Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1 : Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) ( 1) 2 n n d) 1+n 2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) ( 3) 2 n n h) ( 1)( 2) 2 n n i) ( 1)( 2) 3 n n n Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3 : Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4 : Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5 : Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 2 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7 : Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9 : Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 1 0: Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +(n-1) 2 +n 2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 12: Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 13: Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + +99 2 -100 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) Bài 14: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 )+2(1+3+5+ +97+99) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 4 Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+ +98(98+2)+100(100+2) A = (2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 )+4(1+2+3+ +49+50) Bài 17: Tính: A = 1 3 +2 3 +3 3 + +99 3 +100 3 Hướng dẫn: A = 1 2 (1+0)+2 2 (1+1)+3 2 (2+1)+ +99 2 (98+1)+100 2 (99+1) A = (1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 +99.100 2 )+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1)] +(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100- 98.99+(1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 ) Bài 18: Tính: A = 2 3 +4 3 +6 3 + +98 3 +100 3 Hướng dẫn: Bài 19: Tính: A = 1 3 +3 3 +5 3 + +97 3 +99 3 Hướng dẫn: Bài 20: Tính: A = 1 3 -2 3 +3 3 -4 3 + +99 3 -100 3 Hướng dẫn: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 5 Chuyên đề: TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT I. TỈ LỆ THỨC 1. Định nghĩa: Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số d c b a (hoặc a : b = c : d). Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ. 2. Tính chất: Tính chất 1: Nếu d c b a thì bcad Tính chất 2: Nếu bcad và a, b, c, d 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau: d c b a , d b c a , a c b d , a b c d Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại. II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU -Tính chất: Từ d c b a suy ra: d b ca d b ca d c b a -Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau: f e d c b a suy ra: fdb cba fdb cba f e d c b a (giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa). * Chú ý: Khi có dãy tỉ số 5 3 2 cba ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5. Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 6 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC. Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết 3 2 yx và 20 yx Giải: Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt k yx 3 2 , suy ra: kx 2 , ky 3 Theo giả thiết: 4205203220 kkkkyx Do đó: 84.2 x 124.3 y KL: 12,8 yx Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau): Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 4 5 20 3 2 3 2 yxyx Do đó: 84 2 x x 124 3 y y KL: 12,8 yx Cách 3: (phương pháp thế) Từ giả thiết 3 2 3 2 y x yx mà 1260520 3 2 20 yyy y yx Do đó: 8 3 12.2 x Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 7 KL: 12,8 yx Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết: 4 3 yx , 5 3 zy và 632 zyx Giải: Từ giả thiết: 12 9 4 3 yxyx (1) 20 12 5 3 zyzy (2) Từ (1) và (2) suy ra: 20 12 9 zyx (*) Ta có: 3 2 6 20 36 18 32 20 36 3 18 2 20 12 9 zyxzyxzyx Do đó: 273 9 x x 363 12 y y 603 20 z z KL: 60,36,27 zyx Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt k zyx 20 12 9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1). Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z) Từ giả thiết: 5 3 5 3 z y zy 20 9 4 5 3 .3 4 3 4 3 z z y x yx mà 6060 10 6 5 3 .3 20 9 .2632 z z z zz zyx Suy ra: 36 5 60.3 y , 27 20 60.9 x KL: 60,36,27 zyx Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 8 Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng: 5 2 yx và 40. yx Giải: Cách 1: (đặt ẩn phụ) Đặt k yx 5 2 , suy ra kx 2 , ky 5 Theo giả thiết: 244010405.240. 22 kkkkkyx + Với 2 k ta có: 42.2 x 102.5 y + Với 2 k ta có: 4)2.(2 x 10)2.(5 y KL: 10,4 yx hoặc 10,4 yx Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau) Hiển nhiên x 0 Nhân cả hai vế của 5 2 yx với x ta được: 8 5 40 5 2 2 xyx 4 16 2 x x + Với 4 x ta có 10 2 5.4 5 2 4 y y + Với 4 x ta có 10 2 5.4 5 2 4 y y KL: 10,4 yx hoặc 10,4 yx Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1. BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 21 6 10 zyx và 2825 zyx b) 4 3 yx , 7 5 zy và 12432 zyx c) 5 4 4 3 3 2 zyx và 49 zyx d) 3 2 yx và 54 xy Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 9 e) 3 5 yx và 4 22 yx f) zyx yx z xz y zy x 211 Bài 2 : Tìm các số x, y, z biết rằng: a) 21 6 10 zyx và 2825 zyx b) 4 3 yx , 7 5 zy và 12432 zyx c) 5 4 4 3 3 2 zyx và 49 zyx d) 3 2 yx và 54 xy e) 3 5 yx và 4 22 yx f) zyx yx z xz y zy x 211 Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) zyyx 57,23 và 32 zyx b) 4 3 3 2 2 1 zyx và 5032 zyx c) zyx 532 và 95 zyx d) 5 3 2 zyx và 810 xyz e) zyxz yx y xz x zy 1321 f) yx 610 và 282 22 yx Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng: a) zyyx 57,23 và 32 zyx b) 4 3 3 2 2 1 zyx và 5032 zyx c) zyx 532 và 95 zyx d) 5 3 2 zyx và 810 xyz e) zyxz yx y xz x zy 1321 f) yx 610 và 282 22 yx Bài 5 : Tìm x, y biết rằng: x yyy 6 61 24 41 18 21 Bài 6: Tìm x, y biết rằng: x yyy 6 61 24 41 18 21 Bài 7: Cho 0 dcba và c b a d d b a c d c a b d c b a Tìm giá trị của: c b ad b a dc d a cb d c ba A Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 10 Giải: 1 3( ) 3 a b c d a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d ( Vì 0 dcba ) =>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b Tương tự =>a=b=c=d=>A=4 Bài 8 : Tìm các số x; y; z biết rằng: a) x 7 y 3 và 5x – 2y = 87; b) x y 19 21 và 2x – y = 34; b) 3 3 3 x y z 8 64 216 và x 2 + y 2 + z 2 = 14. c) 2x 1 3y 2 2x 3y 1 5 7 6x Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30. Bài 10: Tìm các số x, y, z biết : a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z 2 – 3x 2 – 2y 2 = 594; b) x + y = x : y = 3.(x – y) Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15. b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x = 2y. Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3. Bài 11 . Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và bằng hai lần tổng của a và b ? Giai . Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75. Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a b c , , b c c a a b . Biết a+b+c 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó ? Bài 13 . Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8. Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh của trường đó? Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức: 0)1(22.2 22 abababdccdabab thì chúng lập thành một tỉ lệ thức. Giải: 2 2 2 . 2 2( 1) 0 ab ab cd c d ab ab ab => ab(ab-2cd)+c 2 d 2 =0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a 2 b 2 +1>0 với mọi a,b) =>a 2 b 2 -2abcd+ c 2 d 2 =0 =>(ab-cd) 2 =0 =>ab=cd =>đpcm Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. [...]... http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Bài 7. 2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 y3 0 4 7 x 20 07 y 2008 0 a) 5 x b) Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 1 3 11 23 x 1,5 y 0 3 2 4 17 13 c) * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A B 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải: A B 0 (1) A 0 A B 0 B 0 (2) A 0 B 0 Từ (1) và (2) A B 0 Bài 7. 3: Tìm x, y thoả mãn:... cd c d 2 a c b d Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa) 13 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề a) 3a 5b 3c 5d 3a 5b 3c 5d d) ab a b cd c d 2 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 g) 2 c) ab cd ab cd i) 7 a 2 3ab 7c 2 3cd 11a 2 8b 2 11c 2 8d 2 ab a b... a) A 1 ,7 3,4 x b) B x 2,8 3,5 d) D 3x 8,4 14,2 e) E 4 x 3 5 y 7, 5 17, 5 29 d) D 2x 3 a) A 0,5 x 3,5 n) N 2 12 3x 5 4 c) C 3 ,7 4,3 x f) F 2,5 x 5,8 3 x 1 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề g) G 4,9 x 2,8 k) K 2 3x 1 4 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 3 5 7 l) L ... * Cách giải : A( x).B( x ) A( y ) Đánh giá: A( y) 0 A( x).B( x) 0 n x m tìm được giá trị của x Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn: a) x 2 x 3 0 b) 2 x 12 x 5 0 27 c) 3 2 x x 2 0 d) 3x 15 2 x 0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 4.2: Tìm các. .. Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề a) 5 x 4 x 2 b) 2 x 3 3x 2 0 a) 5 x 4 x 2 * 5x-4=x+2 5x- x =2+4 4x=6 x= 1,5 * 5x-4=-x-2 5x + x =- 2+ 4 6x= 2 1 x= 3 1 Vậy x= 1,5; x= 3 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 c) 2 3x 4 x 3 d) 7 x 1 5 x 6 0 Bài 2.2: Tìm x, biết: a) 3 1 5 7 5 3 7 2 4 1 7 5 1 x 4 x 1 b) x x 0 c) x x d) x ... 3x 7 3 2 x 13 f) x 2 x 7 4 + + 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 x 1 2 5 1 4 * |2x-1| + = 2 5 4 1 |2x-1| = 5 2 3 |2x-1| = 10 25 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề 3 2x-1= 10 Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2x = 3 + 1 10 x= * |2x-1| + |2x-1| 7 20... evaluation only Các chuyên đề c) x 2 x Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 1 x 4x 5 2 d) x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 5 x Bài 5.2: Tìm x, biết: 1 2 3 100 x x x 101x 101 101 101 101 1 1 1 1 b) x x x x 100 x 1.2 2 3 3.4 99.100 1 1 1 1 x x x 50 x c) x 1.3 3 5 5 .7 97. 99 1 1 1 1 d) x x x x 101x 1.5 5.9 9.13 3 97. 401 a) x 6 Dạng... 20 07 y 32008 0 Bài 7. 6: Tìm x, y thoả mãn : a) x 12 y 32 0 c) 3 x 2 y 2004 4 y 1 0 2 5 b) 2x 54 5 2 y 7 0 d) x 3 y 1 2 y 1 2000 2 0 Bài 7. 7: Tìm x, y thoả mãn: 7 a) x 20 07 y 2008 0 c) 13 1 x 24 2 2006 20 07 4 6 y 0 2008 5 25 b) 5 3 x y 10 y 2 0 3 d) 20 07 2 x y 2008 2008 y 4 20 07 0 8 Dạng 8: A B A B * Cách... Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Hướng dẫn: Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: a) A 9 99 999 999 9 50 ch÷ sè b) B 9 99 999 999 9 200 ch ÷ sè Hướng dẫn: Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 1-Kiến thức cơ bản: x x 0 x x x 0 36 ... Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa yb 0 và zc td 0 b d Chứng minh rằng: xa yb xc yd za tb zc td Bài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 ac Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b3 c3 d 3 d 16 ; c 2 bd và b 3 c 3 d 3 0 Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 Bài 27: