Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

Trang 1

Một số phương pháp xác ựịnh công thức tông quát của day số

SỞ GIÁO DỤC & đÀO TẠO đÔNG NAI

Truong THPT BC Lé Hong Phong

Giáo viên thực hiện

NGUYEN TAT THU Chuyên đề hội giảng

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH - CÔNG THỨC TÔNG QUÁT CUA DAY SO

học: 2008 Ở 2009

Trang 2

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỎI MỜ Đ táng nền Gà G2801 0016100 488001000 :060800:80080020011004G 0.004300240030g10.000:8810001300 cá 3

I SỬ DỤNG CSC - CSN đÊ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SÓ DẠNG

DAY SO CO CONG THỨC TRUY HỘI SAC BIET

II SU DUNG PHEP THE LUONG GIAC dE XAC dINH CTTQ CUA DAY SO 24 HI ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOAN VE DAY SO - TO HOP

BAI TAP AP DUNG essssssscsssssssssssccsssnssscsecsssssnsssscsplesscipiesesesseesnsedscesnnsnssecseceeddupgsceccessenssssesseeses 41

KET LUAN - KIEN NGHI

Trang 3

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tông quát của đấy số

LỜI MỞ đÀU

Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan ựên dãy sô là một phân quan trong của ựại số và giải tắch lớp 11 , hoc sinh thường gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên qua ựến dãy số và ựặc biệt là bài tốn xác ựịnh cơng thức số hạng tổng quát của dãy số Hơn nữa ở một số lớp bài toán khi ựã xác ựịnh ựược công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như ựược giải quyết Do ựó xác ựịnh cơng thức tổng quát của dãy số chiếm một vị trắ nhất ựịnh trong các bài toán dãy số

Chuyên ựề ỘMộf số phương pháp xác ựịnh công thức tông quát của dấy số Ợ

nhằm chia sẻ với các bạn ựồng nghiệp một số kinh nghiệm giải bài toán xác ựịnh CTTQ

của dãy số mà bản thân ựúc rút ựược trong quá trình học tập và giang day: Nội dung của chuyên ựê ựược chia làm ba mục :

1: Sử đụng CSC - CSN ựê xây dựng phữơng pháp tìm CTTQ Ạùa một số dạng dãy số

có dạng công thức truy hồi ựặc biệt:

II: Sử dụng phương pháp thế lượng giác ựê xác Rịnh CTTQ cia day số

IH: Ứng đụng của bài toán xác ựịnh CTTO của đãy số vào giải một sơ bài tốn về dấy số - tô hợp :

Một số kết quả-trong chuyên ựề này ựã có ở một số sách tham khảo về dãy số, tuy nhiên trong chuyên ựè các kết quả ựó ựược xây dựng một cách tự nhiên hơn và ựược sắp

xếp từ ựơn-giản ựiến phức tạp giúp các em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng hơn và

phát triển tư duy cho các em học sinh: ` Ỉ

Trong quá trình viết chuyên ựê, chúng tôi nhận ựược sự ựộng viên, giúp ựỡ nhiệt

thành của BGH và quý thay cô tổ Toán Trường THPT BC Lê Hồng Phong Chúng tôi

xin ựược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

Trang 4

MỘT SÓ PHƯƠNG PHÁP XÁC đJNH | CONG THUC TONG QUAT CUA DAY SO

I SU DUNG CSC - CSN dE XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CUA MỘT SỐ

DANG DAY SO CO CONG THUC TRUY HOI OAC BIET

Trong mục này chúng tôi xây dựng phương pháp xác ựịnh CTTQ của một số dạng dãy số có cơng thức truy hồi dạng ựặc biệt Phương pháp này ựược xây dựng dựa trên

các két qua fia biét vé CSN Ở CSC , kết hợp với phương pháp chọn thắch hợp: Trước hết chúng ta nhắc lại một số kết quả ựã biết về CSN.= CSC

1 Số hạng tổng quát của cấp số cộng và cá số nhân 1.1: Số hạng tổng quát của cấp số cộng

Oinh nghĩa: Day sé (u,) c6 tinh chat fu, uẤ, dị n Ề2;dlà số thực không ựỗi

gọi là cấp số cộng

đ: gọi là cong sai cha CSC; u, : gọi sé hang fiau, u, goila số hạng tông quát của cấp số

đinh lắ 1: Cho CSC(,) Ta có :|u, uy (n, ỘId n (1)

đinh lắ 2: Gọi SẤ là tổng n.số:hạng ựầú của CSCu, )c6 cong sai d Ta có:

S` Su @ mM] @)

1 2: Số hạng tổng quát của cáp số nhân Định nghĩa: Dãy số (uƯ) có tắnh chất u,

bội q ¡ 89 n ứ* gọi là cấp số nhân công

Oinh li 3: Cho CSN (u,) có cơng bội q Ta có: |u ud (3)

Oinh li 4: Goi S, 1a tổng n số hạng ựầu của CSN (u, )c6 cong bội q_ Ta có:

(4)

Trang 5

Một số phương pháp xác ựình công thức tông quát của đấy số

2 Áp dụng CSC Ở CSN ựẻ xác ựịnh CTTQ của một số dạng dãy số ựặc biệt

Vắ dụ 1.1: Xác ựịnh số hạng tổng quát của dãy số (uẤ) ựược xác ựịnh bởi:

tị Lu, Nho + 2 n2

Giải:

Ta thấy dãy (u,) là một CậC có cơng sai d2 Áp dụng kết quả (1) ta có:

u a lI 2n I_ 2n 3

Vi dụ 1.2: Xác ựịnh số hạng tổng quát của dãy số (u,) ựược.Xác ựịnh bởi: 1 3, u, 2u nA 2Ợ

5 nd

Giải:

Ta thấy dãy (u_) là một CSN có cơngbộiq 2ặTau 3.2" ở

Yắ dụ 1.3: Xác ựịnh số hạng tổng quát của dãy (u, ) ựược xác ựịnh bởi:

24, ee, 1 n hà 2

u

Giải:

Trong bài toán này chúng ta gặp khó khăn vì day (u, ) không phải lầ CSC hay CSNI Ta

thấy dãy (u, ) không phải là CSN vì xuất hiện hằng,số 1 ở VT: Ta tìm cách làm mất

1 ựi và chuyển dãy số về CSN

Tacó: 1 5 7 nên ta viết công thức tfuy hồi của day như sau:

3 1

Uy Ở 3uự > 3, =) (1)

1 5 > ~ : Ai as

Oat vy, U 2 ể>ệ% z vav, ~3y, , n 2.Dấy(v,) làCSNcôngbộig 3

1 5 a@ vw 5

=v, va ne Vayu, Vv, 5 = n 12.5 Nhận xét: Mẫu chốt ở cách làm trên là ta phân tắch 1

MB

[oƯ 5 ựê chuyên công thức

truy hồi của dãy về (1), từ ựó ta ựặt dãy phụ ựễ chuyên về dãy (v, ) là một CSN Tuy nhiên việc làm trên có vẻ khơng tự nhiên lắm! Làm thế nào ta biết phân tắch

3 1 5

Trang 6

Ta phântắch 1 k 3k>k : ur Xx

Với cách làm này ta xác ựịnh ựược CTTQ của dãy (uẤ):{ l5 ; u, au, , b n 2 That vay:

*Nếua 1 thì dãy (u,) làCSC có cơngsaid bnênu, tu, ắ(n Ip

F P b x P

*Néua 1, ta viétb a i is Khi ựó công thức truy hôi của dãy ựược việt như a a

Sau: u b a(u b ), tir ựây ta có ựược: u.- p (cy b jan!

