khóa luận tốt nghiệp một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Lý do chọn đề tài Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là mộtphần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, học sinh thường gặp nhiều khó khănkhi giải các

Mặc dù đã rất cố gắng song khóa luận không thể tránh khỏi những sai sót.Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và bạn đọc đểkhóa luận được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn!

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là mộtphần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11, học sinh thường gặp nhiều khó khănkhi giải các bài toán liên quan đến dãy số và đặc biệt là bài toán xác định công thức

số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa, ở một số lớp bài toán khi đã xác định đượccông thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết

Do đó xác định công thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trí nhất định trong cácbài toán dãy số

Nhằm chia sẻ một vài phương pháp cụ thể để xác định công thức tổng

quát của dãy số, tôi đã chọn đề tài “ Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số”.

2 Mục đích nghiên cứu

Khóa luận thực hiện với mục đích trình bày 3 phương pháp để đi tì m côngthức tổng quát của dãy số: Sử dụng phương trình sai phân, Sử dụng cấp số cộng,cấp số nhân, Sử dụng phép thế lượng giác Trong mỗi phương pháp đã trình bàymột cách có hệ thống các dạng thường gặp để nhằm giúp bạn đọc có thể tìm thấycách giải nhanh cho bài toán xác định công thức tổng quát của dãy số

3 Đối tượng nghiên cứu

Tìm hiểu cách xác định công thức tổng quát của dãy số

4 Giả thuyết khoa học

Nếu trong quá trình dạy học giáo viên và học sinh có thể phân dạng và cóphương pháp giải cho từng dạng toán cụ thể trong việc xác định công thức tổng quátcủa dãy số thì việc giải bài toán có thể đạt kết quả cao hơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết:

- Thu thập các bài báo khoa học, các tài liệu của các tác giả nghiên cứu liê nquan đến việc xác định công thức tổng quát của dãy số

6 Dự kiến đóng góp của khóa luận

- Hệ thống lý thuyết và phân dạng các bài toán về tìm công thức tổng quát củadãy số

- Giúp học sinh và giáo viên dạy toán có thêm tài liệu để nghiên cứu về dãy sốnói chung và việc xác định công thức tổng quát của dãy số nói riêng.

7 Cấu trúc của khóa luận tốt nghiệp

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý thuyết

Chương 2: Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Chương 1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1.1 Dãy số

1.1.1 Định nghĩa

một tập con nào đó của các tập hợp trên Các số hạng của dãy số thường được kí hiệu

là un,vn, xn, ynthay vì u(n), v(n), x(n), y(n) Bản thân dãy số được kí hiệu là {x n}

Vì dãy số là một trường hợp đặc biệt của hàm số nên nó cũng có các tính chấtcủa một hàm số

Định nghĩa 2: Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng (giảm) nếu mọi n ta có

Một dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là dãy bị chặn

Dãy số xnđược gọi là tuần hoàn với chu kỳ k nếu xn+k= xnvới mọi n∈

Dãy số tuần hoàn với chu kì 1 gọi là dãy số hằng

Định nghĩa 3: Ta nói dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn a khi n dẫn đến vô cùngnếu với mọi  > 0, tồn tại số tự nhiên N0( phụ thuộc vào dãy số {xn} và ) sao chovới mọi n> N0ta có x n− <a 

→∞ → ∞ ⇔ ∀ > ∃ ∈ ∀ > > Dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy số hội tụ

Dãy số không có giới hạn hoặc dần đến vô cùng khi n dần đến vô cùng gọi làdãy phân kì.

Định nghĩa 4: Dãy {xn} được gọi là Cauchy nếu

0, N : m n, N , x m x n

∀ > ∃ ∈ ∀ > − <

Định nghĩa 5: ( Tiêu chuẩn Cauchy).

Dãy số {xn} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy

1.1.2 Một số tính chất của dãy số

Định lý 1: ( Tổng, hiệu, tích thương các dãy hội tụ).

