Chuyên đề tìm điểm biểu diễn của số phức

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn có bán kính bằng. A.[r]

(1)

Tailieumontoan.com 

Sưu tầm

CHUYÊN ĐỀ

TÌM ĐIỂM BIỂU DIỄN CỦA SỐ PHỨC

(2)

I KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

 Điểm biểu diễn số phức:

Số phức z a bi= + , (a b, ∈ ) biểu diễn điểm M a b( ; )

 Nhận xét:

- Nếu số phức z a bi= + , (a b, ∈ ) biểu diễn điểm M a b( ; ) z OM

- Nếu M N, điểm biểu diễn cho số phức ,z z z z MN

II CÁC DẠNG BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

 Cho điểm biểu diễn, tìm số phức tương ứng

 Tìm quỹ tích điểm biểu diễn cho số phức thỏa mãn điều kiện cho trước  Tìm cực trị biểu thức liên quan đến modul số phức

BÀI TẬP MẪU

Câu 21(ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-BDG 2019-2020) Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức

z= − + i điểm ?

A Q( )1; B P(−1; ) C N(1; − ) D M(− −1; )

Phân tích hướng dẫn giải

1 DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm điểm biểu diễn số phức 2 HƯỚNG GIẢI:

B1: Tính z= +(1 2i)2 đưa dạng = +z x yi

B2:Tìm điểm biểu diễn số phức z

Từ đó, ta giải toán cụ thể sau:

Lời giải Chọn B

Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức z= +a bi a b( , ∈  điểm có tọa độ ) ( )a b; Do đó, điểm biểu diễn số phức z= − +1 2i điểm có tọa độ (−1; )

Bài tập tương tự phát triển:

 Mức độ

(3)

Câu Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức

A z  2 i B z 1 i C z 2 i D z 1 i

Lời giải Chọn A

Số phức z a bi có phần thực 2 ảo

Số phức cần tìm z  2 i

Câu Điểm M hình điểm biểu diễn số phức z Tìm số phức z

A z  3 i B z 3 i C z 3 i D z  4 i

Lời giải

Chọn C

Điểm (3; 4)M  biểu diễn số phức z    3 4i z 4i

Câu Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức

A z  1 i B z 1 i C z 1 i D z 2 i

Lời giải

Chọn D

Điểm (2;1)M biểu diễn số phức z 2 i

M

-4

3 O

y

(4)

Câu Trong mặt phẳng phức gọi M điểm biểu diễn cho số phức  z a bi với a b, , ab0 

M diểm biểu diễn cho số phức z Mệnh đề sau đúng?

A M  đối xứng với M qua Oy B M  đối xứng với M qua Ox

C M  đối xứng với M qua O D M  đối xứng M qua đường yx

M là điểm biểu diễn cho số phức z  a bi M a b  ; 

M là điểm biểu diễn cho số phức z  a bi M a ;b 

Vây, M  đối xứng với M qua Ox

Câu Gọi A B C, , điểm mặt phẳng theo thứ tự biểu diễn số phức 23 , 3i i,1 i 2

Trọng tâm G tam giác ABC biểu diễn số phứcz Tìm z

A z 1 i B z 2 i C z 1 i D z 2 i

Lời giải Chọn D

Tọa độ A     2;3 ,B 3;1 ,C 1; G 2;   z 2 i

Câu Gọi M N, điểm biểu diễn số phức z z khác 1, 2

Khẳng định sai ?

A. z2 ON B z1z2 MN C z1z2 MN D z1 OM

Lời giải Chọn C

Ta có z1 OM z, 2 ON z, 1z2 MN nên đáp án A, B, D

Câu Kí hiệu z nghiệm phức có phần ảo dương phương trình 4z2 16z 17  Trên mặt

phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w iz?

A 1 1;2

2

M  

  B

1;2

M  

  C

1;1

M  

  D

1;1

M    

Lời giải

(5)



   

       

   



0

2 1

2

4 16 17

1

2

z i

z z z i

z i

1

2

w iz i  i   i

 



1;2 w

M  

  

  là điểm biểu diễn số phức w iz

Câu Gọi A,B điểm biểu diễn số phức z1 = + ;1 2i z2 = −5 i Tính độ dài đoạn

thẳng AB

A 5+ 26 B C 25 D 37

Lời giải

Chọn B

Ta có: A  1; ;B 5; 1  AB4; 3  AB 42  3 5.

Câu Điểm M hình vẽ điểm biểu diễn số phức z Môđun z

A 3 B 2 C 5 D 1

Lời giải

Chọn C

Ta có: z     2 i z  2 2 12 5.