"hóa 1 nlog 4] esa 1 Ma

nl 1 Hay u yu, ua"! b`ỞỞỞ, dị al

Vậy ta có kết quả sau:

Dạng 1: Day s6 (u,):u, xạ, u, cau , b n 2(4B.- 0 làcáchằng số) có

CTTQ hà: | (a lb khi sa 1 u nl { Nae `; hia 1

Giải: Để tìm CTTQ của dãy sốẨa tìm cách làm mắt 3n 1 ựẻ chuyển về dãy số là một

CSN Muon làm vậy ta việt :` `

ân 1 3n 5 23n 1) 5) (2)

Khi ựó cơng thức truỹ hồi của dãy ựược viết như sau:

uy n ân 5 2u, 3n D 5J

đặtv, u, 3n 5,tacé:v, 1 10 vav, 2v, nl n 2>w, v2" | 10.2" 1 Vậy CTTQ của dãy (uẤ):u, v, n 3n 5 52" 3n 5 n l243,

Trang 7

Một số phương pháp xác ựình công thức tông quát của đấy số

3n 1 an b 2 am 1) bị Chon in 2 tacs: | bs

Ấ trong ựó f(n) 2) Trong trường hợp tổng quát dãy u: 41 f(a) 2

n n

(0a au, |

1a m6t fia thitc bac k theo n , ta x4c fiinh CTTQ nhu sau:

Phân tắch f(n) gắn) ag(n I) (3) với gắn) cũng là một ựa thức theo n Khi ựó ta có:u, gn) au, gắn DỊ wan thu, gú)|

Vậy ta có: uẤ Ộuy, ai) a"! gn)

Vấn fié còn lại là ta xác fiinh g(n) như thế nào ?

Ta thấy :

*Nêua lthìgắn ag(n I) là một ựa thức có bậc nhỏ hơn bậc của sắn) một bậc va không phụ thuộc vào hệ số tự do của gắn) , mầ f(n) 1a fia thức bậc K-nên ựễ có (3) ta chon g(n) 1a fia thre bac k 1, c6 hé s6.ttt.do bang khOng va khifid fié x4c fiinh g(n) thi trong fiang thức (3) ta cho k _ 1 giấttjcủa n bất kì ta ựược hệ k1 phương trình, giải hệ này ta tìm ựược các hệ sô của gắn)

*Nếua I1 thì gm) agắn 1) làmột ựa thức cùng bậc với g(n) nên ta chọn gắn) là ựa thức bậc k và trong ựẳng thức (3) tachok_ 1 giấtrị của.n thì ta sẽ xác ựịnh ựược

gn)

Vay ta cé két qua sans

tụ *g

Dạng 2: đẻ xác ựịnh CTTQ-của dãy (ú,.)ựược xác ựịnh bởi: \ au ; trong

tr u, ¡ f0) ựó f(n)- ÌỌ một ựa thức bậc k theo ; a' là Hằng số Ta làm như sau:

Ta phân tắch: f(n) gắn) 4g T) với gắ(n) là một ựa thức theo n Khi ựó, ta ựặt Vy a gắn) ta có ựược: uẤ yy g@) a" 1 g(n)

Luu ầ néwa _/1, ta Ạhọn gắn) là ựa thức bậc k1 có hệ số tự do bằng khơng, cịn nếu a _ 1 tachọn sắn) là ựa thức bậc k

Wy

u n u nil 2n

Vi dy 1.5: Cho day sé (u, ): 4 _ Tìm CTTQ của dãy (u,)

Trang 8

( trong ựó gắn) an? bn )

a 1

Chon 0n ltacóhệ:Ậ ja b 3 4 |b 2 =gắ) n7 2n

>u n n? 2n 1

Vi du 1.6: Cho day s6 (u, ) : 4 L oe on 23, RRO cy u,)-

Giải: Ta vẫn bắt chước cách làm trong các vắ dụ trên, ta phân tắch:

2" a2" 3a2" l Chọn 1, tacé:a 252OMS2' 2Ả ' Nêntacó:u, 22" 3u,, 22ồ') 3% hu, 4

Vayu, 5.37) al

Chú ý : Trong trường hợp tông quát dãy (u):u, am, n 1 b:Ợ, ta phân tắch

2 kak * | vei a ar

Khiựó:u, kb." au, , kbp"! Ấ a" lap bk Suyrau, a" lu 1 bk) bÉ ", +

Trườnghợp a,tấphântắch " Ởn "ặ (q1) !

=>u, bn.Ợ uy, ba 1 "dS a * Ta, bb)

Su, bad)" uy" Ì_ Vậy ta có Kết qúả sau

ễ ` : tị

Dạng 3: Sé xdc flinh, CTTQ cua day (uy ) : { # Ấ ta làm như

in aU, ị b n 2

sau:

Néua >u, ba I)Ợ uy al

Néua ,taphântắch " k." ak " 'Khiựốớu a" ', bk) bk " Ta tìm ựược: k Ề

a

Trang 9

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tông quát của đấy số

tụ 2

Vắ dụ 1.7: Tìm CTTQ của dãy (u, S cla:lấy lu Ở lu, Su, , 23" 67" 12;n 243 ): v

i [ 3

3" k4" 5k3"! |7

n nl

Giải: Ta có: 17 37 chon 1, ta ựược:

7" lị 1 gs 7

L 4Á

Hơn nữa 12 3 5.3 nên công thức truy hồi của dãy ựược viết lại như sau:

u, 33) 217 3 5u, 33)' 217ồ6/3- 561 9 T47 3)

Vậyu, 1575") 321 3.7 1 3,

u 1

ta Ved trở Te Fire CFFO-ctte diy CELO ete di + 1

(lứa 2u, | Ổn, 2A

|3" 333,4" 1

Giải: Ta phân tắch: 3 - D2 nên:ta viết tông thức truy hồi của dãy

Ịn n2 2(m Ầ

nhưsau:u, 3.3" m&2 2u, 3.4317 (m1) 2| -~- 2" Ma, 12)

Vậyu sự tr ae at 2

2 s ý uy

Dạng 4: đê xác ựịnh CTTQ của dãy {u,) 24 n , trong ầ (tà A9, ¡ b fm); n 2

ựó-ặ thự +h, ` a + hf n à -cặ đb- áchb-nhân-tắch-ỏỞd bị

Adee tithe tee a hd eb tiel fri+nhdredeR-nhardfeh-rrdane

và dạng 2- >1 2

Vắ dụ 1.9: Xác ựịnh CTTQ của dãy qu) Uy 1u 1 3,u n Su n 1 6u n 2 n 2 Giải: đẻ xác ựịnh CTTQ của dãy số trên, ta thay thế dãy (u, ) bằng một dãy số khác là

Trang 10

x XƯ XX

x,(U, ; X¡u, ;), do ựó ta phai chon x,,x, : | hay x,,x, là

n nl ụ 6

nghiệm phương trình:x? 5x 6 0 x 2x 3.Tachọn xX, 2x, 3.Khiựó: n2) 3ồ, Quy) 5.3" 7

5.3" | Sir dung két qua dang 3, ta tim fiuge: u, 253" 6.2,

Chi ầ : Tương tự với cách làm trên ta xác ựịnh CTTQ của dãy (u,.) ựược xác ựịnh bởi:

u n au n 1

dạ; tị 3ồ trong ựó a,b là các số thực cho trước và a x, Ừ sn &Ề ` -2 4b 0

như sau:

Goi x,,x, 1a hai nghiệm của phương trình : x? ax b 0 (4) (phương trình này ựược gọi là phương trình ựặc trưng của dãy)

Ọ SE h 1

Khiựó:u, xXịu, ¡ X;(U, ¡ XityỘ;) rs) (U, Xu) Sử dụng kết quả của dạng 3, ta có.cấc trường hợp sau:

x, thi u, X7.Ug Uy xt uị Xiuo XP:

`6 y x

Néu x 1 Hay a, kx | 1x3, trong fi6

k,1 là nghiệm iy a nghigm cua của hệ he: bá ' Mo x,1 u, %

Una

Néu x, -x; thin, a oe qu, "2 z8u0y la an Ừhayu, (kn pe! 1) , trong

1s, ựó k,I là nghiệm của hệ: 3

Ấ| 1L

Vậy ta có kêt quả sau:

z Uy; U

Dang 5: 6é xc fiinh CTTQ cita day (u,): { " | Ấ > trong

n au, , buy, O nn ựó a,b,c là các số thực khác không; a? 4b 0talàm như sau:

Gọi x,,xẤ là nghiệm của phương trình ựặc trưng: x? ax b 0

Trang 11

-10-Một số phương pháp xác ựình cơng thức tơng qt của đấy số

# k 1 uw

Neux, x, thiu, kx;

xk x] ou

¡ Lx2, trong ựó k,l là nghiệm của hệ : |

1 u thiu kn 1) " !, trong #6 k,l 1a nghiém cia hé: %

Neu x, Xx, h | lou

gi Uy Ju, 2

Vắ dụ 1.10: Cho dãy số u, fiuge xác ựịnh bởi : 4 b Li és*%, , OW Hãy xác ựịnh CTTQ của dãy (u, )

Giải:

Phương trình x? 4x 1 0cóhai nghiệm x,Ề<2 5; % 2 NT

4 |k #21

>u kx Ix Viu Lu 4 af

n TH 2c 0g ng @ V5k`@@V5I 2 2 nên ta có hệ: 1 Li nd k1 + va > ayu, 2Ạ 245" Ợ ai Ys ) | Uy 1m 2

Vắ dụ 1.11: Xác ựịnh CTTQ của day: (u, ) 4 b i ả Hay

ỞtỞỞ*>Ở + Ở

Giải:

Phương trình ựặc trưng x? Ộ4x44 0.có nghiệm kéẹpx 2nénu, (kn 12" | n z

Viuy lu, 3 nên ta có hệ: 4 k 11 2 |k 1 3

Vayu, (@ 722%"

Vi dy 1.12: Cho day (u_ ) 9 1 - iO day (u Ỹ bay 3 Xác HỊ Xác ựịnh

Ổ 7 n ou, , Su, 4 2n? 2n 1; n

CTT cua diy LUNEE

Giải:

Với cách làm tương tự như Vắ đụ 1.4, ta phân tắch:2n?Ợ 2n 1

Trang 12

(kn? In t) Sk TỶ lắ 1) tị 6k 2# lắ 2) tị (5) Íl9% 71 22 1 Ík 1 6 (5) chon 0n 1n 2tacóhệ:47k 5l 2t 5 ki 8 k 3l 2t 13 ụ 19 Zz Oatv, u, on 8n 19 vọ 20v, 25vàv, 5a ¡ /6v,; 0 3 2ồ -Ta có hệ: Í 20 4 15 > Yn # his 28015 5 2258 35 =v, 15.3" 35.2" =u, 15.3" 35.2" n? 8n 19 2 x uẤ;zu,

Chú ý : ỷề xác ựịnh CTTQ của dãy số: (uẤ ) : 9Ẽ I ; (tu ¡ au,Ỗ bu, , Af); n , 2 >

(trong fi6 f(n) là ựa thức bậc k theon yaaỢ 4b _0)ta làm như sau:

Ta phân tắch fn) g(n) agin l) bg 2) (6) rồi ta fiat XO, g(n) Íy ow g();v, u, gỂ)

Ta có ựược dãy số (v, ): "A ` : ửđấy Tà dãy số mà ta ựã xét " nứYn 4 bv%Ợ0 e2

trong dạng 5 Do ựó ta sẽ xác ựịnh ựược CTTQ củav, S Ws Van ựê còn lại là ta xác ựịnh gắn) như thê nào ựê có (6) ?

Vì f(n) là ựa thức bậc k nên ta phải chọn g(n) saocho gắn) ag(n 1) bgắn 2) là một ựa thức bậc k theo n Khi ựó tachỉcànthayk 1 giá trị bất kì của n vào (6) ta sẽ xác ựịnh ựược g(n) ar

mel

Gia str g(n) anỢ gf TAS +d S ayn ay @,, 0) là ựa thức bậc m Khi ựó hệ số của x" và x"' ! trong VP là: al ab) va [ (@ 2bmaẤ (1 a bya, fs Do ựó :

i) Néu PT: x? ax`b 0 (1) c6 nghiém hai nghiém phan biét khac 1 thi loa Ấ b_ 0 nên VP(6) là một ựa thức bậc m

1) Nêu PT (1) có hai nghiệm phân biệt trong ựó có một nghiệmx l =1 a b 0 va @ 2bma, (1 a ba, , (a 2b)ma, 0 nên VP(6) là một ựa thức bậc

m1

11) Nếu PT (1) có nghiệm képx l >a 2;b lInên VP(6) là một ựa thức bậc

m 2 Ọ

Vậy ựê chọn gắn) ta cân chú ý như sau:

Trang 13

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tơng quát của đấy số

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, thì gắn) là một ựa thức cùng bậc với f(n) Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt, trong ựó một nghiệm bằng 1 thi ta chọn gắ) nhắn) trong ựó hắn) là ựa thức cùng bậc với f(n)

Nếu (1) có nghiệm kép x 1 thì ta chọn gắn) nhắ(n) trong ựó hắn) là ựa thức cùng bậc với f(n)

