Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 “CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG” Tác giả: NGUYỄN VĂN NGHIÊU Trưng Vương N

CHUYÊN ĐỀ

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9

“CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG

THẲNG VUÔNG GÓC, CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG”

Tác giả: NGUYỄN VĂN NGHIÊU (Trưng Vương)

NGUYỄN TĂNG CƯỜNG (Trưng Vương)

THÂN TRỌNG DUY THẠC (Kim Đồng)

TRẦN ĐỨC KIỆT (Tây Sơn)

LỜI NÓI ĐẦU:

Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán, nhất là môn Toán

lớp 9, người thầy cung cấp cho học sinh những phương pháp giải Toán có tầm

quan trọng bậc nhất Với hành trang là những phương pháp giải Toán có được,

nhiều kĩ năng giải Toán được hình thành Thông qua đó, năng lực phân tích tìm

tòi, khả năng suy đoán, khả năng diễn đạt chính xác, hợp lí và tư duy sáng tạo

của học sinh được phát triển

Thông qua chuyên đề này, tài liệu sẽ cung cấp những kiến thức cần thiết

về phương pháp giải Toán, những kinh nghiệm cụ thể trong quá trình tìm tòi lời

giải, giúp học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận và khả

năng sáng tạo Ngoài ra chúng tôi còn cung cấp một số đề thi học sinh giỏi, thi

vào lớp 10 của thành phố Đà Nẵng và các tỉnh bạn trong các năm học qua có sử

dụng phương pháp giải này

Chúng tôi hy vọng rằng những kinh nghiệm này sẽ là một tài liệu thiết

thực và bổ ích để đào sâu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tuy nhiên

tài liệu chắc chắn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận

được những ý kiến đóng góp của các bạn

Hải Châu, 2009

A CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, HAI ĐƯỜNG

THẲNG VUÔNG GÓC:

I Phương pháp giải:

1 Chứng minh hai đường thẳng song song: Ta thường sử dụng một

trong các phương pháp sau:

a Dựa vào mối quan hệ giữa các góc so le trong, hoặc góc đồng vị hoặc

các góc trong cùng phía

b Dựa vào đường thẳng thứ ba làm trung gian (các hệ quả của tiên đề

Ơ-clit)

c Chứng minh cho các đoạn thẳng là cạnh đối của một hình bình hành,

của một hình thang, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông

d Dựa vào đường trung bình của tam giác, của hình thang hoặc đoạn

thẳng tỉ lệ

2 Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Ta thường sử dụng một

trong các phương pháp sau:

a Dựa vào tính chất hai đường chéo của hình thoi, hình vuông thì vuông

góc với nhau

b Dựa vào tính chất về đường phân giác của góc ở đỉnh của tam giác cân

c Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau tạo thành một góc bằng góc

vuông cho trước hoặc dựa vào hai góc phụ nhau

d Dựa vào tính chất ba đường cao trong tam giác

e Dựa vào tính chất đối xứng của đường tròn

II Các bài toán áp dụng:

Bài toán 1.1: Cho tam giác ABC và ba trung tuyến AM, BN, CE Kẻ

Ax//BC và Ny //AB Ax cắt Ny tại D Chứng minh DC // AM và ED //BN

Gợi ý giải:

Chứng minh ADCM là hình bình hành (theo cách nhận biết hình bình hành) Suy ra: DC // AM (đpcm) Tương tự BEDN cũng là hình bình hành (theo cách nhận biết hình bình hành)

y

x

D

A

N

E

M

Suy ra: ED // BN (đpcm)

Nhận xét: Để chứng minh DC // AM hoặc EĐ // BN, ta chứng minh các

đoạn thẳng là cạnh đối của hình bình hành

Bài toán 1.2: Cho tam giác ABC có 3 góc đều nhon, AD là tia phân giác

và AM là trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ( DBC, MBC) Đường tròn ngoại

tiếp tam giác AMD cắt AB tại E và AC tại F Gọi I là trung điểm của EF

Chứng minh IM // AD

(Đề thi HS giỏi THCS lớp 9 năm học 2003-2004, thành phố Đà Nẵng)

