Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

23 576 0
Sáng kiến kinh nghiệm: Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức A. PHN M U Bt ng thc l mt trong nhng dng toỏn hay v khú i vi hc sinh trong quỏ trỡnh hc tp cng nh trong cỏc k thi, trc ht l k thi i hc m hu ht hc sinh THPT u phi vt qua. Ngoi ra bt ng thc cng l mt dng thng gp trong cỏc k thi hc sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t. giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh hot hn trong vic gii cỏc bi toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc. ti gm 2 phn c bn: Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc. Phn II: Bt ng thc lng giỏc trong tam giỏc. Do khuụn kh ca ti, mi phn tụi xin min nhc li cỏc kin thc c bn v bt ng thc vỡ nhng kin thc ny c trỡnh by chi tit trong sỏch giỏo khoa trung hc ph thụng, m ch tp trung vo cỏc phng phỏp bin i ng thi nờu mt s vớ d minh ha. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 1 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức B. NI DUNG Phn I: MT S PHNG PHP CHNG MINH BT NG THC 1) Dựng cỏc phộp bin i thớch hp 2) Tam thc bc 2 3) Phng phỏp o hm, cc tr hm s 4) Quy np 5) Lng giỏc húa 6) Phng phỏp hỡnh hc 7) Cỏc BT thụng dng 8) Mt s phng phỏp khỏc I. S dng cỏc phộp bin i. Vớ d 1: CM vi a,b,c l 3 s dng thỡ 21 < + + + + + < ac c cb b ba a Gii: Vỡ a,b,c l 3 s dng nờn ta cú cba c ac c cba b cb b cba a ba a ++ > +++ > +++ > + Cng v theo v ta c ac c cb b ba a + + + + + <1 Mt khỏc ta cú cba cb ac c cba ba cb b cba ca ba a ++ + < +++ + < +++ + < + Cng v theo v ta c 2< + + + + + ac c cb b ba a Vớ d 2: CM Rx ta luụn cú 3 2 258 >+ xxxx Gii: Rxx x x x xxx xxxxxx >+ + = ++++=++ 0 3 1 3 1 3 1 2 3 2 3 1 3 1 3 1 . 2 3 .2 4 3 42 .2 3 2 2 2 4 22 48258 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 2 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Do ú 3 2 258 >+ xxxx (pcm) Vớ d 3: CMR Nn nn < + +++ 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 Gii: Ta cú )( 1 11 )1( 1 * Nk kkkk + = + Cho k=1, 2, n ri cng cỏc ng thc theo v ta cú 1 1 1 1 1 11 3 1 2 1 2 1 1 )1( 1 3.2 1 2.1 1 < + = + +++= + +++ nnnnn Vy ta cú pcm. II. Phng phỏp Tam thc bc 2. Vớ d 1: CMR 11 5913 423 25 11 5913 2 2 + ++ + xx x Gii: TX: Rx Gi 423 25 2 2 ++ + = xx x P thỡ 0242)53( 2 =++ PPxxP (*) (*) cú nghim x thỡ 11 5913 11 5913 0102611 0)53)(24(0 2 2' + + P PP PPP Vy 11 5913 423 25 11 5913 2 2 + ++ + xx x Du t bờn trỏi xy ra 121 )5913(13 = x Du t bờn phi xy ra Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 3 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 121 )5913(13 + = x III. Phng phỏp hm s, dựng o hm. Vớ d 1 : CMR 0>x thỡ xx <sin Gii : Xột hm s ( ) sin '( ) 1 cos 0 f x x x f x x = = )(xf ng bin Mt khỏc f(0)=0. Vy f(x)>0 vi mi x>0 hay vi mi x>0 thỡ xx <sin Vớ d 2: CMR nu 0<b<a thỡ b ba b a a ba << ln Gii: Xột hm s f(x)=lnx liờn tc v cú o hm trờn ( ) +,0 x xf 1 )(' = . Theo nh lớ Lagrange tn ti x 0 vi b<x 0 <a sao cho ab afbf xf = )()( )(' 0 b a x ba ba ba x ln lnln1 00 = = Vỡ b<x 0 <a nờn bxa 111 0 << suy ra pcm. Vớ d 3: Cho a,b,c,d l 4 s dng bt kỡ. CM 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++ +++ Gii: Khụng mt tớnh TQ gi s dcba Xột hm s ))()()(()( dxcxbxaxxfy == f(x) l mt hm s liờn tc v cú o hm trờn R Vỡ f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=0 v f(x) l mt hm bc 3 nờn tn ti 321 ,, yyy sao cho dycybya 321 sao cho 0)(')(')(' 321 === yfyfyf Vy ))()((4)(' 321 yxyxyxxf = Trong khai trin ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 4 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức )(2)(4 )(4 133221 321 cdbdbcadacabyyyyyy bcdabdacdabcyyy +++++=++ +++= Theo BT Cauchy 3 2 321 133221 )( 3 yyy yyyyyy ++ 64 3 cdbdbcadacabbcdacdabdabc +++++ +++ IV. Phng phỏp quy np. Phng phỏp ny c ỏp dng khi BT ph thuc 1 tham s Nn , vi cỏc bc chng minh nh sau: + Bc 1. C/m BT ỳng vi n=n 0 + Bc 2. Gi s BT ỳng vi n=k )( 0 nk ta cn chng minh BT ỳng vi n = k+1. + Bc 3. Kt lun BT ỳng vi mi Nn . Vớ d 1 : C/m * ,2 Nnn ta cú : (*) 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 + < n n n Gii: + Khi n=2 ta cú < 7 1 8 3 (*) ỳng. + Gi s BT ỳng vi n=k tc l 13 1 2 12 6 5 . 4 3 . 2 1 + < k k k Ta cn chng minh (*) cng ỳng vi n=k+1 )2( k . Tht vy 1 3 5 2 1 1 1 3 2 1 2 1 1 2 1 . . . . . 2 4 6 2 2 4 2 2 2 2 2 3 1 3 1 k k k k k k k k k k + + < < + + + + Ta cn chng minh 1420419 )484)(13()43)(144( )22.(1343).12( 43 1 1)1(3 1 22 12 . 13 1 22 >+<+ +++<+++ ++<++ + = ++ < + + + kkk kkkkkk kkkk kk k k k n õy ta thy (*) ỳng vi n=k+1. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 5 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vy theo gi thit quy np (*) ỳng vi 2n Vớ d 2: Cho x>0 CMR vi 1n ta cú ! !3!2 1 32 n xxx xe n x +++++> Gii: +Vi n=1 ta cú ( ] xye y ,01 Vy 011 00 >+>>> xxexedydye xx xx x Vy BT ỳng vi n=1. + Gi s BT ỳng vi n=k 0)1( > xk tc l ! !3!2 1 32 k xxx xe k x +++++> Ta c/m BT cng ỳng vi n=k+1 tc l : )!1( !3!2 1 132 + +++++> + k xxx xe k x Tht vy theo gi thit quy np ta cú: 0 ! !3!2 1 32 >+++++> x k xxx xe k x Nh vy ta cú ( ] xy k yyy ye k y ,0 ! !3!2 1 32 +++++> Do ú ta cú: 2 0 0 2 3 1 (1 ) 2! ! 1 2! 3! ( 1)! x x k y k x y y e dy y dy k x x x e x k + > + + + + > + + + + + 2 3 1 1 2! 3! ( 1)! k x x x x e x k + > + + + + + + +Vy theo nguyờn lớ quy np ta cú BT ỳng vi 1 n V. S dng phng phỏp lng giỏc húa. s dng phng phỏp lng giỏc húa, trc ht hc sinh phi nm vng cỏc tớnh cht, cụng thc v cỏc phộp bin i lng giỏc. Trờn c s ú, Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 6 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức trong mt s bi toỏn nu t cỏc giỏ tr n thớch hp qua cỏc hm s lng giỏc thỡ rt thun tin. Vớ d 1: CMR yx, ta cú: 4 1 1()1( )1)(( 4 1 2 )222 2222 ++ yx yxyx Gii: t << == 2 , 2 tgytgx Ta cú: dpcmA b tgtg tgtgtgtg yx yxyx A += ++= = ++ = ++ = 4 1 )22sin()22sin( 2 1 )cos()cos()sin()sin( )sinsincos)(coscossincos(sin )1()1( ).1)(( 1()1( )1)(( 22222222 2222 2222 )222 2222 2 *) Mt s bi tp: 1. CMR Ryx , thỡ 2 1 )1)(1( )1)(( 2 1 22 ++ + yx xyyx 2. Cho 4 s thc a, b, c, d thừa món =+ =+ 1 1 22 22 dc ba CMR 11 + bdac VI. Phng phỏp hỡnh hc. a) S dng cỏc BT v vect 1. vuvu ++ Du = xy ra vu, cựng chiu 2. vuvuvuvu Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 7 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Vớ d 1: Cho a, b, c l 3 s thc bt kỡ CM 222222 2)()( cacbacba +++++ Gii: t );();( cbavcbau +== thỡ )2;2( cavu =+ Ta cú vuvu ++ suy ra pcm. Vớ d 2: CM Ryx , thỡ 5101224964 2222 ++++++ yxyxxyx Gii: t )23;1()2;3( yxvyxu =+= thỡ )3;4(=+ vu Li ỏp dng vuvu ++ suy ra pcm. Vớ d 3: CM cba ,, thỡ 444 )( cbacbaabc ++++ Chỳ ý: Phng phỏp vect c ỏp dng trong cỏc trng hp ta cú th biu din cỏc thnh phn ca bt thnh di cỏc vect tuy nhiờn nú ch ỏp dng thng thi khi khụng cú s rng buc no ca cỏc biờn cũn nu cú s rng buc thỡ ta thng dựng phng phỏp ta . b) Phng phỏp ta : Vớ d 4: Cho a,b thừa món a 2b + 2 = 0. CMR 6)7()5()5()3( 2222 +++ baba Gii: Chn A(3; 5) B(5; 7) M(a; b) vỡ thừa món a 2b + 2 = 0 nờn nm trờn ng thng x- 2y + 2=0 )( . Ly A i xng A qua )( ta cú A (5; 1) Ta cú MA+MB=MA +MB A B Hay 6)7()5()5()3( 2222 +++ baba Du = xy ra 2 7 5 = ba c) Cỏc phng phỏp khỏc: Vớ d 5: Cho 0<x, y, z<1. CM 1)1()1(()1( <++ xzzyyx Gii: Dng tam giỏc u cnh 1 nh hỡnh v Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 8 x y M A A B A C P N A z Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức [ ] 1)1()1()1( 1.1.60sin. 2 1 )1()1()1(60sin 2 1 00 <++ <++ <++ xzzyyx xzzyyx SSSS ABCBNMCPNAMP Vớ d 6: Cho a, b, c dng. CM 222222 3232 cacacbcbbaba ++++ Gii: Dng hỡnh nh hỡnh v sao cho: OA=a ; OB=b ; OC=c 00 3045 == BOCAOB p dng nh lớ hm s cosin trong tam giỏc ta cú: 2 2 2 2 2 3 AB a ab b BC b bc c = + = + 0 0 0 0 0 0 cos cos(45 30 ) cos45 cos30 sin 45 sin30 1 3 1 1 1 3 1 1 . . . 2 3 2 2 2 2 2 2 2 AOC = + = = = = Vy 22 32 cacaAC += tc l 222222 3232 cacacbcbbaba ++++ Du ng thc xy ra 0 2 1 2 3 sin75 4 4 2 AOB BOC AOC ab bc ac S S S ac b a c + + = + = = + *) Mt s bi tp 1. Cho a, b, c, d l 4 s thc thừa món +=++ +=++ )(1236 )(21 22 22 dcdc baba CM: 6226 )12()()()12( ++ dbca 2. CMR x ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 9 c b a A O B C Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 31)13(21)13(2122 222 +++++++ xxxxxx 3. Cho x, y thừa ++ + 042 02 082 xy yx yx C/m 20 5 16 22 + yx 4. Cho x, y, z dng thừa món xyz(x+y+z)=1 Tỡm MIN (x+y)(x+z) VII. S dng cỏc BT quen thuc. 1. Bt ng thc Cauchy a. Cho 2 s khụng õm x, y ta cú xy yx + 2 . Du = yx = Dng khỏc baba + + 411 Du = ba = b. Tng quỏt cho n s khụng õm n aaa , ,, 21 ta cú n n n aaa n aaa 21 21 +++ Vớ d 1 : Cho a, b, c l 3 s dng tựy ý CMR Rx ta cú xxx xxx cba b ca a bc c ab ++ + + Gii : p dng BT Cauchy cho cỏc cp s dng ta cú : x xxx x xxx x xxx a bc abca c ab b ca c ab cabc b ca a bc b ca bcab a bc c ab 2 . 