Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm M bất kỳ trên đồ thị C đến các tiệm cận là một hằng số không phụ thuộc vị trí điểm M.. Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị C một điểm sao cho k[r]
(1)Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 CHUYÊN ĐỀ: TÌM ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Tổng quát: Cho hàm số y f x C Tìm điểm M C thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp: Giả sử M x0 ; y0 C với y0 f x0 Từ điều kiện cho trước ta dẫn đến phương trình theo x0 , giải phương trình này x0 y0 f x0 M Loại 1: Tìm điểm thuộc đồ thị liên quan dến tiếp tuyến Bài 1: (ĐHNN – 2001) Tìm trên đồ thị hàm số y x x các điểm mà đó tiếp tuyến đồ 3 thị vuông góc với đường thẳng y x 3 4 Đáp số: M 2; , M 2;0 3 x2 x Bài 2: (TCKT – 2000) Cho hàm số y C Tìm điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến x 1 đó vuông góc với tiệm cận xiên Đáp số: Hai điểm có hoành độ x 1 2 x 1 Bài 3: (ĐHDB – B 2003) Cho hàm số y C Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận x 1 (C) Tìm điểm M C cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Đáp số: M 2;3 , M 0;1 Bài 4: (ĐHCĐ – 2001) Tìm điểm M thuộc C : y x 3x 12 x cho tiếp tuyến (C) M qua gốc tọa độ Đáp số: M 1;12 x2 có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y tất các điểm mà từ điểm đó x 1 có thể kẻ tới (C) hai tiếp tuyến tạo với góc 450 Đáp số: A1 1 2; A2 1 2; Bài 5: Cho hàm số y 2x C Tìm điểm trên đồ thị (C) mà đó tiếp tuyến (C) lập với x2 trục Ox góc dương 1350 Viết phương trình các tiếp tuyến đó Đáp số: y x và y x 3x Bài 7: Cho hàm số y H Tìm trên (H) điểm mà đó tiếp tuyến (H) có hệ số x2 góc Viết phương trình các tiếp tuyến đó Đáp số: y x và y x Bài 6: Cho hàm số y ^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^ Lop12.net (2) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 x2 x các điểm A để tiếp tuyến đồ thị x 1 A vuông góc với đường thẳng qua A và tâm đối xứng đồ thị 34 4 34 Đáp số: A1 8; A2 8; 4 8 Bài 8: (ĐHAN – A 2001) Tìm trên đồ thị hàm số y Bài 9: Cho hàm số y 2x 1 (1) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến (C) M với đường x 1 thẳng qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc - Đáp số: M 0; 3 , M 2; 5 Bài 10: Tìm điểm M trên Ox mà tiếp tuyến qua M y x song song với đường thẳng x 1 d: y = - 2x 7 1 Đáp số: M ; và M ( ;0) 2 Bài 11: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) y x 3x cho tiếp tuyến (C) A và B song song với và độ dài đoạn AB = Đáp số: A 3;1 và B –1; –3 Loại 2: Tìm điểm liên quan đến khoảng cách và đối xứng x2 2x Bài 1: Tìm M (C) y để tổng các khoảng cách từ M đến tiệm cận là nhỏ x 1 Đáp số: Hai điểm có hoành độ xM 23 x2 C Tìm trên (C) điểm M cho khoảng cách từ x 3 điểm M đến tiệm cận đứng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Đáp số: M 5; , M 5; Bài 2: (HVQHQT – D 1999) Cho hàm số y Bài 3: Tìm trên đồ thị y Đáp số: A(-3; x3 11 x2 3x hai điểm phân biệt M, N đối xứng hau qua trục tung 3 16 16 ) và B(3; ) 3 2x 1 Tìm trên đồ thị hàm số điểm M cho tổng khoảng x3 cách từ M đến hai đường tiệm cận là nhỏ Đáp số: Hai điểm có hoành độ x và d = x2 Bài 5: Cho hàm số y C Tìm điểm thuộc thuộc (C) cách hai điểm A 0; và x 1 B 2; Bài 4: (ĐHAN – 1997) Cho hàm số y ^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^ Lop12.net (3) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 x2 3x (1) x 1 a