CHUYÊN ĐỀ 3: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Các bài toán cực tri có dạng chung như sau:Trong các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó nhơ độ dài đoạn thẳn
Trang 1Chuyên đề 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN
/I/ Lý thuyết:
A/ Định nghĩa: Cho a,b € Z ( b ≠ o ):
Ta nói rằng a chia hết cho b kí hiệu a b khi và chỉ khi tồn tại một số k ( k Z )sao cho a =bk
a b a = bk
Ta còn nói a là bội của b hay b là ước của a
B/Tính chất của quan hệ chia hêt :
1/phản xạ: a N và a o thì a a
2/ Phản xứng : a N và a O thì a a
3/ Bắt cầu : Nếu a b và b a thì a =b
C/ Một số định lý
1/ a m ka m
2/ a m và b m ( a b ) m
3/ (a b) m và a m b m
4/ a m và b n ab m n
5/ a m an m n n N , n o
6/ an mn a m
7/ an m ; m là số nguyên tố a m ( n N ; n o)
8/ a m an m ; n N , n o
9/ ab m và (a, m)=1 b m
10/ ab m và m P a m hoặc b m
11/ a m và a n và ( m,n ) =1 a m.n
12/ a m , a n , a r và ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1 a m.n.r
13/ Tích của n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho tích 2.3 n
D/ Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Chứng minh :
a/ n4 - n2 12 n N
b/ n (n + 2 ).( 25n2 + 1) 24 n N
GIẢI
a/ n4 - n2 = ( n – 1).n.n(n+1)
Nhận xét : 12 = 3.4 và (3,4) =1
-Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2
( n- 1).n 2
n(n+ 1) 2
n4 - n2 4 ( 1 )
Trong tích 3 số tự nhiên liên tiếp có một số là bội của 3
( n – 1).n.(n + 1) 3 (2 )
Từ (1) và (2) suy ra n4 - n2 12 n N
b/ n.(n+2).[(n2-1)+ 24n2] = n.(n+2).(n2 -1) +24n2 n.(n+2)
Ta có 24n2 n.(n+2) 24 n N
Ta cần chứng minh A= n.(n+2).(n2 -1) 24 n N
A= (n-1).n.(n+1).(n+2)
Ta có A 3 n N
-Trong tích 4 số tự nhiên liên tiếp có 1 số là bội của 2 ,một số là bội của 4
-Vậy tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8
-Mà (3,8)= 1 nên A 24
-Do đó n.(n+2).(25n2 -1) 24 n N
-Nhận xét : Gọi A n là biểu thức phụ thuộc vào n ( n N hoặc n Z )
_ Để chứng minh một biểu thức A n chia hết cho một số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức A n thành nhân tử trong đó có một thừa số m.N m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi chứng minh A n chia hết cho tất cả các số đó Nên lưu
ý định lý trong k số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một bội sốcủa k
-Bài tập áp dụng ví dụ 1: Chứng minh :
Trang 21/ n3 - 13n 6 2/ n3(n2- 7)2 - 36 5040 n N*
3/n4 -4n3- 4n2 + 16n 384 với mọi n chẳn và n 4
4/ n3+3n2 + 2n 6 5/ ( n2 +n -1 )2 -1 2 4
6/ n3 +6n2 +8n 48 với mọi n chẳn
7/ n4 -10n2 + 9 384 với mọi n lẻ
8/ n6 + n4 - 2n2 72 n Z
9/ n4 +6n3 +11n2 +6n 24 n N
Ví dụ 2: Chứng minh a5- a 5 a Z
Cách 1: A = a5- a = a.(a2-1).(a2 +1)
- Nếu a= 5k ( k Z) thì a5- a 5
- Nếu a = 5k 1 thì a2 - 1 5
- Nếu a = 5k 2 thì a2 +1 5
Trong trường hợp nào cũng có một thừa số chia hết cho 5
Nhận xét : Khi chứng minh A(n) m ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia A(n) cho m Cách 2: a5 -a =a(a2 -1).(a2+1)
=a.(a2-1).(a2-4+5)
=a.(a-1).(a+1).(a-2).(a+2) +5a.(a2-1)
Vậy A chia hết cho 5
Bài tập ví dụ 2: Chứnh minh :
1/ a7 -a 7
2/ Cho n 2 và (n,6) =1 chứng minh n2 -1 24
3/ Cho n lẻ và ( n ,3) =1 chứnh minh : n4 -1 48
4/ Cho n lẻ và ( n ,5) =1 chứnh minh : n4 -1 80
5/ Cho a,b là số tự nhiên a b chớng minh
a/ A= a.b ( a4 - b4 ) 30
b/ A= a2 b2 ( a4 - b4 ) 60
6/Cho n chẳn chứng tỏ 2 số n2 - 4n và n2 + 4n đều chia hết cho 16
7/ Chứng tỏ : n5- n 30 n N và : n5- n 240 n lẻ
8/ Chứng minh :
a/ n8- n4 240 n N
b/ n5- n3 +4n 120 n N
Chuyên đề 2 : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1/ Đặt nhân tử chung , dùng hằng đẳng thức , nhóm các hạng tử
2/Tách các hạng tử
3/ Thêm bớt một hạng tử
4/ Phương pháp hệ số bất định
Trang 35/ Phương pháp đổi biến
6/ Phương pháp xét giá trị riêng
!/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử
Ví dụ : Phân tích đa thức sau t
a/ x4 + x3 + 2x 2 + x +1
Giải / x4 + x3 + 2x 2 + x +1 = (/ x4 + 2 x2 + 1 ) + (x3 + x )
= ( x 2 +1) 2 + x ( x 2+1) = ( x 2 +1) ( x 2 +x +1)
b/ x3 + 2x 2y + xy2 - 9x = x( x 2 + 2x y + y2 - 9 )
= x( x+ y -3)( x+ y +3)
c/ a3+ b3+c3- 3abc = (a+b )3- 3a2 b – 3ab2 + c3- 3abc
= [ (a+b )3+ c3 ] -3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[( a+b)2 - c(a+b) + c 2- 3ab]
d/ (a+b+c)3 - a3- b3-c3 = [ (a+b)+c]3 - a3- b3-c3
= (a+b)3+ c3 +3c(a+b)(a+b+c) - a3- b3-c3
=a3+ b3+ 3ab(a+b)+ c3+3c(a+b)(a+b+c) - a3- b3-c3
= 3(a+b)(ab+ac+bc+c2) = 3(a+b)(b+c)(c+a)
e/ x2 (y-z)+y2 (z-x)+z2 (x-y) = x2 (y-z)+y2z-xy2 +xz2 - yz2
=x2(y-z)+yz(y-z)-x(y2 - z2 ) =(y-z)(x2+yz-xy-xz)
=(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z)
II/Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên)
Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,không có dạng hằng đẳng thức,cũng không nhóm được hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử hơn để nhóm các hạng tử
Ví dụ : 3x2 -8x+4 = 3x2-6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2)
Hay tách 4x2 -8x+4 - x2= (2x-2)2 - x2 =
Chú ý: Trong cách 1 ta tách hạng tử -8x thành 2 hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất hiện nhân tử chung x-2
Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc 2 thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b1x +b2
x sao cho b1.b2 =a.c
Trong thực hành ta thực hiện như sau:
1/ Tìm tích a.c
2/phân tích a’c ra thừa số nguyên bằng mọi cách
3/ Chọn hai thừa số có tổng bằng b
Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x2 -4x-3
Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh được rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của hệ số tự do
Ví dụ : Phân tích đa thức : x3 - x2 -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước của 4 lần lượt ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm của đa thức do đó đa thức có chứa nhân tử x – 2 vậy ta tách đa thức trên thành :
x3 - x2 -4 = x3 -2 x2 + x2 -4 = x2(x-2) +(x-2)(x+2) =
Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên của đa thức ta chú ý 2 định lí sau :
1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là nghiệm của đa thức do đó đa thức cố chứa nhân tử x -1
Ví dụ : Phân tích đa thức x3- 5x2 +8x -4 ta thấy 1 -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – 1 vậy ta tách như sau: x3 - x2- 4 x2 +8x -4 = x2 (x-1) – 4(x-1)2 `
2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm của đa thức
do đó đa thức chứa nhân tử x +1
Ví dụ: Phân tích đa thức x3- 5x2 + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm của đa thức do
đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích như sau :
x3- 5x2 +3x +9 = x3+ x2- 6x2 +3x +9 = x3+ x2- 6x2 -6+3x +3
=x2(x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) =
