Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 7 đại số

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:.. Tính giá trị của A.[r]

(1)

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n dãy số sau:

a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn:

a) n(n+2) b) (3n-2)3n c)

( 1)

n n 

d) 1+n2 e) n(n+5)

f) (3n-2)(3n+1) g)

( 3)

n n 

h)

( 1)( 2)

n n

i)

 

( 1)( 2)

n n n

Bài 2: Tính:

a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn:

a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2

b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98)

3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101

A = 333300 Tổng quát:

A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1):

Bài 3: Tính:

A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn:

(2)

A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99

A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250

Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2

A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4: Tính:

A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn:

A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900

A = 343200 Bài 5: Tính:

A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn:

1

2A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100

A= 666600 Bài 6: Tính:

A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn:

2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2

A= 166650 Bài 7: Tính:

A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn:

2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2

A = 169125 Bài 8: Tính:

A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn:

2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2

A = 171600 Bài 9: Tính:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn:

4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97)

(3)

4A = 98.99.100.101 A = 2449755

Tổng quát:

A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4

Bài 10: Tính:

A = 12+22+32+ +992+1002 Hướng dẫn:

A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050

A = 338050 Tổng quát:

A = 12+22+32+ +(n-1)2+n2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6

Bài 11: Tính:

A = 22+42+62+ +982+1002 Hướng dẫn:

A = 22(12+22+32+ +492+502) Bài 12: Tính:

A = 12+32+52+ +972+992 Hướng dẫn:

A = (12+22+32+ +992+1002)-(22+42+62+ +982+1002) A = (12+22+32+ +992+1002)-22(12+22+32+ +492+502) Bài 13: Tính:

A = 12-22+32-42+ +992-1002 Hướng dẫn:

A = (12+22+32+ +992+1002)-2(22+42+62+ +982+1002) Bài 14: Tính:

A = 1.22+2.32+3.42+ +98.992 Hướng dẫn:

A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính:

A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn:

(4)

A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn:

A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (22+42+62+ +982+1002)+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính:

A = 13+23+33+ +993+1003 Hướng dẫn:

A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+ +992(98+1)+1002(99+1)

A = (1.22+2.32+3.42+ +98.992+99.1002)+(12+22+32+ +992+1002)

A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(12+22+32+ +992+1002)

A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(12+22+32+ +992+1002)

A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (12+22+32+ +992+1002) Bài 18: Tính:

A = 23+43+63+ +983+1003 Hướng dẫn:

Bài 19: Tính:

A = 13+33+53+ +973+993 Hướng dẫn:

Bài 20: Tính:

(5)

Chuyên đề:

TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A CƠ SỞ LÍ THUYẾT

I TỈ LỆ THỨC 1 Định nghĩa:

Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số

a b=

c

d (hoặc a : b = c : d).

Các số a, b, c, d gọi số hạng tỉ lệ thức; a d số hạng hay ngoại tỉ, b c số hạng hay trung tỉ

2 Tính chất:

Tính chất 1: Nếu

a b=

c

d ad=bc

Tính chất 2: Nếu ad=bc a, b, c, d ¿0 ta có tỉ lệ thức sau:

a b=

c

d , a c=

b

d , d b=

c

a , d c=

b a

Nhận xét: Từ năm đẳng thức ta suy đẳng thức cịn lại.

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ

a b=

c

d suy ra: a b=

c d=

a+c b+d=

a−c b−d

-Tính chất cịn mở rộng cho dãy tỉ số nhau:

a b=

c d=

e

f suy ra: a b=

c d=

e f =

a+b +c b+d +f =

a−b+c b−d+f = (giả thiết tỉ số có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số

a

2=

b

3=

c

5 ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2, 3, 5.

(6)

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.

Ví dụ 1: Tìm hai số x y biết

x

2=

y

3 x+ y=20

Giải:

Cách 1: (Đặt ẩn phụ)

Đặt

x

2=

y

3=k , suy ra: x=2 k , y=3k

Theo giả thiết: x+ y=20 ⇒2 k +3 k =20 ⇒5 k =20⇒ k =4 Do đó: x=2 4=8

y=3 4=12 KL: x=8 , y=12

Cách 2: (sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau):

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

x

2=

y

3=

x + y

2+3= 20

5 =4

Do đó:

x

2=4 ⇒ x=8

y

3=4 ⇒ y =12

KL: x=8 , y=12

Cách 3: (phương pháp thế)

Từ giả thiết

x

2=

y

3⇒x= 2 y

3

mà x+ y=20 ⇒

2 y

3 +y=20 ⇒ y =60 ⇒ y=12

Do đó: x=

(7)

KL: x=8 , y=12

Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:

x

3=

y

4 ,

y

3=

z

5 2x−3 y+z=6

Giải:

Từ giả thiết:

x

3=

y

4⇒

x

9=

y

12 (1)

y

3=

z

5⇒

y

12=

z

20 (2)

Từ (1) (2) suy ra:

x

9=

y

12=

z

20 (*)

Ta có:

x

9=

y

12=

z

20= 2 x 18 =

3 y 36 =

z

20=

2 x−3 y +z 18−36+20=

6 2=3

Do đó:

x

9=3 ⇒ x=27

y

12=3 ⇒ y=36

z

20 =3⇒ z=60

KL: x=27 , y=36 , z=60

Cách 2: Sau làm đến (*) ta đặt

x

9=

y

12=

z

20=k ( sau giải cách VD1).

Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)

Từ giả thiết:

y

3=

z

5⇒y= 3 z

5

x

3=

y

4⇒x= 3 y

4 = 3 z

5 =

9 z 20

mà 2 x −3 y+z=6 ⇒2

9 z 20 −3

3 z

5 +z=6 ⇒

z

10 =60 ⇒ z=60

Suy ra: y=

3.60

5 =36 , x= 9.60 20 =27

(8)

Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:

x

2=

y

5 x y=40

Giải:

Cách 1: (đặt ẩn phụ)

Đặt

x

2=

y

5=k , suy x=2 k , y=5k

Theo giả thiết: x y=40⇒ 2k k =40 ⇒10 k2=40⇒ k2=4 ⇒k=±2 + Với k=2 ta có: x=2.2=4

y=5.2=10

+ Với k =−2 ta có: x=2 (−2)=−4 y=5.(−2)=−10 KL: x=4 , y=10 x=−4 , y=−10

Cách 2: ( sử dụng tính chất dãy tỉ số nhau)

Hiển nhiên x ¿0

Nhân hai vế

x

2=

y

5 với x ta được:

x2

2=

xy

5 = 40

5 =8

⇒x2=16 ⇒x=±4

+ Với x=4 ta có

4 2=

y

5⇒y=

2 =10

+ Với x=−4 ta có

−4 =

y

5⇒y= −4

2 =−10

KL: x=4 , y=10 x=−4 , y=−10

Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách ví dụ 1.

