Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8

Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử... 2 Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chungBài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: III- Phơng pháp đổi biến B

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số

a – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi biểu thức nguyên

= 6(x + y)2z – 6z(x – y)2 = 24xyz

Ví dụ 2 Cho x + y = a, xy = b (a2 ≥ 4b) Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x2 + y2 ; b) x3 + y3 ; c) x4 + y4 ; d) x5 + y5

Lời giảia) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = a2 – 2b

Trang 1

Hay x3 + y3 + 3xy(x + y) = –z3  3xyz = x3 + y3 + z3

4 Cho a + b + c = 0 và a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4.

5 Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức :

12 Cho a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = 1 Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945

13 Hai số a, b lần lợt thỏa mãn các hệ thức sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0 Hãy tính : D = a + b

14 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98 Hãy tính : E = a2 + b2

15 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008

Chuyên đề i: Biến đổi biểu thức đại số

a – biển đổi biểu thức nguyên biển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ 5

Trang 3

a) Chứng minh rằng phân số 3n 1

5n 2

++ là phân số tối giản nN ;b) Cho phân số

Lời giảia) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1 Vậy phân số 3n 1

5n 2

++ là phân số tối giản.

Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009  1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;… + ab; 69}

Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài Tổng của các số này là :

29(1 + 2 + … + ab + 69) – 5.69 = 69690

Ví dụ 6 Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1

a + + =b c a b c

+ + Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau Từ đó suy ra rằng :

ộ + =ờ

ờ + =ờ

ờ + =ở

ờ ờ

ờ ở

NhËn xÐt : P(a) = P(b) = P(c) = 0  a, b, c lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña P(x).

§iÒu nµy chØ x¶y ra khi vµ chØ khi P(x) lµ ®a thøc kh«ng, tøc lµ P(x) = 0 x

Suy ra S(x) = 1 x  ®pcm

VÝ dô 9 Cho x 1 3

x+ = TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :

2 2

2n 1

+

- . b) Chøng minh r»ng ph©n sè

27 Cho x2 – 4x + 1 = 0 Tính giá trị của các biểu thức A = x5 +

=+ + và

2

xN

2 3 2

n 1 n

-=

+ .a) Chứng minh rằng a1 = a5

b) Xác định năm số đầu của dãy, biết rằng a101 = 108

Chuyên đề Ii: phân tích đa thức thành nhân tử

2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

III- Phơng pháp đổi biến

Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

IV- Phơng pháp xét giá trị riêng

Phơng pháp: Trớc hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán chocác biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Giải

a, Giả sử thay x bởi y thì P = y y z2 (  ) y z y2 (  ) 0 

Nh vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức P

có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z) Do đó nếu P đã chúa thùa số x – y thìcũng chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3

đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối vớitập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y

= 1, z = 0

ta đợc k = -1

Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử Thực hiện

nh sau:

Bớc 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm củaf(x) không

Bớc 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)  (x a)p(x)

Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a

Bớc 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích đợc Sau đó viếtkết quả cuối cùng cho hợp lí

Dạng 1: Tìm đa thức thơng bằng phơng pháp đồng nhất hệ số(phơng pháp hệ số bất

định), phơng pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức

*Phơng pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai đathức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau

Ví dụ: ( ) 2 2 3





ax bx x

P ; Q(x) x2  4x p

Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:

a = 1(hệ số của lũy thừa 2)

2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)

*Phơng pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)

Gọi thơng và d trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lợt là M(x) và N(x)

Khi đó ta có: P(x) Q(x).M(x) N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x

( là hằng số) Sau đó ta đi giải phơng trình hoặc hệ phơng trình để tìm các hệ số củacác hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thơng, đa thức chia, đa thức bị chia, số d)

Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)

Gọi thơng của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:

) ( ).

1 ( 2 6

6 0

2 6

2

a

a a

a a

*Phơng pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (nh SGK)

Bài 3: Với giá trị nào của a và b thì đa thức : x3 ax2  2xb chia hết cho đa thức:

1

2 x

x Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x) x4 9x3 21x2xk chia hết cho đa thức:

2 )

Q Xỏc định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Trang 13

) )(

Bài 14: Xỏc định a và b sao cho đa thức ( ) 4 3 1





ax bx x

2

) 1

P và Q(x) x2  xb Xỏc định a và b

để P(x) chia hết cho Q(x)

Chuyên đề IV: xác định đa thức

Dạng 2: Phương phỏp nội suy NiuTơn

Phương phỏp:

