Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán áp dụng tính chia hết của số nguyên

Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Trong báo cáo về nhiệm vụ năm học, Bộ giáo dục & Đào tạo chỉ rõ: Chỉ đạo mạnh mẽ việc đổi mới phương pháp dạy học và phong trào tự học, tự đào tạo''. '' Coi trọng giáo dục chính trị, tư tưởng nhân cách, khả năng tư duy sáng tạo và năng lực thực hành của học sinh''. '' Quyết tâm thực hiện 2 khơng trong ngành giáo đục''. Chủ trương đó hồn tồn phù hợp với những u cầu cấp bách của cơng cuộc cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước như nước ta hiện nay. Căn cứ vào nhiệm vụ, mục tiêu của ngành giáo dục, căn cứ vào thức trạng dạy- học tốn hiện nay, hướng đổi mới phương pháp dạy học tốn ở trường THCS là tích cực hố hoạt động học tập của học sinh, tập trung việc rèn luyện khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo. Để trở thành học sinh giỏi là ao ước của mọi học sinh , đó là điều mọi bậc phụ huynh điều mong muốn cho con mình được thành đạt và đây cũng là niềm tư hào của các thầy cơ giáo trong mọi miền đất nước . Trong chương số học của THCS, các bài tốn về phân tích một số ra thừa số ngun tố và tính chất chia hết của số ngun hết sức phong phú và đa dạng. Vì nó vận dụng kiến thức cơ bản vào giải tốn và còn phát triển tư duy cho học sinh. Khi gặp một bài tốn chứng minh chia hết, học sinh sẽ gặp khó khăn nếu khơng nắm vững kiến thức cơ bản và các dạng bài tập, cách làm các dạng bài tập đó Vậy làm thế nào để học sinh biết làm các bài tốn chia hết và biết cách vận dụng nó để giải các dạng tốn khác và ứng dụng nó trong thực tế? Và làm thế nào để học sinh cảm thấy có sự say mê, hào hứng khi giải các bài tốn nhất là đối với học sinh giỏi học tốn? Đó là vấn đề tơi ln quan tâm và ln tìm phương pháp tối ưu, để đạt được mục đích đó tơi lựa chọn đề tài "Một số dạng tốn áp dụng tính chia hết của số ngun''. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I) CƠ SỞ LÝ LUẬN Đổi mới phương pháp dạy học nhằm mục đích cho học sinh phương pháp suy nghĩ, chiếm lĩnh các tri thức khoa học và phương pháp nghiên cứu kiến thức một cách khoa học, nhằm vận dụng kiến thức khoa học một cách tối ưu nhất. Muốn đạt được diều kiện trên thì trong qu trình dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi ta cũng phải đổi mới phương pháp giảng dạy và thiết kế bài dạy , lên kế hoạch bộ mơn r rng , tức l ta phải xc định: - Cơng việc của thầy giữ vai trị chủ động, sáng tạo, tổ chức cho học sinh chiếm lĩnh kiến thức. - Đối với học sinh phải chủ động, sáng tạo, phải được suy nghĩ nhiều, trả lời nhiều câu hỏi, được thực hành nhiều dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. II) CƠ SỞ THỰC TIỄN Thực trạng dạy và học tốn hiện nay, mặc dù học sinh đ dược học đầy đủ các kiến thức cơ bản, có phần mở rộng, nâng cao nhiều. Song khi gặp một bài tốn, học sinh vẫn cịn lúng túng trong việc định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng hoặc vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo các kiến thức cơ bản đ học. Nhiều học sinh chỉ biết vận dụng từng bước giải, từng phần của quy tắc, cơng thức mà thầy đ hướng dẫn. Vì thế khơng phát huy được tính độc lập, sáng toạ của học sinh. 1 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng - Đối với thầy cơng việc chuẩn bị kiến thức, đặt vấn đề, đặt câu hỏi sao cho học sinh được suy nghĩ nhiều? Được làm việc nhiều? Đối với học sinh đại trà hay chỉ là học sinh khá, giỏi trong lớp trả lời. Vì vậy người thầy phải chủ động tích cực hố các hoạt động của tất cả các đối tượng trong lớp. - Trong thức tiễn vấn đề học khơng đi đơi với hành đ lm cho học sinh khơng cĩ cơ sở thực hiện các thao tác tư duy để tiếp nhận, củng cố tri thức cũ, làm nền tảng lĩnh hội tri thức mới. Do đó, học sinh ít được làm việc dộc lập, năng lực cá nhân khơng được phát huy thoả đáng. - Trong nhiều năm giảng dạy tốn của bậc THCS tơi thấy phân tích một số ra thừa số ngun tố , tính chia hết đối với số ngun, học sinh được học ở lớp 6, nhưng khi gặp một bài tốn về phân tích một số ra thừa số ngun tố , tính chia hết của số ngun, học sinh vẫn cịn lng tng trong việc tìm ra cách giải , bởi vì các kiến thức liên quan để hỗ trợ còn hạn chế. Lên lớp 8 nhờ các hằng đẳng thức đáng nhớ và phân tích đa thức thành nhân tử , học sinh có thể giải được các bài tốn nhanh hơn và phức tạp hơn ở lớp dưới Dựa trên cơ sở lý luận và cơ sở thực tiễn trên tối thấy cần có một số giải pháp đổi mới phương pháp giảng dạy cho phù hợp với thực tiễn hiện nay. III CÁC GIẢI PHÁP Để đáp ứng mục tiêu giáo dục và khắc phục những tồn tại trên, để học sinh có thể làm được các bài tập liên quan đến phân tích một số ra thừa số ngun tố và sự chia hết của số ngun, một cách chủ động hơn giáo viên cần phải: - Chuẩn bị tốt tiến trình bi soạn v tổ chức dạy học. - Chuẩn bị tốt cc tình huống cĩ vấn đề để có thể giúp học sinh tư duy suy nghĩ, định hình cch lm - Cung cấp học sinh một số dạng tốn thường gặp về phân tích một số ra thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun , áp dụng vào giải các bài tốn có vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra thừa số ngun tố mà học sinh có thể ứng dụng được. - Qua các bài tốn học sinh biết áp dụng những kiến thức đ học vo lm bi tập một cch linh hoạt,cĩ sng tạo. - Thơng qua nội dung lý thuyết cần lưu ý v cc bi tập cĩ tính hệ thống,nâng cao phát triển cho học sinh tư duy tốn: lơgic, sáng tạo, phát triển khả năng khái qt,tổng qt hố Để tạo cho học sinh có sự phấn khích khi gặp cc bi tốn : Phn tích một số ra thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tơi xin trình bày một số ví dụ về các dạng tóan để minh hoạ cho chun đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính chia hết của số nguyn'' SƠ ĐỒ QUAN HỆ GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6 Cấu tạo số Chia hết cho 2 Chia hết cho 3 2 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng Cc dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5 Chia hết cho 7 Chia hết cho 11 Phn tích một số ra thừa số nguyn tố Bội và ước BCNN ƯCLN Tìm BC thơng qua tìm BCNN Tìm ƯC thơng qua tìm ƯCLN Các bài tốn về BC và ƯC Tính chất chia hết của số ngun Chia hết Chia có dư Bội và ước Chứng minh chia hết cho Tìm số dư trong php chia Số ngun tố Hợp số Số chính phương Ngun lý Drich le Giải phương trình nghiệm ngun . . . . . . . . . . IV. NỘI DUNG 1/Ta phân tích sự quan hệ về tính chia hết của số ngun được học ở lớp 6 , ảnh hưởng đến các kiến thức vận dụng của lớp 6 vào học các lớp 8 , 9 của bậc THCS . Tơi có thể lấy các bài tốn đơn giản khi dạy về tính chia hết của số ngun ở lớp 6 ảnh hưởng lớn đến các bài tốn chia hết của số ngun sau này : Ví dụ 1 : Chứng tỏ rằng trong n +1 số ngun liên tiếp thì có một hiệu của hai số chia hết cho n . (với n thuộc N) 3 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng Giải : Gọi a1 , a2 , a3 , . . . lần lượt là các số chia cho n có số dư lần lượt là 1 . 2 , 3 , . . . thi a n chia cho n dư 0 , a n+1 chia cho n có số dư là1. Do đó : a n+1 – a 1 = (n.k +1) – (n.l +1) = n.k – n.l = n(k – l ) = n.q Tương tự ta xét bất kỳ số dư khác ta vẫn chứng minh được . Hiệu hai số chia hết cho n Đây chính là ngun lý Dirich- le . Ví dụ 2 : Tìm hai số ngun biết tích của chúng bằng 21. Giải : Gọi hai số ngun cần tìm : là x , y Ta có : x.y = 21 Vì : 21 = 21. 1 = 3 . 7 = 7 . 3 = 1 . 21 = (-1)(-21) = =(-3)(-7)= (-7)(-3)= (-21)(-1) Nên ta giải ra tìm được nhiều nghiệm của các cặp giá trị của x và y . Đây chính là phân tích một số ra thừa số ra thừa số ngun tố và tính ước của số ngun . Ví dụ 3 : Tìm hai số x và y . Biết BCNN của chúng bằng 48 và ƯCLN của chúng bằng 8 . Giải : + Nếu x chia hết cho y thì : x = 48 , y = 8 (hoặc ngược lại) +Nếu x khơng chia hết cho y thì : (x> y hoặc y>x) x = 8d 1 , y = 8d 2 ; (d 1 ,d 2 )=1 Suy ra : d 1 .d 2 = 48 : 8 = 6 Nên : d 1 = 3 ; d 2 = 2 (hoặc ngược lại) Do đó : x = 8.3 = 24 y = 8.2 = 16. (Hoặc kết quả ngược lại ) Ta có thể xét sự quan hệ của các bài tốn này ảnh hưởng đến các bài tốn ở chương trình bồi dưỡng sau này ở các lớp 8 , 9 như : DẠNG 1.Chứng minh quan hệ chia hết Ví dụ1.Chứng minh rằng A = n 3 (n 2 -7) 2 - 36n chia hết cho 5040 với mọi số tự nhiên n. Hướng phân tích + Trước hết cho hs nhận xét về các hạng tử của biểu thức A + Từ đó phân tích A thành nhân tử Giải: Ta có A =n[n 2 (n 2 -7) 2 -36]= n[(n 3 -7n 2 )-36] = n(n 3 -7n 2 -6)( n 3 -7n 2 +6) Mà n 3 -7n 2 -6 = (n+1) (n+2) (n-3) n 3 -7n 2 +6 = (n-1)(n-2)(n+3) Do đó A= (n-3)(n-2)(n-1)(n+1)(n+2)(n+3) Đây là tích của 7 số ngun liên tiếp.Trong 7 số ngun liên tiếp 4 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng +Tồn tại một bội của 5 ⇒ A chia hết cho 5 +Tồn tại một bội của 7 ⇒ A chia hết cho 7 +Tồn tại hai bội của 3 ⇒ A chia hết cho 9 +Tồn tại ba bội số của 2,trong đó có một bội số của 4 ⇒ A chia hết cho 16 A chia hết cho các số 5,7,9,16 đơi một ngun tố cùng nhau nên A chia