Trang 4Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng minh được rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ nếu có phải có dạng q p trong
đó p là ước của hệ số tự do và q là ước dương của hệ số cao nhất Ví dụ : Phân tích đa thức 3x
3- 7x2 +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm của đa thức ,xét các số ±
3
1 , ± 3 5
ta có
3
1
là nghiệm của đa thức do đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử như sau :
3x3- 7x2 +17x -5 = 3x3- x2 -6 x2 +2x + 15x-5 =x2 (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)=
3/ Phương pháp thêm bớt một hạng tử:
a/Thêm bớt một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình phương
Ví dụ : Phân tích da thức 4x4 +81 ta thêm bớt 36x2 ta có
4x4 +81 = 4x4 +36x2 +81 -36x2 = (2x2+9)2 – (6x)2 =
Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử
b/ Thêm bớt một hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ : Phân tích đa thức x5 ` +x -1 ta thêm bớt x4 ,x3,x2 như sau:
x5 ` +x -1 = x5 `+x4 +x3+x2 -x4 -x3-x2 +x -1
= (x5 `-x4 +x3)+(x4 -x3+x2 ) –(x2 -x +1 ) =
Chú ý : Các đa thức có dạng x3m 1+ x3 n 2+1 đều chứa nhân tử x2 +x +1
Ví duj: x7 + x5 `+1; : x7 +x2 +1 ; x+ x5 `+1; x+ x8+1
III/ Phương pháp hệ số bất định
Nếu đa thức f(x) không có nghiệm nguyên ,cũng không co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp
hệ số bất định
Ví dụ: Phân tích đa thức x4 -6x3+12x2 -14x +3 Nếu đa thức nàyphan tích thành nhâ tử thì có dạng (x2 +ax +b )(x2 + cx +d ) phép nhân này cho ta kết quả
x4 +(a+c)x3+(ac+b+d)x2 +(ad+bc)x+bd đồng nhất đa thức này vứi đa thức đã cho ta điều kiện a+c = -6
ac+b+d = 12
ad+bc = -14
bd = 3
Xét bd =3 với bd Z b { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành
a +c = -6
ac = 8
a+ 3c = -14
2c = -14 – (-6) c = -4 a= -2 vậy đa thức trên được phân tích thành
(x2 -2x +3 )(x2 -4x + 1 )
I V/ Phương pháp đổi biến
Ta đặt một đa thức bằng một biến khác để làm gọn đa thức hơn dễ giải hơn
Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x2 +10x)(x2 +10x + 24 )
đặt x2 +10x + 12 =y (y-12)(y+12) +128 = y2 -16 = (y-4)(y+4) =
V/ Phương pháp giá trị riêng
Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến của đa thức rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể
để xác định nhân tử
Ví dụ: Phân tích đa thức P = x2 (y-z)+ y2(z-x) + z2 (x-y)
Giả sử ta thay x =y P= y2 (y-z)+ y2(z-x) = 0
Tương tự ta thay y bởi z ; zbởi x thì P không đổi ( P = 0 ) vậy P chia hết cho x-y cũng chia hết cho y-z và cũng chia hết cho z – x vậy P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x)
Ta thấy k là hằng số vì đẳng thức
P = x2(y-z)+ y2(z-x) + z2 (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi mọi x,y,z nên ta gán cho x,y,z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta được
4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2) k = -1 vậy P = -(x –y)(y-z)(z-x)
Chú ý : Khi chọn giá trị riêng của x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi một khác nhau sao cho ( x –y)(y-z)(z-x) 0
VI/ Bài tập áp dụng chuyên đề 2:
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
Trang 52.1/ a/ x2 -2x -4y2 -4y b/ a(a2 +c2+ bc )+b(c2 +a2 + ac ) +c(a2 +b2 + ab )
c/ 6x2 -11x +3 d/ 2x2 +3x -27 e/x3+5x2 +8x +4 f/ x3 -7x +6
g/2x3-x2 +5x +3 h/ x3-7x2 -3