Nếu {xn}, {yn}là các dãy hội tụ và có giới hạn tương ứng là a,b thì các dãy số{xn+yn}, {xn-yn}, {xn.yn}, {xn/yn}cũng hội tụ và có giới hạn tương ứng là a+b, a -b,a.b,và a/b ( Trong trường hợp dãy số thương, ta giả sử ynvà b khác không)

Định lí 2: ( Chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức ).

Cho dãy số {xn} giới hạn hữu hạn 1, nếu ∃ ∈N0 : ∀ >n N0ta có a≤x n ≤b thì

n

a≤x ≤b

Định lí 3: (Định lí kẹp) Cho ba dãy số {xn},{yn}{zn} trong đó {xn} và {xn}cùng có giới hạn là l, và ∃ ∈N0 : ∀ >n N0ta có x n≤ y n≤z n Khi đó yn cũng có giớihạn là 1

Định lí 4: ( Về dãy các đoạn thẳng lồng nhau).

Cho hai dãy số {an},{bn} sao cho:

d được gọi là công sai của cấp số cộng, x0là số hạng đầu, xnlà số hạng thứ n.

( 1)

n n

Nếu q < 1thì {xn} được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức

(1 0 )

x S

Gọi yk=f(yk) là giá trị của hàm số f(x) tại x=xk.

Mệnh đề 1: ( Sai phân của hằng số).

Sai phân của hằng số bằng 0

Mệnh đề 2: ( Tính chất tuyến tính của sai phân)

Sai phân mọi cấp là một toán tử tuyến tính trên tập các hàm số Tức là:

Mệnh đề 3: ( Sai phân của đa thức).

Sai phân cấp I của một đa thức bậc n:

+) Là một đa thức bậc n-i khi i<n;

Phương trình sai phân (cấp k) là một hệ thức tuyến tính chứa sai phân các cấptới k

Nếu f(n) =0 thì phương trình (2) có dạng a y0 n k+ +a y1 n k+ −1+ + a y k n = 0

Và được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thu ần nhất cấp k

Nếu f(n)=0 thì (2) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất

1.3.2.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc nhất

b Phương pháp giải

- Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng

+ Giải phương trình đặc trưng a+ =b 0để tìm 

+ Tìm nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất tươngứng au n+1+bu n= 0 dưới dạng n

n

u∧ =c (c là hằng số)

- Tìm một nghiệm riêng un*của phương trình hông thuần nhất

- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1):

*

n

n n

u = +u u∧1.3.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai

b Phương pháp giải

- Giải phương trình sai phân thuần nhất tương ứng

- Tìm một nghiệm riêng un*của phương trình không thuần nhất

- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1) dưới dạng:

1.3.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc ba

u là một nghiệm riêng nào đó của phương trình đã cho

1.3.2.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc k

- Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng

+ Nếu (2) có k nghiệm thực khác nhau là  1, 2, ,k thì nghiệm tổng quát là

y∧ =c +c  + +c  (3)

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC

TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

2.1 Sử dụng phương trình sai phân xác định công thức tổng quát của dãy số

2.1.1 Sử dụng phương trình sai phân bậc nhất

Dạng 1: Cho dãy số{ } 0

1

ons :

n

x c t x

n

x x

x được xác định như sau:

- Nếu a b+ ≠ 0thì nghiệm riêng * ( )

- Nếu a+ =b 0 thì nghiệm riêng * ( )

x =nQ n thay vào phương trình ta được:

a n+ Q n+ +bn Q n =P n Đồng nhất hệ số ta tìm được nQ n k( )

Ví dụ 1: Cho dãy số { } 0

2 1

7 :

n

x x

x x

8 1

n n

- Nếu  ≠ thì nghiệm riêng của phương trình *

Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

2.1.2 Sử dụng phương trình sai phân bậc hai:

Dạng 1: Dạng thuần nhất và có phương trình đặc trưng bậc hai tồn tại nghiệm thực.