Tìm trên đồ thị điểm A, B thuộc nhánh cho AB b Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên và các trục tọa độ 4 1 1 1 1 Đáp số: a A 1; ; B 1; 2 2 5 5 b S OAB OA.OB x Bài 7: Cho hàm số y C Tìm điểm M C có khoảng cách đến đường thẳng : 3x y x 1 x2 x Bài 8: (QGHN – B 1998) Cho hàm số y C Tìm điểm M C cho khoảng cách x 1 từ điểm M đến trục hoành hai lần khoảng cách từ M đến trục tung Bài 6: Cho hàm số y Đáp số: Có hai điểm thỏa mãn là M 2; 2 , M 2; 2 x x 1 Tìm điểm trên đồ thị cách hai trục tọa độ x 1 x2 x 1 Bài 10: Cho hàm số y C Tìm tất điểm M C cho tổng khoảng cách từ x 1 M đến hai đường tiệm cận đạt giá trị nhỏ 4 Đáp số: M 1 ;1 , M ;1 2 2 x 1 Bài 11: Cho hàm số y (C) 2x a Tìm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến trục tọa độ đạt giá trị lớn b Tìm M thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận đạt giá trị nhỏ c Tìm hai điểm A và B thuộc nhánh đồ thị hàm số cho AB Đáp số: 1 1 1 1 1 1 a M ; b M ; ; d M Bài 9: Cho hàm số y 1 1 1 1 c A ; ; ; B ; ABmin 2 Bài 12: Tìm điểm N (xN >1) thuộc y 2x cho khoảng cách từ N đến tiếp tuyến ngắn 2x Đáp số: N 2; 5 Bài 13: Tìm điểm M thuộc (C) y 2x cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) x 1 M là lớn ^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^ Lop12.net (4) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Đáp số: M 1 ; M 1 ; Bài 16: Tìm hai điểm E và F thuộc hai nhánh khác đồ thị y x2 x 1 x 1 C cho đoạn EF ngắn Đáp số: Hai điểm E và F có hoành độ x2 4x Bài 17: (ĐH KTQS – 2000) Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số y có khoảng cách đến x2 đường thẳng : y 3x là nhỏ 5 5 Đáp số: Có hai điểm là M : ; , M ; và d 10 2 2 x2 Bài 18: Tìm điểm M thuộc đồ thị y cho tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ x2 Đáp số: M 0; 1 x2 (C) Tìm điểm trên (C) cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành x 1 gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung 2x Bài 20: Tìm trên đồ thị (C) y hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(x 1 1; -1) Đáp số: A(0; 4) B(2;0) 3x Bài 21: Tìm điểm M thuộc đồ thị y cho M cách hai đường tiệm cận đồ thị (C) x2 Đáp số: M1 1;1 ; M 4; Bài 19: Cho hàm số y x2 2x Tìm điểm thuộc đồ thị cho khoảng cách từ đó x 1 đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ Bài 22: (ĐHNT_A 01) Cho y Đáp số: x / , d 2 Bài 23: Cho y x 1 CMR tích khoảng cách từ điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số đến các đường tiệm x 1 cận là số Bài 24: (ĐHDL Hải Phòng_00) Cho y x2 Tìm điểm trên đồ thị cách hai điểm O(0;0), x 1 B(2; 2) x2 x CMR tích khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc đồ thị đến các đường x2 tiệm cận là số Bài 25: Cho y ^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^ Lop12.net (5) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 Bài 26: (ĐHSP TPHCM_D00) Cho y x2 3x Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác để x 1 khoảng cách chúng nhỏ Đáp số: Hai điểm thỏa mãn là A,B 1 ;2 và d = 2( 1) 2 Bài 27: (ĐHNT_99) Cho hàm số y x Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác đồ thị x 1 cho khoảng cách AB ngắn 2 2x Bài 28: (ĐH Đà Nẵng_B98) Cho hàm số y Tìm trên đồ thị điểm có tổng khoảng cách x 1 Đáp số: Hai điểm thỏa mãn A, B 1 ;1 đến hai tiệm cận nhỏ Đáp số: A(0; 1), B(-2; 3), d = Bài toán 4: Các bài toán liên quan đến khoảng cách: A Lý thuyết: - Khoảng cách hai điểm: Cho A x A ; y A , B xB ; y B đó: AB xB x A yB y A - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M ( x0 ; y0 ) và đường thẳng : ax by c , đó khoảng cách từ M đến đường thẳng là: d M ; ax by0 c a b - Định lí Viét: Nếu phương trình ax bx c (a 0) có hai nghiệm x1 ,x2 thì b x1 x2 a c x x a B Bài tập: Bài 1: Tìm m để đồ thị hàm số y x2 3x cắt đường thẳng y = m hai điểm phân biệt A,B x 1 cho AB = ^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^ Lop12.net (6) Giáo viên: Nguyễn Thành Long Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 x2 x cắt đường thẳng y = m hai điểm phân biệt A, B x 1 cho AB nhỏ (C) x 1 a) Tìm m cho (C) cắt đường thẳng y = m hai điểm phân biệt A,B cho AB b) Tìm hai điểm M,N thuộc hai nhánh (C) cho MN nhỏ x2 Bài 4: Tìm các điểm M trên đồ thị hàm số y cho khoảng cách từ M đến các tiệm cận x 3 x2 x Bài 5: Giả sử tiếp tuyến đồ thị hàm số y (C) điểm M (C ) cắt hai tiệm cận P x2 và Q Cmr MP = MQ x2 x Bài 6: Cho hàm số y (C) x 1 a) Cmr tích khoảng cách từ điểm M thuộc (C) đến hai tiệm cận là không đổi b) Tìm điểm M thuộc (C) cho: d ( M , Ox ) 2d ( M , Oy) Bài 7: Cmr với m đồ thị hàm số y x mx x m luôn có hai điểm cực tri, tìm m để khoảng cách hai điểm cực trị đó nhỏ Bài 3: Cho hàm số y x x2 x x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm điểm M trên đồ thị cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai tiệm cận nhỏ Bài 9: 2x2 x 1 a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C ) hàm số y x 1 b) Gọi M (C ) có hoành độ xM m Chứng tỏ tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận (C ) không phụ thuộc vào m Bài 8: Cho hàm số y x2 x x 1 a Khảo sát hàm số đã cho b Xác định điểm A( x1; y1 ) (với x1 ) thuộc đồ thị hàm số trên cho khoảng cách từ A đến giao điểm tiệm cận đồ thị là nhỏ Bài 10: Cho hàm số y x mx với m là tham số Xác định m để tam giác tạo trục toạ độ và x 1 đường tiệm cận xiên hàm số trên có diện tích Bài 12: Bài 11: Cho hàm số: y ^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^ Lop12.net (7) Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 0973 329 800 or 01694 013 498 x2 x x 1 Tìm điểm M trên đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến giao điểm hai đường tiệm cận là nhỏ Bài 13: x2 x Khảo sát hàm số : y (C) x2 Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm M trên đồ thị (C) đến các tiệm cận là số không phụ thuộc vị trí điểm M Tìm trên nhánh đồ thị (C) điểm cho khoảng cách chúng nhỏ Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y Bài 14: Tìm phương trình tt (C): y x x có khoảng cách đến điểm A(0;-3) 65 2x + Gọi (∆) là tiếp tuyến điểm M(0; 1) với đồ thị ( C ) Hãy tìm trên (C) nhữn 1-x điểm có hoành độ x > mà khoảng cách từ đó đến (∆) là ngắn 2x Bài 16: Tìm trên đồ thị (C): y điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ x 1 Đáp số: (0;1) và (-2;-3) x2 Bài 17: Tìm trên đồ thị (C): y điểm khoảng cách đến TCĐ và TCN x3 x2 Bài 18: Tìm trên đồ thị (C): y điểm cách hai điểm A(0;0) và B(2;2) x 1 x2 Bài 19: Tìm trên đồ thị (C): y điểm cách hai trục tọa độ x2 x3 Bài 20: Tìm trên đồ thị (C): y điểm cho khoảng cách từ đó đến trục hoành hai x 1 lần khoảng cách từ đó đến trục tung 2x Bài 21: Tìm trên đồ thị (C): y điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận nhỏ x 3 Bài 15: Cho hàm số y = ^^^^ Muốn mù trời chẳng cho mù được, gương mắt trông chi kẻ bạc tình ^^^^ Lop12.net (8)