2.2/ a/ (x2 +x )- 2(x2 +x ) -15 b/ / x2 +2xy+y2 -x-y -12
c/ (x2 +x +1)(x2 +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24
e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a4
f/ (x2 + y2 + z2 )(x+y+z)2 +(xy+yz+xz)2
2.3 / Dùng phương pháp hê sô bất định:
Subject: a/ 4x4 +4x3+5x2 +2x +1 b/x4 -7x3+14x2 -7x +1 c/ (x+1)4 +(x2 +x +1) e/x4 x3-x +63
2.4 Dùng phương pháp xét giá trị riêng M= a(a+b-c)2 +b(c+a-c)2 +c(b+c-a)2 + (a+b-c)(c+a-c)(b+c-a)
CHUYÊN ĐỀ 3: BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
Các bài toán cực tri có dạng chung như sau:Trong các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó (nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đo góc )có giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất
I/Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị:
1/Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên:
Quan hệ này được dùng dưới dạng:
- Trong tam giác vuông (xó thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AB AH xảy ra dấu bằng khi chỉ khi B trùng H
Trang 6- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến các điểm thuộc một đoạn thẳng đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất
- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đoạn thẳng song song đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất
2/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu:
- Trong hai đương xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài đường thẳng dến đường thẳng đó đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn
3/Bất đẳng thức trong tam giác:
Với ba điểm A, B, C ta có AC+CB AB; AC+CB =AB C thuốc đoạn thẳng AB Để xử dụng bất đẳng thức trong tam giác đôi khi phải thay đổi phía của một đoạn thẳng đối với một đường thẳng
4/ Các bất đẳng thức đại số :
Các bất đẳng thức được xử dụng là:
- Bất đẳng thức về luỹ thừa bậc chẳn:
X2 0
X2 0
- Bất đẳng thức CÔSI (x+y)2 4xy hay x+y 2 xy với x,y không âm , xãy ra dấu = khi x=y
Chú ý rằng từ bất đẳng thức CÔSI ta còn suy ra hai số không âm x,y:
-Nếu x+y là hằng số thì xy lớn nhất khivà chỉ khi x=y
- Nếu xy là hằng số thì x+y nhỏ nhất khi và chỉ khi x=y
Để sử dụng các bất đẳng thức đại số ta thường đặt một độ dài thay đổi bằng x biểu thị đại lượng cần tìm cực trị bằng một biểu thức của x rồi tìm điều kiện để biểu thức có cực trị
Ta kí hiệu minA là giá trị nhỏ nhất của A ;maxA là giá trị lớn nhất của A
Ví dụ: 1.1 Cho hình vuông ABCD Hãy nội tiếp trong hình vuông đó một hình có diện tích nhỏ nhất
Giảỉ Gọi ÈGH là hìmh vuông nội tiếp trong hình A E K B
vuông ABCD Tâm hình vuông này phải trùng với
nhau tại 0 ta suy ra SEFGH ==
2
.FH
EG
= 20E2 như vậy F
S nhỏ nhất suy ra 0E nhỏ nhất Gọi K là trung điểm của AB ooooooo
ta có OE OK ( hằng số) OE = OK E trùng K o
Vậy diện tích ÈGH nhỏ nhất khi các đỉnh E,F,G,H là trung H
điểm các cạnh của hình vuông ABCD
1.2 Tính diện tích lớn nhất của HBH có độ dài 2 cạnh D G C
kề nhau bằng a,b A B
Giải : Ta có: SABCD == DC.AH DC.AD = ab b
maxS = ab khi và chỉ khi AH = AD lúc này ABCD làHCN
D H a C
1.3 Cho hình thoi và hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? vì sao? Giải : Xét hình thoi ABCD và hình vuônh MNPQ A B
có cùng chu vi cạnh của chúng bằng nhau Gọi canh
của chúng là a ta có: SMNPQ = a2 (1)
Ta sẽ chớng minh SABCD a2 D H C