hết cho 5.7.9.16 =5040. + Qua ví dụ 1 rút ra cách làm như sau: Gọi A(n) là một biểu thức phụ thuộc vào n (n ∈ N hoặc n ∈ Z). Chú ý 1: +Để chứng minh biểu thức A(n) chia hết cho một số, ta thường phân tích A(n) thành thừa số, trong đó có một thừa số là m.Nếu m là hợp số, ta phân tích nó thành mơt tích các thừa số đơi một ngun tố cùng nhau, rồi chứng minh A(n)chia hết cho tất cả các số đó. +Trong q trình chứng minh bài tốn trên ta đã sử dụng các kiến thức của lớp 6 : -Phân tích một số ra thừa số ngun tố . -Tính chất chia hết của một tích (thừa số là số ngun tố ) -Ngun lý Dirich- le Lưu ý: Trong k số ngun liên tiếp, bao giờ cũng tồn tại một bội số của k. Ví dụ 2.Chứng minh rằng với moi số ngun a thì a) a 2 -a chia hết cho 2. b) a 3 -a chia hết cho 3. c) a 5 -a chia hết cho 5. d) a 7 -a chia hết cho 7. Giải: a) a 2 - a =a(a-1), chia hết cho 2. b)a 3 -a = a( a 2 - 1) = a(a-1)(a+1), tích này chia hết cho 3 vì tồn tại một bội của 3. + Ở phần a, b hs dễ dàng làm được nhờ các bài tốn đã quen thuộc + Để chứng minh a(a -1 ) chia hết cho 2, ta đã xét số dư của a khi chia cho 2 (hoặc dụng ngun lý Dirich- le ) c) Cách 1 A = a 5 -1= a(a 2 +1)(a 2 -1) Xét các trường hợp a = 5k, a= 5k ± 1, a=5k ± 2 +Ta vận dụng vào tính chia hết của số ngun về xét số dư suy ra A chia hết cho 5 Cách 2. A = a 5 -1= a(a 2 +1)(a 2 -1) = a(a 2 +1)(a 2 -4+5) = a(a 2 +1)(a 2 -4)+ 5a( a 2 -1) = (a -2) (a-1)a(a+1)(a+2) + 5a(a 2 -1) Số hạng thứ nhất là tích của năm số ngun liên tiếp nên chia hết cho 5,số hạng thứ hai cũng chia hết cho 5. Do đó A = a 5 -1 chia hết cho 5. +Ta vận dụng tính chia hết của một tổng vào giải . + Qua ví dụ 2 để chứng minh chia hết ta đã làm như sau: 5 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng Chú ý 2: Khi chứng minh A(n) chia hết cho m, ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho m. Ví dụ 3. a)Chứng minh rằng một số chính phương chia hết cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. b) Chứng minh rằng mọt số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. c)Các số sau có là số chính phương khơng? M = 1992 2 + 1993 2 +1994 2 N = 1992 2 + 1993 2 +1994 2 +1995 2 P = 1+ 9 100 + 94 100 +1994 100 . d)Trong dãy sau có tồn tại số nào là số chính phương khơng? 11, 111,1111,11111, Giải: Gọi A là số chính phương A = n 2 (n ∈ N) a)Xét các trường hợp: n= 3k (k ∈ N) ⇒ A = 9k 2 chia hết cho 3 n= 3k ± 1 (k ∈ N) ⇒ A = 9k 2 ± 6k +1 chia cho 3 dư 1 Vậy số chính phương chia cho 3 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. +Ta đã sử tính chia hết cho 3 và số dư trong phép chia cho 3 . b)Xét các trường hợp n =2k (k ∈ N) ⇒ A= 4k 2 , chia hết cho 4. n= 2k+1(k ∈ N) ⇒ A = 4k 2 +4k +1 = 4k(k+1)+1, chia cho 4 dư 1(chia cho 8 cũng dư 1) vậy số chính phương chia cho 4 chỉ có thể có số dư bằng 0 hoặc 1. +Ta đã sử tính chia hết cho 4 và số dư trong phép chia cho 4 . Chú ý: Từ bài tốn trên ta thấy: -Số chính phương chẵn chia hết cho 4 -Số chính phương lẻ chia cho 4 dư 1( chia cho 