Câu 10 Gọi z nghi0 ệm có phần ảo âm phương trình

4

z  z  Điểm biểu z có t0 ọa độ

A ( )2;1 B (−2;1) C (2; 1− ) D (− − 2; 1)

Lời giải

Chọn C

Ta có: z24z   5 z 22       i2 z i z i M2;  

 Mức độ

Câu Điểm M hình điểm biểu diễn số phức z Hỏi điểm sau biểu diễn số phức

(6)

A N(1; 5). B P(5; 5). C Q(1;1) D R(5;1)

Lời giải

Chọn C

Điểm (3; 2)M  điểm biểu diễn số phức z 3 2iw z i z   3 2i i(32 )i

1 w

   w i có điểm biểu diễn (1;1).Q

Câu Cho số phức z thỏa mãn (1i z)  3 i H ỏi điểm biểu diễn z điểm điểm

, , ,

M N P Q ở hình bên ?

A Điểm P B Điểm Q C Điểm M D Điểm N

Lời giải

Chọn B

Ta có (1 ) 3

1 

       

 i

i z i z i z

i có điểm biểu diễn (1; 2)Q 

Câu Điểm M hình vẽ bên điểm biểu diễn số phức

A 1i2i B 1i23i C 3 i2

i D 23

i i

 2; 3

(7)

Ta có: 32i  2 3i

i

Câu Cho số phức z 1 2i Điểm biểu diễn số phức w iz

A Q 1; B N 2;1 C M1; 2  D P2;1/

1 

     

w iz i i i Ứng với điểm biểu diễn có toạ độ  2;1

Câu Cho hai số phức z1 1 2i z2  3 i Điểm biểu diễn z z1 z2

A N4; 3  B M2; 5  C P 2; 1 D Q1;7

   

1 2

          

z z z i i i Ứng với điểm biểu diễn có toạ độ  2; 1

Câu Cho số phức z 3 2i Tìm điểm biểu diễn số phức w iz z

A M 5;5 B N5;5 C P5; 5  D Q 5; 5

3  3  5

         

w iz z i i i i Ứng với điểm có toạ độ 5;5

Câu Điểm biểu diễn số phức z thoả điều kiện 1i z  5 3i

A M 1; B N 4;1 C P 1; D Q 1; 4

1  5

1 

       



i

i z i z i

i Ứng với điểm có toạ độ  1;

Câu Điểm biểu diễn số phức z thoả mãn z3z162i

A M 4;1 B N4; 1  C P4;1 D Q 4; 1

Đặt  z x yi

Theo giả thiết ta có

 

3 16

4

3

    

    

 

    

   

 

 

x yi x yi i

x x x

z i

y y y

Khi z ứng với điểm có toạ độ  4;1

Câu Cho số phức z1 1 i z, 2 2z1 có điểm biểu diễn ,M N Độ dài MN

A MN  2 B MN 2 C MN 10 D MN 5

 

1  1 1;1

(8)

   

22 2 1   2 2; 2

z z i i N

  2 2

2 10

     

MN

Câu 10 Điểm biểu diễn số phức z thoả mãn 1i z  2 i z 132i

A M 3; B N3; 2  C P3; 2 D Q 3; 2

Đặt  z x yi

   

     

1 13

2 13

3 13

3

2

    

       

         

    

 

    

   

 

 

i z i z i

i x yi i x yi i

x yi xi y x yi xi y i

x y x

z i

y y

 Mức độ

Câu Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z  2 i z đường thẳng có phương

trình

A 2x4y 13 0 B 4x2y 3 C 4x2y 3 D 2x4y 13

Gọi M x y ;  điểm biểu diễn  z x yi

Theo đề, ta có: z  2 i z

 

2

     x yi i x yi

 2 1 

 x yi    x y i

 2   2 2

2

 x y  x  y

2 2

4

x  x y x   yy

4

 x y 

Câu Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z   2 i z 2i là đường thẳng có phương

trình

A 4x2y 1 0 B 4x6y 1 C 4x2y 1 0 D 4x2y 1

Gọi M x y ;  điểm biểu diễn  z x yi

(9)

2

 x    x yiyi i   i

 2  1 2 

 x  y i   x y i

  2 2  2

2

 x  y  x  y

2 2

4 4

x  x y  y x   yy

4

 x y 

Câu Cho số phức z thỏa mãn z1i số thực Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường

thẳng có phương trình

A x  y 0 B x y C x  y 0 D x y

Gọi số phức  z x yi , x y, 

Ta có z1 i xyi1   i x y xy i số thực nên x y

Câu Cho z thỏa z   i z 2i Tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2 i z 1 đường

thẳng có dạng

A x7y 9 B x7y 9 C x7y 9 D x7y 9

Lời giải

Chọn C

Gọi M x y  ;  điểm biểu diễn  w x yi

Có 2  1

2  

      



x yi

w i z x yi z

i

Mà z   i z 2i

1

2

   

    

 

x yi x yi

i i

 2  2  1  5

2

     

 

 

x y i x y i

i i

  2 2   2 2

2

 x  y  x  y

7

 x y 

Câu Tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏaz23i 5 i số ảo đường thẳng có

phương trình

A 3x2y 1 B 2x3y 5 C 3x2y 1 0 D 2x3y 5

(10)

Chọn B

Gọi số phức  z x yi , x y, 

23  5   23  5 3  5 3 2 1

z i i x yi i i x y x y i

(23 ) 5

z i i số ảo nên phần thực 2x3y 5

Câu Cho số phức z thỏa z i 1i z Tập hợp biểu diễn số phức z đường trịn có tâm

bán kính

A I 0;1 , R B I0; ,  R C I 0;1 , R2 D I0; ,  R2

Lời giải

Chọn B

Gọi z x yi x y , 

Ta có: z i 1i z  1 i z    x yi i xyi

 1

 x y i  xyi

 2

2 2

1

 x  y  x y

 2  

2 2

1

x  y  x y

2

x y  y  đường trịn có tâm I0; 1 , bán kính  2

0 1

    

R

Câu Cho số phức z thỏa zi  2 i Tập hợp biểu diễn số phức z đường trịn có tâm

bán kính

A I1; ,  R4 B I1;2 , R2 C I 1; ,R2 D I 1; ,R4

Giả sử z x yi x y , 

Ta có: xyi i        2 i 2 y x 1i 2

  2 2   2 2

1 2

 x   y   x  y 

Vậy tập hợp biểu diễn số phức z đường trịn có tâm bán kính 1;2 , 2

I R

Câu Cho số phức z thỏa mãn z2i z 2 số ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có bán kính

A 2 B 2 C 4 D

(11)

Ta có: z2i z  2 z z 2z 2iz 4i xyi x yi2xyi2i x yi4 i

2

2 2

x y  x yi xi y i x2y22x2y2x y i

Vì z 2i z 2 số ảo nên 2   2 2

2 1

        

x y x y x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính

Câu Cho số phức z thỏa mãn (z 3 )(i z3) số ảo Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính

A 9

2 B 3 C 3 D

3 2 

Gọi  z x yi , x y, 

Ta có: z3i z  3 z z 3z3iz 9i xyi x yi3xyi3i x yi9 i

2

3 3

x y  x yi xi y i x2y23x3y3x y i

Vì z3i z 3 số ảo nên

2

2 3

3

2 2

   

 

          

x y x y x y

Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính 2

Câu 10 Cho số phức z thỏa mãn z 2 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức 1 2

  

w i z đường trịn có bán kính

A 5 B 125 C 3 2 D 18

Ta có 1 2 3

1 2

  

       

 

w w i

w i z z z

i i

Gọi w x yi,x y,  Khi ta có

 

1

2 5

1 2

  

 

     

 

x y i

w i

z

i i      

2

1 5

 x  y 

Tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 2i z 3 đường trịn có bán kính 5

 Mức độ

Câu Cho số phức z thỏa mãn z m22m5, với m tham số thực thuộc  Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w (3 )i z2i đường trịn Bán kính nhỏ đường trịn bằng:

A 20 B C 22 D

Gọi  w x yix y, 

Ta có: (3 ) 2 2

3 4



 

       

 

w i

w i w i

w i z i z z

(12)

   2  2  2 2

2 5 10 25

 x y i  m  m  x  y  m  m

 2  2

2

2 10 25

x  y  m  m

Do đó, số phức w (3 )i z2i nằm đường tròn tâm I0; ;  bán kính

 2

2

5 10 25 20 20,

       

R m m m m

Do đó, bán kính đường tròn nhỏ là: Rmin 20

Câu Cho z= +x yi thỏa z− −2 4i = −z 2i z đạt giá trị nhỏ Tính 3x−2y

A B 3 C D 5

Ta có: z− −2 4i = −z 2i

(x 2) (y 4)i x (y 2)i

⇔ − + − = + −

2 2

(x 2) (y 4) x (y 2)

⇔ − + − = + −

4 :

x y

⇔ + − = đường thẳng d

Khi đó: z =OM ⇒ zmin =OMmin

M H

⇔ ≡

Do OH ⊥d x: + − =y

:

OH x y m

⇒ − + =

(0;0)

O ∈OH ⇒m= ⇒OH x: − =y

Tọa độ H d OH= ∩ thỏa

x y

+ = 

 − = 

2

3 2

2

x

x y

y

= 

⇔ = ⇒ − =



Cách Từ d y: = −4 x ⇒ z = x2 +y2 = x2+(4−x)2 = 2(x−2)2 + ≥8 8=2

Suy ra: zmin =2 ⇔ = ⇒ = ⇒x y 3x−2y=

(13)

2 2

2 ( )

2

1 1

x y x y

z = x +y = + ≥ + = =

+

Dấu "=" x= y x+ =y ⇔ = = ⇒x y 3x−2y=2

Lưu ý Nếu đề u cầu tính | |zmin, | |zmin =OH =d O d( ; )

Câu Cho z  thỏa mãn x yi z     z đạt giá trị nhỏ Tìm 1 5i z i 3xy

A

12 B

12

  C 12

5  D

5 12

 

Ta có z             5i z i x yi 5i x yi i

   

  2 2   2 2

1

2 10 26 10

3 4

x y i x y i

x y x y

        

     

      

Ta có  

2

2 4 3 10 24 16 10 8

5 5

z  x y   y y  y  y  y   

 

Suy

8 3 12

5 5

z      y x x y

Câu Cho z  thỏa mãn x yi z3i    z z i đạt giá trị nhỏ Tìm x2y

A 1 B.1

5 C 2 D

3 5

Ta có z3i      z i x y 3i    x y 1i

     

x y x y

 2 3  2 2 1 2

x y x y

 2    1 1

Ta có  

2

2 2 1 5 4 1 5 1

5 5

z  x y  y y  y  y  y   

 

Suy

1 2 1

5 5

z        y x x y

Câu Cho z thỏa z 1 2i    z 3i Giá trị nhỏ z 2 2i

A.1 B 3

2 C.

5

2 D.

Lời giải

(14)

Gọi M x y( ; ) biểu diễn số phức z x yi

1

z  i   z i  (x  1) (y 2)i    x (y 3)i

2y

   đường thẳng d

Có z 2 2i AM với A(2; 2).

min

2

z  i  AM M hình chiếu A lên đường thẳng d (xem lý thuyết) Khi đó:

 

min 2 2

2 3

2 ( ; )

2

0

z  i AM d A d     



Câu Cho số phức z thỏa z  3 4i  4.Giá trị lớn z

A.9 B 5 C.12 D.3

Lời giải

Chọn A

Gọi ( ; )M x y biểu diễn số phức z  x yi

3 4 ( 3) ( 4)

z   i   x   y  i 

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường tròn tâm (3; 4)I  bán kính R  4

max

z OI R 

Câu Xét số phức z thỏa z  2 4i  Giá trị nhỏ z

A.1 B 2 C. D.

Lời giải

Chọn C

2 ( 2) ( 4)

z   i   x   y i 

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường tròn tâm (2;4)I bán kính R 

min

z OI R

Câu Xét số phức z thỏa z  3 4i 2 Gọi z z hai s1, 2 ố phức có mơđun lớn nhỏ

nhất Tổng phần thực z z b1, 2 ằng

A.8 B 6 C.8 D.6

Lời giải

(15)

2

3 ( 3) ( 4) ( 3) ( 4)

z   i   x   y  i   x   y 

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường tròn ( )C tâm ( 3; 4)I   bán kính R  2

(0;0)

: :

4 (3;4)

quaO x t

OI OI y t u                  

Tọa độ giao điểm ( )C OI nghiệm hệ phương trình

2 12 21

( 3) ( 4)

5 28

5

x

x t y

y t x x y y                                        

Vậy tổng phần thực z z b1, 2 ằng 21

5

   

Câu Xét số phức z thỏa mãn    Gọi , iz 1 m M lần lượt giá trị nhỏ giá trị lớn

nhất biểu thức P  z Giá trị biểu thức 2020M m

A.2014 B 2016 C.2018 D.2022

Lời giải

Chọn C

2

1 (1 ) ( 1)

iz y xi x y

          

Suy ratập hợp điểm ( ; )M x y là đường trịn tâm (0;1)I bán kính R  1

Tọa độ giao điểm ( )C OI (0;0),(0;2)

min 0, max

m z M z

    

Vậy 2020M m 2018

Câu 10 Xét số phức z thỏa mãn z− −2 3i = Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

1

z + + i

A 14+2, 14−2 B 13 1,+ 13 1−

C 13+4, 13−4 D 14 1,+ 14 1−

(16)

Chọn B

Đặt z x yi= + với x y, ∈ 

Khi ( ) (2 )2

2 3

z− − i = ⇔ x− + y− =

Gọi M điểm biểu diễn hình học số phức z ta có M ∈( )I;1 với I( )2;3

Có z + + =1 i (x+1) (2+ − +y 1)2 = (x+1) (2+ y−1)2

Gọi A(−1;1) suy z+ + =1 i (x+1) (2+ y−1)2 = AM

Dễ thấy AI = 13> nên A nằm ( )I;1

Kẻ đường thẳng AI cắt đường tròn ( )I;1 B C, hình vẽ

Có AB≤AM ≤AC nên max

min

13

AM AC AI IC

AM AB AI IB

 = = + = +

 

= = − = −



B I C

A