Kẻ AH CD ta có AH AD =a Vậy SABCD CD.AD =a.a = a2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra SABCD SMNPQ Vậy diện tích hình vuông lớn hơn diện tích hình thoi (nếu hình thoi đó không là hình vuông)
2.1 Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC của tam giác ABC sao cho tổng khoảng
cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ nhất A
Giải : Ta có SABD + SCAD =SABC
2
1
AD.BB’ +
2
1 AD.CC’=S BB’ + CC’=
AD
S
2
B’
Do đó BB’ +CC’ nhỏ nhất
AD
S
2 nhỏ nhất AD lớn nhất B D C
O
Trang 7C’
Giả sử AC AB thì trong hai đường xiên AD và AC đường xiên AD có hình chiếu nhỏ hơn do
đó AD AC (hằng số) ; AD =AC D trùng C
Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong hai cạnh AB, AC
2.2Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Gọi D,E theo thứ tự thuộc cạnh AC ,AB sao cho
DHE = 90o Tìm vj trí D,E để DE có độ dài nhỏ nhất A
Giải : Gọi I là trung điểm của DE ta có
DE = IA +IH AH ( trung tuyến bằng nửa cạnh huyền) E I D
Vậy minDE = AH thuộc đoạn thẳng AH do đó:
AH AC và HE AB B H C 3.1 Cho tam giac ABC cân tại A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC > Hãy dựng một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên ở E và F sao cho DE + DF có giá trị nhỏ nhất
Giải : Về phía ngoài tam giác vẽ tia Ax sao cho xAC = DAE trên Ax lấy điểm D’ sao cho AD’ = AD ta có AED = AFD’ ( c-g-c) A
Suy ra DE = FD’
Ta có DF +DE = DF + FD’ DD’( AD cố định nên AD’ cố định) E F D’ Vậy DD’ là hằng số
Do đó DF +DE nhỏ nhất DF + D’F nhỏ nhất F là giao điểm B D C x
của DD’ và AC
3.2 Trên nữa mp bờ d lấy hai điểm A,B Tìm vị trí điểm D trên d để AD + DB nhỏ nhất
Giải : Lấy điểm A’ đối xứng của A qua d ta có B
AD = A’D (d trung trực của AA’) A
Vậy AD + DB = A’D + DB A’B
Do đó min (AD + DB) khi D nằm trên giao điểm của A’B và d D
A’
4.1 Cho tam giác ABC vuông cân tại có AB = AC = 10cm.Tam giác DEF vuông cân ở D nội tiêp tam giác ABC ( D AB, F AC, E BC) Xác định vị trí điểm D để diện tích yam giác DEF nhỏ nhất
Giải : Gọi AD = x kẻ EH AB thì AD = EH =BH = x
DH =10 – 2x ta có: B
SDEF =
2
1
DE.DF =
2
1
DE2 =
2
1 ( EH2 +DH2 ) H E =
2
1
[ x2 + ( 10 -2x)2] =
2
1 ( 5x2 – 40x +100) =
2
5 ( x2 -8x + 20) D =
2
5
(x – 4)2 + 10 10 A F
C
minSDEF = 10(cm2) x = 4 do đó AD = 4cm
Tổng quát: minSDEF =
` 5
1
SABC
4.2 Các đường chéo tứ giác ABCD cắt nhau ở 0 Tính diện tích nhỏ nhất A B
của tứ giác ,biết SAOB =4cm2, SCOD = 9cm2 1
Giải Ta có
2
4
S
S
=
OB
OA
=
3
1
S
S
S1.S2 = S3.S4 2 O 4 Theo bất đẳng thức COSI : 3
D
S3 + S4 2 S1.S2 = 2 4 9 =12
S= S 1 + S2 + S3 + S4 4 + 9 + 12 = 25 C
Trang 8maxS =25 (cm2)khi và chỉ khi : S3 = S4 SADC = SBCD AB║ CD
Tổng quát thay 4 và 9 bởi a và b ta có maxS = ( a + b )2
II/ Chú ý khi giải bài toán cực trị:
1/ Khi giải bài toán cực trị , nhiều khi ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị của đại lượng này thành điều kiện cực trị cuả đại lượng khác
Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC ,M là điểm bất kì nằm trên cạnh BC.Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và AC Tìm vị trí của M để EF có độ dài nhỏ nhất A Giải : Gọi I là trung điểm của AM ta có:
IA = IE = IM = IF Như vậy EF là cạnh đáy của tam giác cân IEF I
Ta có góc EIF = 2 góc EAF mà góc EAF không đổỉ nên góc EIF không đổi