Gợi ý giải:

 BAD   BME (gg) Suy ra : BE.BA = BD.BM Tương tự:  CFD   CMA (gg) Suy ra : CF.CA = CM.CD

hay : BE = BD.BM

BA

CF = CD.CM

CA (1) Mặt khác, do tính chất của đường phân giác, ta có:

BD CD

BA CA (2)

Từ (1),(2) và do BM = CM, suy ra: BE = CF

Kẻ EE' và FF' cùng song song với AD (E', F' thuộc BC) Ta có:

BD BE '

BA  BE và CD CF '

CA CF (3)

Từ (2) và (3) và do BE = CF nên M là trung điểm của E'F'

Do đó IM là đường trung bình của hình thang EE'FF'

Vậy IM // EE' hay IM // AD

Nhận xét: Để chứng minh IM // AD, ta phải dựa vào đường trung bình

của hình thang

A

E

F

D M

I

F' E'

Bài toán 1.3: Cho tam giác ABC, có góc A nhọn, nội tiếp trong đường

trong tâm O, bán kính R Hai đường cao BI và CJ lần lượt cắt đường tròn tại I',

J'

a Chứng minh IJ // I'J'

b Chứng minh OA  IJ

Lời giải:

a Tứ giác BCIJ nội tiếp đường tròn (do I

và J cùng nhìn BC dưới một góc vuông)

Suy ra:BIJ = BCJ ˆ ˆ (cùng chắn cung BI) Trong khi đó trong đường tròn (O) ta có:

ˆ ˆ BI'J' = BCJ' (cùng chắn BJ')

Vậy : BIJ = BI'J'ˆ ˆ

Hai góc này ở vị trí đồng vị nên IJ // I'J'

b Ta có: ABI 'ˆ ACJ'ˆ (cùng phụ với BACˆ )

Suy ra: AI ')  AJ') => AO  I'J' => AO  IJ

Nhận xét:

- Để chứng minh IJ // I'J' ta cũng chứng minh cặp góc đồng vị bằng nhau

- Để chứng minh OA  IJ ta sử dụng định lí được học ở lớp 7: "Nếu một

đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc

với đường thẳng kia"

- Bài này cũng gợi ý một bài toán rất hay: Cho B, C cố định, A di chuyển

trên cung lớn BC của đường tròn (O) Chứng minh bán kính đường tròn ngoại

tiếp tam giác AIJ không đổi Có 2 cách giải

Cách 1: Gọi K là giao điểm của BI và CJ Tứ giác AIKJ nội tiếp d dường

tròn đường kính AK Do đó bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AIJ có độ

dài bằng AK

2 Ta có  ABK =  ABJ', từ đó suy ra AK = AJ' Do góc A có số

đo bằng 1

2 sđBC) không đổi nên số đo góc J'CA không đổi (góc phụ của góc A)

Vậy cung J'A có số đo không đổi và do đó dây cung J'A có độ dài không đổi,

nghĩa là AK có độ dài không đổi

Cách 2: Ta có thể chứng minh rằng AK = 2OH (với H là chân đường

vuông góc kẻ từ O xuống BC)

A

O

I'

J'

J

I

Bài toán 1.4: Trong đường tròn (O) cho hai dây AC và BD vuông góc

với nhau tại I Chứng minh rằng đường thẳng đi qua I và trung điểm của BC

vuông góc với AD

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của BC và N là giao điểm của IM và AD Ta có:

IM = MC => ICMˆ CIMˆ

Mặt khác, ta có:

NDI  ADB  ACBM  ICB(cùng chắn cung AB)

NIDBIM (góc đối đỉnh)

Từ đó, ta có:

ˆ

NIDNDIBIMICB=BIMˆ MICˆ 900

Bởi vậy: INDˆ 900

Bài toán 1.5: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Trên AB lấy 2

điểm C và D cách đều tâm O Qua C và D, kẻ hai tia song song cắt nửa đường

tròn ở I và K Chứng minh rằng IC vuông góc với IK

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của IK

Ta có OH là đường trung bình của hình thang CDKI nên OH // IC Ta lại có OH 

IK (tính chất đường kính và dây)

nên IC  IK

Nhận xét: Bài tập này sử dụng cả tính chất đường kính và dây và tính chất

một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song

Bài toán 1.6: Cho cung phần tư AB của đường tròn (O) Từ A và B, ta kẻ

hai dây bằng nhau AM và BN Hai dây này cắt nhau ở C Chứng minh rằng OC

vuông góc với AB

Lời giải:

Từ O, kẻ OI  AM, OH  BN (I AM, H  BN)

A

D

C

B

M

N

I

K

H

C O D

Ta có:  OIA =  OHB (cgc)

=> AOIˆ  BOHˆ (1)

và  ICO =  HCO (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

=> IOCˆ  HOCˆ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AOCˆ  BOCˆ

nên OC là đường phân giác của tam giác cân AOB

Nhận xét: Để chứng minh OC AB, ta phải sử dụng tính chất đường phân

giác phát xuất từ đỉnh của tam giác cân

III Bài tập luyện:

Bài toán 1.7: Cho 2 đường tròn tâm O và O' cắt nhau tại A và B Vẽ

đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại C và đường tròn (O') tại D

Vẽ đường thẳng qua B cắt đường tròn (O) tại E và đường tròn (O') tại F

Chứng minh CF // DF

Gợi ý giải: Chứng minh ACEˆ ADF 180ˆ  0 Suy ra: CE // DF (2 góc trong

cùng phía bù nhau)

Bài toán 1.8: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến AM Các đường phân

giác của các góc AMB và AMC cắt AB ở D và AC ở E Chứng minh DE // BC

Gợi ý giải: Chứng minh AD AE

DB  EC

Vậy DE // BC (theo định lí Ta -lét)

Bài toán 1.9: Cho đường tròn đường kính BC Một điểm P ở ngoài

đường tròn có hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngoài đường tròn Giao diểm

của PB, PC với đường tròn lần lượt là M, N Giao điểm AN với đường tròn là E

Chứng minh EM  BC

Gợi ý giải: Cần chú ý các tình huống là 2 hình vẽ khác nhau

- Trường hợp AC > AB

- Trường hợp AB > AC

M

C

I

H

Bài toán 1.10: Cho tam giác ABC có các cạnh AB, AC và BC thoả mãn

điều kiện AB< AC và AB + AC = 2BC Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn

ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Tia phân giác trong của góc BAC cắt BC

tại D Chứng minh rằng: OI vuông góc với AD

(Đề thi chọn HS giỏi lớp 9 thành phố Đà Nẵng, năm học 2005 - 2006)

Gợi ý giải: Gọi M là giao điểm của tia phân giác góc BAC và dường tròn

(O) Chứng minh được ID = DM Suy ra: AI = IM Do đó OI  AM (t/c đường

kính di qua điểm chính giữa của một dây)

Bài toán 1.11: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi O, O',

I theo thứ tự là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABH, ACH, ABC Chứng

minh: AI vuông góc với OO'

(Trích đề thi chọn HS giỏi lớp 9, thành phố Đà Nẵng, năm học 1999-2000)

Gợi ý giải: Tam giác AOO' có 2 đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm

=> AI là đường cao thứ ba, hay AI  OO'

Bài toán 1.12: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp trong đường

tròn tâm O, D là trung điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh

rằng OE vuông góc với CD

(Đề thi chọn HS giỏi lớp 9, thành phố Đà Nẵng, năm học 1998 - 1999)