2 UpsU,

Dang 6: Sé tìm CTTQ của dãy (uẤ ) :4

bu fn);.n 2ồ

(ta 2a ¡ n2

( trong ựó f(n) là ựa thức theo n bậc k và bỲ 4ac 0) ta làm như sau: Xét gắn) là một ựa thức bậc k: gắ(n) a,n* w ak Ộa -

Nếu phương trình : x ax b 0 () có hai nghiệm phân biệt, ta phân tắch fn) gm) agắn 1) bgắná 2) rồi ựặt vẤ Ấưu,Ộ gắn)

Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt trong ựó một nghiệm x 1, ta phân tắch

fn) ngắn) aắn lgn 1 ba 2jgn 2) rồi ựặt vạ suy ng(n) Nếu (1) có nghiệm képx 1,taphântắch =

ff) ng) am 1) gm YM) ba 2Ýgni 2)#ồiựặty, u nồ gin)

Vắ dụ 1.13: Xác ựịnh CTTQ cia day (u_ ) -4= , mi s8 + he uy bú) 4

5 [ey 3ú, ¡ 2u n 2 2n 1n 2

Giai:

Vì phương trình x? 3x'.2 0cóhai nghiệm x 1;x 2 nên ta phân tắch

2a 1 n&n Ù; 3n Iykn YA 2M 2) kắ 2) lỊ chọn Ún Ita

Trang 14

Uo 1u, 3

Vắ dụ 1.14: Tìm CTTQ của dãy số (uẤ ): enaley Oty du, , 30; 5.2" n 2

Giải: Ta phân tắch2" a2" 4a2" | 342" 2, Chon 2tacó:4 4a 8a 3a a 4

Oat Vv n us n 5.4.2" >v 0 19v 1 43vàv n 4v nl 3v n 2 0

Vì phương trìnhx? 4x 3 0cóhainghiệmx 1x 3 nên x e a 19

Voi, 34 125 7y, 123ồ &

3 43 a à

Vậyu, 43ồ71 5.277 7 n l2

Chú ý : Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm CTTQ của dãy số (u, ) ựược xác ựịnh bởi:

ni :

tạ: n spr a 2 46 0)nhự sau:

u n am n 1 bu n 2 Ể& n

Ta phântắh " kỎ ak ệ bk "7? (7)

Chon 2 thi(7) tro thank: k()? a b) 7

2 :

Từ ựây, ta tim ựược k 7, 4 khi - không là nghiệm của phương trình :

a b Ợ

x? <ax ,bề 08)

Eh a ASS J% uy ke;v, u, ke

1 ựó, tafựặt v CO ay vy):

TERR ồ AM? v, av, , bu 0n 2

>%Y, px; ax; (x, 5X, 1a hai nghiém cua (8))

>u, pep Dax, ok Ợ

Vay néu x là một nghiệm của (8),tứclà: 7 a b O thitasé xirlf thé nao?

Nhìn lại cách giải ở dạng 3, ta phân tắch :

" kn " aka 17! bk 2) ồ? (@)

Chon 2tacó: k(@2 a) ? k@ a) k ( `), 2 a 2 => @) có nghiệm k là nghiệm ựơn của phương trình (8)

n n n

Trang 15

Lehi M6t sé phuong Rháp xác ựiình cơng thức tổng quát của day sé

Trang 16

Cuối cùng ta xét trường hợp x 5 là nghiệm kép của (8) Với tư tưởng như trên,

ta sẽ phân tắch: " knỢ " akm ĐU "! bkm 2Ỳ "7 (10)

2 1

Chon 2 tacó: (0) ? 4k ak >k

a 2)

1

Khiựó:ẹu, px} gx, xa

Vay ta có kết quả sau:

, : Jto:t

Dang 7: Cho day sô (uẤ) xác ựịnh bởi: \

My 31L XĐM, Ư

Đề xác ự¡nh CTTQ của dãy (u, ) ta lam như sau:

Xét phương tinh: x? ax b 0(11)

Nếu phương trình (11) có hai nghiệm phần biệt khác - thì

2

uy, px, sax; kc "vớik $`

Nếu phương trình (11) có ựghiệm ựơn x thì

u ENO PX sax, x; @x,Wếkcn @*Với@ề* Ổ \ Ta 1 2

Nếu x là nghiệm kép cua (11) thi tủ (P-Ộ an an yr,

Lu

Su

n nil n 2

Uy

Vi dy 1.15: Xéc fiinh CTTQ ata day wy) : { '

u

Giải:

Phương trình x? 5x 6 0cóhai nghiệm x, 2;x, 3, doựó

u n p2ồ q.3" 5kn.2'

Trang 17

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tông quát của đấy số k 2 a 4 5 Với+p q 1 k 2p 26;q 25 2p 3q 10k 3 Vay u, 262" 2543" 10n.2" 2543" 2" (Sn 13 n L2 u, 1;u Vắ dụ 1.16: Tìm CTTQ của dãy (uẤ) : 4 ồ

u 4u 1 3 >: Ấ4u 2 3:2 Giải:

Phương trình x 4x 4 0có nghiệm kếpx 2nênu, (p qn Sn? 2" 1

E ;

D ựa vào uạ,u, ta có hệ I a Ấu, ta có hệ: q 0 p 1q hq Ls

Vayu, @Gn* 2n 22? ' n 12 a Trược -các-ketqtrrsz~z? gmk 4 o0, Dạng 8: Cho dãy (Ấ): 5 để xác ựịnh CTTQ n aU,

ad aud Shu, oanỢ n của dãy ta xét phương trình: x? ax? bxỖ 6 0(12)

x; Dựa vào

Ne

Néu (12) c6-ba nghiém phan biét x},x,,X,ồ>> u, x} x

Up, Uy, ta tim ựược , , :

Nếu (12) có mộặnghiệm ựơn, 1 nghiệm kép: n n

2 wu, ( n)xy tà

xX; X

Dựa vào Up, Uy,u, ta tìm ựược ,, Nếu (12) có nghiệm bội 3x, x Dựa vào u u ,u._ ta tìm ựược

2yvn ; 3 >u ( n n3Xị

Ấ Ấ tị 0, u; Lu, 3,

Vi dy 1.17: Tìm CTTQ của dãy (u,):

u, 4 11m, ; Su, 3 mn 4

Trang 18

Giải : Xét phương trình fidc trung: x? 7x?Ợ 1x 5 0

Phương trình có 3 nghiệm thực:x, x, 1, x Vay a, n 5"

Chon 1n 2,n _ 3 va giải hệ phương trình tạo thành, ta ựược

1 3B 1 16) 4` 16 Vay a, J, J on 1 đạn 16 4 16 ặ Jtg2 tạ 20) My

Vi dy 1.18: Tìm CTTQ của dãy sô (@Ấ).(Ấ): k n1

b% lv tạ 2V ¡|

Giải: F

Tacó:u 2u ¡ u,, 2v,; edu) tu, ; 2, h 2u, @) =u, 4u,, 3u, ,vau, 5

n 1 md

Từ flay, ta cd: u, ỞỞ== v, YW p 2M, SY Tương tự ta có kết quả sau:

