Chuyên đề 1: Tính chia hết của số nguyên

CHUYÊN ĐỀ 3 Các bài toán cực tri có dạng chung như sau:Trong các hình có chung một tính chất, tìm những hình sao cho một đại lượng nào đó nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đo gó[r]

Chuyên đề 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN /I/ Lý thuyết: A/ Định nghĩa: Cho a,b € Z ( b ≠ o ): Ta nói a chia hết cho b kí hiệu a  b và tồn số k ( k  Z )sao cho a =bk a  b  a = bk Ta còn nói a là bội b hay b là ước a B/Tính chất quan hệ chia hêt : 1/phản xạ:  a  N và a  o thì a  a 2/ Phản xứng :  a  N và a  O thì a  a 3/ Bắt cầu : Nếu a  b và b  a thì a =b C/ Một số định lý 1/ a  m  ka  m 2/ a  m và b  m  ( a  b )  m 3/ (a  b)  m và a  m  b  m 4/ a  m và b  n  ab  m n 5/ a  m  a n  m n n  N , n  o 6/ a n  m n  a  m 7/ a n  m ; m là số nguyên tố  a  m ( n  N ; n  o) 8/ a  m  a n  m ; n  N , n  o 9/ ab  m và (a, m)=1  b  m 10/ ab  m và m  P  a  m b  m 11/ a  m và a  n và ( m,n ) =1  a  m.n 12/ a  m , a  n , a  r và ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1  a  m.n.r 13/ Tích n số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho tích 2.3 n D/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh : a/ n - n  12  n  N b/ n (n + ).( 25n + 1)  24  n  N GIẢI a/ n - n = ( n – 1).n.n(n+1) Nhận xét : 12 = 3.4 và (3,4) =1 -Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho ( n- 1).n  n(n+ 1)  (1)  n4 - n2  Trong tích số tự nhiên liên tiếp có số là bội ( n – 1).n.(n + 1)  (2 ) Từ (1) và (2) suy n - n  12  n  N b/ n.(n+2).[(n -1)+ 24n ] = n.(n+2).(n -1) +24n n.(n+2) Ta có 24n n.(n+2)  24  n  N Ta cần chứng minh A= n.(n+2).(n -1)  24  n  N A= (n-1).n.(n+1).(n+2) Ta có A   n  N -Trong tích số tự nhiên liên tiếp có số là bội ,một số là bội -Vậy tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho -Mà (3,8)= nên A  24 -Do đó n.(n+2).(25n -1)  24  n  N -Nhận xét : Gọi A n  là biểu thức phụ thuộc vào n ( n  N n  Z ) _ Để chứng minh biểu thức A n  chia hết cho số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức A n  thành nhân tử đó có thừa số m.N m là hợp số ta phân tích m thành tích các thừa số đôi Lop6.net nguyên tố cùng chứng minh A n  chia hết cho tất các số đó Nên lưu ý định lý k số nguyên liên tiếp tồn bội sốcủa k -Bài tập áp dụng ví dụ 1: Chứng minh : 1/ n - 13n  2/ n (n - 7) - 36  5040  n  N* 3/n -4n - 4n + 16n  384 với n chẳn và n  4/ n +3n + 2n  5/ ( n +n -1 ) -1  6/ n +6n +8n  48 với n chẳn 7/ n -10n +  384 với n lẻ 8/ n + n - 2n  72  n  Z 9/ n +6n +11n +6n  24  n  N Ví dụ 2: Chứng minh a - a   a  Z Cách 1: A = a - a = a.(a -1).(a +1) - Nếu a= 5k ( k  Z) thì a - a  - Nếu a = 5k  thì a -  - Nếu a = 5k  thì a +1  Trong trường hợp nào có thừa số chia hết cho Nhận xét : Khi chứng minh A(n)  m ta có thể xét trường hợp số dư chia A(n) cho m Cách 2: a -a =a(a -1).(a +1) =a.(a -1).(a -4+5) =a.(a-1).(a+1).(a-2).(a+2) +5a.(a -1) Vậy A chia hết cho Bài tập ví dụ 2: Chứnh minh : 1/ a -a  2/ Cho n  và (n,6) =1 chứng minh n -1  24 3/ Cho n lẻ và ( n ,3) =1 chứnh minh : n -1  48 4/ Cho n lẻ và ( n ,5) =1 chứnh minh : n -1  80 5/ Cho a,b là số tự nhiên a  b chớng minh a/ A= a.b ( a - b )  30 b/ A= a b ( a - b )  60 6/Cho n chẳn chứng tỏ số n - 4n và n + 4n chia hết cho 16 7/ Chứng tỏ : n - n  30  n  N và : n - n  240  n lẻ 8/ Chứng minh : a/ n - n  240  n  N b/ n - n +4n  120  n  N Lop6.net Chuyên đề : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1/ Đặt nhân tử chung , dùng đẳng thức , nhóm các hạng tử 2/Tách các hạng tử 3/ Thêm bớt hạng tử 4/ Phương pháp hệ số bất định 5/ Phương pháp đổi biến 6/ Phương pháp xét giá trị riêng !/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử Ví dụ : Phân tích đa thức sau t a/ x + x + 2x + x +1 Giải / x + x + 2x + x +1 = (/ x + x + ) + (x + x ) = ( x +1) + x ( x +1) = ( x +1) ( x +x +1) b/ x + 2x y + xy - 9x = x( x + 2x y + y - ) = x( x+ y -3)( x+ y +3) c/ a + b +c - 3abc = (a+b ) - 3a b – 3ab + c - 3abc = [ (a+b ) + c ] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)[( a+b) - c(a+b) + c - 3ab] d/ (a+b+c) - a - b -c = [ (a+b)+c] - a - b -c = (a+b) + c +3c(a+b)(a+b+c) - a - b -c =a + b + 3ab(a+b)+ c +3c(a+b)(a+b+c) - a - b -c = 3(a+b)(ab+ac+bc+c ) = 3(a+b)(b+c)(c+a) 2 e/ x (y-z)+y (z-x)+z (x-y) = x (y-z)+y z-xy +xz - yz =x (y-z)+yz(y-z)-x(y - z ) =(y-z)(x +yz-xy-xz) =(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z) II/Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên) Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,không có dạng đẳng thức,cũng không nhóm hạng tử ta có thể biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử để nhóm các hạng tử Ví dụ : 3x -8x+4 = 3x -6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2) Hay tách 4x -8x+4 - x = (2x-2) - x = Chú ý: Trong cách ta tách hạng tử -8x thành hạng tử -6x và -2x,các hệ số thứ và thứ gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ đó xuất nhân tử chung x-2 Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b x +b x cho b b =a.c Trong thực hành ta thực sau: 1/ Tìm tích a.c 2/phân tích a’c thừa số nguyên cách 3/ Chọn hai thừa số có tổng b Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x -4x-3 Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do đó ta phân tích -4x thành -6x + 2x Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh nghiệm nguyên đa thức có phải là ước hệ số tự Ví dụ : Phân tích đa thức : x - x -4 đa thức này có nghiệm nguyên thì phải là ước ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 là nghiệm đa thức đó đa thức có chứa nhân tử x – ta tách đa thức trên thành : x - x -4 = x -2 x + x -4 = x (x-2) +(x-2)(x+2) = Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên đa thức ta chú ý định lí sau : 1/ Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số thì là nghiệm đa thức đó đa thức cố chứa nhân tử x -1 Ví dụ : Phân tích đa thức x - 5x +8x -4 ta thấy -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – ta tách sau: x - x - x +8x -4 = x (x-1) – 4(x-1) 2` Lop6.net 2/Nếu đa thức có tổng các hệ số bậc chẳn tổng các hệ số bậc lẻ thì -1 là nghiệm đa thức đó đa thức chứa nhân tử x +1 Ví dụ: Phân tích đa thức x - 5x + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 là nghiệm đa thức đó đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích sau : x - 5x +3x +9 = x + x - 6x +3x +9 = x + x - 6x -6+3x +3 =x (x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = Trong trường hợp đa thức không có nghiệm nguyên ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta chứng p minh rắng đa thức có các hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ có phải có dạng đó p là ước q hệ số tự và q là ước dương hệ số cao Ví dụ : Phân tích đa thức 3x - 7x +17x -5 ta thấy các số ±1 ,±5 không phải là nghiệm đa thức ,xét các số ± , ± ta có là nghiệm đa 3 thức đó đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử sau : 3x - 7x +17x -5 = 3x - x -6 x +2x + 15x-5 =x (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)= 3/ Phương pháp thêm bớt hạng tử: a/Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ : Phân tích da thức 4x +81 ta thêm bớt 36x ta có 4x +81 = 4x +36x +81 -36x = (2x +9) – (6x) = Nhận xét : Trong trường hợp này dùng cho đa thức có hai hạng tử b/ Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung Ví dụ : Phân tích đa thức x 5` +x -1 ta thêm bớt x ,x ,x sau: x 5` +x -1 = x 5` +x +x +x -x -x -x +x -1 = (x 5` -x +x )+(x -x +x ) –(x -x +1 ) = Chú ý : Các đa thức có dạng x 3m 1 + x 3n  +1 chứa nhân tử x +x +1 Ví duj: x + x 5` +1; : x +x +1 ; x+ x 5` +1; x+ x +1 III/ Phương pháp hệ số bất định Nếu đa thức f(x) không có nghiệm nguyên ,cũng không co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức x -6x +12x -14x +3 Nếu đa thức nàyphan tích thành nhâ tử thì có dạng (x +ax +b )(x + cx +d ) phép nhân này cho ta kết x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd đồng đa thức này vứi đa thức đã cho ta điều kiện a+c = -6 ac+b+d = 12 ad+bc = -14 bd =3 Xét bd =3 với bd  Z  b  { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trên trở thành a +c = -6 ac = a+ 3c = -14  2c = -14 – (-6)  c = -4  a= -2 đa thức trên phân tích thành (x -2x +3 )(x -4x + ) I V/ Phương pháp đổi biến Ta đặt đa thức biến khác để làm gọn đa thức dễ giải Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x +10x)(x +10x + 24 ) đặt x +10x + 12 =y  (y-12)(y+12) +128 = y -16 = (y-4)(y+4) = V/ Phương pháp giá trị riêng Trong phương pháp này các nhân tử chứa biến đa thức gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định nhân tử Ví dụ: Phân tích đa thức P = x (y-z)+ y (z-x) + z (x-y) Giả sử ta thay x =y P= y (y-z)+ y (z-x) = Tương tự ta thay y z ; zbởi x thì P không đổi ( P = ) P chia hết cho x-y chia hết cho y-z và chia hết cho z – x P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x) Ta thấy k là số vì đẳng thức Lop6.net P = x (y-z)+ y (z-x) + z (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) đúng vứi x,y,z nên ta gán cho x,y,z các giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta 4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2)  k = -1 P = -(x –y)(y-z)(z-x) Chú ý : Khi chọn giá trị riêng x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi khác cho( x –y)(y-z)(zx)  VI/ Bài tập áp dụng chuyên đề 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2.1/ a/ x -2x -4y -4y b/ a(a +c + bc )+b(c +a + ac ) +c(a +b + ab ) c/ 6x -11x +3 d/ 2x +3x -27 e/x +5x +8x +4 f/ x -7x +6 g/2x -x +5x +3 h/ x -7x -3 2.2/ a/ (x +x )- 2(x +x ) -15 b/ / x +2xy+y -x-y -12 c/ (x +x +1)(x +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24 e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a f/ (x + y + z )(x+y+z) +(xy+yz+xz) 2.3 / Dùng phương pháp hê sô bất định: Subject: a/ 4x +4x +5x +2x +1 b/x -7x +14x -7x +1 c/ (x+1) +(x +x +1) e/x x -x +63 2.4 Dùng phương pháp xét giá trị riêng M= a(a+b-c) +b(c+a-c) +c(b+c-a) + (a+b-c)(c+a-c)(b+c-a) Lop6.net : BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC CHUYÊN ĐỀ Các bài toán cực tri có dạng chung sau:Trong các hình có chung tính chất, tìm hình cho đại lượng nào đó (nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đo góc )có giá trị lớn ,giá trị nhỏ I/Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: 1/Quan hệ đường vuông góc và đường xiên: Quan hệ này dùng dạng: - Trong tam giác vuông (xó thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AB  AH xảy dấu khi B trùng H - Trong các đoạn thẳng nối từ điểm đến các điểm thuộc đoạn thẳng đoạn thẳng vuông góc với đoạn thẳng có độ dài nhỏ - Trong các đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên hai đoạn thẳng song song đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ 2/ Quan hệ đường xiên và hình chiếu: - Trong hai đương xiên kẻ từ điểm nằm ngoài đường thẳng dến đường thẳng đó đường xiên nào có hình chiếu lớn thì lớn 3/Bất đẳng thức tam giác: Với ba điểm A, B, C ta có AC+CB  AB; AC+CB =AB  C thuốc đoạn thẳng AB Để xử dụng bất đẳng thức tam giác đôi phải thay đổi phía đoạn thẳng đường thẳng 4/ Các bất đẳng thức đại số : Các bất đẳng thức xử dụng là: - Bất đẳng thức luỹ thừa bậc chẳn: X2  X2  - Bất đẳng thức CÔSI (x+y)2  4xy hay x+y  xy với x,y không âm , xãy dấu = x=y Chú ý từ bất đẳng thức CÔSI ta còn suy hai số không âm x,y: -Nếu x+y là số thì xy lớn khivà x=y - Nếu xy là số thì x+y nhỏ và x=y Để sử dụng các bất đẳng thức đại số ta thường đặt độ dài thay đổi x biểu thị đại lượng cần tìm cực trị biểu thức x tìm điều kiện để biểu thức có cực trị Ta kí hiệu minA là giá trị nhỏ A ;maxA là giá trị lớn A Ví dụ: 1.1 Cho hình vuông ABCD Hãy nội tiếp hình vuông đó hình có diện tích nhỏ Giảỉ Gọi ÈGH là hìmh vuông nội tiếp hình A E K B vuông ABCD Tâm hình vuông này phải trùng với EG.FH ta suy SEFGH == = 20E2 F S nhỏ suy 0E nhỏ Gọi K là trung điểm AB ooooooo O ta có OE  OK ( số) OE = OK  E trùng K o Vậy diện tích ÈGH nhỏ các đỉnh E,F,G,H là trung H điểm các cạnh hình vuông ABCD 1.2 Tính diện tích lớn HBH có độ dài cạnh D G C kề a,b A B Giải : Ta có: SABCD == DC.AH  DC.AD = ab b maxS = ab và AH = AD lúc này ABCD làHCN D H a C 1.3 Cho hình thoi và hình vuông có cùng chu vi Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn? vì sao? Giải : Xét hình thoi ABCD và hình vuônh MNPQ A B có cùng chu vi cạnh chúng Gọi canh chúng là a ta có:  SMNPQ = a2 (1) Ta chớng minh SABCD  a2 D H C Kẻ AH  CD ta có AH  AD =a Vậy SABCD  CD.AD =a.a = a2 (2) Từ (1) và (2) suy SABCD  SMNPQ Vậy diện tích hình vuông lớn diện tích hình thoi (nếu hình thoi đó không là hình vuông) 2.1 Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC tam giác ABC cho tổng khoảng Lop6.net cách từ B và C đến d có giá trị nhỏ Giải : Ta có SABD + SCAD =SABC 1 2S  AD.BB’ + AD.CC’=S  BB’ + CC’= 2 AD 2S Do đó BB’ +CC’ nhỏ  nhỏ  AD lớn AD A B’ B D C C’ Giả sử AC  AB thì hai đường xiên AD và AC đường xiên AD có hình chiếu nhỏ đó AD  AC (hằng số) ; AD =AC  D trùng C Vậy đường thẳng d phải dựng là đường thẳng chứa cạnh lớn hai cạnh AB, AC 2.2Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi D,E theo thứ tự thuộc cạnh AC ,AB cho DHE = 90o Tìm vj trí D,E để DE có độ dài nhỏ A Giải : Gọi I là trung điểm DE ta có DE = IA +IH  AH ( trung tuyến nửa cạnh huyền) E I D Vậy minDE = AH  thuộc đoạn thẳng AH đó: AH AC và HE AB