Để tỡm đa thức P(x) bậc khụng quỏ n khi biết giỏ trị của đa thức tại n + 1 điểm

1 3

2

1 ,C ,C , ,C n

C  ta cú thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

) (

) )(

( )

)(

( ) (

2 2 18 25 9

18 25

7 25

2 2

1 1 0

b b b

Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:

25 19 )

( ) 1 ( 18

b) Suy ra giỏ trị của tổng S  1 2 3  2 3 5   n(n 1 )( 2n 1 ), (nN* )

Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36 ) 2 ( 5 3 2 ) 1 ( ) 2 (

6 ) 1 ( 3 2 1 ) 0 ( ) 1

(

0 ) 0 ( 0 ) 1 ( ) 0 (

, 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 1 (

P

P P

P

P P

P

P P

2

1 )

4 )(

3 )(

2 )(

1 ( ) 3 )(

2 )(

1 (

3 ) 2 )(

1 (

3 0

3 1

2 3 2 3 3 36

, 3 1

2 6

, 0 0

0

4 4

3 3

2 2

1 1 0

b b

b b

b b b

Vậy, đa thức cần tỡm cú dạng:

2

1 ) 2 )(

1 ( ) 1 ( 2

1 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 3

)

(x  x x x x x  x x x x  x x 2 x

P

(Tuyển chọn bài thi HSG Toỏn THCS)

Bài 5: cho đa thức ( ) 2 , ( , , 0 )







ax bx c a b c x

1) Tớnh a, b, c theo , ( 1 )

2

1 ), 0

2

1 ), 0

khụng thể cựng õm hoặc cựng dương

Bài 6: Tỡm một đa thức bậc hai, cho biết:

1985 )

2 (

85 ) 1 (

19 ) 0 (







P P P

1 Kiến thức cần nhớ

1 Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (nN hoặc n Z)

a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích trong đó

có một thừa số là m

+ Nếu m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôI một nguyên tốcùng nhau rồi chứng minh A(n) chia hết cho tất cả các số đó

+ Trong k số liên tiếp bao giờ cũng tồn tại một số là bội của k

b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta có thể xét mọi trờng hợp về số dkhi chia m cho n

Ta lại có n3-7n – 6 = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)

=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)

Tơng tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d

Do đó A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)

Ta thấy : A là tích của 7 số nguyên liên tiếp mà trong 7 số nguyên liên tiếp:

- Tồn tại một bội số của 5 (nên A  5 )

- Tồn tại một bội của 7 (nên A  7 )

- Tồn tại hai bội của 3 (nên A  9 )

- Tồn tại 3 bội của 2 trong đó có bội của 4 (nên A  16)

Trang 15

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi một nguyên tố cùng nhau  A 5.7.9.16=5040

Ví dụ 2: Chng minh rằng với mọi số nguyên a thì :

a/ a3 –a chia hết cho 3

Phân tích A thành một tổng của hai số hạng chia hết cho 5 :

+ Một số hạng là tích của 5 số nguyên liên tiếp

Mỗi dòng đều bắt đầu bằng 1 và kết thúc bằng 1

Mỗi số trên một dòng (kể từ dòng thứ 2) đều bằng số liền trên cộng với số bêntrái của số liền trên

 A không chia hết cho 17

+Cách 2: A = 16n – 1 = ( 17 – 1)n – 1 = BS17 +(-1)n – 1 (theo công thứcNiu Tơn)

- Nếu n chẵn thì A = BS17 + 1 – 1 = BS17 chia hết cho 17

Vậy biểu thức 16n – 1 chia hết cho 17 khi và chỉ khi n là số chẵn,  n Nd/ Ngoài ra còn dùng phơng pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứngminh quan hệ chia hết

 VD 4: CMR tồn tại một bội của 2003 có dạng: 2004 2004… + ab.2004

= BS9 – 2 = BS9 + 7

Vậy 2100 chia cho 9 d 7

b/ Luỹ thừa của 2 gần với bội của 25 là 2 10 = 1024 =1025 – 1

Trang 17

Ta có:

2100 =( 210)10 = ( 1025 – 1 )10 = BS 1025 + 1 = BS 25 +1 (theo nhị thức NiuTơn)

