NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN : Ta đã biết, khi biết độ dài một số yếu tố của một hình ta có thể tính được diện tích hình đó bằng những công thức mà[r]
(1)Chuyên đề BD.HSG Hình học Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi CHUYÊN ĐỀ : DIỆN TÍCH Hình học A/ PHẦN I Kiến thức : 1) Tiên đề diện tích : Mỗi đa giác có diện tích xác định Diện tích đa giác là số dương 2) Diện tích đa giác có các tính chất sau : +Hai tam giác có diện tích +Nếu đa giác chia thành đa giác nhỏ không có điểm chung thì diện tích nó tổng diện tích đa giác đó +Hình vuông cạnh có độ dài thì diện tích là - Hình vuông đó gọi là hình vuông đơn vị I DIỆN TÍCH TỨ GIÁC : 1) Cho tứ giác ABCD Gọi AB = a , BC = b , CD = c , DA = d , AC = d1 , BD = d2 , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp và p = (a + b + c + d) Ta có : B b C a I m d1 d2 c A d D a) SABCD = SABC + SADC = SABD + SCBD +Tổng các góc tứ giác A + B + C + D = 3600 = 2 Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (2) Chuyên đề BD.HSG Hình học +Tổng bình phương các cạnh : a2 + b2 + c2 + d2 = d12 d 22 4m (m là độ dài đoạn thẳng nối hai trung điểm hai đường chéo) b) SABCD = d1d2sin ( là góc tạo hai đường chéo d1, d2 ) *Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O: R) B a b d2 A d1 O C d c D c) SABCD = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) +Tổng hai góc đối diện A + C = B + D = 1800 = +Tích các đườngchéo : d1d2 = ac + bd p = (a + b + c + d) * Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O; r) B b C O a c r A d M D d) SABCD = p.r Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (3) Chuyên đề BD.HSG Hình học +Tổng hai cạnh đối diện : a + c = b + d 2)Diện tích các tứ giác đặc biệt : a)Diện tích hình chữ nhật : A a b d B SABCD = a.b d = a2 + b2 D C b)Diện tích hình vuông A a a B SABCD = a2 d=a SABCD = d2 d D C *Trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn c)Diện tích hình thang : A a B h SABCD = (a + b).h M m N SABCD = m.h D H b d)Diện tích hình bình hành : A C B SABCD = a.h h d1 d2 d12 + d22 = 2(a2 + b2) D H a C e)Diện tích hình thoi : Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (4) Chuyên đề BD.HSG Hình học A d1d2 = a.h d12 +d22 = a2 SABCD = h D B d2 d1 a H C II.DIỆN TÍCH TAM GIÁC Cho tam giác ABC có BC = a , AC = b , AB = c, đường cao thuộc cạnh BC là AH = , r là bán kính đường tròn nội tiếp , R là bán kính đường a + b + c tròn ngoại tiếp ABC và p = Ta có các công thức sau : 1) SABC = a.h A b c B h H a C Chứng minh : Kẻ đường cao AH, ta có : ABH vuông H nên SABH = AH.BH (1) SACH = AH.CH (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta : 1 SABH + SACH = AH.BH + AH.CH 2 1 SABC = AH.(BH + CH) = AH.BC 2 Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (5) Chuyên đề BD.HSG Hình học Hay SABC = a.h 1 Tương tự ta có : SABC = b.k = SABC = c.l 2 (k là chiều cao ứng với cạnh AC, l là chiều cao ứng với cạnh AB) 2)Tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; r) SABC = p.r A c E F b r r O r B D a C Chứng minh : SABC = SAOB + SBOC + SCOA Mà : SAOB = r.c r.a = r.b SBOC = SCOA 1 Cộng vế theo vế, ta : SAOB + SBOC + SCOA = r.c + r.a + r.b 2 a + b + c SABC = r.