1 2

( cos sin )

n n

a b d

Do a+b+c=0 và 2a+b≠0 nên nghiệm riêng * 11 11

3 6

5 5 5

c c

( 1) .q q = 2

n n

n n

n n

dq

aq bq c ndq

aq b d

dq x

Số hạng tổng quát của dãy có dạng:

*

( ) a + b + c 0 ( ) a + b + c 0 2 0 ( ) a + b + c 0 2 0

Ví dụ: Cho dãy xác định bởi:

Xác định số hạng tổng quát của dãy trên

Đối với phương trình dạng này , nghiệm riêng của nó có dạng:

x vào công thức truy hồi để xác định được hai hệ số A và B

Ví dụ: Cho dãy{ }xn : được xác định bởi:

Nghiệm riêng của (1) được xác định là * *

2.1.3 Sử dụng phương trình sai phân bậc ba:

Khi đó số hạng của dãy dược xác định là: 1 1n 2 2n 3 3n

Xét phương trình đặc trưng 3 2

0

a +b +c+ =d Phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 và 2 =3 =

Khi đó số hạng tổng quát của dãy số cho bởi :x n =c1 1n+ (c n c2 + 3).n

Từ các giá trị x x x0; ;1 2 ta xác định được các giá trị c c1; 2 và c3

Khi đó công thức nghiệm tổng quát có dạng : 2

9 2

3 3

2

3

1 3

2 2

2 3

2 2

x c c

c c

c

c c

Trong này chúng tôi xây dựng phương pháp xác định CTTQ của một số dãy số

có công thức truy hồi đặc biệt Những phương pháp này được xây dựng trên nhữngkết quả đã biết về CSC -CSN, kết hợp với phương pháp chọn thích hợp

Ví dụ 2.1: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( u n ) được xác định bởi:

1 1, n n 1 2 , 2

u = u = u − − ∀ ≥n Giải:

Ta thấy dãy (u n ) là một CSC có công sai d=-2 Áp dụng kết quả (1) ta có:

u 1 = 3, u n =2u n-1 , ∀ ≥n 2

Giải:

Ta thấy dãy (u n ) là một CSN có công bội q=2 Ta có u n = 3.2 n-1

Ví dụ 2.3: Xác định số hạng tổng quát của dãy số ( u n ) được xác định bởi:

u 1 =-2, u n =3u n-1 -1 , ∀ ≥n 2

Giải:

Trong bài toán này chúng ta sẽ gặp khó khăn vì dãy (u n ) không phải là CSC

hay CSN!

Ta thấy dãy (u n ) không phải là CSC vì xuất hiện hằng số -1 ở VT.

Ta tìm cách làm mất -1 đi và chuyển dãy số về CSN

công thức truy hồi của dãy về (*), từ đó ta đặt dãy phụ để chuyển về dãy (v n ) là một

CSN Tuy nhiên việc làm trên có vẻ không tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân

k l

2

n n

v v

1

1 1

n n

1

1

1 1

Ở ví dụ này chúng ta không thể sử dụng kết quả 1 được vì ở VP của công thức

truy hồi là một hàm bậc nhất biến n chứ không phải hằng số Tuy nhiên chúng ta có thể bắt chước cách giải ở trên làm mất 3n+2 ở VP, muốn vậy ta viết:

3n− = − − + 1 3n 5 2 3  n− + 1 5 *  Khi đó công thứ truy hồi của dãy được viết như sau:

Trong đó f(n) là một đa thức bậc k theo n, ta xác đinh CTTQ như sau:

Phân tích f n( ) = g n( )−ag n( − 1 )(**) với g(n) cũng là một đa thức theo n.

g(n) thì trong đẳng thức (**) ta cho k+1 giá trị của n bất kì ta được hệ k+1 phương trình, giải hệ này ta tìm được các hệ số của g(n).

* Nếu a≠ 1thì g n( ) − ag n( − 1)là một đa thức cùng bậc với g(n) nên ta chọn g(n) là đa thức bậc k và trong đẳng thức (**) ta cho k+1 giá trị của n thì ta sẽ xác định được g(n).