Tam giác cân EIF có số đo góc ở đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ nhất khi E F
Và chỉ khi cạnh bên nhỏ nhất Do đó EF nhỏ nhất IE nhỏ nhất AM
Nhó nhất Khi đó M là chân đường cao kẻ tờ A đến BC B M C 2/ Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến tập hợp điểm
Trong tập hợp các hình có chung một tính chất ,khi ta cố định một yếu tố không đổi của hình ,các điểm còn lại có thể chuyển động trên một đường nhất định việc theo dõi vị trí của nó giúp ta tìm được cực trị của bài toán
Ví dụ: Trong các hình bình hành có diện tích và đường chéo không đổi ,hình nào có chu vi nhỏ nhất
Giải : Xét các hình bình hành có BD cố định Diện tích hình bình
Hành không đổi nên diện tích tam giác ABD không đổi do đó A B’
chuyển đông trên đường thẳng d song song với BD D A
Cần xác định vị trí của A trên d để BA + AD nhỏ nhất
Lấy điểm B’ đối xứng qua d khi đó B’ cố định B
BA + AD = B’A +AD B’D ( hằng số)
BA + AD nhỏ nhất B’A + AD nhỏ nhất A là C Giao điểm của d và đoạn B’D khi đó AB = AD D
Vậy hình bình hành có chu vi nhỏ nhất là hình thoi
3/ Khi giải bài toán cực trị , có khi ta phải tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) trong từng trường hợp rồi so sánh các giá trị đó với nhau để tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất) của bài toán Ê
Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thăng đi qua A sao cho tổng
khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn nhất
Giải : Gọi BB’ , CC’ là khoảng cách từ B và C đến d Xét hai trường hợp : A
a/ Đường thẳng d cắt BC tại D ta có:
BB’ + CC’ BD + CD = BC B’
Chú ý : Nếu B hoặc C lớn hơn 90o tì dấu = không đạt được nhưng điều
đó không ảnh hưởng đến bài toán B C C’
b/Đường thẳng d không cắt cạnh BC Khi đó d cắt cạnh CE với E là điểm đối xứng của B qua A tương tự trừng hợp a ta có BB’ + CC’ CE E
Bây giờ ta so sánh BC và CE d E
1/ Trường hợp BAC 90o
H Nếu kê CH BE thì BE thuộc tia đối AB nên HB HE A d
Do đó BC CE ta có: A
Max( BB’ + CC’) = BC d BC B C
2/Trường hợp BAC 90o
Nếu kẻ CH BE thì H thộc tia đối của AE nên HE HB
Trang 9Do đó CE BC ta có : d1 E B
C
Max( BB’ + CC’) = CE d CE d2 M
3/ Trường hợp BAC = 90o A
Ta có BC = CE do đó
Max (BB’ + CC’) = BC = CE
d BC hoặc d CE B
M
III/ Bài tập áp dụng:
1/ Tính diện tích lớn hất của tứ giác ABCD biết AB = AD = a ,BC = CD = b
2/Trong các hình chữ nhật có đường chéo d không đổi hình nào có diện tích lớn nhắt Tính diện tích lớn nhất đó
3/ Cho tam giác ABC vuông cân tại A, BC = 2a Một đường thẳng d bất kì qua A không cắt cạnh
BC Goi I và K theo thứ tự là các hình chiếu của B và C trên d, gọi H là trung điểm của BC.Tính diện tích lớn nhất của tam giác HIK
4/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a , BC = b ( b a 3a) Trên các cạnh AB,BC, CD,
DA lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H sao cho AE = AH = CF = CG Xác định vị trí các điểm E,F,G.H để tứ giác
EFGH có diện tích lớn nhất
5/Chứng minh rằng trong các tam giác có cung cạnh đáy và cùng chu vi tam giác cân có diện tích lớn nhất
6/Trong hình chữ nhật có cùng chu vi ,hình nào có diện tích lớn nhất
7/Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích hình nào có chu vi nhỏ nhất
8/Trong các hình thoi có cùng chu vi ,tìm hình có diện tích lớn nhất
9/ Trong các hình thoi có cùng diện tích , hìmh nào có chu vi nhỏ nhất
10/ Tứ giác ABCD có C + D = 90o ,AD = BC, AB = b, CD = a ( a b) Gọi E,F,G,H theo thứ
tự là trung điểm của AB,AC,DC,DB.Tính diện tích nhỏ nhất của tứ giác EFGH
11/ Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh của hình chữ nhật sao cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ nhất
12/ Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm diện tích lớn nhất của các hình thang có bốn đỉnh thuộ bốn cạnh hình vuông và hai cạnh đáy song song với hai đường chéo hình vuông
13/ Cho hình vuông ABCD có ạnh 6cm Điểm E thuộc cạnh AB sao cho AE = 2cm, điểm F thuộc cạnh BC sao cho BF = 3cm.Dựng các điểm G,Htheo thứ tự thuộc cạnh CD, AD sao cho EFGH là hình thang
a/Có đáy EH , FG và có diện tích nhỏ nhất
b/Có đáy EF, GH và có diện tích lớn nhất
14/Cho tam giác ABC Xác định vị trí các điểm D,E trên các cạnh AB ,AC sao cho BD + CE =
BC và DE có độ dài nhỏ nhất
15/ Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Các điểm D,E theo thứ tự chuyển động trên cạnh AB,AC.Gọi H,K theo thứ tự là hình chiếu của D và E trên BC Tính diện tích lớn nhất của tứ giác
DEKH
CHUYÊN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC
I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC
1/ Cho biểu thức ( x ,y, )
a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y ) M ( M hằng số) (1)
- Tồn tại xo,yo sao cho:
f( xo,yo ) = M (2)
Trang 10b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y ) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn :
- Với mọi x,y để f(x,y ) xác định thì :
f(x,y ) m ( m hằng số) (1’)
- Tồn tại xo,yo sao cho:
f( xo,yo ) = m (2’)
2/ Chú ý :Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn ,xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau:
A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 2
A = 2 x -2 = 0 x = 2
Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2
II/ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ,GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai:
Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c
Tìm GTNN của P nếu a 0
Tìm GTLN của P nếu a 0
Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 +
a
b
x ) + c = a( x +
a
b
2 )2 + c -
a
b
4
2
Đặt P = c -
a
b
4
2
=k Do ( x +
a
b
2 )2 0 nên :
- Nếu a 0 thì a( x +
a
b
2 )2 0 , do đó P k
minP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2 -Nếu a 0 thì a( x +
a
b
2 )2 ` 0 do đó P k` maxP = k khi và chỉ khi x = -
a
b
2 2/ Đa thức bậc cao hơn hai:
Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai
Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7)
Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12)
Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 -36
minA = -36 y = 0 x2 – 7x + 6 = 0 x1 = 1, x2 = 6
3/ Biểu thức là một phân thức :
a/ Phân thức có tử là hằng số ,mẫu là tam thức bậc hai:
Ví dụ : Tìm GTNN của A = 2
9 5 6
2
x
Giải : A = 2
9 5 6
2
x
x =
5 6 9
2 2
x
x = (3 12)2 4
Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó (3 11)2 4
1 theo tính chất a
b thì
a
1
b
1
với a, b cùng dấu) Do đó (3 12)2 4
4
2
A
-2 1
minA =
-2
1
3x – 1 = 0 x =
3
1 b/ Phân thức có mẫu là bìmh phương của nhị thức
Ví dụ : Tìm GTNN của A =
1 2
6 8 3 2 2
x x
x x
Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm
A =
1 2
) 4 4 ( ) 2 4
2
(
2
2 2
x x
x x x
x
= 2 + 2
2
) 1 (
) 2 (
x x
2