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Tìm số x, y, z biết rằng:

a)

x

10=

y

6=

z

21 x+ y−2z=28 b)

x

3=

y

4 ,

y

5=

z

7 2x+3 y−z=124

c)

2 x =

3 y =

4 z

5 x+ y+ z=49 d)

x

2=

y

(9)

e)

x

5=

y

3 x2−y2=4 f) x y +z +1=

y z+x +1=

z

x+ y−2=x+ y+ z

a) x 10= y 6= z

21 x+ y−2z=28 b)

x

3=

y

4 ,

y

5=

z

7 2x+3 y−z=124

c) 2 x = 3 y = 4 z

5 x+ y+ z=49 d)

x

2=

y

3 xy=54

e)

x

5=

y

3 x2−y2=4 f) x y +z +1=

y z+x +1=

z

x+ y−2=x+ y+ z

a) x=2 y , y=5z x− y+z=32 b)

x−1

2 =

y−2

3 =

z−3

4 2x+3 y−z=50

c) 2x=3 y=5 z x+ y−z=95 d)

x

2=

y

3=

z

5 xyz=810

e)

y +z +1

x = z+x +2 y = x+ y−3 z =

x+ y+z f) 10 x=6 y 2x2−y2=−28

Bài : Tìm số x, y, z biết rằng:

a) x=2 y , y=5z x− y+z=32 b)

x−1

2 =

y−2

3 =

z−3

4 2x+3 y−z=50

c) 2x=3 y=5 z x+ y−z=95 d)

x

2=

y

3=

z

5 xyz=810

e)

y +z +1

x = z+x +2 y = x+ y−3 z =

x+ y+z f) 10 x=6 y 2x2−y2=−28

Bài 5: Tìm x, y biết rằng:

1+2 y 18 = 1+4 y 24 = 1+6 y 6 x

Bài : Tìm x, y biết rằng:

1+2 y 18 = 1+4 y 24 = 1+6 y 6 x

Bài 7: Cho a+b +c +d≠0

a b+c +d=

b a+c +d=

c a+b +d=

(10)

Tìm giá trị của: A=

a+ b c +d +

b+c a+d+

c +d a+b+

d+a b+c

Giải:

1

3( )

a b c d a b c d

b c d a c d a b d a b c a b c d

  

    

           ( Vì a+b +c +d≠0 )

=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4

Bài 8: Tìm số x; y; z biết rằng:

a)

x

y 3 5x – 2y = 87; b)

x y

1921 2x – y = 34;

b)

3 3

x y z

8 64216 x2 + y2 + z2 = 14 c)

2x 3y 2x 3y

5 6x

   

 

Bài 9: Tìm số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm số x, y, z biết :

a) x : y : z = : : 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y)

Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 x = - 9; y = - 12; z = - 15.

b) Từ đề suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác nên 2y – x = 0, : x = 2y Từ tìm : x = 4/3; y = 2/3

Bài 11 Tìm hai số hữu tỉ a b biết hiệu a b thương a b hai

lần tổng a b ?

Giai Rút được: a = - 3b, từ suy : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 12: Cho ba tỉ số nhau:

a , b , c

b c c a a b   Biết a+b+c0.Tìm giá trị tỉ số ?

Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 trường THCS tỉ lệ với 9;10;11;8 Biết số

học sinh khối nhiều số học sinh khối em Tính số học sinh trường đó?

Bài 14: Chứng minh có số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

[ab(ab−2 cd)+c2d2].[ab(ab−2)+2(ab +1)]=0

thì chúng lập thành tỉ lệ thức

Giải: ab ab  2cdc d2 2.ab ab  22(ab1) 0

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với a,b) =>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

(11)

DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC Để chứng minh tỉ lệ thức:

A B=

C

D ta thường dùng số phương pháp sau:

Phương pháp 1: Chứng tỏ A D = B.C Phương pháp 2: Chứng tỏ hai tỉ số

A B

C

D có giá trị.

Phương pháp 3: Sử dụng tính chất tỉ lệ thức.

Một số kiến thức cần ý: +)

a b=

na

nb (n≠0 )

+)

a b=

c d ⇒(

a b)

n

=(c

d)

n

Sau số ví dụ minh họa: ( giả thiết tỉ số có nghĩa)

Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức

a b=

c

d .Chứng minh rằng: a+b a−b=

c+d c−d

Giải:

Cách 1: (PP1)

Ta có: (a+b )(c−d )=ac−ad +bc−bd (1) (a−b )( c+d )=ac+ad−bc−bd (2)

Từ giả thiết:

a b=

c

d⇒ad =bc (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: (a+b )(c−d )=(a−b)( c+d )

⇒

a+b a−b=

c+d

c−d (đpcm)

Cách 2: (PP2)

Đặt

a b=

c

d=k , suy a=bk , c=dk

Ta có:

a+b a−b=

kb+b kb−b=

b( k+1) b(k −1)=

k +1

(12)

c+d c−d=

kd +d kd−d=

d (k +1) d (k−1)=

k +1

k−1 (2)

Từ (1) (2) suy ra:

a+b a−b=

c+d

c−d (đpcm)

Cách 3: (PP3)

Từ giả thiết:

a b=

c d⇒

a c=

b d

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có:

a c=

b d=

a+b c +d=

a−b c−d

⇒

a+b a−b=

c+d

c−d (đpcm)

Hỏi: Đảo lại có khơng ?

Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức

a b=

c

d Chứng minh rằng:

ab cd=

a2−b2

c2−d2

Giải:

Cách 1: Từ giả thiết:

a b=

c

d⇒ad =bc (1)

Ta có: ab(c2−d2)=abc2−abd2=acbc−adbd (2)

cd(a2−b2)=a2cd −b2cd =acad−bc bd (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: ab(c2−d2)=cd(a2−b2)

⇒

ab cd=

a2−b2

(13)

Cách 2: Đặt

a b=

c

d=k , suy a=bk , c=dk

Ta có: ab cd=

bk b dk d=

kb2 kd2=

b2 d2

(1)

a2−b2

c2

−d2=

(bk )2−b2 (dk )2−d2=

b2k2−b2

d2k2

−d2=

b2(k2−1) d2

(k2−1 )=

b2 d2

(2)

Từ (1) (2) suy ra: ab cd=

a2−b2

c2−d2 (đpcm)

Cách 3: Từ giả thiết:

a b=

c d⇒

a c=

b d⇒

ab cb=

a2 c2=

b2 d2=

a2−b2

c2−d2

⇒

ab cd=

a2−b2

c2−d2 (đpcm)

BÀI TẬP VẬN DỤNG:

Bài 1: Cho tỉ lệ thức:

a b=

c

d Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số

đều có nghĩa)

1)

3a+5b 3 a−5b=

3c+5d

3c−5d 2) (

a+b c+d)

2

=a

2

+b2

c2+d2

3)

a−b a+b=

c−d

c+d 4) ab cd=

(a−b)2 (c−d )2

5)

2a+5b 3 a−4b=

2 c+5d

3 c−4d 6)

2005 a−2006 b 2006 c+2007 d =

2005 c−2006 d 2006 a+2007 b

7)

a a+b=

c

c +d 8)

7 a2+5 ac 7 a2−5 ac=

(14)

a b=

c d

Chứng minh ta có tỉ lệ thức sau: (với giả thiết tỉ số có nghĩa)

a)

3 a+5b 3 a−5 b=

3 c+5d

3c−5 d b) (

a+b c+d)

2

=a

2

+b2

c2+d2 c) a−b a+b= c−d c+d d) ab cd= (a−b)2

(c−d )2 e)

2a+5b 3 a−4b=

2 c+5d

3 c−4d f)

2008 2009 2008 2009 2009 2010 2009 2010

a b c d

c d a b

     g) a a+b= c

c +d h)

7 a2+5 ac 7 a2−5 ac=

7 b2+5 bd

7 b2−5 bd i)

2

2 2

7a 3ab 7c 3cd

11a 8b 11c 8d

 



 

Bài 3: Cho

a b=

b c=

c

d Chứng minh rằng: (

a+b+c b+c +d)

3

=a

d

Bài 4: Cho

a b=

b c=

c

d Chứng minh rằng: (

a+b+c b+c +d)

3

=a

d

Bài 5: Cho

a 2003= b 2004= c 2005

Chứng minh rằng: 4(a−b)(b−c)=(c−a)2

Bài 6: Cho dãy tỉ số nhau:

3 2008

1

2 2009

a a

a a a  a

CMR: Ta có đẳng thức:

2008

1 2008

1

2009 2009 a a a a a

a a a a a

     

 

   

 

Bài 7: Cho

a1 a2=

a2

a3= = a8 a9=

a9

a1 a1+a2+ +a9≠0

(15)

Bài 8: Cho

a

2003=

b

2004=

c

2005

Chứng minh rằng: 4(a−b)(b−c)=(c−a)2

Bài 9: Chứng minh :

a b=

b

d

a2+b2

b2+d2=

a d

Bài 10: Cho

a1 a2=

a2

a3= = a8 a9=

a9

a1 a1+a2+ +a9≠0

Chứng minh rằng: a1=a2= .=a9

Bài 11: CMR: Nếu a2=bc

a+b a−b=

c+a

c−a Đảo lại có khơng?

Bài 12: Chứng minh :

a b=

b

d

a2+b2

b2+d2=

a d

Bài 13: Cho

a+b a−b=

c+d

c−d CMR: a b=

c d

Bài 14 Cho tỉ lệ thức :

2 2

a b ab

c d cd

 

 Chứng minh rằng:

a c

b d .

Giải Ta có :

a2+b2

c2+d2= ab

cd =

2 ab 2 cd=

a2+2 ab+ b2

c2+2 cd+ d2=

(a+ b)2 (c +d )2=

ab cd⇒

(a+ b) (a+b ) (c +d ) (c+ d )=

a b c d ;

⇒c(a+b)

a(c +d)=

b(c +d) d(a+b)=

ca+ cb ac +ad=

bc+bd da+db=

ca−bd

ca−bd=1 ⇒ca +cb=ac +ad ⇒ cb=ad ⇒ a b=

c d

Bài 15: Chứng minh nếu:

u+2 u−2=

v +3

v−3 u

2=

v

3

Bài 16: CMR: Nếu a2=bc

a+b a−b=

c+a

c−a Đảo lại có khơng?

(16)

trong a, b,c khác khác :

y− z a(b−c)=

z−x b(c−a)=

x− y c(a−b)

Bài 18: Cho

a+b a−b=

c+d

c−d CMR: a b=

c d

Bài 19: Cho

a b=

c

d Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 zc +td≠0

Chứng minh rằng:

xa+ yb za+tb =

xc+ yd zc+td

Bài 20: Chứng minh nếu:

u+2 u−2=

v +3

v−3 u

2=

v

3

Bài 21: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b2=ac ; c2=bd

và b3+c3+d3≠0

a3+b3+c3

b3+c3+d3=

a d

Bài 22: CMR a( y+z )=b( z+x)=c ( x+ y ) Trong a, b,c khác khác :

y− z a(b−c)=

z−x b(c −a)=

x− y c(a−b )

Bài 23: Cho

P= ax2+bx+c a1x2+b

1x+c1 Chứng minh

a a1=

b b1=

c

c1 giá trị P khơng

phụ thuộc vào x

Bài 24: Cho biết :

' '

a b b c

1;

a b  b c  CMR: abc + a’b’c’ = 0.

Bài 25: Cho

a b=

c

d Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa+ yb≠0 zc +td≠0

xa+ yb za+tb =

(17)

Bài 26: Cho a, b, c, d số khác thỏa mãn: b2=ac ; c2=bd b3+c3+d3≠0

a3+b3+c3

b3+c3+d3=

a d

Bài 27: Cho P=

ax2+bx+c

a1x2+b1x+c1 Chứng minh a a1=

b b1=

c

c1 giá trị P không

phụ thuộc vào x

2a 13b 2c 13d 3a 7b 3c 7d

 



  ; Chứng minh rằng:

a c

b d .

Bài 29: Cho dãy tỉ số :

bz cy cx az ay bx

a b c

  

 

; CMR:

x y z

a b c .

Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010 Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A> MỤC TIÊU

Thông qua việc giải toán phát triển tư độc lập, sáng tạo học sinh, rèn ý chí vượt qua khó khăn

B> THỜI LƯỢNG

Tổng số :(6 tiết)

1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)

2)Các dạng tập phương pháp giải(5 tiết)

(18)

*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm trục số giá trị tuyệt đối số a( a

là số thực)

* Giá trị tuyệt đối số không âm nó, giá trị tuyệt đối số âm số đối nó.

TQ: Nếu a≥0⇒|a|=a Nếu a<0⇒|a|=−a Nếu x-a  0=> = x-a Nếu x-a  0=> = a-x *Tính chất

Giá trị tuyệt đối số không âm TQ: |a|≥0 với a  R

Cụ thể: =0 <=> a=0 ≠ <=> a ≠ 0

* Hai số đối có giá trị tuyệt đối nhau, ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối chúng hai số đối

TQ:

|a|=|b|⇔

¿ [a=b

[a=−b[¿

* Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối

TQ: −|a|≤a≤|a| −|a|=a⇔a≤0; a=|a|⇔a≥0

* Trong hai số âm số nhỏ có giá trị tuyệt đối lớn hơn

TQ: Nếu a<b<0⇒|a|>|b|

* Trong hai số dương số nhỏ có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn

TQ: Nếu 0<a<b⇒|a|<|b|

* Giá trị tuyệt đối tích tích giá trị tuyệt đối.

TQ: |a.b|=|a|.|b|

* Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối.

TQ: |

a b|=

|a| |b|

* Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số đó.

TQ: |a|2=a2

* Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số lớn giá trị tuyệt đối hai số, dấu

bằng xảy hai số dấu TQ: |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|=|a+b|⇔a.b≥0

2 Các dạng toán :

(19)

1 Dạng : |A(x)|=k ( Trong A(x) biểu thức chứa x, k số cho trước ) * Cách giải:

- Nếu k < khơng có giá trị x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số không âm )

- Nếu k = ta có |A( x)|=0⇒ A(x )=0 - Nếu k > ta có:

|A ( x )|= k ⇒

¿ [ A ( x )= k

[ A ( x )=−k [¿ Bài 1.1: Tìm x, biết:

a) |2 x−5|=4 b)

1 3−|

5

4−2 x|=

4 c)

1 2−|x+

1 5|=

1

3 d) 34−|2 x+1|=

Giải a) = x= 

a) |2 x−5|=4 2x-5 =  * 2x-5 = 2x = x = 4,5 * 2x-5 = - 2x =5-4 2x =1 x =0,5

Tóm lại: x = 4,5; x =0,5

b) 3−|

5

4−2 x|=

\f(5,4 = \f(1,3 - \f(1,4

Bài 1.2: Tìm x, biết:

a) 2|2x−3|=

1

2 b) 7,5−3|5−2 x|=−4,5 c) |x+

4

15|−|−3,75|=−|−2,15|

a) 2|3x−1|+1=5 b) |

x

2−1|=3 c) |−x+

2 5|+

1

2=3,5 d) |x−

1 3|=2

1

a) |x+ 4|−

3

4=5% b) 2−| 2x−

1 4|=|

−5

4 | c)

3 2+

4 5|x−

3 4|=

7

4 d) 4,5− 4|

1 2x+

5 3|=

5

(20)

a) 6,5− 4:|x+

1

3|=2 b) 11

4 + 2:|4 x−

1 5|=

7

2 c) 15

4 −2,5:| 4x+

1

2|=3 d) 21

5 +3:|

x

4− 3|=6

2 Dạng 2: |A(x)|=|B(x)| ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x ) * Cách giải:

Vận dụng tính chất:

|a|=|b|⇔

¿ [a=b

[a =−b[¿ ta có:

|A ( x )|=|B ( x )|⇒

¿ [A ( x )= B ( x )

[ A ( x )=−B ( x )[¿

a) |5 x−4|=|x+2| b) |2 x−3|−|3 x+2|=0 c) |2+3 x|=|4 x−3| d) |7 x+1|−|5 x+6|=0 a) |5 x−4|=|x+2|

* 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6

x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 6x=

x= \f(1,3

Vậy x= 1,5; x= \f(1,3

a) | 2x+

1

2|=|4 x−1| b) | 4x−

7 2|−|

5 8x+

3

5|=0 c) | 5x+

2 3|=|

4 3x−

1

4| d) | 8x+

5 6|−|

1

2x+5|=0

3 Dạng 3: |A(x)|=B(x) ( Trong A(x) B(x) hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thoả mãn giá trị tuyệt đối của số không âm Do ta giải sau:

|A(x)|=B(x) (1)

Điều kiện: B(x) ¿0 (*)

(1) Trở thành

|A ( x )|=|B ( x )|⇒

¿ [A ( x )= B ( x )

[ A ( x )=−B ( x )[¿ ( Đối chiếu giá tri x tìm với điều kiện ( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: Nếu a≥0⇒|a|=a

Nếu a<0⇒|a|=−a

Ta giải sau: |A(x)|=B(x) (1)

(21)

 Nếu A (x ) < (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện )

VD1: Giải :

a0) Tìm x  Q biết \f(2,5 =2x

* Xét x+ \f(2,5  ta có x+ \f(2,5 =2x *Xét x+ \f(2,5 < ta có x+ \f(2,5 =- 2x

a) |

2x|=3−2x b) |x−1|=3x+2 c) |5 x|=x−12 d) |7−x|=5 x+1

a) |9+x|=2x b) |5 x|−3 x=2 c) |x+6|−9=2x d) |2 x−3|+x=21

a) |3 x−1|+2=x b) |3 x−1|+2=x c) |x+15|+1=3 x d) |2 x−5|+x=2

a) |2 x−5|=x+1 b) |3 x−2|−1=x c) |3 x−7|=2x+1 d) |2 x−1|+1=x

a) |x−5|+5=x b) |x+7|−x=7 c) |3 x−4|+4=3x d) |7−2x|+7=2 x

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

|A(x)|+|B(x )|+|C(x)|=m

Căn bảng xét khoảng giải toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Ví dụ1 : Tìm x biết x  1 x  32x  (1)

 Nhận xét: Như biến đổi biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta biến đổi biểu thức vế trái đẳng thức Từ tìm x

Giải

Xét x – =  x = 1; x – <  x < 1; x – >  x > x- =  x = 3; x – <  x < 3; x – >  x > Ta có bảng xét dấu đa thức x- x- đây:

Xét khoảng x < ta có: (1)  (1 –

x ) + ( – x ) = 2x –

 -2x + = 2x – x

(22)

 x =

4 (giá trị không thuộc khoảng xét) Xét khoảng  x  ta có:

(1)  (x – ) + ( – x ) = 2x –  = 2x –

 x =

2 ( giá trị thuộc khoảng xét) Xét khoảng x > ta có: (1)  (x – ) + (x – ) = 2x –

 - = -1 ( Vơ lí)