B H C 3.1 Cho tam giac ABC cân A và điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC > Hãy dựng đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên E và F cho DE + DF có giá trị nhỏ Giải : Về phía ngoài tam giác vẽ tia Ax cho xAC = DAE trên Ax lấy điểm D’ cho AD’ = AD ta có AED = AFD’ ( c-g-c) A Suy DE = FD’ Ta có DF +DE = DF + FD’  DD’( AD cố định nên AD’ cố định) E F D’ Vậy DD’ là số Do đó DF +DE nhỏ  DF + D’F nhỏ  F là giao điểm B D C x DD’ và AC 3.2 Trên mp bờ d lấy hai điểm A,B Tìm vị trí điểm D trên d để AD + DB nhỏ Giải : Lấy điểm A’ đối xứng A qua d ta có B AD = A’D (d trung trực AA’) A Vậy AD + DB = A’D + DB  A’B Do đó (AD + DB) D nằm trên giao điểm A’B và d D A’ 4.1 Cho tam giác ABC vuông cân có AB = AC = 10cm.Tam giác DEF vuông cân D nội tiêp tam giác ABC ( D  AB, F  AC, E  BC) Xác định vị trí điểm D để diện tích yam giác DEF nhỏ Giải : Gọi AD = x kẻ EH AB thì AD = EH =BH = x DH =10 – 2x ta có: B 1 SDEF = DE.DF = DE2 = ( EH2 +DH2 ) H E 2 2 = [ x + ( 10 -2x)2] = ( 5x2 – 40x +100) = ( x2 -8x + 20) D 2 = (x – 4)2 + 10  10 A F C minSDEF = 10(cm2)  x = đó AD = 4cm Tổng quát: minSDEF = SABC 5` 4.2 Các đường chéo tứ giác ABCD cắt Tính diện tích nhỏ A B tứ giác ,biết SAOB =4cm2, SCOD = 9cm2 S S1 OA Giải Ta có = = O  S1.S2 = S3.S4 S2 S3 OB Theo bất đẳng thức COSI : D S3 + S4  S1.S = 4.9 =12 C S= S + S2 + S3 + S4  + + 12 = 25 D maxS =25 (cm )khi và : S3 = S4  SADC = SBCD  AB║ CD Tổng quát thay và a và b ta có maxS = ( a + b )2 Lop6.net II/ Chú ý giải bài toán cực trị: 1/ Khi giải bài toán cực trị , nhiều ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị đại lượng này thành điều kiện cực trị cuả đại lượng khác Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC ,M là điểm bất kì nằm trên cạnh BC.Gọi E,F theo thứ tự là hình chiếu M trên AB và AC Tìm vị trí M để EF có độ dài nhỏ A Giải : Gọi I là trung điểm AM ta có: IA = IE = IM = IF Như EF là cạnh đáy tam giác cân IEF I Ta có góc EIF = góc EAF mà góc EAF không đổỉ nên góc EIF không đổi Tam giác cân EIF có số đo góc đỉnh không đổi nên cạnh đáy nhỏ E F Và cạnh bên nhỏ Do đó EF nhỏ  IE nhỏ  AM Nhó Khi đó M là chân đường cao kẻ tờ A đến BC B M C 2/ Nhiều bài toán cực trị có liên quan đến tập hợp điểm Trong tập hợp các hình có chung tính chất ,khi ta cố định yếu tố không đổi hình ,các điểm còn lại có thể chuyển động trên đường định việc theo dõi vị trí nó giúp ta tìm cực trị bài toán Ví dụ: Trong các hình bình hành có diện tích và đường chéo không đổi ,hình nào có chu vi nhỏ Giải : Xét các hình bình hành có BD cố định Diện tích hình bình Hành không đổi nên diện tích tam giác ABD không đổi đó A B’ chuyển đông trên đường thẳng d song song với BD D A Cần xác định vị trí A trên d để BA + AD nhỏ Lấy điểm B’ đối xứng qua d đó B’ cố định B BA + AD = B’A +AD  B’D ( số) BA + AD nhỏ  B’A + AD nhỏ  A là C Giao điểm d và đoạn B’D đó AB = AD D Vậy hình bình hành có chu vi nhỏ là hình thoi 3/ Khi giải bài toán cực trị , có ta phải tìm giá trị lớn ( nhỏ ) trường hợp so sánh các giá trị đó với để tìm giá trị lớn ( nhỏ nhất) bài toán Ê Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thăng qua A cho tổng khoảng cách từ B và C đến d có giá trị lớn Giải : Gọi BB’ , CC’ là khoảng cách từ B và C đến d Xét hai trường hợp : A a/ Đường thẳng d cắt BC D ta có: BB’ + CC’  BD + CD = BC B’ o Chú ý : Nếu B C lớn 90 tì dấu = không đạt điều đó không ảnh hưởng đến bài toán B C C’ b/Đường thẳng d không cắt cạnh BC Khi đó d cắt cạnh CE với E là điểm đối xứng B qua A tương tự trừng hợp a ta có BB’ + CC’  CE E Bây ta so sánh BC và CE d E o 1/ Trường hợp BAC  90 H Nếu kê CH BE thì BE thuộc tia đối AB nên HB  HE A d Do đó BC  CE ta có: A Max( BB’ + CC’) = BC  d BC B C 2/Trường hợp BAC  90o Nếu kẻ CH BE thì H tia đối AE nên HE  HB Do đó CE  BC ta có : d1 E B C Max( BB’ + CC’) = CE  d CE d2 M o 3/ Trường hợp BAC = 90 A Ta có BC = CE đó Max (BB’ + CC’) = BC = CE BC d CE B  d M III/ Bài tập áp dụng: 1/ Tính diện tích lớn hất tứ giác ABCD biết AB = AD = a ,BC = CD = b 2/Trong các hình chữ nhật có đường chéo d không đổi hình nào có diện tích lớn nhắt Tính diện tích lớn đó Lop6.net 3/ Cho tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a Một đường thẳng d bất kì qua A không cắt cạnh BC Goi I và K theo thứ tự là các hình chiếu B và C trên d, gọi H là trung điểm BC.Tính diện tích lớn tam giác HIK 4/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a , BC = b ( b  a  3a) Trên các cạnh AB,BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm E,F,G,H cho AE = AH = CF = CG Xác định vị trí các điểm E,F,G.H để tứ giác EFGH có diện tích lớn 5/Chứng minh các tam giác có cung cạnh đáy và cùng chu vi tam giác cân có diện tích lớn 6/Trong hình chữ nhật có cùng chu vi ,hình nào có diện tích lớn 7/Trong các hình chữ nhật có cùng diện tích hình nào có chu vi nhỏ 8/Trong các hình thoi có cùng chu vi ,tìm hình có diện tích lớn 9/ Trong các hình thoi có cùng diện tích , hìmh nào có chu vi nhỏ 10/ Tứ giác ABCD có C + D = 90o ,AD = BC, AB = b, CD = a ( a  b) Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm AB,AC,DC,DB.Tính diện tích nhỏ tứ giác EFGH 11/ Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ 12/ Cho hình vuông ABCD cạnh a Tìm diện tích lớn các hình thang có bốn đỉnh thuộ bốn cạnh hình vuông và hai cạnh đáy song song với hai đường chéo hình vuông 13/ Cho hình vuông ABCD có ạnh 6cm Điểm E thuộc cạnh AB cho AE = 2cm, điểm F thuộc cạnh BC cho BF = 3cm.Dựng các điểm G,Htheo thứ tự thuộc cạnh CD, AD cho EFGH là hình thang a/Có đáy EH , FG và có diện tích nhỏ b/Có đáy EF, GH và có diện tích lớn 14/Cho tam giác ABC Xác định vị trí các điểm D,E trên các cạnh AB ,AC cho BD + CE = BC và DE có độ dài nhỏ 15/ Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền BC = a Các điểm D,E theo thứ tự chuyển động trên cạnh AB,AC.Gọi H,K theo thứ tự là hình chiếu D và E trên BC Tính diện tích lớn tứ giác DEKH 16/Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M thuộc cạnh BC Gọi E và F theo thứ tự là hình chiêu M trên AB ,AC.Chứng minh M chuyển động trên BC thì a/ Chu vi tứ giác MEAF không đổi b/Đường thẳng qua M và vuông góc với EF luôn qua điểm K cố định c/ Tam giác KEF có diện tích nhỏ M là trung điểm BC Lop6.net CHUYÊN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức ( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau đây thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y )  M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau đây thoả mãn : Với x,y để f(x,y ) xác định thì : f(x,y )  m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) 2/ Chú ý :Nếu có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì cực trị biểu thức chẳng hạn ,xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A  chưa thể kết luận minA = vì không tồn giá trị nào x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 +  A =  x -2 =  x = Vậy minA = khi x = II/ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ,GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a  Tìm GTLN P a  b2 b b x ) + c = a( x + ) +c4a a 2a b b Đặt P = c =k Do ( x + )  nên : 4a 2a b - Nếu a  thì a( x + )  , đó P  k 2a b minP = k và x = 2a b -Nếu a  thì a( x + ) ` đó P ` k 2a b maxP = k và x = 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta có thể đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36  -36 minA = -36  y =  x2 – 7x + =  x1 = 1, x2 = 3/ Biểu thức là phân thức : a/ Phân thức có tử là số ,mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = 6x   9x2 2 2 Giải : A = = = 2 (3 x  1)  6x   9x 9x  6x  1 Ta thấy (3x – 1)2  nên (3x – 1) +4  đó theo tính chất a  b thì  (3 x  1)  4 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + Lop6.net 2 1 2 với a, b cùng dấu) Do đó A   (3 x  1)  a b 1 minA =  3x – =  x = b/ Phân thức có mẫu là bìmh phương nhị thức 3x  x  Ví dụ : Tìm GTNN A = x2  2x  Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm (2 x  x  2)  ( x  x  4) ( x  2) A = = +  x2  2x  ( x  1) minA = và chi x = Cách 2: Đặt x – = y thì x = y + ta có : 1 3( y  1)  8( y  1)  A = =3+ =( -1)2 + 2 y y y y minA =  y =  x – =  x = c/ Các phân thức dạng khác:  4x Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN A = x 1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : x2  4x   x2  ( x  2) A = = -  -1 x2  x2  minA = -1 và x = 4x2   4x2  4x  (2 x  1) Tìm GTLN A = =  x2  x2  III/ TÌM GTNN., GTLN CỦA BIỂU THỨC CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN x3 + y3 + xy biết x + y = Xử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: Xử dụng điều kiện đã cho làm xuất biểu thức có chứa A x + y =  x2 + 2xy + y2 = (1) Mà (x – y)   x2 - 2xy + y2  (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 )   x2 + y2  1 minA = và x = y = 2 Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A 1 A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 +  2 1 minA = và x = y = 2 Cách 3/ Sử dụnh điều kiện đã cho để dưa biến 1 Đặt x = + a thì y = - a Biểu thị x2 + y2 ta : 2 1 1 x2 + y = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2  2 2 1 minA =  a =  x=y= 2 Lop6.net IV Các chú ý tìm bài toán cực trị : 1- Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 = 2y2 +2   minA =  y =  x = 2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị điều kiện tương đương là biểu thức kháư đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn  A nhỏ lớn  B nhỏ với B > B x4  Ví dụ : Tìm GTLN A  ( x  1) Chú ý A>0 nên A lớn nhỏ và ngược lại A ( x  1) x  x  2x2 1    = Vậy 1 4 A A x 1 x 1 x i = x = Do đó maxA =1 x = A 3/ Khi tìm GTLN , GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng các bất đẳng thức đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a,b,c,d > thì a.c > b.d b) a > b và c >0 thì a.c > b.c c) a > b và c<0 thì a.c < b.c d) a > b và a,b,n >0 thì an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b  ab ; a2 + b2  2ab ; (a + b)2  4ab ; 2( a2 + b2)  ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + +b2) ( x2 + y2)  (ax + by)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y và x2 + y2 là thành phần bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = và b = ta có ( 2x + 3y )2  ( 22 + 32 ).52  ( 2x + 3y )2  13.13.4  2x + 3y  26 Vậy maxA = 26  { 3x = 2y 2x +3y  3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4  x2 = 16  x=4 x= -4 Với x = thì y =6 thoả mãn 2x +3y  x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y  Vậy max A 26  x =4 , y = 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau -Nếu số có tổng không đổi thì tích chúng lớn số đó - Nếu số dương có tích không đổi thì tổng chúng nhỏ số đó bang Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN tích xy , biết x,y là các số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn  x – y nhỏ ; xy nhó  x – y lớn giả sử x > y ( không thể xãy x = y) Do  y  x  2004 nên  x-y  2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do đó max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = Thay y = Lop6.net Chuyên đề : RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC I/ Rút gọn các biếu thức: a- A = 1978(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1980) +1 b- B = a2(b – c) + b2( c –a) + c2( a – b) + (a – b)(b – c)(c –a) c- C = a3(b – c) + b3( c –a) + c3( a – b) + (a +b +c) (a – b)(b – c)(c –a) Giải: a/ A = 1978(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1980) +1 = (1979 – 1)(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1979 + 1) +1 Nhân vào ta kết A = 197910 b- Ta phân tích a2(b – c) + b2( c –a) + c2( a – b) thành nhân tử Để phân tích ta thây có các tích ( a – b) ,(b – c) ,( c –a) ta khai triển tích giữ lại tích a2b – a2c + b2c – b2a + c2( a – b) = (a2b - b2a) – (a2c - b2c ) + c2( a – b) = ab( a – b) - c( a2 – b2) + c2( a – b) = (a – b) ( ab – c(a + b) + c2) = (a – b) ( ab – ca - cb + c2) = (a – b) ( b – c )( a – c) Vậy B = c- Tương tự câu b Bài b và c ta có thể biến đổi thành bài rút gọn sau: a2 b2 c2   M= Qui đồng mẫu MC ( a –b)( b-c)( c-a) (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) d- D = 4a  4b  4c    (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) ab ab a  b2 )(  a) : ab ab a  b2 bc ca ab   f- F = (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) bc ca ab   g- G = 2 2 2 2 2 a (a  c )(a  c ) b(b  c )(b  a ) c(c  a )(c  b ) ax a y az   h- H = x( x  y )( x  z ) y ( y  z )( y  x) z ( z  x)( z  y ) II- Rút gọn phân thức: a  b3  c  3abc a- A = a  b  c  ab  bc  ca (a  b)3  (b  c)3  (c  a )3 b- B = (a  b)(b  c)(c  a ) e- E = (a  y2  y  c- C = y  y  12 y  Hướng dẫn giải Câu D Ta tách thành 4a 4b 4c 1     + (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) 1   Mà =0 nên ta có D = (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) a Câu E Ta qui đồng thực phép nhân ta có E = a  b2 Câu F Qui đồng ta có F=0 MC là (a-b)(b-c)(c-a) Câu G Qui đồng phân tích tử thành nhân tử (a2 - b2) (b2 – c2)(c2 – a2) Vậy G = { MC là abc(a2 - b2) (b2 – c2)(c2 – a2) } abc Lop6.net Câu H Ta tách sau : a a a 1     + x( x  y )( x  z ) y ( y  z )( y  x) z ( z  x)( z  y ) ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) ( z  x)( z  y ) 1   0 Ta có ( x  y )( x  z ) ( y  z )( y  x) ( z  x)( z  y ) 1 a a(   )= x( x  y )( x  z ) y ( y  z )( y  x) z ( z  x)( z  y ) xyz Qui đồng bài tập G III- Bài tập áp dụng: Rút gon.: a  3ab 2a  5ab  3b  1/ A = a  9b 6ab  a  9b 2/ B = (10  1)(102  1)(104  1) .