Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9 - Năm học 2008-2009

NhËn xÐt : Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình được chuyển về dạng hữu tỉ .Song để vận dụng phương pháp này phải có những nhận xét,đánh giá tìm tòi hướng giải quyết cách đặt ẩn [r]

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Chuyên đề bồi dưỡng hsg toán th¸ng n¨m 2008 I.môc tiªu: II.chuÈn bÞ: III Nội dung và phương pháp tiến hành 3.1 Khái niệm phương trình vô tỉ 3.1.1 Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình chứa ẩn dấu 3.1.2 C¸c vÝ dô : a) x 1  b) 3x   x   c) x  x  x  x  =3 x3 x  d) x2 1  3 x2 1 x 1 4 2.Phương pháp chung : Để giải phương trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ phương trình - Biến đổi đưa phương trình dạng đã học - Giải phương trình vừa tìm - So s¸nh kÕt qu¶ víi §KX§ råi kÕt luËn nghiÖm 3.3 Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ bản: a Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương lập phương hai vế phương trình ): Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ a.1 C¸c vÝ dô : * Giải phương trình dạng : VÝ dô 1: f ( x)  g ( x) Giải phương trình : x   x  (1) §KX§ : x+1   x  -1 Với x  -1 thì vế trái phương trình không âm Để phương trình có nghiệm thì x-1   x  1.Khi đó phương trình (1) tương đương với phương trình : x+1 = (x-1)2  x2 -3x= x   x   x(x-3) =  ChØ cã nghiÖm x =3 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =3 VÝ dô 2: Giải phương trình:  x  x   13 x   13  x (1) x   x    13  x   x  13 §KX§ :    x  13 (2) Bình phương hai vế (1) ta : x   (13  x)  x  27 x  170  Phương trình này có nghiệm x1  10 và x  17 Chỉ có x1  10 thoã mãn (2) Vậy nghiệm phương trình là x  10 * Giải phương trình dạng : VÝ dô 3: Giải phương trình:  1 x  1  x §KX§: 1 x  2 x  f ( x )  h( x )  g ( x ) 1 x   x  (1)  x 1 x  2    x 1 Bình phương hai vế phương trình (1) ta : Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 1 x  1 2  x   x  x2  x 1  Phương trình này có nghiệm x  1 tho· m·n (2) Vậy nghiệm phương trình là x  1 VÝ dô 4: Giải phương trình: x    x  (1) Lập phương trình hai vế (1) ta được: x    x  33 ( x  1)(7  x)   (x-1) (7- x) =  x =-1 x =7 (đều thoả mãn (1 )) Vậy x  1; x  là nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng : VÝ dô5:  Giải phương trình f ( x )  h( x )  g (x) x  - x  = 12  x x  = 12  x + x  (1) x   §KX§: 12  x   x     x  1   x  12   x  12 x   Bình phương hai vế ta được: x- = (12  x)( x  7) (3) Ta thấy hai vế phương trình (3) thoã mãn (2) vì bình phương vế phương trình (3) ta : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84)  5x2 - 84x + 352 = Phương trình này có nghiệm x1 = VËy x1 = 44 và x2 = thoả mãn (2) 44 và x2 = là nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng : f ( x )  h( x )  g (x) + q (x) Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Giải phương trình : x  + x  10 = VÝ dô 6: §KX§ : x    x  10    x    x     x  1  x  10    x  2  x  5 x  + x  (1)  x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế (1) ta : x+1 + x+ 10 + ( x  1)( x  10) = x+2 + x+ + ( x  2)( x  5)  2+ ( x  1)( x  10) = ( x  2)( x  5) (3) Với x  -1 thì hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta ( x  1)( x  10) = 1- x §iÒu kiÖn ë ®©y lµ x  -1 (4) Ta chØ viÖc kÕt hîp gi÷a (2) vµ (4)  x  1   x  1  x = là nghiệm nhầt phương trình (1) a.2 NhËn xÐt : Phương pháp nâng lên luỹ thừa sử dụng vào giải số dạng phương tr×nh v« tØ quen thuéc, song qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cÇn chó ý n©ng lªn luü thõa bËc ch½n Với hai số dương a, b a = b thì a2n = b2n và ngược lại (n= 1,2,3 ) Từ đó mà chú ý điều kiện tồn căn, điều kiện hai vế phương trình đó là vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phương ph¸p nµy Ngoài còn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp này với cùng nhiều phương pháp khác lại với a.3 Bµi tËp ¸p dông: x  = x- 2  x x  = x+  x +  x =3 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ x  45 - x  16 =1  x =  x -  (2 x  5) x  + x  = x  x + x y = x 1 + x4 b Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối : b.1 C¸c vÝ dô : VÝ dô1: §KX§: Giải phương trình: x  24 x  16   x  9 x  24 x  16    x    Phương trình (1)  (1) (3 x  4)  0x  x   x≤4 x  = -x + 3 x    x    3 x   x  x   x   Với x= x = là nghiệm phương trình (đều thoả mãn x  ) VÝ dô : Giải phương trình : §KX§: x  4x  + x  x  16 = x  R Phương trình tương đương : x  + x  = LËp b¶ng xÐt dÊu : x x- - x- - + - + + Ta xÐt c¸c kho¶ng : + Khi x < ta cã (2)  6-2x =5  x = 0,5(tho¶ m·n x  2) + Khi  x  ta cã (2)  0x + =5 v« nghiÖm + Khi x > ta cã (2)  2x – =5  x =5,5 (tho¶ m·n x > ) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0,5 và x = 5,5 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ VÝ dô : Giải phương trình: x  x 1  + x  x 1  = §KX§: x  Phương trình viết lại là : ( x  1)  x   +  ( x  1)  x   = ( x   2) + x 1  +  ( x   3) = x   =1 (1) - NÕu  x < ta cã (1)  2- x  + - x  =  x  =2  x= kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt - Nếu  x  10 thì (1)  0x = Phương trình có vô số nghiệm - Nếu x> 10 thì (1)  -5 = phương trinh vô nghiệm Vậy phương trình có vô số nghiệm :  x  10 b.2 NhËn xÐt : Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối sử dụng giải số dạng phương trình vô tỉ quen thuộc trên song thực tÕ cÇn l­u ý cho häc sinh : -áp dụng đẳng thức A2 = A - Học sinh thường hay mắc sai lầm lúng túng xét các khoảng giá trị ẩn nên giáo viên cần lưu ý để học sinh tránh sai lầm b.3 Bµi tËp ¸p dông : x  x  + x  10 x  25 = x  2x  + x  4x  = x   x 1 + x  4x  x   x 1 = x   x  + x   x  = 2 c.Phương pháp đặt ẩn phụ: c C¸c vÝ dô : Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ VÝ dô 1: Giải phương trình: 2x2 + 3x + x  3x  =33 §KX§ :  x  R Phương trình đã cho tương đương với: 2x2 + 3x +9 + x  3x  - 42= (1) Đặt 2x2 + 3x +9 = y > (Chú ý học sinh thường mắc sai lầm không đặt ®iÒu kiÖn b¾t buéc cho Èn phô y) Ta phương trình : y2 + y – 42 =  y1 = , y2 = -7 Cã nghiÖm y =6 tho¶ m·n y> Từ đó ta có x  3x  =6  2x2 + 3x -27 = Phương trình có nghiệm x1 = 3, x2 = - Cả hai nghiệm này chính là nghiệm