(c + a + b) = r = p.r 2 a + b + c (p= : nửa chu vi ) 3)Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (6) Chuyên đề BD.HSG Hình học SABC = abc 4R A b c O h C B a H D Chứng minh : Kẻ đường cao AH và đường kính AD SABC = a.h Xét ABH vuông H và ADC vuông C có : ABH = ADC (góc nội tiếp cùng chắn cung AC) AB AH AB.AC b.c => ABH ~ ADC => = => AH = = AD AC AD 2R 1 b.c abc Vậy SABC = a.h = a = 2 2R 4R 4) SABC = p(p - a)(p - b)(p - c) (Công thức Hêrông) Chứng minh : Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (7) Chuyên đề BD.HSG Hình học A b c h b' c' B H C a Giả sử B và C nhọn Kẻ đường cao AH (AH BC) - đặt AH = h BC = BH + CH hay a = b’ + c’ (1) Để không tính tổng quát ta giả sử b > c => b’ > c’ ABH vuông H : AH2 = AB2 - BH2 hay h2 = c2 - c’2 ACH vuông H : AH2 = AC2 - CH2 hay h2 = b2 - b’2 => c2 - c’2 = b2 - b’2 <=> b2 - c2 = b’2 - c’2 <=> b2 - c2 = (b’ + c’).(b’ - c’) b2 - c2 b2 - c2 = a.(b’ - c’) => b’ - c’ = (2) a b'c' a Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : b2 c2 b ' c ' a b'c' a b'c' a Giải hệ phương trình : b c <=> a2 b2 c2 b ' c ' b ' a a 2 a b c b' 2a <=> 2 c' a b c 2a Do đó h2 = b2 - b’2 = b2 a2 b2 c2 - 2a a2 b2 c2 b 4a 2ab a b c 4a b a b c = 4a 4a 2ab a b c 2ab a b c = 4a 2 a b c c a b a 2ab b c c a 2ab b = = 4a 4a 2 Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (8) Chuyên đề BD.HSG Hình học = a b c a b c c a b c a b 4a a b c a b c 2c a b c 2b a b c 2a = 4a (Đặt a + b + c = 2p) p2 p 2c 2 p 2b 2 p 2a 16 p p a p b p c 4a 4a p p a p b p c = a2 p p a p b p c p p a p b p c => h = a a2 1 p p a p b p c = p p a p b p c Vậy SABC = a.h = a 2 a = NHỮNG ĐIỂM CẦN CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP DIỆN TÍCH ĐỂ GIẢI TOÁN : Ta đã biết, biết độ dài số yếu tố hình ta có thể tính diện tích hình đó công thức mà ta đã biết Ngược lại các công thức tính diện tích cho ta các quan hệ độ dài các đoạn thẳng Sử dụng công thức tính diện tích các hình có thể giúp ta so sánh độ dài các đoạn thẳng Để so sánh hai độ dài đoạn thẳng nào đó phương pháp diện tích, ta chú ý các điểm sau : 1)Xác định quan hệ diện tích các hình 2)Sử dụng các công thức tính diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó đẳng thức có chứa các độ dài 3)Biến đổi đẳng thức vừa tìm ta có quan hệ độ dài hai đoạn thẳng cần so sánh Khi giải bài toán phương pháp diện tích ta cần nắm vững : +Sử dụng trực tiếp công thức tính diện tích các hình +Sử dụng tính chất : -Nếu hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số hai đáy tương ứng tỉ số hai diện tích Ngược lại, hai tam giác có cùng đáy thì tỉ số hai chiều cao tương ứng tỉ số hai diện tích -Nếu hai tam giác có cùng chung đáy và có cùng diện tích thì đỉnh thứ ba thuộc đường thẳng song song với đáy -Đường trung bình tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích tỉ lệ với : Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (9) Chuyên đề BD.HSG Hình học -Đường trung tuyến tam giác chia tam giác đó thành hai phần có diện tích -Ba tam giác có chung đỉnh là trọng tâm tam giác còn đáy là ba cạnh thì có diện tích -Nếu tam giác và hình bình hành có cùng đáy và cùng chiều cao thì diện tích tam giác nửa diện tích hình bình hành B/.PHẦN II I.CÁC BÀI TOÁN MẪU : Bài : Cho tam giác ABC Từ điểm O tam giác, ta kẻ OH AB, OK AC, OI BC Chứng minh O di động tam giác thì tổng OH + OK + OI không đổi Giải A H K O B I C Gọi cạnh tam giác ABC là a và chiều cao là h, thì SABC = a.h và AB = BC = CA = a Ta có SABC = SAOB + SBOC + SCOA SAOB = AB.OH SBOC = BC.OI SCOA = BC.OI Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / (10) Chuyên đề BD.HSG Hình học 1 1 Cộng vế theo vế ta : a.h = AB.OH + BC.OI + BC.OI 2 2 1 1 1 <=> a.h = a.OH + a.OK + a.OI <=> a.h = a(OH + OK + OI) 2 2 2 <=> h = OH + OK + OI Mà h : không đổi => OH + OK + OI không đổi +Nếu O thuộc cạnh tam giác thì bài toán trên đúng +Nếu thay tam giác đa giác thì tổng khoảng cách từ điểm O nằm đa giác đến các cạnh đa giác không đổi Bài : Chứng minh định lý Py-ta-go : Trong tam giác vuông bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vuông Ta đã biết chứng minh định lý này cách sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông Ta sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh định lý này : Chứng minh N G M A F H C B E D K Lấy các cạnh tam giác ABC có  = 900 làm cạnh dựng ngoài tam giác các hình vuông BCDE, ABFG , ACMN có diện tích là : SBCDE =BC2 = a2 , SABFG = AB2 = c2 , SACMN = AC2 = b2 Ta phải chứng minh SBCDE = SABFG + SACMN hay a2 = b2 + c2 Kẻ đường cao AH ABC kéo dài cắt DE K + Ta chứng minh SABFG = SBHKE Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 10 (11) Chuyên đề BD.HSG Hình học Nối AE và CF : ABE = CBF (c-g-c) => SABE = SCBF (1) FBC và hình vuông ABFG có chung cạnh đáy FB, đường cao ứng với đáy này là AB => SCBF = SABFG (2) ABE và hình vuông BHKE có chung cạnh đáy là BE, đường cao ứng với cạnh đáy này BH => SABE = SBHKE (3) Từ (1), (2) và (3) => SABFG = SBHKE (*) +Ta chứng minh SACMN = SCDKH Nối BM và AD BCM = DCA (c-g-c) => SBCM = SDCA (4) BCM và hình vuông ACMN có chung cạnh đáy CM và có đường cao và AC => SBCM = SACMN (5) ACD và hình vuông CDKH có chung cạnh đáy là CD và có đường cao và KD => SACD = SCDKH (6) Từ (4), (5) và (6) => SACMN = SCDKH (**) Cộng (*) và (**) vế theo vế, ta : SBHKE = SABFG SCDKH = SACMN SBCDE = SABFG + SACMN Hay a2 = b2 + c2 Bài : Cho tam giác ABC Trên phần kéo dài các cạnh AB, BC và AC lấy các điểm D, E, F (B nằm A và D ; C năm B và E ; A nằm C và F) cho BD = AB ; CE = BC và AF = AC Gọi s là diện tích ABC Tính diện tích DEF theo s Giải GT ABC có diện tích là s AB = BD ; BC = CE ; AC = AF KL SDEF ? Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 11 (12) Chuyên đề BD.HSG Hình học F A B C E D Cách : Sử dụng tính chất diện tích Xét ABE có AC là trung tuyến (BC = CE) => SABC = SACE = s => SABE = SABC + SACE = 2s AED có EB là trung tuyến (AB = BD) => SABE = SBED = 2s => SAED = SABE + SBED = 4s BCF có BA là trung tuyến (AC = AF) => SABC = SBAF = s CEF có EA là trung tuyến (AC = AF) => SACE = SAEF = s => SCEF = SACE + SAEF = 2s AFD có FB là trung tuyến (AB = BD) => SDBF = SBAF = s => SAFD = SDBF + SBAF = 2s SDEF = SAED + SAFE + SAFD = 4s + s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s Cách : Kẻ BI AC và EH CF Chứng minh vuông BIC = vuông EHC (Cạnh huyền và góc nhọn) => BI = EH Ta có AC = AF và AC + AF = CF => CF = 2AC => SCEF = 2SABC = 2s (hai tam giác có cung đường cao cạnh đáy CF CEF gấp hai lần cạnh đáy AC ABC) Tương tự ta chứng minh SADF = 2SABC = 2s Và SBDE = 2SABC = 2s Mà SDEF = SABC + SBED + SCFE + SAFD = s + 2s + 2s + 2s = 7s Vậy SDEF = 7s Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 12 (13) Chuyên đề BD.HSG Hình học Bài : Cho hình vuông ABCD cạnh a M, N là