(102 n  1) ( nhân vvế với (10-1) a  b b  c c  a (a  b)(b  c)(c  a )    3/ C = a  b b  c c  a (a  b)(b  c)(c  a ) a ( x  b)( x  c) b( x  c)( x  a ) c( x  a )( x  b)   4/ D = (a  b)(a  c) (b  c)(b  a ) (c  a )(c  b) 3 5/ E = (a  b  c)  (a  b  c)  (b  c  a )3  (c  a  b)3 Ta đặt ẩn phụ để dễ giải : x = a+b –c ; y = b+c-a ; z = c+a-b ;suy x+y+z = a+b+c 1 2a 4a 8a     6/ G = a  b a  b a  b a  b a  b8 1 1     7/ F = a  a a  3a  a  5a  a  a  12 a  9a  20 1 2x x3    8/ H = x  x  x  x  x  x  x8  x  a a a a a     9/ K = 2 2 x  4a x  a.x x  3a.x  2a x  5a.x  6a x  a.x  12a 2 ( x  2) x x  6x  (1  ) 10/ L = x x2 x Chú ý : Khi rút gọn biểu thức ta cần làm sau: - Quy đồng mẫu thức để thực các phép tính - Khi nhân đa thức chú ý đến đẳng thức đáng nhớ - Viết phân thức dạng tổng , hiệu hai phân thức - Ta có thể cộng đa thức để xuất đẳng thức - Ta có thể đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản Lop6.net CHUÊN ĐỀ 6: SỬ DỤNG CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP VỀ QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG Các công thức diện tích cho ta quan hệ độ dài các đoạn thẳng , chúng có ích để giải nhiều bài toán Ví dụ 1: Cho tam giác ABC a/ Chứng minh điểm M thuộc miền tam giác ABC thì tổng khoảng cách từ M đến cạnh chiều cao tam giác b/ Quan hệ thay đổi nào M thuộc miền ngoài tam giác GIẢI Gọi a và h là cạnh và chiều cao tam giác ABC, MA’, MB’, MC’ là khoảng cách từ M đến BC,AC,AB A A C' B' B M A' C' B C H A' a/Nếu M thuộc miền tam giác thì : SMBC + SMAC + SMAB = SABC 1 1  BC.MA ' AC , MB ' AB.MC '  BC AH 2 2 a a  ( MA ' MB ' MC ')  h  MA ' MB ' MC '  h 2 b/ Nếu M thuộc miền ngoài tam giác ABC và thuộc miền gócA(2) SMBC + SMAC - SMAB = SABC  MA ' MB ' MC '  h C o B' M Tương tự cho các miền còn lại Ví dụ 2: Các điểm E,F nằm trên các cạnh AB, BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I là giao điểm AF, CE Chứng minh ID là tia phân giác góc AIC Giải: E A H B I K D F C 1 S ABCD và S DEC  S ABCD  S AFD  S DEC 2 Kẻ DH vuông góc ÍA và DK vuông góc với IC ta suy DH = DK , Suy IH = IK Vây, DI là tia phân giác góc AIC Ví dụ : Cho tam giác ABC có AA  90o ; D là diểm nằm A và C Chứng minh tổng các khoảng cách từ A và từ C đến BD lớn đường cao kẻ từ A và nhỏ đường cao kẻ từ C tam giác ABC GIẢI: Ta có SAFD  K F A D E B H Lop6.net C Gọi AH và CK là các đường cao tam giác ABC Kẻ AE và CF vuông góc với BD Đặt SABC = S SCBD 2S 2S  AE  CF  Ta có AE = ABD , CF = BD BD BD 2S 2S ; CK  Ta lại có AH  BC BA Do AA  90o nên BA< BD<BC , đó AH < AE + CF < CK Bài tập áp dụng: 1/ Độ dài cạnh tam giác 6cm và 4cm Nữa tổng các chiều cao ứng với cạnh chiều cao ứng với cạnh thứ ba Tính độ dài cạnh thứ ba 2/ Chứng minh tam giác là tam giác vuông các chiều cao ha, hb, hc thoả mãn điều kiện h h ( a )2  ( a )2  hb hc HD: Sứ dụng diện tích để dưa định lý Pytago 3/ Tính các cạnh tam giác có ba đường cao 12cm , 15cm , 20cm 4/Cho điểm O thuộc miền tam giác ABC Các tia AO , BO , CO cắt các cạnh tam giác ABC theo thứ tự A’, B’ , C’ Chứng minh : OA ' OB ' OC '   1 a/ AA ' BB ' CC ' OA OB OC   2 b/ AA ' BB ' CC ' 5/ C là điểm thuộc tia phân giác góc xOy có số đo 600 M là điểm bất kì nằm trên đường vuông góc với OC C và thuộc miền ngoài góc xOy Gọi MA , MB theo thứ tự là khoảng cách từ M đến Õ, Oy Tinh độ dài OC theo MA, MB Chuyên đề7: BẤT ĐẲNG THỨC Lop6.net I-Các tính chất bất đẳng thức: Ngoài các tính chất học SGK ta còn có tính chất sau: a/ a > b, c >d  a+c > b+d b/ a > b , c < d  a – c > b- d ( không trừ vế bất đẳng thức cùng chiều ) c/ a > b  , c > d   ac > bd d/ a > b >0  an > bn e/ a > b  an > bn với n lẻ f/ a  b  an > bn với n chẳn g/ Nếu m> n >0 thì : a >  am > an a =  am = an < a <  am < a n 1 h/ a > b , ab >   a b II- Các bất đẳng thức ab )  ab ( bất đẳng thức Côsi) 1 c/   Với a,b > d/ (a  b) ( x  y )  (ax + by) e/ a   a b ab a III- Các phương pháp chứng minh 1- Dùng định nghĩa : Ví dụ : a/chứng minh : ( x-1)(x – 2)( x – 3)( x – 4)  -1 Giải : Xét hiệu ( x-1)(x – 2)( x – 3)( x – 4) +1  ( x2 – 5x + 4)( x2 – 5x +6) +1  Đặt y = x2 – 5x + ta có ( y – 1)(y +1) +1 = y2  b/chứng minh a2 + b2  ab 3b b Giải a2 + b2 - ab   ( a - )2 +  2- Dùng các phép biến đổi tương đương: Ví dụ : a/ Với x,y,z chứng minh : x2 + y2 + z2 +3  2(x + y +z ) Giải : x2 + y2 + z2 +3 - 2(x + y +z )  (x – 1)2 + (y – 1)2 +(z – 1)2  Dấu xảy x = y = z = a/ a2 +b2  2ab b/ ( a +b )2  4ab hay ( 1 b/ Cho các số dương a,b thoả mãn điiêù kiện a + b = Chứng minh (1  )(1  )  a b 1 Giải (1  )(1  )   ab + a + b +  9ab ( vì ab>0)  a + b +  8ab   8ab (vì a b a+b=1)   4ab  (a + b)2  4ab  ( a – b )2  Dấu xảy và a = b 3/ Dùng phương pháp làm trội để chứng minh bất đẳng thức Ví dụ : Cho n là số nguyên lớn Chứng minh bất đẳng thức sau : 1 1      a/ n 1 n  n  2n 1 1 b/       n n 1  Giải : a/ Ta có ( vì n + < 2n ) n  2n 1 1 1    Tương tự ; ;…; n  2n n  2n 2n  2n 1 1 1 1         n  Do đó n 1 n  n  2n 2n 2n 2n 2n 1 1   với k = ; ; … ;n b/ Ta có  (k  1)k k  k k 1 1 Lần lượt cho k = ; ; … ;n cộng lại ta       n n Lop6.net Phương pháp này thường xử dụng để chứng minh bất đăng thức có vế là tổng tích hửu hạn.Áp dụng tính chất thứ tự để biến đổi tổng hoạc tích hửu hạn tổng tích khác mà việc tính toán đơn giản 4/ Dùng các tính chất bất đẳng thức Ví dụ : a/ Cho a + b > chứng minh a4 + b4 > Giải : a + b > Bình phương vế ta có (a + b)2 > (1) mặt khác ( a – b )2  (2) cộng vế (1) và (2) a2 + b2 > làm tương tự trên ta dược điều chứng minh b/ Cho a, b , c là các số dương Chứng minh 1 a b c    1,5 1*/ (a + b + c) (   )  2*/ a b c bc ca ab a b a c b c a b Giái : 1*/ Nhân vào ta có + (  ) + (  ) +(  ) mà   thay vào ta có diều phải b a c a c b b a chứng minh 1 2*/ Áp dụng bất đẳng thức câu 1* ta có (x + y+ z) (   )  với x = b + c x y z 1   )  chia nhân vào ta có điều y = a + c và z = a + b ta có (a + b + c)( bc ca ab chứng minh IV Vài điểm chú ý chứng minh bất đẳng thức : 1/ Khi chứng minh bất đẳng thức , nhiều ta cần đổi biến Ví dụ : Cho a + b + c = Chứng minh a2 + b2 + c2  1 Giải : Đăt a = + x , b = +y , c = + z , a + b + c = nên x + y + z = ta có 3 1 1 a2 + b2 + c2 = ( + x )2 + ( +y )2 + ( + z )2 = + (x + y + z) + x2 + y2 + z2  3 3 3 Xảy dấu x = y = z =  a = b = c = 2/ Ta có thể áp dụng bất đẳng thức để tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn Ví dụ Tìm giá trị nhỏ củ biểu thức | A = (x- 1)(x +2)(x+3)(x+6) Tìm giá trị lớn biểu thức B = x6 + y6 biết x2 + y2 = Giải : A = ( x2 + 5x – 6)(x2 +5x +6) = (x2 +5x)2 -36 Vậy giá trị nhỏ A = -36 x2 +5x = suy x = x = -5 B = ( x2)3 + ( y2)3 = (x2 + y2) ( x4 – x2y2 + y4) = x4 – x2y2 + y4 vì x2 + y2 = = ( x2 + y2)2 – 3x2y2 = - 3x2y2  Vậy giá trị lớn x =0 , y = V / Bài tập Chứng minh các bất đẳng thức a/ a2 + b2 + c2  ab + bc + ca b/ a4 + b4 + c4 + d4  4abcd c/ a2 + b2  ab d/ / a4 + b4 +  4ab 1 1 1     e/ f/     1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) n CÁC ĐỀ ÔN TẬP CUỐI NĂM Lop6.net ĐỀ Bài : a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x2 – 7x + b/ Tính : A  1 1     1.3 3.5 5.7 2007.2009 Bài : Giải phương trình a/ 1 1    x  x  x  x  15 x  12 x  35 S b/ ( x – )( 2x + 6) = ( – 3x )( x + ) Bài : Một ô tô tải từ A đến B với vận tốc 30km/giờ Một lúc sau xe rời A với vận tốc 40km/giờ và đuổi kịp xe tải B Nhưng quảng đường AB thì xe tăng vận tốc thêm 5km/giờ nên sau đã đuổi kịp xe tải Tính quảng đường AB ? Bài : Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E trên cạnh DC , F trên cạnh AD cho C và F đối xứng qua BE ; EF cắt AB Q Đạt AB = a ; BC = b a/ Chứng minh QAF FAB b/ QC  BD Bài : Chứng minh : + 9009 không phải là số nguyên tố ************************************************ ĐỀ Bài 1: Tìm a để nghiệm bất phương trình ( a2 + )x > 2a – (1) là nghiệm bất phương trình 2x > (2) Bài : Giải các phương trình sau : a/ x   a  x b/ m(x – ) = x + 2n – Bài : Tìm số dư cuối cùng phép chia : + x + x19 + x20 + x2004 cho – x2 Bài : Cho x + y + z = và xyz  Tính : 1   2 2 x z y x y z y  z  x2 Bài 5: Cho tam giác ABC ,gọi H là trực tâm tam giác các đường cao AA’ ,BB’, CC’; O là giao điểm đường trung trực , hạ OE  BC ,chứng minh: a/ AH = OE b/ HA ' HB ' HC '   1 AA' BB ' CC ' ĐỀ Bài1/ Cho số x,y,z thỏa mãn    (1) x y z x yz 1 1  n n  n Chứng minh n lẻ có n x y z x  yn  zn Bài2/ Rút gọn x  y  z  xyz ( x  y )  ( y  z )  ( z  x) Bài / Tìm x thỏa mãn (x – 1)( x – 2)( x – 3)(x – 4) = 120 Bài 4/ Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác a/ Chứng minh bất đẳng thức : ab +bc +ca < a2 +b2 +c2 < 2( ab +bc +ca) b/ Chứng minh ( a + b + c)2 = 3( ab + bc + ca) thì tam giác đó là tam giác Bài : Cho tam giác ABC Một đường thẳng qua trọng tâm G tam giác cắt cạnh BC kéo dài phía C và các cạnh CA, AB theo thứ tự A1, B1, C1 Chứng minh rằng: 1   GA1 GB1 GC1 Lop6.net Lop6.net