Vậy 2100 chia cho 25 d 1

* VD2: Tìm 4 chữ số tận cùng của 51994 khi viết trong hệ thập phân

 ( 51994)3 56(51988 – 1)chia hết cho 10000 còn 56= 15625

 51994 = BS10000 + 15625  51994 chia cho 10000 d 15625

Vậy 4 chữ số tận cùng của 51994 là 5625

3 Tìm điều kiện chia hết

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị củabiểu thức B:

+ n2 – n + 1 = - 1  n2 – n + 2 = 0 , không có giá trị của n thoả mãn

 VD 3: Tìm số tự nhiên n sao cho 2n - 1 chia hết cho 7

Giải:

Ta có luỹ thừa của 2 gần với bội của 7 là 23 = 8 = 7 + 1

- Nếu n = 3k (k N) thì 2n - 1= 23k – 1 = (23)k – 1 = 8 k - 1k

8 – 1 = 7Nếu n = 3k + 1(k N) thì 2n - 1 = 23k+1 – 1 = 8k 2 – 1= 2(8k – 1) + 1 = 2 BS7 + 1

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với mọi số n chẵn

b/ n4 – 10n2 + 9 chia hết cho 384 với mọi số n lẻ

Giải

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4)

Với n chẵn, n = 2k ta có:

n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8

b/ n4 – 10n2 + 9 = n4 – n2 – 9n2 + 9 = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2 - 9) = (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3)

Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:

n4 – 10n2 + 9 = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + 1 – 3)( 2k + 1 +3)

= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16

Bài 2: Chứng minh rằng

a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với mọi số nguyên n

b/ 32n – 9 chia hết cho 72 với mọi số nguyên dơng n

Giải:

Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1)

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = 1

Xét các trờng hợp:

+ Với n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) 8+ Với n = 2k +1  A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2

8Tơng tự xét các trờng hợp n = 3a, n= 3a  1 để chứng minh A9

Trang 19

Mặt khác a là số nguyên tố lớn hơn 3 a không chia hết cho 3

 a2 là số chính phơng không chia hết cho 3 a2 chia cho 3 d 1

Bài toán là trờng hợp đặc biệt của định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p là số nguyên tố và a là một số nguyên thì ap – a chia hết cho p

- Dạng 2: Nếu a là một số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p thì ap-1-1 chiahết cho p

Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504

Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho 8

Nếu a lẻ a3-1và a3 + 1 là hai số chẵn liên tiếp (a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8

Vậy A8 , 19 9a nN (1)

+ Nếu a7  a3

7  A7 Nếu a không chia hết cho 7 thì a6 – 17 (a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma)Vậy A7 ,  nN (2)

+ Nếu a3  a3

9 A9Nếu a không chia hấe cho 3  a = 3k 1 a3 = ( 3k  3)3= BS91

Một ngày của thập kỷ cuối cùng của thế kỷ XX, một nhờ khách đến thăm trờng gặphai học sinh Ngời khách hỏi:

- Có lẽ hai em bằng tuổi nhau?

Gọi năm sinh của Mai là 19 9a thì 1 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng này là số chẵn thì

a{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai không thể sinh năm 1959 hoặc 1999 Vậy Maisinh năm 1979, bạn của Mai sinh năm 1980

Chuyên đề VI: Tam giác – phân giác

1 C

ác bài toán tổng quát về đ ờng phân giác

1/ Cho  ABC vụựi AB > AC ẹieồm M ( khaực A ) thuoọc ủửụứng phaõn giaực trong vaứ

N ( khaực A ) thuoọc ủửụứng phaõn giaực ngoaứi cuỷa goực A Chửựng minh raống :

a/ AB – AC > MB – MC

b/ AB + AC < NB + NC

2/ Ba ủửụứng phaõn giaực trong AD , BE , CF cuỷa  ABC gaởp nhau taùi O Tửứ O dửùng

OG vuoõng goực vụựi BC

a/Chửựng minh goực BOD = goực COG b/Tớnh goực BOC theo A

c/Tớnh goực GOD theo goực B vaứ goực C

Trang 21

3/ Cho  ABC , các đường phân giác AA’, BB’, CC’ Gọi L là giao điểm của AA’ và B’C’ , K là giao điểm của CC’ và A’B’ Chứng minh : BB’ là phân giác của góc KBL

4/ Cho  ABC có dộ dài 3 cạnh là a,b,c và la , lb , lc là độ dài 3 đường phân giácứng với các cạnh BC , CA , AB Chứng minh :

c b

a l l l

c b a

1 1 1 1 1 1

2

1 2

1 2

1

b c bc

c b

CE AD

BE  .  a(  )  2  ( 1 )

2

1 2

1 2

1

b c bc

c b



Chứng minh tương tự ta có : ( 2 )

2

1 2

1 1

c a

1 2

1 1

a b

Lấy (1) + (2) +(3) suy ra điều phải chứng minh

5/ Cho tam giác ABC có các phân giác AY , BZ , CX Chứng minh rằng :

HƯỚNG DẪNNhận xét và chú ý :+ Bài toán cho các đường phân giác nên hãy chú

ý đến tính chất đường phân giác của tam giác + Bài toán yêu cầu chứng minh một bất đẳng thức

nên hãy chú ý đến các BĐT trong đó chú ý đến

BY XB AX

AE

A

ZX

a

bc

c

Aùp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương AX XB;YC BY ;CZ ZA ta có :

Theo tính chất đường phân giác : 3 3

ZA

CZ YC

BY XB

AX ZA

CZ YC

BY XB

c a

b ZA

CZ YC

BY XB AX

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c tức  ABC đều 6/ Cho  ABC , ba đường phân giác trong AD , BE , CF Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là SDEF = ¼ SABC

8/ Cho  ABC có độ dài ba cạnh là a , b , c Vẽ các phân giác AD , BE ,

CF Chứng minh

SDEF  ¼ SABC , dấu “=” xảy ra   ABC đều

2.TÍNH ĐỘ LỚN CỦA GÓC1/ Cho  ABC , các đường phân giác trong BD , CE Tính số đo các góc của tam giác nếu BDE = 240 , CED = 180

2/ Cho  ABC , các góc B và C cóùù tỉ lệ 3 : 1 , phân giác của góc A chia diện tíchtam giác theo tỉ số 2: 1 Tính các góc của tam giác

3.HAI ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 1/ Cho  ABC có hai đường phân giác trong BD , CE cắt nhau tại I Biết ID = IE Chứng minh rằng hoặc  ABC cân tại A hoặc BAC = 600

HƯỚNG DẪN A

a/  IEA =  IDA Khi đó :

BAD = CAE ; AD = AE ; BDA = CEA   ABD =  ACE ( g – c – g ) 

AB = AC 

 ABC cân tại A

Trang 23

b/  IEA vaứ  IDA khoõng baống nhau   ABC khoõng caõn ụỷ A

Khoõng maỏt tớnh toồng quaựt ta giaỷ sửỷ : C > B Laỏy ủieồm E’ treõn AB sao cho IE’ = IE = ID   IE’E caõn  IE’E = IEE’  BEI = IE’A = IDA

Xeựt tửự giaực ADIE coự : D + E = 1800  A + DIE = 1800  A + BIE = ICB + IBC

 2A = 2ICB + 2IBC = C + B Maứ BIE + DIE = 180 0 vaứ A + B + C =

1800  A + 2A = 1800  A = 600

4.CệẽC TRề1/ Cho  ABC vụựi AB  AC vaứ AD laứ ủửụứng phaõn giaực trong Laỏy ủieồm M treõn caùnh AB vaứ ủieồm N treõn caùnh AC sao cho BM.CN = k khoõng ủoồi ( k < AB2 ) Xaực ủũnh vũ trớ cuỷa M , N sao cho dieọn tớch cuỷa tửự giaực AMDN laứ lụựn nhaỏt

HệễÙNG DAÃNNhaọn xeựt :

1/ BM + CN  2 BM CN.2/ SAMDN = SAMD + SADN

BM + CN  2 BM.CN  2 k , daỏu “ = “ xaỷy ra  BM = CN Thay vaứo (1) ta ủửụùc :

2SAMDN  DH(AB+AC-2 k )Dieọn tớch tửự giaực AMDN lụựn nhaỏt khi BM = CN = k < AB  AC

Luực ủoự SAMDN = ẵ (AB+AC - 2 k ) Deó daứng dửùng ủửụùc caực ủoaùn thaỳng

BM , CN theo heọ thửực BM2 = CN2 = k.1 ( trong ủoự 1 chổ 1 ủụn vũ daứi )

Caựch dửùng : Treõn BC laỏy E sao cho BE = 1 treõn BF laỏy H sao cho BH = k Dửùng ủửụứng troứn ủửụứng kớnh BE , dửùng tia Hx vuoõng goực vụựi BE caột ủửụứng troứn taùi M BM coự ủoọ daứi caàn dửùng

Chuyên đề VIi: Tam giác - đờng cao -trung tuyến

A

D H

N

k