Vậy ta có kết quả sau:

Dạng 2: Để xác định CTTQ của dãy ( u n) được xác định bởi:

Trong đó f(n) là một đa thức bậc k theo n, a là hằng số Ta làm như sau:

Ta phân tích f(n)=g(n) - a.g(n-1) với g(n) là một đa thức theo n.

Khi đó, ta đặt v n =u n - g(n) ta có được: [ ] 1 ( )

1 (1) n .

n

u = u − g a − +g n Lưu ý nếu a =1, ta chọn g(n) là đa thức bậc k+1 có hệ số tự do bằng 0, còn nếu a≠1 ta chọn g(n) là đa thức bậc k.

Tương tự cách làm trong các ví dụ trên, ta phân tích: 2n = .2a n− 3 2 a n−1

k l

Để xác định CTTQ của dãy số trên, ta tìm cách thay thế dãy ( u n) bằng một dãy

số khác là một CSN Ta viết lại công thức truy hồi của dãy như sau:

u n - x 1 u n-1 = x 2 (u n-1 – x 1 u n-2 ),

Do đó ta phải chọn x 1 ,x 2: 1 2

1 2

5 6

Trong đó a,b là các số thực cho trước và a2 − 4b≥ 0 ta làm như sau:

Gọi x 1 , x 2là hai nghiệm của phương trình: 2

0

x − + =ax b (1) (phương trìnhnày được gọi là phương trình đặc trưng của dãy)

Trong đó a,b là các số thực khác 0; a2 − 4 b ≥ 0 ta làm như sau:

Gọi x 1 , x 2là nghiệm của phương trình đặc trưng: 2

Vì f(n) là đa thức bậc k nên ta phải chọn g(n) sao cho g(n)+ag(n-1)+bg(n-2)

là một đa thức bậc k theo n Khi đó ta chỉ cần thay k+1 giá trị bất kì của n vào (*) ta

Vậy để chọn g(n) ta cần chú ý như sau:

- Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì g(n) là một đa thức cùng bậc với f(n).

- Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng 1 thì ta chọn

- Nếu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x=1, ta phân

Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy ( u n) được xác định bởi:

x 2 +ax+b=0 (*) Khi đó, ta đặt v n = u n -kc.α n , ta có dãy (v n):

Vậy ta có kết quả sau:

Dạng 7: Cho dãy số (u n) xác định bởi : 0 1

; n; 2

Nếu phương trình (*) có nghiệm đơn x = thì

Nếu x = là nghiệm kép của (*) thì : 1 2

2

n n

Với cách xây dựng tương tự ta củ ng có được các kết quả sau :

Dạng 8 : Cho dãy (u n) xác định bởi : 0 1 2

Dựa vào u u u0; ;1 2 ta tìm được   , ,

Nếu (1) có một nghiệm đơn, 1 nghiệm kép :

n

x = x ≠x ⇒u =  + n x +x Dựa vào u u u0; ;1 2 ta tìm được   , ,

Nếu (1) có nghiệm bội 3:

2

x =x = x ⇒u =  + n+n x Dựa vào u u u0; ;1 2 ta tìm được   , ,

Để xác định CTTQ của hai dãy (x n), (y n) ta làm như sau :

Ta biến đổi được :

Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau :

Ta đưa vào các tham số phụ , '

n n

1 1

Bài toán này không còn đơn giản như bài toán trên v ì ở trên từ số còn hệ số tự

do, do đó ta tìm cách làm mất hệ số tự do ở trê n tử số Muốn vậy ta đưa vào dãy phụbằng cách đặt u n =x n+t

Thay công thức truy hồi , ta có :

Để tìm CTTQ của dãy ( )x0 ta làm như sau:

Đặt u n= +x n t , thay vào công thức truy hồi của dãy ta có :

(2 2) (2 2) 2

1 (2 2) (2 2)

2

n n

u v

Do vậy nếu đặt n

n n

u x v

= ta được dãy số (x n):

1 2 1

1

2 2 2

n n

n

x x x

1

2

2 2

2

n n

n

x

n x

u x v

= (*)

