Dãy số thực (xn ) : í x n +1 = 2xn - "n ³ ï ỵ Tìm tất giá trị a để x n < "n ³ (TH&TT T10/313) Bài 11: Dãy số (xn ) : x = 1, x1 = x n +1 xn x n + = 2002x n + + 2001x n + 2000x n + 1xn "n ³ Hãy tìm CTTQ x n (TH&TT T8/298) Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 44 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ì a1 = ï ï Bài 12: Cho dãy số (an ) xác định sau: (an ) : í an - ïan = "n ³ 2nan -1 + ï ỵ Tính tổng a1 + a2 + + a1998 Bài 13: Cho dãy số (an ) xác định : a1 = 1.2.3, a2 = 2.3.4, , an = n(n + 1)(n + 2) Đặt Sn = a1 + a2 + + an Chứng minh 4Sn + số phương (HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) Bài 14: Cho hai dãy số (an ),(bn ) xác định sau: a = 2;b0 = an + = 2anbn an + bn , bn + = an + 1bn "n ³ Chứng minh dãy (an ) (bn ) có giới hn chung n đ +Ơ Tỡm gii hn chung ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bai 15: Cho số nguyên a,b Xét dãy số nguyên (an ) xác định sau a = a;a1 = b;a2 = 2b - a + 2; an + = 3an + - 3an +1 + an "n ³ a ) Tìm CTTQ dãy (an ) b) Tìm số nguyên a,b để an số phương với "n ³ 1998 (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B) n ìa = ï Bài 16: Cho dãy số (an ) : í Tính å i = ï(3 - an )(6 + an -1 ) = 18 "n ³ ỵ (Trung Quốc – 2004 ) ìa = ï Bài 17: Cho dãy số (an ) : í Chứng minh 7an -1 + 45an -1 - 36 ïan = "n ³ ỵ 1) an số nguyên dương với "n ³ 2) an +1an - số phương "n ³ ( Trung Quốc – 2005 ) Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 45 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ìu1 = 1; u2 = un - ï Bài 18: Cho dãy số (un ) : í Chứng minh số un = 4un -1 - un - "n ³ 3 ï î phương ( Chọn đội tuyển Nghệ an – 2007 ) Bài 19: Có n thẻ đánh số từ đến n Có cách chọn số thẻ (ít tấm) cho tất số viết thẻ lớn số thẻ chọn Bài 20: Có cách lát đường kích thước 3x2n viên gạch kích thước 1x2? Bài 21: Trong mặt phẳng cho n đường trịn đơi cắt khơng có ba đường trịn có điểm chung Hỏi n đường trịn chia mặt phẳng thành miền ? Bài 22: Cho dãy đa thức : P (x ) = x - 6x + Pn (x ) = P (P ( (P (x )))) n lần Tìm số nghiệm cảu P (x ) Pn (x ) ? (Dự tuyển Olympic) Bài 23: Xác định hệ số x khai triển quy đa thức Qk (x ) = ( (((x - 2)2 - 2)2 - 2)2 - )2 - 2)2 (có k dấu ngoặc) Bài 24: Cho dãy x n : x = 1, x1 = 1, x n +1 = 4x n - x n -1 "n ³ dãy số (yn ) : y0 = 1, y1 = 2, yn +1 = 4yn - yn -1 "n ³ Chứng minh rằng: 2 yn = 3x n + "n ³ (Canada – 1998 ) Bài 25: Có tam giác có độ dài cạnh số tự nhiên không vượt 2n (Macedonian – 1997 ) Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 46 - Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đại Số Giải Tích lớp 11 Nâng Cao [2] Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 [3] Một số toán chọn lọc dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 [4] Các phương pháp đếm nâng cao, Trần Nam Dũng [5] Tạp chí Tốn Học Và Tuổi Trẻ [6] Các diễn đàn Toán học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org … [7] Tuyển tập chuyên đề thi Olympic 30 – Khối 11 [8] Phép quy nạp hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển dịch xuất năm 1987) Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong - 47 - ... xác định cơng thức tổng qt dãy số nội dung toán gần giải Do xác định cơng thức tổng qt dãy số chiếm vị trí định tốn dãy số Chuyên đề ? ?Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số ”... Phong (4) -3- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số Áp dụng CSC – CSN để xác định CTTQ số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1. 1: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) xác định u1 = 1,... góp ý để chuyên đề tốt Nguyễn Tất Thu – Trường THPT Lê Hồng Phong -2- Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I SỬ DỤNG