Gợi ý giải: Trong tam giác DEG có 2 đường cao cắt nhau tại O, nên O là

trực tâm của tam giác DEG

Vậy EO là đường cao thứ ba của tam giác DEG, nên DE vuông góc với

CD

B PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH 3 ĐIỂM THẲNG HÀNG

(Ba điểm cùng thuộc một đường thẳng)

Với bài toán đơn giản: Cho đường tròn (O) đường kính AB vẽ hai dây AC và

BD song song với nhau Chứng minh AC = BD

Một số học sinh sẽ nối OC, OD và chứng minh tam giác AOC bằng tam giác DOB theo trường hợp c – g – c với ·AOC = · BOD (hai góc đối

đỉnh) như vậy đã nhầm lẫn D, O, C thẳng hàng Trong một số bài toán nâng cao nhiều khi học sinh cũng có những nhầm lẫn tương tự như vậy nên bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng là bài toán quan trọng cần bồi dưỡng cho học sinh

D

B O

A

C

I Một số phương pháp giải thường vận dụng để chứng minh ba điểm A,B,C

thẳng hàng

 Chứng tỏ hai trong ba đường thẳng AB, AC, BC trùng nhau do cùng song

song hay vuông góc với một đường thẳng

 Sử dụng mối quan hệ về góc (hai góc bằng nhau, hai góc kề bù)

 Chứng tỏ hai tia đối nhau (hoặc C là tâm đường tròn đường kính BA, giao

điểm hai đường chéo của hình bình hành ,hình chữ nhật với hai đỉnh đối

của nó)

 Hai đường tròn tâm A và tâm B tiếp xúc nhau tại C



II.Các bài toán áp dụng:

Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O), các đường phân

giác trong của góc A, B, C cắt nhau tại I và cắt đường tròn theo thứ tự tại D, E,

F

a/ Chứng minh các tam giác DCI và DBI cân

b/ DE cắt AC tại K, DF cắt AB tại N Chứng minh ba điểm N, I, K thẳng

hàng

(Đề thi vào lớp 10 Thanh Hóa – 1994)

Gợi ý giải:

a/ Chứng minh ·DIC = · DIB ; · DBI = · DIB để

suy ra các tam giácDIC, DIB cân

b/ Chứng minh ·KIC = ·ICB (= · KIB ) để suy ra

IK // BC Tương tự chứng minh NI // BC

Suy ra N,I,K thẳng hàng

Nhận xét: Để chứng minh ba điểm N, I, K thẳng hàng

ta chứng minh hai đường thẳng IK, IN cùng song song với BC

Bài toán 2.2: Cho hai điểm A,B cố định trên đường tròn (O), các điểm C,D di

động trên đường tròn sao cho AD // BC và C, D ở cùng phía với dây AB M là

giao điểm của AC và BD Các tiếp tuyến với đường tròn tại A, D cắt nhau tại I

Chứng minh:

a/ Ba điểm I, O, M thẳng hàng

b/ Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MDC là hằng số

Gợi ý giải:

a/ Chứng minh ba điểm thẳng hàng:

BC // AD cung DC bằng cung AB dễ dàng chứng minh được MD =MA Lại có OD = OA; ID = IA nên chứng minh được I, O, M cùng thuộc trung trực của AD nên chúng thẳng hàng

E

O

F

A

M O

B C

D

O

y

x

A'

E

F

C D

A

B

Bài toán 2.3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O; R) Vẽ tia Ax

vuông góc với AD cắt BC tại E ; vẽ tia Ay vuông góc với AB cắt CD tại F

Chứng minh E,O,F thẳng hàng

Gợi ý giải:

Xét ba trường hợp xảy ra:

 Nếu ·BAD = 900 thì EF là đường kính của đường tròn (O) suy ra điều

phải chứng minh

 Nếu ·BAD > 900 , gọi A’ đối xứng với

A qua EF

· '