3 Fn Ba CA! 1 ng a: So dot GH

Dang 9: Cho day (x, ), (yy): đê xác ựịnh CTTQ của hai dãy

R Yan COM p Yị

(x, ),(y, ) ta lam nhw sau:

Ta biến ựồi fluge: x, (pi.s)x, , (ps df)x, ; 0 từựây taxác ự¡nh ựược XnỈ thay vào hệ ựã cho ta có ựược y,

Chú ý : Ta có thể tìm CTTQ của dãy số trên theo cách sau:

qt

ặ x, Yn ( S)Ể; 1 y

Ta ựưa vào các tham sô phụ , '> 4 ả s Pp

yy n n i "Tp Ey in T

Trang 19

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tơng qt của đấy số

(PP S)Ển¡ MD

[

Tachọn , ' sao cho Ị ậ Tp cv Yn , ,

q X Yạ ẹ S)ỂẤ ¡ MT)

x st lx

Ừ % ẹ II: TH giải hệ này ta tìm ựược xẤ {ý yẤ

(5 Yn WD 3s} Ứy MM + n2 Ug P+ 1 su, , 4 3

Giải: Tacó Ở Ở2-ỞỞ Ấ 2 Ở, Oat x, Ở, tacd: u n 2u n1 2 w aT u n Ò

x 1 3>%, 5.252 \o3 PaỪ 8 ee s 2

2 2 nt

[a aT > s- 3

uyà)2

Vi du 1.20: Tìm CTTQ của diy sé (u,) :4 > Su, 24 Ữ arial} 5 = = n2

u

Giải: Bài toán này khơng cịn ựơn giải như bài tốn trên vì ở trên tử số còn hệ số tự do, do ựó ta tìm cách làm mât hệ-số tự do ở trên tử sô Muôn vậy ta ựưa vào dãy phụ bắng cách ựặt u, < x, - t Thay vào công thức truy hồi, ta có:

Trang 20

-10 `

Trang 21

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tơng quát của đấy số

Dang 10: Cho day(u,):u, ;u, Pet 1 n 2 68 timCTTQ ciia day (x,)

Tu, 1 Ss

ta làm như sau:

đặtu, xẤ t, thay vào công thức truy hồi của dãy ta có: 2 X { It)x rt s x PX i Pt ad | @ OKA (p sX 3 day TU, ¡ TẾ ậ rx, ; TẾ ậ

Ta chọn t srt? (s pX q 0.Khiựóta chuyển (13) vé dang: es a I b ` Xu Kis of

_ỞỞể- 1

Từ ựây ta tìm ựược " Suy Ta U,

ý u 2 7

Vắ dụ 1.21: Xác Rịnh CTTQ của hai dấế số (u,Ấ ),(v, )? | Ế gv cậ

1 2 2 jon uy nd oo ý 2M Giải:

Ổa Ua bi > fu, V2y, (Hy Ý2v, Dị

Ta có: 4 Ƒ {

vow, 2N2u, Vy" [Me ave (, | 2v nl u ứ (uy vv," N PA ` '

Trang 22

2 fu, ,) | n tị 2 2 2 2 3 Nhận xét: Từ | th a 2 la fv, 2M, ng Mã Yaa My You 2 Yn 1 fg ) 2 n1 L | ly ad ụ I 2

Do vay nếu ta ựặt xX, Ở> ta fiuge day số Ểy):j x? LỄ 2 : Ta có bài tốn sau:

` 28 n 1 x, 3 Vi dy 1.22: Xác ựịnh CTTQ của dãy số (x, ): | +2 2 Giải: btn We fu, 2% u ur 4 Ww |

Xét hai dãy (uẤ),(VẤ) : Ộvay 2 5 " LAY ya Sy, 20; Ya 1 u Taching minh x, Ở (14) Vv, n , n 25x, Ở% 2>m) 2(14ựúng V - 2 S : Tew x? 1 sềệ, wu 1 ve u - Ấ Giả sửx,¡ oP xe A -" = (14) ựược chứng v al 2x nl 2u nln 1 wv, v n minh Bo day" 1 Qe vay" 1 Theo kêt quả bài toán trên, ta có:

e M7`' o wỮ'' Dạng 11:

Trang 23

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tông quát của đấy số

, fu, uy av th vau, Am vau, lu

Ta có: { > 2

av, 2Vav, Uy, u, vu, 1 @, 4 vau, Ù

[ 1T ad al

pa 3} varỖ ềvay!

7) 1Í ad ai]

vy, T==(C var Cay

mm LÓ 2x, 1 2 2,

Xét hai đấy (u,),(v,):ằ 2 ch ỘỦng

Ầ, 2v, Ma 1 > Vy 1

2n 1 2n 1

u Ỉ

Khi fi: x, = va %8Ợ _ đc & vat Z vay

Yo Cay va?

tá? 1 4

Vắ dụ 1.23: Cho dãy (u, }: & ` Tìm uẤ ? uy 5u,¡ xv240ữz; c8 n 2

Giải: 6:

Ta có: a, Su, 89;u, 881.Giảậử:ư - xu, yu, 4 [9x y` 89 Íx 10 Ừ

>{ 89% 9y 88 4 |y + Ta chứng minh:u, 10u,, u,, n 3 Từ công thức truy hồi của dãy ta có: (uẤ 5u, a 24u2 ¡ 8

u? 10u,u, i ue ¡ 8 0 (15) thaạyn bởn 1, ta fiuge:

3 3

uy, l0u, Ấuy, uy, 8 0 (16)

Từ (15),(16) = u,_ẤẤu, là hai nghiệm của phương trình:tỢ 10u, # u^, 8 0

Áp dụng ựịnh lắ Viti, tacé:u, uẤ 10u,

Jor, grt 6 2, 2w "`,

Vay u,

Trang 25

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tông quát của đấy số

Dạng 12:

ể na

1) Day Bly 5a, , jor, 8 n Ộ` dãy nguyên a 24

Thậtvậy:u, 5 va 8 5 tỂ va 8 N)Su, 5 ye? gt 5) 8

=u Z TỂ ẹ 8Ể 5Ợ 8 mỢ (m D `

Mà(? st 4Ợ fỂ) @? St 14) kết hợp với fỂ) là Số ehãn ta suy ra

m t? 5t x voix 681012 Thử trực tiếptatHấyt:' 4=>a 24

Lk u `

2) Với dãy số (u, ): 5 ,vớiaỢ b Ífaxác ựịnh

u, au, ¡ bu ¡ Ê n 2

CTTQ nhu sau:

Từ dãy truy hồi ẹ (uẤ au, a buy N 'C UẠ ặ2aU,U2 5 uz , ằ 0

8 4.2 2, "i

Thay n bởi n 1,ta có: ut, 4 2u, TU, 2 ae C 0> us, 2 2au, 1

fu 1

3) Vớiđy ty) :|, a a n.ốstonelóỘ 0a l;aỢ b Ita

> cu? ob

xác ự¡nh CTTQ như sau:

Ta viết lại công thức truy hồi dudi dang: AoA Oat x Ở

A Ẳ uy : uy u2 i n uy

6 hee AT nhà to 55 xét ở trê

Tacóu, au, { xX, poe ựây làđấy mà ta ựã xét ở trên

fu, a, J

Vi dy 1.24: Cho day (u,,): wv, 2 Tìm uẤ ?

tụ n

un 2

Giai:

Ta có: uạ + lu, 41 Ta gia st uy xu, , yu, 5 z.Từ u, 3u Lis

Trang 26

Ix y z 3 [x 4

uy 41tacó hệ phương trình: 33x y z I1 y I>u, 40,7 Yo llx 3y z 41 z 0

uy uy Í

Ta chứng minh (u, ) 2 Ọ (ta 4u,, uy, n 3 Vớin 3=u, 4u, u, 3=>n 3ựúng Gia stu, 4u, , uy ; Tacó:

2

2 2 2:

1 uo 2 4, Uo 2 lou, , 8u WA uyỪ 2

kl

We Wo 1

16u? kd 8u, kik2 ju u, ỘkI k3 16uyy 8u, ;< uy Ư

yy ậ 44u ¡ uy ;) (đu; ty Ư) 4U tị, kế 3 2/3 : 2x3

Theo nguyên lắ quy nạp ta có ựpem => uẤ

Trang 27

Một số phương pháp xác ựình công thức tông quát của đấy số

I SỬ DỤNG PHÉP THÉ LƯỢNG GIÁC đÊ XÁC đJNH CTTQ CỦA DÃY SỐ Nhiều dãy số có cơng thức truy hồi phức tạp trở thành ựơn giản nhờ phép thế lượng giác

Khi trong bài toán xuât hiện những yêu tô gợi cho ta nhớ ựên những công thức lượng giác thì ta có thể thử với phương pháp thế lượng giác Ta xét các vắ dụ sau

1

a 2

Vi dy 2.1: Cho day (u, ): | 1 9 Xéc finh CPTQ cua day (u,)

lạ 2u? , 1 on 2

Giai: à

Từ công thức truy hồi của dãy, ta liên tưởng ựiến công thức nhân fii cua hàm số cơsin Ta có: u¡ ; 608 uy 2co?Ở 1 cost

>u, 2cos? 1 cosSỞ Ở cof

8 3 n1

Ta chứng minh u, cos Thật vậy

22 me 2

Vớin 2=Ởẹu, cos ắ cosỞỞ (ựúng) 3

n2 b om! 2n 1

Giả sửu, ¡ cos =u, 21 ¡ẹl 2co^ỞỞỞ 1 cos

3 P 3 3

n1

Vayu, cos nl

3

5 : à > tì

Dạng 13: đê xác ựịnh CTTQ của dãy số(u, ) : { 3 ta làm như uy 2uy, 1 on 2

sau:

Néu lu, Ộ1, ta ựặt u, cos Khi ựó ta có: u, cos ont

Ắ sẽ 1 1 =, ee

Trang 28

2n 1 1

7 on 1 Trong ựó a là nghiệm (cùng dấu n

a

Ta chứng minh ựược uẤ 5a

với u, ) của phương trình : a 2 2ua 1 0 Vì phương trình này có hai nghiệm có tắch bằng 1 nên ta có thẻ viết CTTQ của dãy như sau

1 n 2n 1 5 2n 1

u, +(e lu; 1] (3, tị 1|

(ae

Vắ dụ 2.2: Xác ựịnh CTTQ cia day s6 (a, ) : My

(lạ 4u ¡ 3u,@Z nà Giải: 4 3 3 l 3?

Tacó:u, -ỞỞ cosỞ==>u, 4cos =) 3cos = cos3 >> u, cos Ở

2 6 6 6 6

` nl

Bang quy nap ta ching minh fluge: u, cos E Dạng 14:

Ras: % à yr P =

1) đê tìm CTTQ củadãy (u_): 368 , ta làm như sau

" u, n 4u nel 3u n1 n

Néulp! 15 0; >: cos p &

Khi ựó bằng quy nạp ta chứng minh ựược vú, COS an 1 Nếu Ipl 1,taựặt uy if, 4) (a cing dấu với u,)

a

3 no

Băng quy nạp ta chứng minh ựược uẤ de .n 1

a

1 an 1 an 1

Hay u, b (, uy 1] (0, Ổuy 1] J

2)_ Từ trường hợp thứ hai của bài tốn trên, ta có cách tìm CTTQ của dãy số

Trang 29

-25-Một số phương pháp xác ựình cơng thức tơng quát của đấy số

uy Pp u_):

bu) im n 4u3 nl 3u nl n 2 bằng cách fiat u, de 2 Jy Khi ựó bằng quy nạp a ta chứng minh ựược : rỊ [ al n 1ị an 1 1 1 2 : 2 ồ uy sya 2 an 1 2 u 1 u 1 1 u 1 uc 1 ol ậ a

Chú ý : Trong một số trường hợp ta xác ựịnh ựược CTTQ của dãy (u,) cho bởi:

Ịm

} (ta tị 3 20; 2 ¡ bu, , com > 2 +

Bằng cách ựưa vào dãy phy fié chuyén dãy ựã cho về một trong hai dạng ở trên

Vắ dụ 2.3: Xác ựịnh CTTQ của dãy Cu, sp 2 va

v6

12j6uỢ ¡ l5u

u " 24u3 ỔoL Ổno

6 B02

Giải: Ộ S⁄

Oatu, xv, y Thay vào công thức truy hôi của dãy; biên ựôi và rút gọn ta ựược xv, Ữ 24x3v3 1 12(6xy x6x2yỪẼ f 3(24xy? 8V6xy 5X, ¡

24y?`12N6@y? 1ấy Vo

Trang 30

3 Vi dụ 2.4: Xác ựịnh CTTQ của dãy (uẤ ) : | "1 2

2

uy 2 uy; n 2 eres ogee ẤDi Ở

Giải: Oat Ở cos , Ở; |, khi ựó :

4 2

tị 2cos =u, 2a 2cos2 ) 2cos2 Bằng quy nạp ta chứng minh ựược u, 2cos2" |

Vi dy 2.5: Tìm CTTQ của dãy số qu,): ss Al2 2\J1 tạ ¡ 5

4 + $s anne 2

Giải: Từ công thức um hồi của ow Pv ta nhớ fién công thúc lượng giác 2 2:

Al2 AN cos 6 sin cos

Bằng quy nạp ta chứng minh ựược: ư h ane sin= 2" 16 ; Ta có: u, it

2

Vi dy 2.6: Cho a,b là hai số thực dương không ựỗi thỏa mãna b và hai day @, ),@,) [ arb \ a, 55 $ ba, ựược xác ựịnh: Tìm a, và bẤ n1 nd a, 2 th a,b, 4 Giải:

