SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG

Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT ĐIỂU CẢI ____________________ ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Người thực hiện: NGUYỄN VĂN ĐỨC Lĩnh vực nghiên cứu: - Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN HỌC  - Lĩnh vực khác:  (Ghi rõ tên lĩnh vực) Có đính kèm: Các sản phẩm không thể hiện trong bản in SKKN  Mô hình  Đĩa CD/VCD  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2013-2014 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 1 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng Mục Lục Trang A. Phần mở đầu 2 I. Lý do chọn đề tài 2 II. Mục đích nghiên cứu 2 III. Nhiệm vụ nghiên cứu 2 IV. Đối tượng nghiên cứu 2 V. Phương pháp nghiên cứu 2 B. Phần nội dung 3 I. Cơ sở lý thuyết 3 1. Khái niệm số phức 3 2. Biểu diễn hình học số phức 3 3. Phép cộng và phép trừ số phức 3 4. Phép nhân số phức 4 5. Số phức liên hợp 4 6. Phép chia cho số phức khác không 4 7. Căn bậc hai của số phức 5 8. Phương trình bậc hai 5 9. Dạng lượng giác của số phức 5 10. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 5 11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng 5 II. Một số dạng toán thường gặp về số phức 6 Vấn đề 1. Giải phương trình trong tập hợp số phức 6 Vấn đề 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 8 Vấn đề 3. Tính mô đun về số phức 11 Vấn đề 4. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước 15 Vấn đề 5. Dạng lượng giác của số phức 18 III. Ứng dụng của số phức trong giải toán 20 Vấn đề 1. Chứng minh đẳng thức và bất đảng thức 20 Vấn đề 2. Tính tổng 24 Vấn đề 3. Số phức trong việc giải hệ phương trình 26 IV. Một số đề trong kỳ thi tốt nghiệp THPT 29 V. Một số đề trong kỳ thi đại học – cao đẳng 29 C. Kết luận 31 I. Kết quả nghiên cứu 31 II. Bài học tổng kết 32 III. Điều kiện để áp dụng đề tài 32 IV. Hạn chế của đề tài 32 V. Hướng tiếp tục nghiên cứu và mở rộng đề tài 32 VI. Lời kết 32 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A- PHẦN MỞ ĐẦU Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 2 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Số phức rất quan trọng trong toán học cũng như các nghành khoa học khác. Nhưng số phức mới đưa vào chương trình THPT và chỉ vào chương cuối cùng của chương trình lớp 12. Thời lượng để giảng dạy phần số phức tương đối ít nên việc làm quen sử dụng và ứng dụng số phức vào giải toán đối với học sinh là một điều khó khăn. Tuy nhiên, mấy năm gần đây trong các đề thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học và cao đẳng đều đề cập đến các bài toán số phức. Để giúp các em hiểu sâu hơn về các dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng của số phức, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng”. II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề tài “Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng” nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn toán theo hướng phát huy tính chủ động, tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12. III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Xác định cơ sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác phân ra một số dạng toán thường gặp về số phức. Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số, lượng giác và hình học. IV. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Một số dạng toán thường gặp về số phức, ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại số, lượng giác và hình học trong chương trình toán trung học phổ thông. V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu có liên quan về số phức. Thực hiện các tiết dạy tại một số lớp. B – PHẦN NỘI DUNG I- CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Khái niệm số phức Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 3 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng Một số phức là một biểu thức dạng a+bi, trong đó a và b là những số thực và số i thỏa mãn i 2 = -1. Ký hiệu số phức đó là z và viết z = a + bi, i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z = a + bi Tập hợp các số phức được ký hiệu là C. Chú ý: Số phức z = a + 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i = a thuộc R ⊂ C Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): Z = 0 + bi = bi (b R∈ ); i = 0 + 1i = 1i Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo. Định nghĩa 1: Hai số phức z = a + bi (a, b R∈ ), z’= a’+ b’i (a’,b’ R∈ ) gọi là bằng nhau nếu a = a’, b = b’ Khi đó ta viết z = z’. 