EA F = · EAF = · BAF + · EAD – · BAD =

1800 – ·BAD = · ECF

Suy ra tứ giác EFA’C nội tiếp nên · 'A EF + ·' A CF = 1800 suy ra ·AEF

+ · 'A CF = 1800

( ·AEF = ·' A CF )

mà ·AEF = ·' A AD ( góc có cạnh tương ứng vuông góc ) nên ·' A AD + · ' A CD =

1800 do đó tứ giác ADCA’ nội tiếp

hay A’  (O) suy ra O thuộc đường trung trực của AA’ suy ra E, O, F thẳng

hàng

 Trường hợp ·BAD < 900 chứng minh tương tự

Nhận xét: Bài tập này vận dụng phương pháp chứng minh ba điểm cùng nằm

trên đường trung trực của một đoạn thẳng để suy ra ba điểm thẳng hàng

Bài toán 2.4 : Cho tam giác nhọn ABC, đường cao AD, trực tâm H Gọi

AM,AN là các tiếp tuyến với đường tròn (O) đường kính BC (M,N là tiếp điểm )

Chứng minh :

a/ Tứ giác AMDN nội tiếp được đường tròn

b/ Ba điểm M,H,N thẳng hàng

Gợi ý giải:

a/ A,M,D,N cùng thuộc đường tròn đường kính AO

b/ Chứng minh AN2 = AE.AC Chứng minh AE.AC = AH.AD Suy ra

AN2 = AH.AD nên AN AH

từ đó chứng minh được ∆AHN ~ ∆AND suy ra ·AHN = · AND

Tương tự ∆AHM ~ ∆AMD suy ra ·AHM

= ·AMD

H

D O

A

N M

·AHM + · AHN = · AND + · AMD = 1800

Suy ra M, H, N thẳng hàng

Nhận xét : Bài tập này vận dụng hệ thức lượng trong đường tròn để chứng minh

tam giác đồng dạng dẫn đến chứng minh hai góc kề nhau là kề bù suy ra ba điểm

thẳng hàng

Bài toán 2.5: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Từ A vẽ cát tuyến ABC

và tiếp tuyến AE, AF tới (O) Các tiếp tuyến với (O) tại B, C cắt nhau tại K Chứng minh

K, E, F thẳng hàng

Gợi ý giải :

Kẻ KH vuông góc với AO suy ra K, B, H,

O, C cùng thuộc đường tròn đường kính OK nên tứ giác OCBH nội tiếp được đường tròn

Chứng minh : AH.AO = AB.AC = AF2 Gọi H’ là giao điểm của EF và AO Chứng minh AF2 = AH’.AO

suy ra AH.AO = AH’.AO nên H trùng với H’ hay EF vuông góc với AO

suy ra K, E, F thẳng hàng

3.Bài tập luyện :

Bài tập 2.6: Cho tam giác ABC với các đường cao AA1, BB1, CC1 Chứng minh

rằng: Các hình chiếu vuông góc của

A1 lên AB, AC, BB1, CC1 thẳng hàng

Gợi ý giải: Gọi M, N, P, Q lần lượt là

hình chiếu của A1 xuốngAB, BB1, CC1

,AC

·

MNB = · MA B = ·1 BCC = ·1 BB C suy 1 1

ra MN // B1C1

·

PNH = · PA H = ·1 HAC = ·1 HB C suy ra 1 1

NP//B1C1

từ đó suy ra M, N, P thẳng hàng

Tương tự Q, P, N thẳng hàng Suy ra đpcm

Bài tập 2.7: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) điểm E nằm giữa C và D

Vẽ đường tròn (O) đi qua E và tiếp xúc với AD tại D Vẽ đường tròn (O’) đi qua

E và tiếp xúc với AC tại C Gọi K là giao điểm thứ hai của hai đường tròn đó

Chứng minh rằng:

a/ Năm điểm A, B, C, D, K cùng thuộc một đường tròn

b/ Ba điểm K, E, B thẳng hàng

H

K

B

F

E

O A

C

P N

Q

M

C1

A1

B

A

C B1