2 2 2

2

n

n n

2) Áp dụng kết quả trên ta tìm đ ược CTTQ của dãy

1 2 1 2

2

1

1

2 2

n n n

n

n

n n

Với a2 − =b 1 ta xác định CTTQ như sau:

Từ dãy truy hồi suy ra:

(u n−au n− ) =bu n− + ⇔c u n − 2au u n n− +u n− − =c 0Thay n bởi n− 1, ta có: 2 2

2

n n

2

1 2 2

n n n

u u u

2 3

1 3 2

n n

n

u u

Bài 2: Tìm CTTQ của dãy (un) được xác định:

= với mọi số nguyên dương n

Bài 4: Cho dãy số ( )u n thỏa mãn như sau:

n

u u

u

−

=

∑ chia hết cho p

2.3 Sử dụng phép thế lượng giác để xác định CTTQ của dãy số

Nhiều dãy số có công th ức truy hồi phức tạp trở thành đơn giản nhờ phép thếlượng giác Khi trong bài toán xuất hiện những yếu tố gợi cho ta nhớ đến nhữngcông thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác

1 2

n n

a

Khi đó bằng quy nạp ta chứng minh được :

n n

3 2

1 2

2 2 1

2 2

n n

Ví dụ 4: Cho a,b là hai số thực dương không đổi thỏa mãn a<b và hai

cos cos cos

n

u u u

8

1 tan 8

n n

n

u u

Bằng quy nạp ta chứng minh được : tan ( 1)

n n

3

, n 2

1 1

n n

n

u

u u

Bài 2: Cho dãy số { }n 1

n 1 n

n 1

1 a 2

KẾT LUẬN

Khóa luận trên đây nhằm trình bày lại một vài phương pháp giải toán về dãy

số nói chung và xác định công thức tổn g quát của dãy số nói riêng

Trong khóa luận này tôi đã cố gắng hệ thống các kiến thức lý thuyết có liênquan đến dãy số và phân loại thành hệ thống các bài tập cùng dạng, có phươngpháp giải nhằm giúp bạn đọc có thể dễ dàng tiếp cận với các bài toán về xá c địnhcông thức tổng quát của dãy số Các bài toán được trình bày với lời giải cụ thể,

rõ ràng Sau mỗi dạng bài tập tôi cung cấp thêm một số bài tập tương tự giànhcho bạn đọc tự giải để rèn luyện thêm kĩ năng giải toán về xác định công thứctổng quát của dãy số

Trong khóa luận các vấn đề và các bài toán có mức độ khó dễ khác nhau Dovậy tùy theo mục đích và đối tượng sử dụng mà lựa chọn từng bài toán cụ thể

Thông qua việc nghiên cứu đề tài này bản thân tôi nhận thấy rằng chúng tacần tích cực, sáng t ạo tìm tòi ra các phương pháp giải toán mới để vận dụng vàogiải các bài toán phức tạp, tính toán cồng kềnh Mỗi giáo viên và học sinh phảikhông ngừng học hỏi, trau dồi kiến thức, tự học, tự nghiên cứu để đạt đượcnhững kết quả cao nhất

Hy vọng rằng đề tài này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên ngànhToán và giáo viên cũng như học sinh trong nhà trường phổ thông

Do thời gian cũng như năng lực còn hạn chế đề tài không tránh khỏi thiếu sót,kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô giáo, của các bạn sinhviên để đề tài sớm được hoàn thiện và được áp dụng nhiều hơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đại số và giải tích lớp 11 , NXBGD.

[2] Jean-Marie Monier, Giải tích 1,2,3,4, NXBGD, 1999- 2000.

[3] Nguyễn Văn Mậu, Phương trình hàm, NXBGD, 1996.

[4] Nguyễn Văn Mậu, Một số bài toán chọn lọc về dãy số , NXBGD, 2003 [5] G Polya, G.Szego, Các bài tập và định lí của giải tích , Nauka, 1997.

[9] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ (THTT)

[10] Tài liệu trên Internet