2. Biểu diễn hình học số phức Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số. Đối với các số phức, ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z = a + bi (a, b R∈ ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a; b) biểu diễn số phức là z = a + bi. Ta còn viết M(a + bi) hay M(z). Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức. 3. Phép cộng và phép trừ số phức a) Tổng của hai số phức Định nghĩa 2: Tổng của hai số phức z = a + bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ R∈ ) là số phức z + z’ = a+ a’+ (b + b’)i b) Tính chất của phép cộng số phức Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép cộng các số thực. • Tính chất kết hợp: (z + z’) + z”= z + (z’+ z”) với mọi z, z’, z” C ∈ • Tính chất giao hoán: z + z’= z’+ z với mọi z, z’ C∈ • Cộng với 0: z + 0 = 0 + z = z với mọi z C ∈ • Với mỗi số phức z = a + bi (a,b R∈ ) nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z +(-z) = (-z) +z = 0 Số -z được gọi là số đối của số phức z. c) Phép trừ hai số phức Định nghĩa 3: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z - z’= z +(-z’). Nếu z = a + bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ R∈ ) thì z - z’ = a - a’ + (b - b’)i 4. Phép nhân số phức Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 4 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng a) Tích của hai số phức Định nghĩa 4: Tích của hai số phức z = a + bi và z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ R∈ )là số phức zz’= aa’ – bb’+(ab’+ a’b)i b) Tính chất của phép nhân số phức • Tính chất giao hoán: zz’ = z’z với mọi z, z’ C ∈ • Tính chất kết hợp: (zz’)z”= z(z’z”) với mọi z, z’, z” C∈ • Nhân với 1: 1.z = z.1 = z với mọi z C ∈ • Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: z(z’+z”) = zz’+ zz” với mọi z, z’, z” C ∈ 5. Số phức liên hợp và môđun của số phức a) Số phức liên hợp Định nghĩa 5: Số phức liên hợp của z = a + bi (a, b R∈ ) là a - bi và được ký hiệu bởi z Như vậy: z a bi a bi= + = − Rõ ràng: z = z nên người ta còn nói z và z là hai số phức liên hợp với nhau (gọi tắt là hai số phức liên hợp). Hai số phức liên hợp khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng với nhau qua trục Ox. b) Mô đun của số phức Định nghĩa 6: Mô đun của số phức z = a + bi (a, b R∈ ) là số thực không âm 2 2 a b+ và được ký hiệu là z Như vậy: Nếu z = a + bi (a, b R∈ ) thì 2 2 z zz a b= = + 6. Phép chia cho số phức khác 0 Định nghĩa 7: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1 2 1 z z z − = . Thương 'z z của phép chia số phức z’ cho số phức z khác 0 là tích của z’ với số phức nghịch đảo của z, tức là 1 ' ' z z z z − = Như vậy: Nếu 0z ≠ thì 2 ' 'z z z z z = 7. Căn bậc hai của số phức Định nghĩa 8: Cho số phức w, mỗi số phức z thỏa mãn 2 wz = được gọi là một căn bậc hai của w Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 5 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng 8. Phương trình bậc hai. Nhờ tính được căn bậc hai của số phức, dễ thấy mọi phương trình bậc hai ( ) 2 0 1Az Bz C+ + = Trong đó A, B, C là những số phức, ( 0A ≠ ) đều có hai nghiệm phức (có thể trùng nhau). Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là những số thực. Cụ thể là: Xét biệt thức: 2 4b ac∆ = − - Nếu 0 ∆ ≠ thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 1 2 ; 2 2 B B z z A A δ δ − + − − = = ,trong đó δ là một căn bậc hai của ∆ - Nếu 0 ∆ = thì phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2 2 B z z A = = − 9. Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa 9: Cho số phức 0z ≠ . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là acgument của z Định nghĩa 10: Dạng ( os isin )z r c φ φ = + trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số phức 0z ≠ . Còn dạng z = a + bi ( ,a b R∈ ) được gọi là dạng đại số của số phức z. 10. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Định lý: Nếu ( os isin )z r c φ φ = + , ' '( os ' isin '),( 0, ' 0)z r c r r φ φ = + ≥ ≥ thì zz’= rr’ ( ) os ' isin( ')]c φ φ φ φ   + + +   , ( ) ( ) ' ' os ' isin ' z r c z r φ φ φ φ   = − + −   (Khi r>0) 11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng a) Công thức Moavro Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra với mọi số nguyên dương n. ( ) [ ( os isin )] osn isin n n r c r c n φ φ φ φ + = + và khi r =1 ta có: ( os isin ) osn isin n c c n φ φ φ φ + = + b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Từ công thức Moavro dễ thấy số phức ( os isin )z r c φ φ = + trong đó r > 0 có hai căn bậc hai là: os +isin 2 2 r c φ φ    ÷   và - os +isin os isin 2 2 2 2 r c r c φ φ φ φ         = +Π + + Π  ÷  ÷  ÷ ÷         II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC Vấn đề 1. Giải phương trình trong tập hợp số phức Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 6 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng Giải: a) ( ) ( ) 4 2 1 4 2 (1 ) 4 2 1 3 1 2 i i i i z i z z z i i − − − + = − ⇔ = ⇔ = ⇔ = − + Vậy phương trình có nghiệm: 1 3z i = − b) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 z i i i z i i z i z i z z i z i + = + ⇔ + = + ⇔ + = ⇔ = ⇔ = + + Vậy phương trình có nghiệm: 1 1 2 2 z i= + c) Đặt z = x+ yi (x, y R∈ ), khi đó: ( ) ( ) 2 ( 1)(1 ) 2 2 ( )(1 ) 2 2 3 2 2 5 3 2 2 2 2 4 5 z z z z i x yi x yi x yi x yi i x x x x yi x xi y x y − = + + + − ⇔ + − − = + + − + −  = −  = −   ⇔ + = − + ⇔ ⇔   =   = −   Vậy 2 4 5 5 z i= − − Giải: a) 2 2 5 0z z+ + = Ta có: ( ) 2 ' 1 5 4 2i∆ = − = − = Vậy phương trình có nghiệm : 1 2 ; 1 2z i z i= − + = − − b) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 1 0 2 1 0 z i z i z iz z iz  + = + − − = ⇔  − − =   Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 7 Ví dụ 1: Giải phương trình : a) (1 ) 4 2i z i+ = − b) 2 z i i z + = + c) 2 ( 1)(1 ) 2z z z z i− = + + + − Ví dụ 2: Giải phương trình : a) 2 2 5 0z z+ + = b) ( ) ( ) 2 2 2 1 0z i z iz+ − − = c) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 0z i z i+ − − + = Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng TH1: 2 2 1 2 2 ( 2 ) (1 ) (1 ) 2 2 2 z i i i z i   = − = − = − ⇔ = ± −  ÷  ÷   TH2: ( ) 2 2 2 2 2 1 0 2 0 0z iz z iz i z i z i− − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ = Vậy phương trình có nghiệm: z = i; 2 2 2 2 ; 2 2 2 2 z i z i= − = − + c) ( ) ( ) 2 1 3 2 1 0z i z i+ − − + = ta có: ( ) ( ) 2 2 1 3 8(1 ) 2 1i i i i∆ = − + + = = + Vậy phương trình có nghiệm: 1 ; 2z i z i= − + = Giải: a) ( ) ( ) 3 2 8 0 2 2 4 0z z z z+ = ⇔ + + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 0 1 3 2 4 0 1 3 1 3 1 3 z z z z z i z z z z i z i = −  = −  = −  + =    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = − +    + + =  + = − + =      = − −  b) ( ) ( ) 3 2 2 9 14 5 0 2 1 4 5 0z z z z z z− + − = ⇔ − − + = ( ) 2 2 2 1 1 2 1 0 2 2 4 5 0 2 2 z z z z z z i z i   = − =  =   ⇔ ⇔ ⇔    − + =  = ±  − =   Vậy phương trình có nghiệm: 1 ; 2 ; 2 2 z z i z i= = + = − c) 4 3 2 6 6 16 0z z z z− + − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 1 8 0z z z⇔ − + + = Vậy phương trình có nghiệm 1; 2; 2 2z z z i= − = = ± Ví dụ 4: Giải phương trình ( ) ( ) 3 2 3 2 16 2 0z i z i z i− − − − + − = biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực. Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 8 Ví dụ 3: Giải phương trình : a) 3 8 0z + = b) 3 2 9 14 5 0z z z− + − = c) 4 3 2 6 6 16 0z z z z− + − − = Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng Giải: Gọi nghiệm thực là z 0 ta có: ( ) ( ) 3 2 0 0 0 3 2 0 0 0 0 2 0 3 2 16 2 0 3 2 16 0 2 2 0 o z i z i z i z z z z z z − − − − + − =  − − + =  ⇔ ⇔ = −  + − =   Khi đó ta có phương trình ( ) ( ) ( ) 2 2 5 8 0z z i z i+ − − + − = Tìm được các nghiệm của phương trình là z = -2; z = 2 + i; z = 3- 2i Ví dụ 5: Giải phương trình ( ) ( ) 3 2 2 3 3 1 2 9 0z i z i z i− − + − + = biết rằng phương trình có một nghiệm thuần ảo. Giải: Giả sử phương trình có nghiệm thuần ảo là bi, b R∈ Thay vào phương trình ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 3 2 3 2 2 3 3 1 2 9 0 2 6 0 2 6 3 3 9 0 3 3 3 9 0 3 bi i bi i bi i b b b b b b b i b b b b z i − − + − + =  + =  ⇔ + + − − + + = ⇔ ⇔ = −  − − + + =   ⇒ = − 2 Phương trình có thể phân tích thành ( ) ( ) 2 3 2 3 0z i z z+ − + = Các nghiệm của phương trình là z = -3i; 1 2z i= ± Chú ý: Các phương trình trên tập số phức có nghiệm bằng bậc của phương trình đó nên khi giải phương trình có bậc cao hơn hai thì phải tách thành tích các đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng hai để giải. Vấn đề 2. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức Ví dụ 6: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho : a) 1 2 2 z i u z i + + = − là một số thuần ảo. b) 1 2z i v z i − + = − là số thực. Giải: a) Đặt z = x+ yi (x, y R∈ ), khi đó: Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 9 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 (4 2) 1 2 2 1 2 2 2 2 x y x x y i x y i x y i x y i u x y i x y x y + + − + − +     + + + − − + + +     = = = + − + − + − u là số thuần ảo khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 17 4 0 2 4 2 0 ; 0;2 x y x x y x y x y     + + − = + + =    ÷ ⇔     + − ≠    ≠  Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường tròn tâm 1 ;0 2 I   −  ÷   , bán kính 17 2 trừ điểm (0;2). b) Đặt z = x+ yi (x, y R∈ ), khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 (3 1) 1 2 1 1 2 1 1 1 x y x y x y i x y i x y i x y i v x y i x y x y + − + − + + −     − + + − − − + +     = = = + − + − + − v là số thực khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) 2 2 3 1 0 3 1 0 ; 0;1 1 0 x y x y x y x y + − =  + − =    ⇔   ≠ + − ≠     . Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình: 3x + y – 1 = 0, trừ điểm (0;1). Ví dụ 7: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn: a) 2 5 2 1 z i z i + − = − + b) 2 3 1 4 z i z i + − = − + Giải: a) Đặt z = x+ yi (x, y R∈ ), khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 1 2 5 2 1 1 2 5 4 1 4 1 1 4 6 7 0 2 3 20 z i x y i x y i x y x y z i x y x y x y + − = ⇔ + + − = − + + ⇔ + + − = − + + − + ⇔ + − + − = ⇔ − + + = Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2; - 3) bán kính 2 5 . b) Đặt z = x+ yi (x, y R∈ ), khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 2 ( 3) 4 ( 1) 4 2 3 4 1 3 2 1 0 z i x y i x y i z i x y x y x y + − = ⇔ + + − = − − + − + ⇔ + + − = − + + ⇔ − − = Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng có phương trình: 3x - 2 y – 1 = 0. Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 10 [...]... sinh dễ dàng tiếp thu kiến thức và kỹ năng giải các bài toán tương tự Trên cơ sở đó, học sinh có thể giải các bài toán tổng hợp II BÀI HỌC TỔNG KẾT Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 32 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng Qua quá trình vận dụng đề tài trong giảng dạy tôi nhận thấy khi giáo viên hướng dẫn học sinh phân loại các dạng toán về số phức thì các em hiểu bài và làm bài tốt hơn Đông... i Tính modun của số phức w = 1 + z + z ĐH Khối D – 2011 2 ĐH Khối A – 2012 Bài 17 Gọi z1 ; z 2 là hai nghiệm phức của phương trình z − 2 3iz − 4 = 0 Viết dạng lượng giác của z1 ; z 2 ĐH Khối B – 2012 2 Bài 18 a) Giải phương trình z + 3 ( 1 + i ) z + 5i = 0 trên tập hợp các số phức 2 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 31 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng b) Cho số phức z thỏa mãn (... i ) ) = −21007 + 1 − 21007 i Vậy phần thực là −21007 và phần ảo là 1 − 21007 Vấn đề 5 Dạng lượng giác của số phức Ví dụ 29: Viết dưới dạng lượng giác của số phức z sao cho z = 1 z 3π và một acgument của là − 3 1+ i 4 Giải: Ta có: z = 1 1 thì z = ( cosϕ + i sin ϕ ) 3 3 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 18 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng ⇒z= 1 1 ( cosϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin... bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam – năm 2010 Bài tập giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam- năm 2010 Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên – Trần Đức Huyên (chủ biên) – năm 2011) Các đề thi tuyển sinh đại học, thi cao đẳng Báo toán học và tuổi trẻ Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 33 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng 6 Phân dạng và phương pháp giải toán số phức. .. hết và sâu các bài tập tổng hợp và ứng dụng của số phức vào hình học trong chương trình toán phổ thông Bên cạnh đó, đề tài này khó áp dụng tốt cho đối tượng là học sinh yếu và kém V HƯỚNG TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU VÀ MỞ RỘNG ĐỀ TÀI Để nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tôi sẽ tiếp tục vận dụng mở rộng đề tài cho các dạng toán từ cơ bản đến phức tạp trong đó có các bài toán tổng hợp và ứng dụng vào... các số phức z là đường tròn tâm I  0; − ÷ bán kính 9  9 Chú ý: Đối với bài toán tìm tập hợp điểm thì ta tìm mỗi liên hệ giữa phần thực, phần ảo của số phức đã cho với các số thực để kết luận Vấn đề 3 Tính mô đun của số phức Ví dụ 12: Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6 z − i = 2 + 3iz và z1 − z2 = 1 Tính mô đun z1 + z2 3 Giải: Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 12 Một số dạng toán thường gặp về số. .. là các nghiệm phức của phương trình 2 z − 4 z + 11 = 0 Tính giá trị của biểu thức 2 2 A= z1 + z2 ( z1 + z2 ) 2 2 ĐH Khối A – 2009 (NC) Bài 3 Tìm số phức z thỏa mãn | z − (2 + i) | = 10 và z.z = 25 ĐH Khối B – 2009 (CB) Bài 4 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 30 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng |...    Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 17 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng π π  1 + i = 2  cos + i sin ÷ 4 4  Suy ra z= 8 ( cosπ + i sin π ) π π  = 2 2  cos + i sin ÷ = 2 + 2i 3π 3π  4 4   2 2  cos + i sin ÷ 4 4   Vậy số phức có phần thực là 2 và phần ảo là 2 ( ) Ví dụ 27: Tìm số phức z thỏa mãn z − i = 2 và ( z − 1) z + i là số thực Giải: Giả sử z = x+ yi (x,y ∈ R )... 10 Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 15 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng Từ đó ta có M 2 z = OM 2 = ( ( ) u ur uu 10 sin α ; −3 + 10cosα Mô đun của số phức z chính là độ dài của vecto OM 10 sin α ) + ( −3 + 2 10cosα Vậy min z = 19 − 6 10 ; ) 2 = 19 − 6 10cosα max z = 19 + 6 10 Vấn đề 4 Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước Ví dụ 21: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: z 2 = 2... Trang 14 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng Ví dụ 18: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện ( 1+ i) z 1− i + 2 = 1 Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất Giải: Đặt z = x+ yi (x,y ∈ R ) thì ( 1+ i) z + 2 = 1 ⇔ 1− i ( 2 − y ) + xi =1 ⇔ x 2 + ( 2 − y ) = 1 ( 1) ⇔ x 2 + y 2 = 4 y − 3 2 ⇔ z = x2 + y 2 = 4 y − 3 Từ (1) ta có: ( 2 − y ) ≤ 1 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3 ⇔ 1 ≤ 4 y − 3 ≤ 9 2 Vậy số phức có . cứu và mở rộng đề tài 32 VI. Lời kết 32 MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG A- PHẦN MỞ ĐẦU Giáo viên: Nguyễn Văn Đức Trang 2 Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng I Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: TRƯỜNG THPT ĐIỂU CẢI ____________________ ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP. toán thường gặp về số phức và ứng dụng . II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu đề tài Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, phát