PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH Dạng I: Phương pháp biến đổi trực tiếp Sau khi tìm tập xác định của phương trình ta dùng phép bình phương hoặc lập phương hai vế của phương trình ta được phương tr
Trang 1
CHỦ ĐỀ 10 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
PHẦN A: PHƯƠNG TRÌNH
Dạng I: Phương pháp biến đổi trực tiếp
Sau khi tìm tập xác định của phương trình ta dùng phép bình phương hoặc lập phương hai vế của phương trình ta được phương trình tương đương howacj phương trình hệ quả Giải phương trình này ta tìm được nghiệm thuộc tập xá định
Trang 2 3 2
Thay x 2
vào phương trình 2 thấy đúng Vậy nghiệm cuả phương trình là : x 2
Chú ý: Phép biến đổi ra phương trình * là phép biến đổi “không tương đương” nên khi tìm được x 2 ta phải thử lại
Bài tập : Giải các phương trình sau
Bước 1: Đặt ẩn phụ, xác định điều kiện của ẩn phụ
Bước 2: Chuyển phương trình đã cho về phương trình ẩn phụ Giải phương trình ẩn phụ tìm nghiệm thích hợp
Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình ban đầu theo hệ thức khi đặt ẩn phụ
Ta thường gặp các dạng đặt ẩn phụ cơ bản sau đây:
Trang 3Vậy nghiệm của phương trình là: x2
Chú ý: Dạng tổng quát của ví dụ 1 là phương trình: a cx b cx d a cx b cx m
Vậy nghiệm của phương trình là: x2
Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình 2 là phương trình:
Trang 4x t
Vậy nghiệm của phương trình là : x 3 13
Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình 3 là : a.f x b g x c f x g x 0 với 0
Trang 5Vậy nghiệm của phương trình là : x13, x25, x73
Chú ý: Dạng tổng quát của phương trình 4 là phương trình:
xa b a x b xa b a x b cxm ,với a b c m, , , là hằng số, a0 Cách giải : t x b ,t0
Bài tập : Giải các phương trình sau
Trang 6u v
Trang 7Với : t x 1 x22x 3 x 1 Phương trình vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là: x 1 2
t x t x x , Xem đây là phương trình bậc hai ẩn t t 9 0 nên phương
trình có hai nghiệm phân biệt :
2 32
1 32
Trang 85t 8 x2 t16x320 Đáp số :Phương trình vô nghiệm
Loại 4 : Đặt ẩn phụ chuyển phương trình vô tỉ về hệ phương trình vô tỉ
3x 2 2 3x 2 8 x 2 ( Thỏa mãn điều kiện)
Vậy nghiệm của phương trình là : x 2
Ví dụ 2 : Giải phương trình
4x25x 1 2 x2 x 1 9x3 2
Giải
Trang 9Điều kiện:
141
x x
u v
Vậy nghiệm của phương trình là : x1, x 2
Bài tập : Giải các phương trình sau
Trang 10122
Trang 11x x
Dạng III: Dùng biểu thức liên hợp
Nhân các biểu thức trong phương trình với biểu thức liên hợp thì xuất hiện nhân tử chung và ta chuyển được phương trình đã cho về phương trình tích đơn giản hơn Ta thường sử dụng các biểu thức sau:
Trang 12 nên phương trình * vô nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là : x3
Trang 14Thử lại thỏa mãn phương trình 5
Vậy phương trình có 2 nghiệm 0; 8
7
x x
Chú ý : Ví dụ 5 là phương pháp đưa về hệ tạm
Nếu phương trình vô tỉ có dạng A B C, mà : A B C
ở dây C có thể là hàng số ,có thể là biểu thức của x Ta có thể giải như sau :
Trang 15Dạng IV: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số và bất đẳng thức
Nhiều khi ta gặp các phương trình mà dùng phương pháp : biến đổi trực tiếp, đặt ẩn phụ hay nhân liên hợp thì cách giải sẽ phức tạp hoặc không đi đến kết quả cuối cùng Khi đó phương pháp dùng hàm số và bất đẳng thức lại tỏ ra hiệu quả và cho lời giải ngắn gọn, việc tìm nghiệm
sẽ dễ dàng hơn rất nhiều
Loại 1 : Dùng tính đơn diệu của hàm số
Cho hàm số y f x đơn điệu trên D khi đó ta có các kết quả sau :
Trang 17Bài tập : Giải các phương trình sau
A Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A0
A B A B Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi AB0
Trang 18 u v u v Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v cùng hướng
x x x Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x5
Vậy nghiệm của phương trình là : x5
Trang 19x x
Vậy nghiệm của phương trình là : x0
Bài tập : Giải các phương trình sau
Trang 20Dạng I: Phương pháp biến đổi trực tiếp
Ta thực hiện theo các bước sau đây
Bước 1: Tìm tập xác định của bất phương trình
Bước 2: Bình phương, lập phương bất phương trình đã cho biến đổi, ta được bất phương trình đơn giản hơn và tìm được nghiệm của bất phương trình này
Bước 3: Kết hợp tập xác định suy ra nghiệm của bất phương trình
Trang 21
2
2 2
23
, kết hợp với điều kiện * , ta có: 2 x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là D 2; 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là D2;10
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
Trang 22x x x
Trang 231 x 1 x x 2
Giải
Điều kiện : 1 x 1
Bất phương trình 2 1 x 1 xx 1 x 1x x 1 x 1x2x * Nếu x0 thì * luôn đúng
* 1 x 1 x 2 1 x 1 x 2 1x 4 1x 1 luôn đúng
Nếu x0 thì * 1 x 1 x 2 vô lí vì 1 x 1 x 2 luôn đúng
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: D 0;1
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
Đáp số:
1
02
10
2
x x
8
x
Dạng III: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ta thực hiên theo các bước sau
Bước 1: Chọn ẩn phụ thích hợp, tìm điều kiện của ẩn phụ
Bước 2: Chuyển bất phương trình đã cho về bất phương trình ẩn phụ, giải bất phương
trình ẩn phụ, tìm nghiệm của ẩn phụ
Bước 3: Từ tập nghiệm của bất phương trình ẩn phụ suy ra tập nghiệm của bất phương
trình đã cho
Trang 24127
x x
x x
Trang 25Vậy tập nghiệm của bất phương trình là D 1;1
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
22
x x
8 3 72
8 3 70
Dạng IV: Phương pháp chia tập xác định
Bất phương trình có tập xác định D, việc giải bất phương trình trên tập D gặp khó khăn, khi đó ta chia DD1D2D3 D n
Trang 26 Trên D D1, 2, D n ta giải bất phương trình đã cho
Kết hợp nghiệm của bất phương trình trên D D1, 2, D n suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho
Ví dụ 1 : Giải bất phương trình
x24x 3 2x23x 1 x 1 1
Giải
Bất phương trình 1 x1x 3 x1 2 x 1 x 1 *
Trường hợp 1: x 1 0 x 1 thỏa mãn bất phương trình *
Trường hợp 2: x1, bất phương trình * x 3 2x 1 x1 vô nghiệm vì :
Trang 27Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: D4; 1
Bài tập : Giải các bất phương trình sau
1 x28x15 x22x15 4x218x18 Đáp số:
35175
3
x x x
x x x
x x
Dạng V: Phương pháp không mẫu mực
Ta thường dùng các phương pháp sau
Phương pháp đánh giá
Dùng bất đẳng thức
Dùng hàm số
Ví dụ 1 : Giải bất phương trình
Trang 29Vậy tập nghiệm của bất phương trình là D 5
Bài tập : Giải các bất phương trình sau