phương trình đã cho VÝ dô 2: Giải phương trình: x+ x = 12 §KX§ : x  o §Æt x =y   x = y2 ta có phương trình y2 + y -12 = phương trình có nghiệm là y= và y = - (loại)  x =  x = 81 là nghiệm phương trình đã cho VÝ dô 3: Giải phương trình: x   3  x  §KX§ :   x 1 +  x  1  x   3 x - ( x  1)(3  x) = (1) -1 ≤ x ≤ §Æt x  +  x = t   t2 = + ( x  1)(3  x)  ( x  1)(3  x) = t2  (2) thay vµo (2) ta ®­îc t2 – 2t =  t(t-2) =  t  t   + Với t = phương trình vô nghiệm +Víi t = thay vµo (2) ta cã : ( x  1)(3  x) =  x1 = -1; x2 = (tho¶ m·n) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1 = -1và x2 = Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ VÝ dô 4: Giải phương trình : x  = 2( x2 + 2) Ta cã x  = x  x  x  §Æt x  = a  ; x  x  = b  vµ a2 + b2 = x2 + Phương trình đã cho viết là 5ab = 2(a2 + b2)  (2a- b)( a -2b) =  2a  b  a  2b    + Trường hợp: 2a = b 2 x 1 = x2  x 1  4x + = x2 – x +1  x2 – 5x -3 =  37  37 ; x2 = 2 Phương trình có nghiệm x1 = + Trường hợp: a = 2b  x 1 = x2  x 1  x+ = 4x2 -4x + =  4x2 -5x + = phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= VÝ dô 5: Giải phương trình:  37  37 vµ x= 2 x  + (x+1) = x- +  x +  x (1) §Æt x  = u  vµ  x = t  ĐKXĐ: -1  x  thì phương trình (1) trở thành u + 2u2 = -t2 + t +3ut  (u –t ) + u(u-t) + (u-t) =  (u-t)(2u – t +1 ) =  u  t  2u   t   x    x   2 x     x x   24   x   25 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ thoả mãn điều kiện -1  x  là nghiệm phương trình đã cho VÝ dô 6: Giải phương trình: x  x 1 + x  x 1 = x3 §KX§ : x  Đặt x  = t   x = t2 + phương trình đã cho trở thành (t  1) + (t  1) 2  t 1 + t 1 = t2  = t2  t  4t   2 (t  1) t   t   t   x   x  §kX§: x≥ Vậy phuơng đã cho có nghiệm x= 1và x= c.2 NhËn xÐt : Phương pháp đặt ẩn nhằm làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ Song để vận dụng phương pháp này phải có nhận xét,đánh giá tìm tòi hướng giải cách đặt ẩn nào cho phù hợp : Đặt ẩn phụ để phương trình chứa ẩn phụ (Vd 3-1,3-2,3-3) Đặt ẩn phụ để đưa biểu thức nhóm (VD 3-4; 3-5) c.3 Bµi tËp ¸p dông: 1/ x2 – + 2/ x - 2x x x2  = x = 20 3/ x - 3 x =20 4/ x  = 2x2 – 6x +4 5/ x  x  + x  x  = x  23 d Phương pháp đưa phương trình tích : d.1.C¸c vÝ dô : Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ VÝ dô 1: Giải phương trình: x  10 x  21 = x  + x  - (1) §KX§ : x  -3 Phương trình (1) có dạng : ( x  3)( x  7) - x  + x  +6 = x  ( x   3) -2( x   3) ) =3   ( x   3) ( x   ) =0  x    x        x    x    x   x   §KX§ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1; x = VÝ dô 2: Giải phương trình: 1 x + x  =1 §KX§ : x  -2 §Æt x  = t  Khi dã  x = 3  t Phương trình (1)   3 3t2 + t =  t = 1- t  3- t3 = (1-t)  t3 - 4t2 + 3t + =0  (t-2) ( t2 -2t -1) = Từ phương trình này ta tìm x=2 ; x= + 2 là nghiệm phương trình (1) VÝ dô3: Giải phương trình: (4x-1) x  = 2(x2 + 1) + 2x - (1) §Æt x  =y ; y  (1)  (4x-1) y = 2y2 + 2x -1  2y2 - (4x -1) y + 2x – 1=  ( 2y2 - 4xy + 2y) – ( y- 2x+1) =  (y- 2x+1) (2y- 1) = 10 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Giải phương trình này ta tìm x = ; x = VÝ dô4: Giải phương trình: là nghiệm phương trình (1) (  x  )(  x  ) = 2x §KX§: -1  x  (1) đặt  x = u (0  u  2) suy x = u2 -1 phương trình (1) trở thành : (u -1 ) (  u  1) = ( u2 -1)  (u -1 ){ (  u  1) - (u+1)} =  (u-1) (  (+) (+)  u  2u  1) = u      u  2u   u-1 =  u =1 ( tho¶ m·n u  ) suy x = tho¶ m·n (1)  u  2u  =  2u     2  u  (2u  1)   u = 2u + (tho¶ m·n v× u  )  5u2 + 4u - = u1  1  0(loai )   u2  5 nªn cã x = u22 -1 = ( )2 – =  24 tho· m·n ®iÒu kiÖn (1) 25 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = và x =  24 25 d.2.NhËn xÐt : Khi sử dụng phương pháp đưa phương trình tích để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau + Tìm tập xác định phương trình + Dùng các phép biến đổi đại số , đưa phương trình dạng f(x) g(x) ….= (gọi là phương trình tích) Từ đó ta suy f(x) = ; g( x) = ;… là phương trình quen thuộc 11 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ + Nghiệm phương trình là tập hợp các nghiệm các phương trình f(x) = g( x) = ;… thuộc tập xác định + Biết vận dụng,phối hợp cách linh hoạt với các phương pháp khác nhóm các số hạng,tách các số hạng đặt ẩn phụ thay cho biểu thức chứa ẩn đưa phương trình dạng tích quen thuộc đã biết cách giải d.3.Bµi tËp ¸p dông: x  x  = x  x  - x  x  = x 1 x(x+5) = x  x   2( x2 + 2x + 3) = x  3x  3x  e Phương pháp đưa hệ phương trình : e.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Giải phương trình: 25  x - 15  x =2 §KX§:  x2  15 §Æt: 25  x = a (a  0) (* ) 15  x = b ( b  0) ( ** ) Từ phương trình đã cho chuyển hệ phương trình : a  b   (a  b)(a  b)  2(a  b) a  b    a  b   a  b  Thay vào phương trình (*) ta có 25 –x2 = (  §kX§ ) VÝ dô 2: 49   x2 = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =  Giải phương trình:  a   b   51 51  x=  51 (5  x)  x  ( x  3) x  5 x  x3 =2 (1) 12 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ §KX§ :  x    x  u (u  0) §Æt   x   t (t  0) Ph¬ng tr×nh (1 ) trë thµnh hÖ ph¬ng tr×nh : u  t   u  ut  t   u   t   ut = x  (thâa m·n ®iÒu kiÖn ) x    Vậy phương trình đẫ cho có nghiệm x =3 ; x= VÝ dô3: Giải phương trình: 2 x + x 1 = §KX§: x  §Æt 3  x  u   x   t (t  0) Khi đó ta có u3 = – x ; t2 = x- nên u3 + t3 = u  t  1(1) Phương trình đã cho đợc đa hệ:  3 u  t  1(2) Từ phương trình (1)  u = – t Thay vào phương trình (2) ta có : ( – t )3 + t2 =  t( t2 - 4t + = t   2 t  4t   t   t  t    Từ đó ta đợc x= 3; x =2 ; x = 10 (ĐKXĐ x  ) là nghiệm phơng trình đã cho VÝ dô 4: Giải phương trình: ( x  1) + §Æt: x  = a ; ( x  1) + 3 x2 1 = x  = b nªn ta cã: a2 = ( x  1) 13 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ b2 = ( x  1) ab = x  Ta phương trình : a2 + b + ab = ( 1) a  x   b  x  Ta phương trình : a3 – b3 = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình : a  b  ab   a  b3  Từ hệ phương trình ta suy a –b =  b = a – Thay vào hệ phương trình (1) ta đợc : (a -1 )2 =  a =1 Từ đó ta đợc x = Vậy nghiệm phương trình là : x = e.2.NhËn xÐt : Qua vÝ dô trªn cho ta thÊy ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh cã nh÷ng ®iÓm sáng tạo và đặc thù riêng, nó