trung điểm AD và CD Nối BN và CM cắt E Chứng minh diện tích hình vuông ABCD gấp lần diện tích tam giác BEC GT Hình vuông ABCD có AB = BC = CD = DA = a Và AM = MD , NC = ND KL SABCD = 5SBEC Giải P B H C Q E A M N D Cách : *Để chứng minh SHV/ABCD = 5SBEC Ta chuyển tính SBEC = a2 Để tính diện tích tam giác BEC ta kẻ đường cao EH ứng với cạnh đáy BC (biết BC = a), ta tính EH theo a + Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE + BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E BQP = CEN (gcg) => PQ = NE (2) Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 13 (14) Chuyên đề BD.HSG Hình học Từ (1) và (2) => 2NE = BQ và BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE = 2EN Ta có : BN = BQ + QE + EN = 5NE => NE = BN CE => CE = BN hay = BN CE EH 2 ECH ~ BNC (gg) => = = => EH = BC hay EH = a BN BC 5 1 SBEC = BC.EH = a a = a2 Mà SABCD = a2 2 5 Vậy SBEC = S HV/ABCD hay S HV/ABCD = 5SBEC Cách : Chứng minh BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E 1 SCEN CN a Chứng mính CEN ~ BEC => = = SBEC BC a => SCEN = SBEC 1 Kẻ đường chéo BD hình vuông ABCD => SBCD = S HV/ABCD = a2 2 11 2 BCD có BN là đường trung tuyến => SBCN = SBCD = a = a 22 5 Mà SBCN = SBEC + SCEN = SBEC + SBEC = SBEC hay a = SBEC 4 4 2 => 5SBEC = a , mà a = SHV/ABCD Do đó SHV/ABCD = 5SBEC Cách : + Gọi P là trung điểm BC và Q là trung điểm BE => PQ là đường trung bình tam giác BEC => PQ = CE (1)và PQ // CE + BCN = CDM (cgc) => NBC = MCD và CMD = BNC mà BCM = CMD (SLT) =>BCM = BNC Có : MCD + BCM = 900 (góc hình vuông ABCD) Nên NBC + BCM = 900 => BEC = 900 => CM BN E Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 14 (15) Chuyên đề BD.HSG Hình học BQP = CEN (gcg) => BQ = CE mà BQ = QE (gt) => BQ = QE = CE Ta có BE = BQ + QE = CE + CE = 2CE Trong vuông BEC có BC2 = BE2 + CE2 = (2CE)2 + CE2 = 5CE2 => CE = BC = a a a2 = => BE = 2CE = 5 1 a a BEC vuông E : SBEC = CE BE = = a2 2 5 Mà SABCD = a2 , nên SHV/ABCD = 5SBEC Bài : Cho tam giác ABC cân A, đường cao thuộc cạnh bên h, góc h2 đáy Chứng minh SABC = 4sincos GT Giải : ABC có AB = AC , CM AB M, CM = h, B = KL SABC = h2 4sincos 1 BC.AD = CM.AB 2 => Hãy tính BC và AH theo h và tỉ số lượng giác góc B C, AB theo h và các tỉ số lượng giác góc B C Chứng minh : *Phương pháp : Áp dụng công thức SABC = Kẻ CM AB và AD BC Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 15 (16) Chuyên đề BD.HSG Hình học A M B h D C h MC h = => BC = BC BC sin ADB vuông D, ta có : D là trung điểm BC (vì ABC cân A), nên 1 h AD AD sin h BD = BC = = và tanB = tan = hay = => AD = 2 sin 2sin BD BD cos sin h sin h BD = = cos 2sin cos 2cos BCM vuông M, ta có : sin B = sin = => SABC = h h2 1 h BC.AD = = 2sin 2cos 4sincos Bài : Chứng minh tam giác có số đo các cạnh nhỏ thì diện tích tam giác nhỏ Phương pháp : *Nếu tam giác có cạnh thì diện tích là * Nếu tam giác có cạnh nhỏ thì diện tích nhỏ Chứng minh : Giả sử tam giác ABC có cạnh AB lớn , mà AB < Trên nửa mặt phẳng chứa tam giác ABC có bờ là đường thẳng chứa cạnh AB ta dựng tam giác ABC’ có cạnh AB < => SABC’ < Và AC ≤ AC’ , BC ≤ BC’ Từ C và C’ ABC và ABC’ kẻ hai đường cao tương ứng có chiều dài là h và h’ => h ≤ h’ Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 16 (17) Chuyên đề BD.HSG Hình học C' B A 1 => SABC = AB.h và SABC’ = AB.h’, h ≤ h’ => SABC ≤ SABC’ 2 Mà SABC’ < (vì cạnh AB tam giác ABC’ nhỏ 1) Vậy SABC < Bài : Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao tương ứng AH, BI và CK Chứng minh SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC *Phương pháp : Từ hệ thức bài toán cần chứng minh ta có : SHIK = - cos2A - cos2B - cos2C và SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI SABC SAKI SBKH SCHI => Ta phải chứng minh : = cos2A, = cos2B, = cos2C SABC SABC SABC Chứng minh : Cách 1: A M I K C B H Ta có : SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 17 (18) Chuyên đề BD.HSG Hình học SHIK SABC SAKI SBKH SCHI = SABC SABC SABC SABC SABC SHIK SAKI SBKH SCHI = 1SABC SABC SABC SABC *Từ K kẻ KM AC => KM // BI (vì cùng vuông góc với AC) AK KM Tam giác ABI có KM //BI => = (1) AB BI Chia hai vế cho SABC, ta : SAKI AI KM AI.KM AI KM = = = SABC BI AC BI.AC AC BI (2) SAKI AI AK AI.AK AI AK = = = SABC AC AB AB.AC AB AC AI = cosA AB AK Tam giác AKC vuông K (vì CK AB) => = cosA AC AI AK SAKI Nên = cos2A , đó = cos2A AB AC SABC SBKH SCHI Tương tự ta chứng minh : = cos2B, = cos2C SABC SABC SHIK SABC SAKI SBKH SCHI Vậy = = - cos2A - cos2B - cos2C SABC SABC SABC SABC SABC Nên : SHIK = (1 - cos2A - cos2B - cos2C).SABC Cách : *Xét ABI vuông I và ACK vuông K có góc  chung (hoặc ABI = ACK - cùng phụ với góc  hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) AB AI AI AK => ABI ~ ACK => = => = AC AK AB AC AI AK + AIK và ABC có : = và  góc chung => AIK ~ ABC AB AC SAKI AI => = ( )2 = cos2A (1) SABC AB *Xét ABH vuông H và CBK vuông K có góc B chung (hoặc BAH = BCK - cùng phụ với góc B hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) Tam giác ABI vuông I (vì BI AC) => Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 18 (19) Chuyên đề BD.HSG Hình học AB BH BH BK = => = BC BK AB BC BH BK + BHK và BAC có : = và góc B chung => BHK ~ BAC AB BC SBKH BH => = ( ) = cos2B (2) SABC AB *Xét ACH vuông H và BCI vuông I có góc C chung (hoặc CAH = CBI - cùng phụ với góc C hay hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) AC CH CH CI ACH ~ BCI => = => = BC CI AC BC CH CI +CHI và CAB có = và góc C chung => CHI ~ CAB AC BC SCHI CH => = ( )2 = cos2C (3) SABC AC Và ta có : SHIK = SABC - SAKI - SBKH - SCHI SHIK SABC SAKI SBKH SCHI Hay = SABC SABC SABC SABC SABC SAKI SBKH SCHI = 1(4) SABC SABC SABC SHIK Từ (1), (2),(3) và (4) => = - cos2A - cos2B - cos2C SABC Hay SHIK = (1 - cos A - cos2B - cos2C).SABC ABH ~ CBK => Bài : Chứng minh định lý : “Trong tam giác chân đường phân giác góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng ấy.” Giải : Cách : Vận dụng định lý Talét GT ABC có AD là phân giác góc  (D BC) KL BD AB = CD AC Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 19 (20) Chuyên đề BD.HSG Hình học A C B D E Từ đỉnh B kẻ BE // AC cắt tia AD E Ta có BAD = CAD (gt) BEA = CAD ( so le - vì BE // AC) => BAD = BEA => ABE cân B => AB = BE ADC có BE // AC (Áp dụng hệ định lý Ta-lét ) => BD BE = CD AC BE AB BD AB = Vậy = AC AC CD AC Cách : Giải phương pháp diện tích : Mà BE = AB , đó A F E B H D C Kẻ đường cao AH ( AH BC) và từ D kẻ DE AB , DF AC Theo tính chất tia phân giác góc ta có DE = DF (DE và DF là khoảng cách từ điểm D trên tia phân giác AD góc A đến hai cạnh AB và AC ) Biên soạn : Nguyễn Song - GV trường THCS CHU VĂN AN Lop7.net HH / 20 (21)