2 2 . 2 2 . 2 = + = + = + Cng v theo v ta cú ta cú pcm. Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 10 [...]... B + sin + sin = 2 sin cos + 1 2 sin 2 2 2 2 4 4 4 2 A+ B A+ B A+ B 1 3 3 2 sin + 1 2 sin 2 = 2 sin + 4 4 4 2 2 2 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 22 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức C KT LUN Trờn õy l mt s kinh nghim ỳc rỳt trong quỏ trỡnh ging dy hn 30 nm qua, c bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii T nhng vn trỡnh by trờn õy cú th rỳt ra kt lun rng: vic nghiờn cu... mn a1 + m1a2 + + mn1an m1 + m2 + + mn Vi m1 , m2 , , mn l cỏc s nguyờn dng tựy ý Gii: ỏp dng BT Cauchy cho m = m1 + m2 + + mn s ta cú: Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 11 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức m m m1 a1 + m2 a 2 + + mn a n m m a1m1 a 2 2 .a n n (1) Li ỏp dng cho m s dng ta cú m m1 m2 + + + n a1 a 2 an m m m a a .a n n m1 1 m2 2 (2) T (1) v (2) ta cú m1 m2 m +... a 2 b2 + + a n bn ) 2 (a12 + a 22 + + a n2 )(b12 + b22 + + bn2 ) a a a n 1 2 ng thc xy ra b = b = = b 1 2 n Vi quy c ai=0 thỡ bi=0 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 12 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Chng minh: 2 +Nu a12 + a22 + + an =0 suy ra BT luụn luụn ỳng 2 +Nu a12 + a22 + + an >0 Xột tam thc f ( x) = (a1 x b1 ) 2 + (a 2 x b2 ) 2 + + (a n x bn ) 2 2 2 2 2 f ( x) =... 2 + + a n ) 2 1 + 2 + + n ( b1 + b2 + + bn ) b bn 1 b2 2 2 2 a n (a1 + a 2 + + a n ) 2 a1 a 2 + + + b1 b2 bn (b1 + b2 + + bn ) Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 13 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức b) p dng kt qu a) ta cú a2 b2 1 (a + b + 1) 2 + 2 + 2 = 1 pcm b 2 + 2a a + 2b 1 + 2ab b + 2a + a 2 + 2b + 2ab + 1 Vớ d 3: Cho ab+bc+ca=1 a, b, c l 3 s dng CMR a b c + + (a... hn cỏc biu n n j =0 j =0 thc TJ m T j A lỳc ú B T j A Vớ d 1: Nu x < 1 v n nguyờn, n>1 thỡ (1 + x) n + (1 x ) n < 2 n Gii: Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 14 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức n i 2 n = (1 + x + 1 x ) n = (1 + x) n + (1 x) n + C n (1 + x ) n i (1 x) i i =1 Vỡ x < 1 nờn (1 + x) ni (1 x) i > 0 i 1,2, n 1 Vy 2 n > (1 + x) n + (1 x) n Vớ d 2: CMR... thnh tng ca cỏc hm n gin hn tỡm cc tr ca cỏc hm thnh phn Vớ d 1: Tỡm Max ca F ( x, y ) = x 2002 y (4 x y ) vi x,y l cỏc s thc thừa món Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 15 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức x 0 y 0 x + y 6 Gii: + Khi x + y 4 ta cú F 0 Du = xy ra x + y = 4 + Khi x + y < 4 ta cú x 0, y 0, 4 x y 0 p dng BT Cauchy cho 2004 s khụng õm ta c F = 20022002 x... thừa món x2 + y 2 + z 2 = 1 Gii: t A1 = xy + yz + zx; A2 = zx A = A1 + A2 Ta cú: ( x + y + z ) 2 0 x 2 + y 2 + z 2 + 2 A1 0 A1 1 2 Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 16 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức ng thc xy ra x + y + z = 0 2 2 2 x + y + z = 1 (1) Ta cng cú 1 1 1 1 1 A2 = z x ( z 2 + x 2 ) = (1 y 2 ) A2 2 2 2 2 2 ng thc xy ra y = 0 x = z x 2 + y 2 + z 2 = 1 ... b3 c3 c3 a3 9 + + (a b) 3 (b c) 3 (c a ) 3 4 Vi mt s mi quan h nh trờn ta cú nhiu bt Vỡ vy trong c/m cn s dng khộo lộo quan h ú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 17 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức Phn II: BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC I S liờn quan gia cỏc bt ng thc trong tam giỏc: Trong quỏ trỡnh chng minh cỏc BT trong tam giỏc, bng cỏc phộp bin i tng ng ta cú th tỡm... p ( p a)( p b)( p c) p abc 8 p abc p abc pr abc 8 4R 8 R 2r (2) S2 (2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1) CM (2) nh sau: Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 18 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức 1 ab sin C = 2 R 2 sin A sin B sin C = pr 2 a+b+c 2 R 2 sin A sin B sin C = r 2 r 2 sin A sin B sin C 2 sin A sin B sin C A B C = = = 4 sin sin sin A B C R sin A + sin B + sin... (3) (5) l mt BT mi liờn quan n cỏc ng cao Ta bin i (1) (1) 1 8 2p 8(a + b + c) ( p a)( p b)( p c) abc ( p a )( p b)( p c) abc Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 19 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức ( p a ) + ( p b) + ( p c ) 1 1 1 8 + + ữ ( p a )( p b)( p c) ab bc ca 1 1 1 1 1 1 + + 8 + + ữ ( p b)( p c) ( p c)( p a ) ( p a )( p b) ab bc ca rr rr rr . )2(2 84 . 8 8 .))()(()1( 2 rR abc p R abc prabc p S abc pcpbpapp (2) l BT mi v hon ton khỏc so vi (1) CM (2) nh sau: Ta cú Đinh Thị Lu Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 18 Một số kinh nghiệm giải bài toán bất đẳng thức )(2 2 1 1 2 3 1coscoscos 2 sin 2 sin 2 sin4 2 cos 2 cos 2 cos4 sinsinsin2 sinsinsin sinsinsin2 2 sinsinsin2 sinsinsin2sin 2 1 2 2 dpcmrRCBA R r CBA CBA CBA CBA CBA R r r cba CBAR prCBARCabS =++= == ++ = ++ = === ( 2 3 coscoscos. sinh gii toỏn cỏc cp: Tnh, Quc gia, Olympic khu vc v Olympic quc t. giỳp cỏc em cú thờm mt s kinh nghim trong quỏ trỡnh hc tp nhm nm vng cỏc phng phỏp chng minh bt ng thc ng thi s dng linh hot. toỏn v bt ng thc, tụi quyt nh vit ti ny nhm chia s cựng ng nghip, hc sinh v c gi mt s phng phỏp, kinh nghim gii bi toỏn bt ng thc. ti gm 2 phn c bn: Phn I: Mt s phng phỏp chng minh bt ng thc.

Ngày đăng: 11/04/2015, 15:46

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • 7. Sáng tạo bất đẳng thức - Phạm Kim Hùng

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan