Tuyển tập đề thi số học và dãy số qua các kì thi học sinh giỏi

1 MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Biên soạn: Th.S Trần Quốc Dũng D l ! 1. TÂY NINH 2011-2012 1) CMR dãy n u có giới hạn hữu hạn. 2) Đặt 0 1 n n k k T u . Tính lim 2 n T n . 1) CMR dãy n u có giới hạn hữu hạn: 2) Đặt 0 1 n n k k T u . Tính lim 2 n T n : www.VNMATH.com 2 2. TÂY NINH 2006-2007 Tìm phần nguyên của số 3 2006 4 3 4 2006 2 2 3 2005 A Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho n+1 số gồm n số 1 và số 1 1 n , ta có: 1 11 1 1 1 1 1 1 n n n nn  , ở đây dấu “=” không thể xảy ra vì 1 11 n . Từ đó, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n n n n n  Từ đó suy ra: 3 2006 1 1 2 1 1 2 3 1 1 11 2 2 3 2006 1 1 11 2005 2005 2006 Cộng vế theo vế ta suy ra 1 2005 2006 2006 2006 A . Vậy 2005A . 3. TÂY NINH 2004-2005 Cho dãy số n u xác định bởi 12 21 1, 2 21 n n n uu u u u n 1) Tìm số hạng tổng quát n u 2) Cho 1 lim . n n u a u Tính a. 1) Xét phương trình đặc trưng 2 12 2 1 0 1 2 1 2 1 2 nn n x x x u C C Do 1 2 1 2 u u nên 22 1 1 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2 2 22 A AB AB B 1 1 2 1 2 22 nn n u 2) 11 11 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 22 lim lim lim 1 1 2 1 2 1 2 1 2 22 nn nn n nn nn n u a u www.VNMATH.com 3 1 1 12 1 2 1 12 lim 1 2 12 1 2 1 12 n n n n 1) Cho 2004 số nguyên dương 1 2 2004 , , ,u u u thỏa mãn 2004 1 1 2 2004. k k u Chứng minh rằng có ít nhất hai số bằng nhau. 2) Tìm 2004 số thực 1 2 2004 , , ,u u u thuộc 1,2 thỏa 2004 1 2025 k k u sao cho 2004 3 1 2025 k k u đạt giá trị lớn nhất. 1) Giả sử không có hai số nào bằng nhau, lúc đó ta có thể giả sử rằng 1 2 2004 1 k u u u u k . 2004 2004 2004 2004 2004 2004 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 1 21 11k k k k k k k kk kk u k k k k k k k k 2004 1 1 2 1 0 2 1 3 2 2004 2003 2 2004 2 2004 k k u . Điều này trái với giả thiết, suy ra đpcm. 2) Ta có: 3 1 2 1 2 3 0 7 6 k k k k k k u u u u u u 2004 2004 2004 3 1 1 1 2004 7 6 1 7.2025 6. 1 1 1 2151 kk k k k uu  . Dấu “=” xảy ra 12 kk uu . Gọi m là số 1 k u , suy ra số 2 k u là 2004 – m. Từ đó, ta có: m.1 + (2004 – m ).2 = 2025, suy ra m = 1983 Vậy có 1983 số 1 và 21 số 2 thỏa mãn đề bài. 4. TÂY NINH 2000-2001 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên ,xy sao cho 1y chia hết cho x và 1x chia hết cho y. Từ điều kiện đề bài ta có: 1 ; 1 1 1 1 1x y y x x y x y x y x y x (do x, y là các số tự nhiên). Ta xét 3 trường hợp sau: TH1: Nếu 1yx thì y là ước của x – 1 và x + 1, suy ra y là ước của x – 1 – (x + 1) = - 2, suy ra 12yy . + Với y = 1 thì x = 2 (thỏa mãn) + Với y = 2 thì x = 3(thỏa mãn) TH2: y = x thì y là ước của x và x + 1, suy ra y là ước của x + 1 – x = 1, suy ra y = 1, lúc đó x = 1 (thỏa mãn) TH3: y = x + 1 thì x là ước của x + 2 suy ra x là ước của 2, suy ra x = 1 hoặc x = 2. + Nếu x = 1 thì y = 2 (thỏa mãn) + Nếu x = 2 thì y = 3 (thỏa mãn). Vậy ta có 5 cặp số phải tìm là: (1,1), (1, 2), (2,3), (2,1), (3,2). 5. CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VÒNG TRƯỜNG_CHUYÊN HOÀNG LÊ KHA_TÂY NINH 2011-2012 www.VNMATH.com 4 6. QUẢNG BÌNH 2010-2011 www.VNMATH.com 5 7. QUẢNG BÌNH 2011-2012 www.VNMATH.com 6 8. BÌNH ĐỊNH 2010-2011 9. HÀ TĨNH 2010-2011 +)TH2: Nếu 0 1,x www.VNMATH.com 7 10. BÌNH ĐỊNH 2011-2012 www.VNMATH.com 8 11. KIÊN GIANG 2009-2010 Tính lim n u . 12. ĐẮC LẮC 2011-2012 Vậy 2011 2010 m+2010 C  hay (m+2010)! m!2011! là số nguyên. 13. BÌNH PHƯỚC 2008-2009 Ta có: ( 2010)! 2011 ( 2011)! . !2010! 2011 !2011! 2010 m+2010 mm C m m m = 2011 2011 2011 . 2011 m C m Suy ra: 2010 m+2010 (m+2011)C = 2011 2011 2011. m C , tức là: 2010 m+2010 (m+2011)C chia hết cho 2011 (do 2010 m+2010 C ; 2011 2011m C là các số tự nhiên) Vì: 2011 là số nguyên tố và 0 < m < 2011 nên ƯCLN(m, 2011) = 1, từ đó: ƯCLN(m + 2011, 2011)= 1 Cho m là số nguyên thỏa mãn: 0 < m < 2011. Chứng minh rằng (m+2010)! m!2011! là một số nguyên. www.VNMATH.com 9 14. LONG AN 2011-2012 Cho dãy số n u xác định bởi 1 1u và 2 1 32 nn uu với mọi 1n . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số n u . b) Tính tổng 2 2 2 2 1 2 3 2011 S u u u u . a) Dễ thấy * 0, n u n N Từ 2 2 2 11 3 2 3 2 n n n n u u u u . Đặt 2 nn vu thì có: 11 3 2 1 3 1 n n n n v v v v Đặt 1 nn xv thì ta có: 1 3 nn xx . Từ đây suy ra n x là cấp số nhân với 1 2x , công bội là 3. Nên: 1 1 1 2.3 2.3 1 2.3 1 n n n n n n x v u . b) 0 1 2 2010 2.3 2.3 2.3 2.3 2011S 0 1 2 2010 2 3 3 3 3 2011 2011 2 3 1 2011 31 2011 3 2012 . 15. ĐỒNG THÁP 2009-2010 www.VNMATH.com 10 16. ĐỒNG THÁP 2011-2012 www.VNMATH.com [...]... 20 VĨNH LONG 2009-2010 Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi x0 101 xn 1 7 xn 7 n 1 Cách 1: Dùng phương pháp sai phân Cách 2: Đặt xn yn 7 n ta thu được hệ thức truy hồi đối với dãy số yn x0 y0 70 yn 1 7 n 1 y0 101 7 yn 7 n 7 n 1 yn 1 yn 1 Ta thấy yn là cấp số cộng với số hạng đầu y0 101 và công sai d 1 Theo công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng yn , ta có: yn y0 nd 101... 2 b , n * Ta chứng minh Rn là số nguyên chia hết cho 5 bằng quy nạp Đặt Rn a b a -Với n = 1, ta có R1 a b a b 3 3ab a b 5 R1 là số nguyên chia hết cho 5 - Giả sử Rk là số nguyên chia hết cho 5, ta có: Rk 1 ak ak 1 bk bk 1 a b ak 3 bk ab a k Rk Rk 1 Theo giả thi t quy nạp Rk , Rk 1 3 1 bk 1 ak 2 bk 2 chia hết cho 5 nên Rk 1 a b ab a k 1 bk 1 chia hết cho 5 Vậy Rn là số nguyên chia hết cho 5, n  *... 5 Vậy Rn là số nguyên chia hết cho 5, n  * Do đó, Rn a 2007 b 2007 a 2009 b 2009 là số nguyên chia hết cho 5 21 ĐỒNG NAI 2009-2010 14 www.VNMATH.com 22 OLYMPIC ĐỒNG BẰNG SÔNG CỬU LONG TẠI SÓC TRĂNG 15 www.VNMATH.com 23 VÒNG QUỐC GIA 2011-2012 24 VÒNG QUỐC GIA 2010-2011 16 www.VNMATH.com 25 DÃY SỐ CÓ TÍNH CHẤT SỐ HỌC_VÒNG QUỐC GIA 2011-2012 17 www.VNMATH.com 18 www.VNMATH.com 26 TOÀN QUỐC 2009-2010... 2009-2010 27 TP HCM 2005-2006 28 TP HCM 2004-2005 19 www.VNMATH.com 29 TP HCM 2003-2004 (Giống đề thi HSG BÌNH PHƯỚC 2008-2009) 20 www.VNMATH.com 30 TP HCM 2001-2002 Dùng PP sai phân với chú ý rằng nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất là nghiệm cần tìm vì vế phải bằng 0 Đáp số: 31 BÀI TẬP 1) 2) 3) 4) 21 www.VNMATH.com 5) 22 . 1 MỘT SỐ BÀI TẬP DÃY SỐ - SỐ HỌC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI Biên soạn: Th.S Trần Quốc Dũng D l ! 1. TÂY NINH 2011-2012 1) CMR dãy n u có giới hạn hữu hạn. 2). 1 k u , suy ra số 2 k u là 2004 – m. Từ đó, ta có: m.1 + (2004 – m ).2 = 2025, suy ra m = 1983 Vậy có 1983 số 1 và 21 số 2 thỏa mãn đề bài. 4. TÂY NINH 2000-2001 Tìm tất cả các cặp số tự nhiên. (m+2010)! m!2011! là một số nguyên. www.VNMATH.com 9 14. LONG AN 2011-2012 Cho dãy số n u xác định bởi 1 1u và 2 1 32 nn uu với mọi 1n . a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số n u . b)