Tacó:0 = 1 nénta đặt Ế cos với ể

b b 2}

b b bd

Khi ựó: a, Ở_ bd cos_) bcosỢ Ởva bị bbcos*Ở bcosỞ

2: 2 2 2 2

Trang 31

Một số phương pháp xác ựình công thức tông quát của đấy số

bcos2Ở bcosỞ

bị 2 2 > a

4 ỞỞỞỞỞ Bc0sỞ.coỘ và b_ bcosỢ cos

3 2 2 2? 2 7

Bằng quy nạp ta chứng minh ựược:

a, bcos Ởcos Ở cosỢ Ởva b bcos> cos Ở Cos Ở

2 2" 2 2 oP

lu, vB

Vắ đụ 2.7: Cho dãy (u,) : | Wị 42 1 3 Tắnh uẤụ; (Trắch ựề thi

u ỞỞỞ Sse

[" 1 a van, ,

Olympic 30 Ở 4 Ở 2003 Khéi 11)

u, , (tanỞ

Gisi: Ta 06 tan 2 1>u, Ở8

1 vu, 1

tan tanỞ

Mà u, 3 tan Ở = u, `3 SS tan(Ở Ở) 3 1 m -tan 3.8

2 8

Bằng quy nạp ta chứng minh ựược u, tan @ 1) 5)

3 é (2002) f ì ma Rb ban] a) 3 2) Vậy tà _n 1L b n Ừ 1

Taựặta tan ;b tan khi ựó ta chứng minh ựược: u tan a1)

Trang 32

sxe 2, | 1 sey ~ - 5

Giải: Tacó: Ở ỞỞỞ Ở khi ựó ta ựược dãy (x, ) ựược xác

to tị th

ựjnh như sau: + va 1 x2

ựj¡nh như sau: x, Kn VÀ Xa Xa q Xn 1 3

1 1 cosỞ

Vix, == cot>>x, cotỞ 1 cot?Ở ỞỞ3* cotỞ

V3 3 3 3 sins s 2.3

> uy tan

4ẠCs*1,2 Bằng quy nạp ta chứng minh ựược: xX, cot

2" l4 2"13

Trang 33

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tơng qt của đấy số

II UNG DUNG BAI TOAN TIM CTTQ CUA DAY SO VAO GIAI MOT SO BÀI TOAN VE DAY SO - TO HỢP

Trong mục này chúng tôi ựưa ra một số vắ dụ các bài toán về dãy số và tổ hợp mà quá

trình giải các bài tốn ựó chúng ta vận dụng một số kết quả ở trên

Vi du 3.1: Cho day số (a,):dy 0,a, 1,4, rang A đa An

ni 24, 4, , 1 n 1 Chứng mắnh

; _ 1 là số chắnh phương

Giải:

Từ công thức truy hồi của dãy ta thay ụ 1 bởi ụ ta ựược: a nl 2a, n a nl 1

>a 3a 3a a 0;

ấy 2a, i a ` 1 nl n nl n 2s

Xét phương trình ựặc trưng Ở 3Ợ 3 10 1

>a, ( n n),doa, Qa, Lá, 3Ở 0

>a, ểắ n?)=A nmn { din 3) @? 3n DJ >ựpcm

Vi dy 3.2: Cho day s6 (x,):x,ằ Tx, 50x ¡ 4X 5x7

Chứng minh rằng x¡oẤ:1997- (HSG Quốc Gia Ở 1997 )

1975 n 2

eee 22(mod 1997) do ựó ta chỉ cần chứng minh đãy

X 1 4y SX pe 22/1997,

ax, b ax, 5x,

Ộay, Sy, 22a 8b

Ta chon a,b sao cho: 22a 8b 0O,tachona 4=>b Ill

Đặt y, | ¡ ¡ 227B 4@x, b 5@x,, b) 22a $b

>y, 1 4% Al 2 3y, iby, y Wy Was 8( 1P 25.5" 1996 Từ flay ta cofiuge: y, ae > Yy006 ỞỞ

vis 25.51 | 1 0mod3=y,Ấ Z

Theo ựịnh lắ Feema 5'ỢỘ - 1(mod 1997) > Y,o9g 1l(mod 1997)

=> 4x 1996 11 11(mod 1997) > x 1996 mod 1997)

Trang 34

Nhận xét: Từ bài tốn trên ta có kết quả tổng quát hơn là: Xp, ¡iP với plà số nguyên tố dẻ

uạ 20;u, 100 Vi dy 3.3: Cho dãy s6 (u, ) = {

u 4u Su Tim sé nguyén duong a1 n a1 20 n 2 h bé nhất sao cho: u, Giải: Ấ u ¡1998 n N*(1SG Quốc Gia Bảng A Ở 1998) lao 45a, 205 a, 4a n 5a n 1 10 125 125 5 =3 >a Ở( 1 ỞF* =u ỞỞ-5" =( HY Ấạt ỷ 3 "6 3 RO,

Gata, 2u, 5, tacé day @,):4

Via, yp a, 206) ạ UPB, , Uy 199B 2a, Ấ a, (2.1998 7223337

1.107 125.55 Màa Ấ a, CŨ 0 (ph 1] 3 3 ooỪ Ph py & Ọ 125,5 Nouh china, 8, OS 6" 494.2737 ie 1:8 7) (` 137

Gọi k là số nguyên dường nhỏ nhất thỏa mãn 5Ộ Ề-{:37 Vì 5 1:37 Ở= 36:k

=Sk_ 12.34121836 thử trực tiếptẩthấychicốk 36 thỏa mãn

=3" 1372h36 (8 |

Chứng mỉnh tương tự, ta cũng có: 5" $Ẩ:8Í=>h: (81) 54 (9)

Từ (18) và (19) ta sùy ra (17J`` h: 3654 108=h 108

Nếu h lẻVìu Ấ +U (mod 1998)

20(mod 1998)

h ụu u

Néntacé:{ lên ta có Ổa, | ' ẹ a, 100/mod 1998) >5 uu, , tị 4 4u, 2 0 O(mod d1 1998) >u, ,'0(mod 1998)

Vih lé=>h Ichin>u, 125 sh Bau, | BS sn i 5

6 6

=u, Su, , 0(mod 1998) mâu thuẫn với u, _ 20(mod 1998)

Trang 35

-31-Một số phương pháp xác ựình cơng thức tơng qt của đấy số

Vớih 108 tadé dàng chứng minh ựược Mạ h tạ (mod 1998) n 1 Vậyh 108 là giá trị cần tìm ` > 2x, 1 Vi dụ 3.4: Cho day (x, ):X, 2x, , " 5 n J) Tinh x59)? ` 2000