Kết luận: Vậy x = 2 VD2 : Tìm x

+ =0

Nhận xét x+1=0 => x=-1 x-1=0 => x=1 Ta lập bảng xét dấu

x -1

x+1 - + + x-1 - - + Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

Nếu x<-1

Nếu -1  x  Nếu x >1

a) 4|3x−1|+|x|−2|x−5|+7|x−3|=12 b) 3|x+4|−|2 x+1|−5|x+3|+|x−9|=5 c) |2

1

5−x|+|x− 5|+8

1

5=1,2 d) 2|x+3

1

2|+|x|−3 2=|2

1 5−x|

a) |2 x−6|+|x+3|=8

c) |x+5|+|x−3=9| d) |x−2|+|x−3|+|x−4|=2 e) |x+1|+|x−2|+|x+3|=6 f) 2|x+2|+|4−x|=11

a) |x−2|+|x−3|+|2 x−8|=9 b) 3 x|x+1|−2x|x+2|=12

c) |x−1|+3|x−3|−2|x−2|=4 d) |x+5|−|1−2 x|=x

e) |x|−|2x+3|=x−1 f) |x|+|1−x|=x+|x−3|

(23)

a) |x−2|+|x−5|=3 b) |x−3|+|x+5|=8 c) |2 x−1|+|2 x−5|=4 d) |x−3|+|3 x+4|=|2 x+1|

5 Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:

|A(x)|+|B(x )|+|C(x)|=D(x) (1)

Điều kiện: D(x) ¿0 kéo theo A ( x)≥0;B( x)≥0;C( x )≥0

Do (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)

a) |x+1|+|x+2|+|x+3|=4 x b) |x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|=5 x−1 c) |x+2|+|x+

3 5|+|x+

1

2|=4 x d) |x+1,1|+|x+1,2|+|x+1,3|+|x+1,4|=5 x

a) |x+

101|+|x+

101|+ +|x+ 100

101|=101 x

b) |x+ 1.2|+|x+

1 2.3|+|x+

1

3.4|+ +|x+

99.100|=100 x

c) |x+ 1.3|+|x+

1 3.5|+|x+

1

5.7|+ +|x+

97.99|=50 x

d) |x+ 1.5|+|x+

1 5.9|+|x+

1

9.13|+ +|x+

397.401|=101 x

6 Dạng 6: Dạng hỗn hợp: Bài 6.1: Tìm x, biết:

a) ||2 x−1|+

1 2|=

4

5 b) |x

2+2|x−1

2||=x

2+2

c) |x

2

|x+3 4||=x

2

a) ||2 x−1|− 2|=

1

5 b) ||

1 2x+1|−

3 4|=

2

5 c) |x|x

2

+3 4||=x

a) |x|x

2

−3

4||=x b) |(x+

1 2)|2 x−

3

4||=2x−

4 c) ||x−

1 2||2x−

3

4||=2 x−

a) ||2x−3|−x+1|=4x−1 b) ||x−1|−1|=2 c) ||3 x+1|−5|=2

7 Dạng 7: |A|+|B|=0

(24)

* Nhận xét: Tổng số không âm số khơng âm tổng số hạng tổng đồng thời

* Cách giải chung: |A|+|B|=0 B1: đánh giá:

|A|≥0

|B|≥ 0

¿}¿

¿⇒|A|+|B|≥ 0¿

B2: Khẳng định: |A|+|B|=0

⇔ A =0 B=0

¿ ¿{¿ ¿ ¿

Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:

a) |3 x−4|+|3 y+5|=0 b) |x− y|+|y+

25|=0 c) |3−2x|+|4 y+5|=0

a) |5− 4x|+|

2

7 y−3|=0 b) | 3−

1 2+

3

4 x|+|1,5− 11 17+

23

13 y|=0 c) |x−2007|+|y−2008|=0

* Chú ý1: Bài tốn cho dạng |A|+|B|≤0 kết không thay đổi * Cách giải: |A|+|B|≤0 (1)

|A|≥0

|B|≥ 0

¿}¿

¿⇒|A|+|B|≥ 0¿ (2)

Từ (1) (2) ⇒ |A|+|B|=0

⇔ A =0 B=0

¿ ¿{¿ ¿ ¿ Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) |5 x+1|+|6 y−8|≤0 b) |x+2 y|+|4 y−3|≤0 c) |x−y+2|+|2 y+1|≤0

a) |12x+8|+|11 y−5|≤0 b) |3 x+2 y|+|4 y−1|≤0 c) |x+ y−7|+|xy−10|≤0

* Chú ý 2: Do tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất khơng âm luỹ thừa bậc chẵn nên kết hợp hai kiến thức ta có tương tự

Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) |x−y−2|+|y+3|=0 b) |x−3 y|2007+|y+4|2008=0

c) (x+ y)2006+2007|y−1|=0 d) |x− y−5|+2007( y−3)2008=0

Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :

a) (x−1)2+(y +3)2=0 b) 2(x−5)4+5|2 y−7|5=0 c) 3( x−2 y)

2004+4|y+1

2|=0 d) |x+3 y−1|+(2 y− 2)

2000

(25)

a) |x−2007|+|y−2008|≤0 b) 3|x− y|

5+10|y+2

3|

7

≤0 c)

1 2(

3 x−

1 2)

2006

+2007 2008|

4 y+

6

25|≤0 d) 2007|2 x−y|2008+2008|y−4|2007≤0

8 Dạng 8: |A|+|B|=|A+B|

* Cách giải: Sử dụng tính chất: |a|+|b|≥|a+b| Từ ta có: |a|+|b|=|a+b|⇔a.b≥0

a) |x+5|+|3−x|=8 b) |x−2|+|x−5|=3 c) |3 x−5|+|3x+1|=6

d) 2|x−3|+|2 x+5|=11 e) |x+1|+|2 x−3|=|3 x−2| f) |x−3|+|5−x|+2|x−4|=2

a) |x−4|+|x−6|=2 b) |x+1|+|x+5|=4 c) |3 x+7|+3|2−x|=13 d) |5 x+1|+|3−2x|=|4+3 x| e) |x+2|+|3 x−1|+|x−1|=3 f) |x−2|+|x−7|=4

1 -

Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Bài 1: Tìm x, biết:

a) |2 x−6|+|x+3|=8 Ta lập bảng xét dấu

x -3

x+3 - + + 2x-6 - - + Căn vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp

* Nếu x<-3

Khi phương trình trở thành - 2x - x - =

-3x = - -3x =

x = - \f(5,3 ( không thỏa mãn x<-3) * Nếu -  x 

- 2x + x + = - x = -1

x = ( thỏa mãn -  x  3) * Nếu x >3

2x-6 + x + = x = 11

x = \f(11,3 ( thỏa mãn x >3)

2-

(26)

Bài 1: Tìm x, biết:

a) ||2 x−1|+

1 2|=

4 5

* + \f(1,2 = \f(4,5 = \f(4,5 - \f(1,2 = \f(3,10

2x-1= \f(3,10 2x = \f(3,10 + x= \f(13,20 <=> <=>

2x-1= - \f(3,10 2x = - \f(3,10 + x= \f(7,20

* + \f(1,2 =- \f(4,5

=- \f(4,5 - \f(1,2 (không thỏa mãn)

3 -

Sử dụng phương pháp bất đẳng thức: Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:

a) |x−y−2|+|y+3|=0 x-y-2 =0 x=-1 <=>

y+3 =0 y= -3

Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :

a) (x−1)2+(y +3)2=0

Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:

a) |x−2007|+|y−2008|≤0

Bài 4: Tìm x thoả mãn:

a) |x+5|+|3−x|=8

II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1 Dạng 1: |A|+|B|=m với m≥0

* Cách giải:

* Nếu m = ta có |A|+|B|=0

⇔ A =0 B=0

¿ ¿{¿ ¿ ¿

* Nếu m > ta giải sau:

|A|+|B|=m (1)

Do |A|≥0 nên từ (1) ta có: 0≤|B|≤m từ tìm giá trị |B| |A| tương ứng

(27)

a) |x−2007|+|x−2008|=0 b) |x−y−2|+|y+3|=0 c) ( x+ y )2+2|y−1|=0

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

a) |x−3 y|5+|y+4|=0 b) |x− y−5|+( y−3)4=0 c) |x+3 y−1|+3|y+2|=0

Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:

a) |x+4|+|y−2|=3 b) |2 x+1|+|y−1|=4 c) |3 x|+|y+5|=5 d)

|5 x|+|2 y+3|=7

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

a) 3|x−5|+|y+4|=5 b) |x+6|+4|2 y−1|=12 c) 2|3x|+|y+3|=10 d) 3|4 x|+|y+3|=21

a) y2=3−|2x−3| b) y2=5−|x−1| c) 2 y2=3−|x+4| d) 3 y2=12−|x−2|

2 Dạng 2: |A|+|B|<m với m > * Cách giải: Đánh giá

|A|+|B|<m (1)

|A|≥0

|B|≥ 0

¿}¿

¿⇒|A|+|B|≥ 0¿ (2)

Từ (1) (2) ⇒0≤|A|+|B|<m từ giải tốn |A|+|B|=k dạng với 0≤k <m

a) |x|+|y|≤3 b) |x+5|+|y−2|≤4 c) |2 x+1|+|y−4|≤3 d) |3 x|+|y+5|≤4

a) 5|x+1|+|y−2|≤7 b) 4|2x+5|+|y+3|≤5 c) 3|x+5|+2|y−1|≤3 d) 3|2x+1|+4|2 y−1|≤7

3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: |a|+|b|≥|a+b| xét khoảng giá trị ẩn số. Bài 3.1: Tìm số nguyên x thoả mãn:

a) |x−1|+|4−x|=3 b) |x+2|+|x−3|=5 c) |x+1|+|x−6|=7 d)

|2 x+5|+|2 x−3|=8

Bài 3.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời điều kiện sau.

a) x + y = |x+2|+|y|=6 b) x +y = |2 x+1|+|y−x|=5 c) x –y = |x|+|y|=3 d) x – 2y = |x|+|2 y−1|=6

Bài 3.3: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:

(28)

c) x – y = |2 x+1|+|2 y+1|=4 d) 2x + y = |2 x+3|+|y+2|=8

4 Dạng 4: Kết hợp tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối dấu tích:

* Cách giải : A(x).B(x)=|A( y )|

Đánh giá: |A( y )|≥0⇒ A( x) B( x)≥0⇒n≤x≤m tìm giá trị x

Bài 4.1: Tìm số nguyên x thoả mãn:

a) (x+2)(x−3)<0 b) (2x−1)(2 x−5)<0 c) 3 2xx20 d)

(3 x+1) (5−2x)>0

a) (2−x) ( x+1)=|y+1| b) ( x+3)(1−x)=|y| c) ( x−2) (5−x)=|2 y+1|+2

a) ( x+1)(3−x)=2|y|+1 b) ( x−2) (5−x)−|y+1|=1 c) ( x−3) ( x−5)+|y−2|=0

5 Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức:

* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B Đánh giá: A≥m (1)

Đánh giá: B≤m (2)

Từ (1) (2) ta có:

A = B ⇔ A =m B= m

¿ ¿{¿ ¿ ¿

a) |x+2|+|x−1|=3−( y+2)2 b) |x−5|+|1−x|= 12 |y+1|+3

c) |y +3|+5=

10

(2 x−6)2+2 d) |x−1|+|3−x|=

6 |y+3|+3

a) |2 x+3|+|2 x−1|=

8

2(y−5)2+2 b) |x+3|+|x−1|= 16

|y−2|+|y+2|

c)

|3 x+1|+|3 x−5|=12

(y +3)2+2 d) |x−2 y−1|+5= 10 |y−4|+2

a) (x+ y−2)

2+7=14

|y−1|+|y−3| b) (x+2)

2

+4=20

3|y+2|+5

c) 2|x−2007|+3=

6

|y−2008|+2 d) |x+ y+2|+5= 30

3|y+5|+6

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

(29)

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5≤x≤4,1

a) A=|x−3,5|+|4,1−x| b) B=|−x+3,5|+|x−4,1|

Bài 2: Rút gọn biểu thức sau x < - 1,3:

a) A=|x+1,3|−|x−2,5| b) B=|−x−1,3|+|x−2,5|

Bài 3: Rút gọn biểu thức:

a) A=|x−2,5|+|x−1,7| b) B=|x+ 5|−|x−

2

5| c) C=|x+1|+|x−3|

Bài 4: Rút gọn biểu thức

−3 <x <

1

a) A=|x− 7|−|x+

3 5|+

4

5 b) B=|−x+

7|+|−x− 5|−

2

Bài 5: Rút gọn biểu thức:

a) A=|x+0,8|−|x−2,5|+1,9 với x < - 0,8 b) B=|x−4,1|+|x−

3|−9 với 32≤x≤4,1

c) C=|2

5−x|+|x− 5|+8

1

5 với 15≤x≤2

5 d) D=|x+3

1

2|+|x|−3

2 với x > ==============&=&=&==============

IV – Tính giá trị biểu thức: Bài 1: Tính giá trị biểu thức:

a) M = a + 2ab – b với |a|=1,5;b=−0,75 b) N =

a

2−

b với |a|=1,5;b=−0,75

Bài 2: Tính giá trị biểu thức:

a) A=2x+2 xy− y với |x|=2,5 ; y=

−3

4 b) B=3 a−3 ab−b với |a|=

1

3;|b|=0 ,25

c) C=

5a −

3

b với |a|=

1

3;|b|=0,25 d) D=3 x2−2 x +1 với |x|=

a) A=6x3−3 x2+2|x|+4 với x=

−2

3 b) B=2|x|−3|y| với x=

2; y=−3

c) C=2|x−2|−3|1−x| với x = 4d) D=

5 x2−7 x+1

3 x−1 với |x|=

V – Tìm giá trị lớn – nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1 Dạng 1: Sử dụng tính chất khơng âm giá trị tuyệt đối:

(30)

Bài 1.1 : Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A=0,5−|x−3,5| b) B=−|1,4−x|−2 c) C=

3|x|+2

4|x|−5 d)

D=2|x|+3

3|x|−1

e) E=5,5−|2 x−1,5| f) F=−|10,2−3 x|−14 g) G=4−|5 x−2|−|3 y+12| h) H=

5,8

|2,5−x|+5,8 i) I=−|2,5−x|−5,8 k) K=10−4|x−2|

l) L=5−|2 x−1| m) M=

|x−2|+3 n) N=2+ 12

3|x+5|+4

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A=1,7+|3,4−x| b) B=|x+2,8|−3,5 c) C=3,7+|4,3−x| d) D=|3 x+8,4|−14 ,2 e) E=|4 x−3|+|5 y+7,5|+17,5 f) F=|2,5−x|+5,8

g) G=|4,9+x|−2,8 h) H=|x− 5|+

3

7 i) I=1,5+|1,9−x| k) K=2|3 x−1|−4 l) L=2|3 x−2|+1 m) M=5|1−4 x|−1

Bài 1.3: Tìm giá trị lớn biểu thức:

a) A=5+ 15

4|3 x+7|+3 b) B= −1

3 + 21

8|15 x−21|+7 c) C= 5+

20

|3 x+5|+|4 y+5|+8

d) D=−6+ 24

2|x−2 y|+3|2 x+1|+6 e) E=

2 3+

21

(x+3 y)2+5|x +5|+14

a) A=

2|7 x+5|+11

|7 x+5|+4 b) B=

|2 y+7|+13

2|2 y+7|+6 c) C=

15|x+1|+32 6|x+1|+8

a) A=5+

−8

4|5 x+7|+24 b) B= 5−

14

5|6 y−8|+35 c) C= 15 12−

28

3|x−3 y|+|2x+1|+35

a) A=

21|4 x+6|+33

3|4 x+6|+5 b) B=

6|y+5|+14

2|y+5|+14 c) C=

−15|x+7|−68 3|x+7|+12

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biểu thức: Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

(31)

Bài 2.2 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A=2|x−3|+2x+5 b) B=3|x−1|+4−3 x c) C=4|x+5|+4 x−1

a) A=−|x−5|+x+4 b) B=−|2 x+3|+2 x+4 c) C=−|3 x−1|+7−3 x

a) A=−2|x−5|+2 x+6 b) B=−3|x−4|+8−3 x c) C=−5|5−x|+5 x+7 Bài 2.5 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A=|x+1|+|x−5| b) B=|x−2|+|x−6|+5 c) C=|2 x−4|+|2 x+1|

3 Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức |a|+|b|≥|a+b| Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

a) A=|x+2|+|x−3| b) B=|2 x−4|+|2x+5| c) C=3|x−2|+|3 x+1|

a) A=|x+5|+|x+1|+4 b) B=|3 x−7|+|3 x+2|+8 c) C=4|x+3|+|4 x−5|+12

a) A=|x+3|+|2 x−5|+|x−7| b) B=|x+1|+|3 x−4|+|x−1|+5 c) C=|x+2|+4|2x−5|+|x−3| d) D=|x+3|+5|6 x+1|+|x−1|+3

Bài 3.4 : Cho x + y = tìm giá trị nhỏ biểu thức:

A=|x+1|+|y−2|

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị biểu thức:

B=|x−6|+|y+1|

Bài 3.6: Cho x – y = tìm giá trị nhỏ biểu thức:

C=|2 x+1|+|2 y+1|

Bài 3.7: Cho 2x+y = tìm giá trị nhỏ biểu thức:

(32)

DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT, DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp)

Bài : Tính tổng:

+ – – + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008 Hướng dẫn:

Bài 2: Cho

a) Tính A

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho khơng ?

c) A có ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên ? Hướng dẫn:

Bài 3: Cho

a) Biết A = 181 Hỏi A có số hạng ? b) Biết A có n số hạng Tính giá trị A theo n ? Hướng dẫn:

Bài 4: Cho

a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị A b) Tìm số hạng thứ 2004 A

Hướng dẫn:

Bài 5: Tìm giá trị x dãy tính sau:

Hướng dẫn:

Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010

b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009 2010 Hướng dẫn:

Bài 7: Tính tổng:

Hướng dẫn:

100 99

1      

A

31 25 19 13

1      

A

31 25 19 13

1      

A

655 ) 47 ( ) 42 ( ) 12 ( ) ( )

(x  x  x   x  x 

100001

99999 10001

9999 1001 999 101 99 11

9    



(33)

Bài 8: Cho

Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n Hướng dẫn:

Bài 9: Cho

a) Tính tổng A

b) Chứng minh

c) A có phải số phương khơng ? Vì ? Hướng dẫn:

Bài 10 :

a) Cho

Chứng minh rằng: 4A -1 luỹ thừa b) Chứng minh A luỹ thừa với A423 24 25  2200322004

Hướng dẫn:

Bài 11:

a) Cho

Chứng minh A chia hết cho 3, 15

b) Chứng minh tổng + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42 Hướng dẫn:

Bài 12:

Cho A = + 22 + 23 + +299 + 2100 Chứng tỏ A chia hết cho 31

Hướng dẫn:

Bài 13: Cho S = + 52 + 53 + + 596 a, Chứng minh: S  126

b, Tìm chữ số tận S Hướng dẫn:

Bài 14 : Cho

a) Chứng minh: B chia hết cho

b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61 Hướng dẫn:

Bài 15: Cho

So sánh A B Hướng dẫn:

100

2 3 3

3

3    

A

2004

2 3 3

3

3    

A

130 

A

2004 2003

2 3 3 3

3

1     



A

60

2 2 2

2

2    

A

30 29 

A

60 59 33 32 31 

B

30

2

2002 2001

3

2 2 2 2 2

2

3     



A 22003



(34)

Bài 16: Cho M = 3 3 233 3 993100.

a M có chia hết cho 4, cho 12 khơng ? sao? b.Tìm số tự nhiên n biết 2M+3 = 3n

Hướng dẫn:

Bài 17: Cho biểu thức: M = +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119 a) Thu gọn biểu thức M

b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 khơng? Vì sao? Hướng dẫn:

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:

Hướng dẫn:

Bài 19:

a) Tính:

2 2

1.3 3.5 5.7   99.101

b) Cho

Chứng minh: S  Hướng dẫn:

Bài 20 : So sánh:

Hướng dẫn:

Bài 21:

a) Tính b) Tính: c) Tính tổng: Hướng dẫn:

Bài 22: So sánh: B =

Hướng dẫn: 2004 2003 ) ( 10       n n * ) ( 10 7 4 N n n n S        

2 2

60.63 63.66 117.120 2003

A     

5 5

40.44 44.48 76.80 2003

B     

340 238 154 88 40 10       A 2005 2004 15 10       M 100 99 98 1     S 100 2 2

1    



(35)

Bài 23: So sánh:

2 2

60.63 63.66 117.120 2006

A     

5 5

40.44 44.48 76.80 2006

B     

Hướng dẫn:

Bài 24 Tính

a A =

2 2 2

15 35 63 99 143   

b B = 3+

3 3

1 2 3 4         1 100   .

Hướng dẫn:

a) A =

1+1 3+

1 5+ +

1 97+

1 99

1 99+ 3.97+

1

5 95+ + 97 3+

1 99.1

b) B =

1 2+

1 3+

1 4+ +

1 100 99 + 98 + 97

3 + + 99

Hướng dẫn:

Bài 26: Chứng minh rằng:

100 - (1+

1 2+

1 3+ .+

1 100)=

1 2+

2 3+

3 4+ +

99 100

Hướng dẫn:

Bài 27: Tính

A

B biết:

A = 2+ 3+ 4+ +

1

200 B = 199+

2 198+

3

197 + + 198

2 + 199

1

Hướng dẫn:

Bài 28 : Tìm tích 98 số dãy:

11 3;1 8;1 15;1 24;1 35; Hướng dẫn:

Bài 29: Tính tổng 100 số hạng dãy sau:

(36)

Bài 30: Tính

A

B biết:

A =

1 2+

1 4+

1 5.6+ +

1 17 18+

1 19.20

B =

1 11+

1 12+

1 13+ +

1 19+

1 20

Hướng dẫn:

Bài 31: Tìm x, biết:

(1.1011 +

2 102+ +

10.110)x= 1 11+

1

2.12+ + 100 110

Hướng dẫn:

Bài 32: Tính :

a) S  1 a a2a3 an , với (a2, n N )

b) S1  1 a2a4a6 a2n, với (a2, n N )

c) n

S  a a a  a 

, với (a2, n N *)

Hướng dẫn:

Bài 33: Cho A  1 4243 ,  99 B4100 Chứng minh rằng: 3

B A 

Hướng dẫn:

Bài 34: Tính giá trị biểu thức: 50

200

) 99 999 999 ) 99 999 999

a A b B

    

  

ch ÷ sè

ch÷ sè

(37)

Chuyên đề 1:

giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1-Kiến thức bản:

x ⇔ x ≥0

−x ⇔ x ≺0

¿

|x|=¿{¿ ¿ ¿ ¿

|x|≥0;|x|≥x;|x|=|−x| |x+ y|≤|x|+|y|

|x−y|≥|x|−|y|

2- Các dạng toán bản:

* Dạng tốn 1: Tính |x| biết 1) x=−1

1

5 2) 13 :  

x

3) x+25

1 2=0

4)

1 3+

1

3.5+ + 47 49=

1

x 5)

1 4+

1

4 7+ + 97 100=

x

2

6)

4 5+

4

5 9+ + 97.101=

2 x+5

101 7) (1− 2)(1−

1 3)(1−

1

4) (1−

100)+x=2

8) 1.2+2 3+3 + +99 100=2

1

5x−1 9) (1

2

+22+ .+492)(2−x )=−11

* Dạng 2: Tìm x biết 1) |x|=3

3

5 2) |x|− 25

8 =0 3) 5|x|−

23=0 4) |2 x|.|−

1 5|=|−1

1 3|

5) 1,75−|2,5−x|=1,25 6) |2 x−5|=13 7)

3−|2x− 7|=−

(38)

8)

1

5|3x−7|= 11

10 9) (2x−5 )2=9 10) x2=4 11) (3−7 x)

2

=1

* Dạng 3: Tìm x, y, z biết

1) |x|+|y|+|z|=0 2) |3 x−5|+|2 y−7|=0 3) |x−1

1

2|+|2 y− 2|+|3

1

3−z|=0 4) (x−1)2+(y−

1 2)

2

+(z−1 3)

2=0

5) |1−2 x|+|2−3 y|+|3−4 y|=0 6) |x−1|+|( x−1)(x+1)|=0 *Dạng 4: Tính giá trị biểu thức sau.

1) A=|x2−2 x+5| với x=−

1

2) B=|xy−2|+5( x−3)|x2−2 xy+ y2| với x=y=2 3) C=|x

2

−x+1

4|−2|2 x+1| với |x|=

1

4) D=|3 x2−6 x+3| với |x|=1 5) E=2x−5 y+7 xy với |x|+|y−2|=0 6) G=2 x2−3 y2+6 xy với |x−1|+|y−2|=0 * Dạng 5: Rút gọn biểu thức sau

1) M=|x−5|+|2 x−9|+|3x−13| với x≥6,5 2) N= |x+1|+|x+2|+|x−3| với −2≤x≺−1 3) P= |2 x−5|+|3 x−7|−|5 x−15| với x≥3 *)Dạng 6: Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ nhất.

1, Tìm giá trị nhỏ của: C=4,5|2 x−0,5|−0,25 2, Tìmgiá trị lớn : D=−|3x+4,5|+0,75 3, Tìm giá trị nhỏ : E=|x−2005|+|x−2004|

3- Các tốn tự học :

Bài 1: Tính giá trị biểu thức: A= 2x+2xy-y với | x| = 2,5 y = -3/4 Bài 2: Tìm x , y biết:

a) 2.| 2x-3|= 1/ b) 7,5 -3 |5-2x|=-4,5 c) | 3x-4|+ |3y+5| = Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất:

a) | 3x- 8,4| -14,2