đòi hỏi học sinh phải t đó phơng pháp này đợc áp dụng cho học sinh khá , giỏi Ta cần chú ýmột số điểm sau: + T×m ®iÒu kiÖn tån t¹i cña ph¬ng tr×nh + Biến đổi phơng trình để xuất nhân tử chung + Đặt ẩn phụ thích hợp để đa việc giải phơng trình việc giải hệ phơng trình quen thuéc Ngoµi ngêi häc cßn biÕt kÕt hîp ph¬ng ph¸p nµy víi ph¬ng ph¸p kh¸c nh phơng pháp đặt ẩn phụ , phơng pháp sử dụng đẳng thức e.3.Bµi tËp ¸p dông: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau : 1 + x  x2 =2 2 x  = x3+ 14 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ 3  x +  x =1 x  + x  21 = 2x    x = x g Phương pháp bất đẳng thức : g.1 Phương pháp chứng tỏ tập giá trị hai vế là rời , đó phương tr×nh v« nghiÖm g.1.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Giải phương trình: x 1 - x    5 x   3 x    §KX§: 5x  = 3x  (1)  x    x     x   Với x  thì x < 5x đó x  < x  Suy vÕ tr¸i cña (1) lµ sè ©m , cßn vÕ ph¶i lµ sè kh«ng ©m Vậy phương trình vô nghiệm VÝ dô2: Giải phương trình: x  x  11 +  Mµ x  x  13 + ( x  3)  + ( x  3)  + ( x  3)  + ( x  3)  + 4 x  4x  = + ( x  2)  = + ( x  2)   + 2 (*) 4+1=3+  Vế phải phương trình đã cho lớn vế trái Vậy phương trình đã cho vô nghiệm g.1.2.Bµi tËp ¸p dông: x  - x  = 2 x2  = x - x2 1  x + x  = x2 - 6x +13 g.2 Sử dụng tính đối nghịch hai vế : 15 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ g.2.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Giải phương trình: 3x  x  + x  10 x  14 = – 2x – x2 (1) Ta cã vÕ tr¸i cña (1) 3x  x  + x  10 x  14 = 3( x  1)  + 5( x  1)   + =5 VÕ ph¶i cña (1) : -2x –x2 = – (x + 1)2  Vậy hai vế x = -1 Do đó phương trình (1) có nghiệm là x = -1 Ví dụ2: Giải phương trình: x4 +  x = x2 -10x + 27 (1) §KX§:  x  XÐt vÕ ph¶i cña (1) ta cã : x2 – 10x + 27 = ( x-5)2 +  víi mäi x vµ vÕ tr¸i cña (1) ( ( ( x  1)  (  ) x4  6 x )  =1 hay 2 x4 + 6 x  Vì phương trình (1) có nghiệm là :  x  10 x  27  2(*)   x    x  2(**) Giải phương trình (*) ta dợc x = giá trị này thoả mãn (**) Vậy x =5 là nghiệm phương trình (1) g.2.2 Bµi tËp ¸p dông : 3x  12 x  16 + y  y  13 = 3x  x  12 + x  10 x  = 3-4x -2x2 x  3x  3,5 = ( x  x  2)( x  x  4) h Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số : h.1.C¸c vÝ dô : Ví dụ1: Giải phương trình : x2 + x  = (1) §KX§: x  Ta thấy x =3 là nghiệm đúng với phương trình (1) 16 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Víi x > th× x  > , x  > nªn vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n Víi x< vµ x  -1  -1  x  th× x  < 1, x  < nªn vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n Vậy x= là nghiệm phương trình (1) VÝ dô 2: Giải phương trình : x  28 + x  23 + x 1 + x = + (1) x    x 1 x  §KX§:  Ta thÊy x =2 lµ nghiÖm cña (1) h2.NhËn xÐt : Khi giải các phương trình vô tỉ mà ta cha biết cách giải thường ta sử dụng phương pháp nhẩm nghiệm ,thử trực tiếp để thấy nghiệm chúng Rồi tìm cách chøng minh r»ng ngoµi nghiÖm nµy kh«ng cßn nghiÖm nµo kh¸c h.3.Bµi tËp ¸p dông : x  26 + x + 2 x  + x3 = x  3x  = 2x  2x  + x2  x 1 i Phương pháp sử dụng điều kiện xảy dấu = bất đẳng thức không chặt i.1.C¸c vÝ dô : VÝ dô1: Giải phương trình x2 + y  1995 + z  1996 = (x+y+z) §KX§ : x  2; y  -1995; z  1996 Phương trình (1)  x+y+z = x  + y  1995 + z  1996  ( x   1) + ( y  1995  1) + ( z  1996  1) =  x2 1    y  1995    z  1996   x    y  1994  z  1997  ( tho· m·n §KX§ ) 17 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ Là nghiệm phương trình (1) VÝ dô 2:  Giải phương trình: 3( x  1)  + VÕ tr¸i cña (*) VÕ ph¶i cña (*) 3x  x  + x  10 x  14 = – 2x – x2 5( x  1)  = – (x+1)2 (*) 3( x  1)  + 5( x  1)   + = 5 – (x+1)2  Vì phương trình (*) có nghiệm và hai vế phương trình (*) và  x+ =  x = -1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =-1 VÝ dô3: §KX§: x> x Giải phương trình: 4x  + 4x  =2 (1) x áp dụng bất đẳng thức a b  víi a,b >  b a x¶y dÊu “=” vµ chØ a =b DÊu “=” cña (1) x¶y x= x   x2 - 4x +1 = (do x> ) Giải phương trình này ta tìm đợc x=  (thoả mãn ĐKXĐ) Vậy x=  là nghiệm phương trình i.2 NhËn xÐt : Khi sử dụng phương pháp bất đẳng thức để giải phương trình vô tỉ ta cần chú ý các bước sau : + Biến đổi phương trình dạng f(x) = g(x) mà f(x)  a , g(x)  a (a lµ h»ng sè ) Nghiệm phương trình là các giá trị x thoả mãn đồng thời f(x) =a vµ g(x) = a + Biến đổi phương trình dạng h(x) = m (m là số ) mà ta luôn có h(x)  m h (x)  m thì nghiệm phương trình là các giá trị x làm cho dấu đẳng thức xảy 18 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ + áp dụng các bất đẳng thức : Côsi, Bunhiacopxki i.3 Bµi tËp ¸p dông: x  x  12 = - 3x  12 x  13 x2 + 19 x 1 10  x = x2 -12x + 40 +5 x 1 x  x  15 = x  x  11 + 95 x 3 x  = x  x  18 k Một số phương pháp khác : k.1.Phương pháp miền giá trị : VÝ dô1: Giải phương trình: x 1 + x    x  18  x  (1) Ta t×m miÒn gi¸ trÞ cña hµm sè : y = x  + x    x  18  3x  trên tập xác định 1;5 ta có: y, = x 1  x 1  5 x  18  x > víi mäi x  1;5 Do hàm số y liên tục và đồng biến trên 1;5 nên miền giá trị hàm số là  y(1); y(5) hay     15 ;2   3` Suy y =   15 vµ ymax = +  víi mäi x  1;5 Để phương trình (1) có nghiệm thì y   ymax điều này không xảy v× y =   15 < vµ ymax = +  < Do đó phương trình (1) vô nghiệm vì không tồn giá trị x  1;5 để y(xi) = k.2.Phương pháp hàm số: VÝ dô 2: Giải phương trình: Ta cã: (1)  x3 +1 = x  (1) x3   2x  19 Lop8.net Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ x3  3x hàm số có đạo hàm y, =  với x nên đơn điệu tăng 2 §Æt y = vµ liªn tôc R y = x3  có hàm ngược y = x  (v× y = Do đó nghiệm phương trình là phương trình x3  =x x3   x= 2x  ) x3   x  còng lµ nghiÖm cña  x3 -2x + =  x = hoÆc x =  Vậy nghiệm phương trình là x= và x =  1 1 k.3 NhËn xÐt: Phương pháp miền giá trị và phương pháp hàm số trên mang nội dung kiÕn thøc ë bËc phæ th«ng trung häc nªn kh«ng ¸p dông vµo viÖc gi¶ng d¹y ë bËc THCS mµ chØ dµnh cho gi¸o viªn d¹y ë bËc THCS tham kh¶o thªm mµ nªn t×m cách đa phương pháp quen thuộc để dạy học sinh THCS Chẳng hạn ví dụ ta có thể đa hệ phương trình nh sau: x3 + = x  §Æt t = x   2x -1 = t3 Ta cã hÖ: x3 + = 3t 2x -1 = t3  x3 – t3 + (x-t) =  x1 =1 ; x2,3 =  1 Bµi tËp vËn dông: 20 Lop8.net