2) Tim phan nguyên của A > x; (Olympic 30 Ở 4 Ở2000 khoi 11 )

il

1 `

Gidi: Tacé:x,, 1 Ở>Ở+Ở x, 2 x, , 1 1 XD Sosa, x, A st 10a 1

nd a n1 3a n 1a n 3 2 4 >x n To Ply 3 - 42001 1 a) Ta 06: X5999 2000 1 2000 2 200 1 b)Tacé: A 2000 2>) ==> 2000 A 2000" =} 2001 i 1 30> 1 3113! Vay [A] 2000 (2 <ccos2 dx, cosỢ Vắ dụ 3.5: Cho day.) :Xpo 4 x, , oC m2 na

= n

ựễ dấy số (yẤ ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới

A -20/4 ) 1 2sinỢ Ta có = i 5 1 = q A i ) sin? 2X ứ 3 32x, 1) 2x, 1 32 3 ` 1 G1 s2 1 1 1 3 1 2

> % 2e-G Ừ Ở sin >4 s? ;0 1 Ở) =d Ở) Ín 2d 3 In = Ở)sin ¡ 1i il il

Vi Em_L n 0 nên dãy (y, ) có giới hạn hữu hạn sin 0 k

Trang 36

-32-Khi ựó lim y,Ấ > x 1 Xx, 3x2 2x 8y2 Veda 26: Cho iy 6.6): và n1 = aa > nl 1 i Yn 1 24 3X,ầ, 2ắ

Tim tat cả các số nguyên tố p sao cho X, _y, khong chia hết cho p (TH&TT - 327 )

Giải: n 1

Tacé:x, 2y, @, , 2y, > Ể, 2y) 7 1/00)

Giả sử có một số tự nhiên k ựể y, 2x, ẹy, , 0 Khiựó,ta có:

3x? Ề

X\ẹ2 XI vô tắ, VA vô lắ Vậy yn ¡ (2Xạ Yn)Ểạ Ư 2V) 2 2y) 0 n

Xp a Ƒ

Suy ra; at u hữu 2.) CỒN đụ

Ya Qx, y,)&, 2y, = 2x, Yạ

X, 4 3a 4

Oat a, | a> a, ta, =" Ở_

Yn 1 z a, 1 ; 2 ` no >a, 2 Bn 3 i 2 : = Le 1 4 5 ma, 1S, 2 ấ, Kas 3 n 1 sa LACORS ệt) 1 2ằ5R 7 y, Ổ l : IWC RO 1 2( 5" 1 2 25" 1 Từ 20) và (21) > xẤ Sw, => >xX, Ya = *Nếup 2= YY, Aw % p 2 khong thoa yêu cầu bài toán

*Nếup 32x; yƯ 16 khdng chia hếtcho 3=>p 3 thỏa yêu cầu bài toán

* Nếu p 5ặ thấy cũng thỏa yêu cầu bài toán

*Néup 5>( 5) ' lmodp)= X, Yp mod p) Vay p 3,p 5 làhai giá trị cần tìm

Trang 37

Một số phương pháp xác ựịnh công thức tông quát của đấy số

a 2 1 3

Vi dy 3.7: Cho day (u,): Tắnh tổng của 2001 số

tạ ị

= 2

u

"_ 22n Iu, , 1 hạng ựâầu tiên của dãy (uẤ) (HSG Quốc Gia Ở 2001 ) Giải:

Ta có: - i

u n u

4n 2 (22)

n 1

Taphantich 4n 2 kn? ( tý] In (n.fChon 0n 1,facóhệ

ki 2 k 21 0 jk 1 2 ỘoO 1 Suy ra (22) -+Ì Ấ2 2nỘ Gy, ` u, U4 u, 2 Ấ1 4n? 1 (n I)Ón: J) u, 2 2 2 1 1 2 Qn DYQnC 1 2n 1 ves = ee u; *'h Ở 1 1 ye OF 4002 1 GA 1 GP 4003 Ộ4003 Z x,

Vi dụ 3.8: Cho hai dãy sô (xẤ): (yẤ) xác ựịnh :j

vs on

n 2 Chtmg minh rang 2 x,y, 3 0 2 (Belarus 1999) Giai:

cosỞ 1

Ta có: x 1 3 ote 3 Ky ore 1 co?Ở ỞS&Ở cotỞ sin Ở

Trang 39

Một số phương pháp xác ựình cơng thức tông quát của đấy số

Bằng quy nạp ta chứng minh ựược: x, cot x 2 16

Theo kết quả của vắ dụ 2.8, ta có: y, tan

#8

Đặt =x, COU ,;¡Ữy, tan2 ~>x,y, tan2 ,.cot Ấ 73

Oatt tan , > tan2 Ấ.cot Ấ 2 i 2

ret 1 1 2 > Vin 2>0 , =>0 t tana~ Ở=>-N*t 1 6 6 3 3 2 # 2 Ta 3422 xuy, 3n 2=ựpem, Ix, 11 j

Vi du 3.9: Cho dãy số (x, ) : ere |3 32 h

1, J&È#Ộ ỞỞỞ$ n *Ộ n G5 2

1) Cần có thêm ựiều kiện gì ựối với x, ựễ dãy gồm toàn số đường ?

2) Day sé nay có tuần hồn khơng ? Tại sao? (SG Quỗé Gia 1990)

Giải: ⁄

` ộ

Vilx, 1 1 nên tôn tại =:]:sie2Ợ fis: 2 2

Ậ 3 d

X; sim Ở cos sin(= )

3 3 : 1 3 _ X Ởsin(Ở )' ỞỞlcos(Ở dL > 2 8 2 3 Nếu Ở ~=>x, sin Nếu Ở Ở==m sin( +Ừ - 2 6 ở 3Ó

Băng quy nạp ta chứng minh ựược:

sin kh n 2k 1 j Nếu Ở Ở thì: x

7 6 2 " sin( 5 ) kh n 2k

Trang 40

- sin( 2) khi n 2k 1

ii) Neu Ở Ở thi: x, | 3 k 1

2 6 sin( > ) kh n 2k

0 Ở

1) Day gém toan số dương 2 0 =,

PP > 0 ỞỞ ra 3

VayO x 1 Y lạ niều kiện cần phải tìm

2

2) Dựa vào kết quả trên ta có:

Nếu sin Ở sin| Ở Ở 4 Khi ựó từ (1) ta có ựược

\3 6 2

X, X, XK, => (K,) 1a day tuan hoan

ặ x * 1 ặ

Nêu 2 1 thì dãy sơ có dạng Xi;X;;XỈXƯ;

XỊ Ở

2

à 1 + Gm Ẩ Ộ >

Néu 1 x 5 thi đấy sơ có dạng XI,X;,Xa;X.,Xo

Vắ dụ 3.10: Tắnh tổng S1 3 5 ,Ữ 2nỀ:Ềl,vớin là số tự nhiênn_ 1

Giải: 2

Tacé: Sil va 5, 5X 20 `

Mà:2n 1 nan 7ỶSậ, ựỲS,¡ @ IY S, 1 0

Vậy S$, ns

Vidu 3.11: Tinh tong S| 12 22 32 n2 vớin làsếtynhiênn 1

Giải: TacóS, 1vaS, S,, n7(23)

Ta phantich:n? kn? @ tỷ] ln? @ ý | tlh @ J