8 cũng dư 1). c) Các số 1993 2 ,1994 2 là số chính phương khơng chia hết cho 3 nên chia cho 3 dư 1,còn 1992 2 chia hết cho 3. Vậy M chia cho 3 dư 2,khơng là số chính phương. Các số 1992 2 ,1994 2 là số chính phương chẵn nên chia hết cho 4. Các số 1993 2 ,1995 2 là số chính phương lẻ nên chia cho 4 dư 1. Vậy số N chia cho 4 dư 2,khơng là số chính phương. +Ta đã vận dụng tính chất chia hết của số chính phương và xét số dư cửa các số chính phương đó khi các số đó chẳn hay lẻ . d) Mọi số của dãy đều tận cùng là 11 nên chia cho 4 dư 3.Mặt khác số chính phương lẻ thì chia cho 4 dư 1. Vậy khơng có số nào của dãy là số chính phương. Chú ý 3:Khi chứng minh về tính chất chia hết của các luỹ thừa,ta còn sử dụng các hằng đẳng thức bậc cao và cơng thức Niu-tơn sau đây: +a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b+a n-3 b 2 + +ab n-2 +b n-1 ) (1) +a n +b n =(a+b)(a n-1 -a n-2 b+a n-3 b 2 ab n-2 +b n-1 ) (2) với mọi số lẻ n. Cơng thức Niu-tơn 6 Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng (a+b) n = a n +c 1 a n-1 b+c 2 a n-2 b 2 + +c n-1 ab n-1 +b n Trong cụng thc trờn, v phi l mt a thc cú n+1 hng t ,bc ca mi hng t i vi tp hp cỏc bin l a,b l n.Cỏc h s c 1 ,c 2 , c n-1 c xỏc nh bi tam giỏc Pa -xcan: n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 c 1 c 2 c 3 c 4 p dng cỏc hng ng thc trờn vo tớnh chia ht, ta cú vi mi s t nhiờn a,b v s t nhiờn n : a n -b n chia ht cho a-b (a b) a 2n+1 +b 2n+1 chia ht cho a+b ( a -b) (a+b) n =Bs a+b n (Bs a l bi ca a). c bit chỳ ý n: (a+1) n = Bs( a +1) ( a -1) n = Bs (a- 1) (a-1) 2n+1 = Bs( a 1) *Tt c cỏc cụng thc Niu Tn trờn ch ỏp dng cho hc sinh cỏc khi 8 , 9 . Vớ d 4.Chng minh rng vi mi s t nhiờn n, biu thc 16 n -1 chia ht cho 17 khi v ch khi n l s chn. Gii: Cỏch 1: Nu n chn (n=2k, k N) thỡ A= 16 2k -1 = (16 2 ) k -1 chia ht cho 16 2 -1 Theo hng ng thc (1) M 16 2 -1 =255 chia ht cho 17. Vy A chia ht cho 17 Nu n l thỡ A = 16 n +1 -2, m 16 n +1 chia ht cho 17 theo hng ng thc (9),nờn A khụng chia ht cho 17 vy A chia ht cho 17 n chn. Cỏch 2: A=16 n -1 =(17-1) n -1 = B (17) +(-1) n -1(theo cụng thc Niu-tn) Nu n chn thỡ A =B (17) +1-1 =B (17) Nu n l thỡ A = B (17) -1 -1 = B (17 )-2 Khụng chia ht cho 17. Chỳ ý 4: Ngi ta cũn dựng phng phỏp phn chng,nguyờn lý Di rớchlet chng minh quan h chia ht. Vớ d 5. Chng minh rng tn ti mt bi s ca 2003 cú dng 2004 2004 2004 Gii: Xột 2004 s : A 1 =2004 A 2 =2004 2004 7 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng A 2004 =2004 2004 2004 (Nhóm 2004 có mặt 2004 lần). Theo ngun lý Dirich let, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 2003. Gọi hai số đó là a m và a n (1 ≤ n ≤ m ≤ 2004) Thì a m -a n chia hết cho 2003.Ta có a m -a n = 2004 2004 2004000 000 =    2004 2004 20042004 nnhómm= . 10 4n Do ( 10 4m , 2003) =1 nên    2004 2004 20042004 nnhómm= Chia hết cho 2003. Bài tập tương tự: Bài 1. Chứng minh rằng n 6 + n 4 - 2n 2 chia hết cho 72 với mọi số ngun n. Giải: Ta có n 6 + n 4 - 2n 2 = n 2 ( n 4 +n 2 - 2) =n 2 (n 4 -1 + n 2 -1 ) = n 2 [ (n 2 -1)(n 2 +1) +(n 2 -1)] = n 2 (n-1)(n+1)(n 2 +2) +Xét các trường hợp n= 2k, n=2k+1 ⇒ n 6 + n 4 - 2n 2  8 +Xét các trường hợp n = 3a, n=3a ± 1 n 6 + n 4 - 2n 2  9 vậy n 6 + n 4 - 2n 2  72 với mọi số ngun n Bài 2. Chứng minh rằng 3 2n -9 chia hết cho 72 với mọi số ngun dương n Giải: Ta có B =3 2n -9= 9 n - 9,nên B chia hết cho 9 Mặt khác B = 3 2n - 9 = (3 n -1)(3 n +1) -8 Do 3 n -1,3 n +1 là hai số chẵn liên tiếp nên B chia hết cho 8 Vậy B  72 * Bài tập tự làm Chứng minh rằng 1.n 3 +6n 2 +8n chia hết cho 48 với mọi n chẵn 2.n 4 -10n 2 +9 chia hết cho 384 với mọi sốn lẻ DẠNG 2.Tìm số dư Ví dụ 6: Tìm số dư khi chia 2 100 a) cho 9; b) cho 25; c) cho 125. Giải: a) Luỹ thừa của 2 sát với một bội so của 9 là 2 3 = 8 = 9-1 Ta có 2 100 =2( 2 3 ) 33 = 2(9-1) 33 =2(B(9-1)) = B( 9) -2= B(9)+ 7 Số dư khi chia 2 100 cho 9 là 7. b) Luỹ thừa của 2 sát với bội số của 25 là 2 10 = 1024 =B(25) -1 Ta có 2 100 = (2 10 ) 10 =(B(25) -1) 10 =B(25) +1 8 Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng S d khi chia 2 100 cho 25 l 1. c) Dựng cụng thc Niu-tn: 2 100 = (5 - 1) 50 =5 50 -50.50 49 + + 2 49.50 .5 2 -50.5+1. Khụng k phn h s ca khai trin Niu-tn thỡ 48 s hng u ó cha lu tha ca 5 vi sụ m ln hn hoc bng 3 nờn chia ht cho 125, s hng cui l 1 . Vy 2 100 chia cho 125 d 1. Chỳ ý: Tng quỏt hn,ta chng minh c rng nu mt s t nhiờn n khụng chia ht cho 5 thỡ n 100 chia cho 125 cú s d l 1. Tht vy, n cú dng 5k 1,5k 2.Ta cú (5k 1) 100 =(5k) 100 + 2 99.100 (5k) 2 100.5k+1 = B(125) +1 (5k 2) 100 =(5k) 100 + 2 99.100 (5k) 2 .2 98 100.5k .2 99 + 2 100 = B(125) +2 100 Ta li cú 2 100 chia cho 125 d 1 Do ú (5k 2) 100 chia cho 125 d 1. Vớ d 7: Tỡm ba ch s tn cựng ca 2 100 khi vit trong h thp phõn. Gii: Theo vớ d trờn ta cú 2 100 = BS 125 +1,m 2 100 l s chn, nờn ba ch s tn cựng ca nú ch cú th l 126, 376, 626 hoc 876. M 2 100 chia ht cho8 nờn ba ch s tn cựng ca nú phi chia ht cho 8.Trong 4 s trờn ch cú 376 tho món iu kin ny. Vy ba ch s tn cựng ca 2 100 l 376. Chỳ ý: Nu n l s chn khụng chia ht cho 5 thỡ 3 ch s tn cựng ca n 100 l 376. Vớ d 8: Tỡm 4 ch s tn cựng ca 5 1994 vit trong h thp phõn. Gii: Cỏch 1. Ta thy s tn cựng bng 0625 nõng lờn lu tha nguyờn dng bt kỡ vn tn cựng bng 0625.Do ú 5 1994 =5 4k+2 =25(5 4k )=25(0625) k = 25.( 0625) = 5625 Cỏch 2. Ta thy 5 4k -1 chia hờt cho 5 4 -1 = (5 2 -1)(5 2 +1) nờn chia ht cho 16. Ta cú: 5 1994 = 5 6 ( 5 332 -1) +5 6 Do 5 6 chia ht cho 5 4 , cũn 5 332 -1 chia ht cho 16 nờn 5 6 ( 5 332 -1) chia ht cho 10000 V 5 6 = 15625. Vy 4 ch s tn cựng ca 5 1994 l 5 Bi tp tng t 1.CMR vi mi s t nhiờn n thỡ 7 n v 7 n+4 cú hai ch s tn cựng nh nhau. + Cho hs t cõu hi: Khi no hai s cú hai ch s tn cựng ging nhau? - Khi hiu ca chỳng chia ht cho 100 Gii: Xột hiu ca 7 n +4 - 7 n = 7 n ( 7 4 -1) = 7 n .2400 Do ú 7 n+1 v 7 n cú ch s tn cựng ging nhau. 9 Saựng kieỏn kinh nghieọm Trửụứng T H C S Bửng Baứng 2.Tỡm s d ca 22 22 +55 55 cho 7. + Xột s d ca 22 v 55 cho 7? Gii: Ta cú 22 22 + 55 55 =(B(7) +1) 22 +(B(7) -1) 55 = B(7) +1+ B(7) -1 = B(7) Vy22 22 + 55 55 chia ht cho 7 DNG 3. Tỡm iu kin chia ht Vớ d 9: Tỡm s nguyờn n giỏ tr ca biu thc A chia ht cho giỏ tr ca biu thc B: A= n 3 +2n 2 -3n+2 , B= n 2 -n Gii: t tớnh chia: n 3 +2n 2 -3n+2 n 2 -n - n 3 - n 2 n +3 3n 2 -3n +2 - 3n 2 -3n 2 Mun chia ht, ta phi cú 2 chia ht cho n(n-1),do ú 2 chia ht cho n(vỡ n l s nguyờn) Ta cú: n 1 -1 2 -2 n-1 0 -2 1 -3 n(n-1) 0 2 2 6 loi loi Vy n= -1; n = 2 Vớ d 10 Tỡm s nguyờn dng n n 5 +1 chia ht cho n 3 +1. Gii: Ta cú n 5 +1 chia ht cho n 3 +1 n 2 (n 3 +1) - (n 2 -1) chia ht cho (n+1)(n 2 -n +1) (n-1)(n+1) chia ht cho (n+1)(n 2 -n +1) n -1 chia ht cho n 2 -n +1 (vỡ n+1 0) Nu n =1 thỡ ta c 0 chia ht cho 1 Nu n>1 thỡ n -1< n(n-1) +1=n 2 -n +1, do ú khụng th chia ht cho n 2 - n +1. Vy giỏ tr duy nht ca n tỡm c l 1. Vớ d 11 Tỡm s nguyờn n n 5 +1 chia ht cho n 3 +1. Gii: Theo vớ d trờn ta cú: n -1 chia ht cho n 2 -n +1 n(n-1) chia ht cho n 2 -n +1 n 2 -n chia ht cho n 2 -n +1 10 [...]... những phát hiện dù là nhỏ nhất của học sinh để phát huy tính chủ động suy nghĩ, tích cực của học sinh Trên đây là một số ý kiến, quan điểm của tơi xung quanh vấn đề nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn Đồng thời phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh thơng qua chun đề '' Một số dạng tốn áp dụng việc phân tích một số ra thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun'' Khi viết đề tài này... thừa số lớn hơn 1 nên B là hợp số Vậy n =4, khi đó B = 7 Bài 8 Chứng minh rằng: 270 + 370 chia hết cho 13 Giải: Ta có 270 + 370 = (22)35 + (32)35 = 435 + 9 35 Do đó chia hết cho 4 + 9 =13 (Áp dụng an + bn chia hết cho a+b với n là số lẻ) Vậy 270 + 370 chia hết cho 13 Bài 9.Tìm số ngun tố p để 2p2 + 1 là số ngun tố + Với p là số ngun tố thì p có dạng như thế nào? ( Thường xét số dư của một số khi chia. .. quan ở mức độ cao hơn như giải phương trình nghiệm ngun Tơi chỉ lấy một vài ví dụ Ví dụ 1: Phân tích các số sau ra thừa số ngun tố : 720 630, 729 , Xác định số ước số của mỗi số ? Giải : Ta có : 720 = 24.32.5 630 = 2.32.5.7 729 = 36 Số ước số của số 720 là (4+1)(2+1)(1+1) = 5.3.2 = 30 Số ước số của số 630 là (1+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 2.3.2.2 = 24 Số ước số của số 729 là (6+1) = 7 Đây là bài tốn các học... một số chia hết cho 3 *Nếu a,b,c đều khơng chia hết cho 5 thì a 2, b2, c2 chia cho 5 dư 1 hoặc 4 Khi đó a2 +b2 chia cho 5 dư 0,2,3 còn c 2 chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 5 *Nếu a,b,c đều khơng chia hết cho 4 thì a2, b2, c2 chia cho 8 dư 1 hoặc 4 Khi đó a 2 + b2 chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c 2 chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy tồn tại một số chia hết cho... hoặc 3) 13 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng + Xét p = 3k + 1; p = 3k + 2 và p =3k trường hợp nào mà 2p 2 = 1 là số ngun tố thì => p Bài 10.Chứng minh:1719+ 1917 chia hết cho 18 + Xét số dư của 17 và 18 khi chia cho 18? 2/Ta phân tích mối quan hệ của việc phân tích một số ra thừa số ngun tố có ảnh hưởng rất lớn đến các dạng tốn : ƯCLN , BCNN , Qui đòng mẫu các phân số , và các dạng tốn... Chia hết cho 7 Nếu n =3k +1(k ∈ N) thì 2n -1= 23k+1 - 1=2(23k -1) +1 = Bs 7 +1 Nếu n = 3k +2 ( k ∈ N) thì 2n -1= 23k+2 -1 =4(23k - 1)+3 =Bs 7 +3 Vậy 2n -1 chia hết cho 7 ⇔ n = 3k(k∈ N) *Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a2+3a +2 chia hết cho 6 Giải: Ta có a2 +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2 Do đó a2 +3a +2 chia hết cho 3 ⇔ a2 +2 chia hết. .. ⇔ a khơng chia hết cho 3 Điều kiện phải tìm là a khơng chia hết cho 3 Bài 2: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a4 -1 chia hết cho 240 Bài 3: Tìm số ngun tố p để 4p +1 là số chính phương Bài 4 Tìm ba số ngun tố liên tiếp a,b,c sao cho a2 + b2 + c2 cũng là số ngun tố Giải: Xét hai trường hợp + Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3 Khi đó 22 + 32 + 52 =38 là hợp số (loại) Còn 32 + 52 + 72 =83 là số ngun tố... mỗi dấu ngoặc là tích của hai số ngun liên tiếp) nên 11 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng (a2 + b2 + c2 +d2) -(a+b + c+ d) là số chẵn mà a2 +b2 = c2 + d2 nên a2 +b2 + c2 + d2 là số chẵn Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số Bài 2 : Cho các số ngun a,b,c đều chia hết cho 6 Chứng minh rằng Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a3 + b3 + c3 Chia hết cho 6 Giải: Ta có A=a3 +... bình của các đồng nghiệp để xây dựng cho kiến thức chun mơn của mình Cuối cùng tơi xin chân thành cám ơn! Đại an ngày 05/03/2010 Người viết Nuyễn Văn Minh 15 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng PHỤ LỤC : A Đặt vấn đề B Giải quyết vấn đề I/ Cơ sở lý luận II/ Cơ sở thực tiển III/ Các giải pháp IV/ Nội dung Dạng 1 Chứng minh quan hệ chia hết Dạng 2 Tìm số dư Dạng 3 Tìm điều kiện để chia hết. . .Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng ⇒ (n2 -n +1) -1 chia hết cho n2 -n +1 ⇒ 1 chia hết cho n2 -n +1 Có hai trường hợp n2 -n +1 =1 ⇔ n( n -1) =0 ⇔ n=0; n=1 Các giá trị này thoả mãn đề bài n2 -n +1= -1 ⇔ n2 -n +2 =0 khơng tìm được giá trị của n Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm Ví dụ 12 Tìm số tự nhiên n sao cho 2n -1 chia hết cho 7 Giải: Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 2n -1 = 23k -1 = 8k -1 Chia . sinh một số dạng tốn thường gặp về phân tích một số ra thừa số ngun tố và tính chia hết của số ngun , áp dụng vào giải các bài tốn có vận dụng một số kiến thức nâng cao của phân tích một số ra. số ra thừa số nguyn tố hay tính chia hết của số nguyn, tơi xin trình bày một số ví dụ về các dạng tóan để minh hoạ cho chun đề '' Một số dạng tóan áp dụng tính chia hết của số nguyn'' SƠ. GIỮA CC KIẾN THỨC SỐ HỌC 6 Cấu tạo số Chia hết cho 2 Chia hết cho 3 2 Sáng kiến kinh nghiệm Trường T H C S Bưng Bàng Cc dấu hiệu chia hết Chia hết cho 5 Chia hết cho 7 Chia hết cho