Xây dựng một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức đại số khi bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8

Mục tiêu nghiên cứu của sáng kiến nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp, giúp học sinh tìm được hướng giải hợp lý nhất cho mỗi bài toán. Giúp học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất về bất đẳng thức và một số phương pháp khác để giải bài toán bất đẳng.

XÂY DỰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ KHI BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP I MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức nội dung quan trọng thường gặp chuyên đề BDHSG phần đại số Thông thường học sinh nắm định nghĩa tính chất vận dụng làm tốt tập bất đẳng thức sách giáo khoa Toán 8, nhiên gặp toán đề thi học sinh giỏi Tốn khó khăn lúng túng khơng thể tìm phương pháp giải cách trình bày lời giải tốn bất đẳng thức Vì vậy, việc tổng hợp, khái quát thành phương pháp giải toán bất đẳng thức chìa khố giúp học sinh biến tốn bất đẳng thức phức tạp thành toán đơn giản, có lối riêng cách rõ ràng, từ dễ dàng vận dụng vào giải tập chuyên đề bất đẳng thức, nâng cao chất lượng bồi dưỡng đội tuyển HSG mơn Tốn nói chung Với lí trên, tơi chọn đề tài "Xây dựng số phương pháp giải toán bất đẳng thức đại số bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8".” Đây đúc rút kinh nghiệm nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp , giúp học sinh tìm hướng giải hợp lý cho toán Giúp học sinh biết vận dụng định nghĩa, tính chất bất đẳng thức số phương pháp khác để giải toán bất đẳng 1.2 Điểm đề tài Đề tài bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, phương pháp dạy học phổ biến nhằm hình thành cho em tư khoa học Bài tập bất đẳng thức đa dạng phong phú Để giải tập loại dùng kiến thức định nghĩa tính chất chưa đủ Muốn làm tốt tập bất đẳng thức HS cần phải nắm vững kiến thức sau: 1.1 - Sử dụng định nghĩa 1.2 - Sử dụng tính chất 1.3 - Các bất đẳng thức sẳn có xem hệ 1.4 - Đặt biến phụ 1.5 - Phương pháp làm trội 1.6 - Bất đẳng thức ba cạnh tam giác 1.7 - Phương pháp quy nạp Để thực nhiệm vụ nghiên cứu nêu trên, thực giải pháp sau : + Nghiên cứu lý thuyết: Tổng quan tài liệu lí luận dạy học, văn đạo đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông, tập nâng cao, tập chuyên chọn + Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn tập bản, điển hình cho dạng sau tổng hợp thành phương pháp giải cho dạng toán bất đẳng thức + Nghiên cứu sở lí luận Bài tập bất đẳng thức trường phổ thông + Nghiên cứu khai thác số tập chuyên đề bồi dưỡng HSG chuyên đề bất đẳng thức + Thiết kế xây dựng tập mẫu tốn bất đẳng thức chương trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn lớp + Nghiên cứu hiệu việc áp dụng phương pháp giải toán bất đẳng thức vào q trình bồi dưỡng HSG mơn Toán 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1 Thực trạng vấn đề mà đề tài cần giải Trong năm học 2016-2017 năm học 2017-2017 , sau đội tuyển HSG trường chọn tham gia bồi dưỡng lớp “ Bồi dưỡng HSG toán “ PGD huyện Lệ Thủy, thống kê kết chất lượng làm học sinh (HS) phần Bất đẳng thức sau: Số HS không làm SL Tống số HS: % 40 Số HS làm dạng Số HS làm dạng nâng cao SL % SL % 40 20 Với kết làm ảnh hưởng khơng nhỏ đến kết học tập mơn tốn nói chung HS ( Cụ thể qua lớp có HS tiếp tục bồi dưỡng mơn tốn) Qua bảng cho thấy, học sinh làm tập phần bất đẳng thức đạt kết chưa cao, phương pháp học em phương pháp GV định hướng , hướng dẫn phần chưa tốt nên ảnh hưởng đến chất lượng đội tuyển HSG Chính thân tơi có nhiều trăn trở, suy nghĩ muốn tìm phương pháp giải chuyên đề để rèn kĩ cho học sinh nhằm góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường THCS 2.1.2 Biện pháp thực giải pháp đề tài Để thực nhiệm vụ nghiên cứu nêu trên, thực phương pháp nghiên cứu sau : Nghiên cứu lý thuyết Tổng quan tài liệu lí luận dạy học, văn đạo đổi mới, nâng cao chất lượng dạy học trường phổ thông, tập nâng cao, tập chuyên chọn Từ việc nghiên cứu lí thuyết lựa chọn tập bản, điển hình cho dạng sau tổng hợp thành phương pháp giải cho dạng toán bất đẳng thức Nghiên cứu sở lí luận Bài tập bất đẳng thức trường phổ thông Nghiên cứu khai thác số tập chuyên đề bồi dưỡng HSG chuyên đề bất đẳng thức Thiết kế xây dựng tập mẫu toán bất đẳng thức chương trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn lớp Nghiên cứu hiệu việc áp dụng phương pháp giải tốn bất đẳng thức vào q trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn 2.2 NỘI DUNG 2.2.1 Phương pháp : Dùng định nghĩa Kiến thức: Để chứng minh A > B Ta lập hiệu A –B > Lưu ý dựng bất đẳng thức M  với  M Bài số1:Với a,b lớn Chứng minh: a3+b3  ab(a+b) Để chứng minh ta xét hiệu: a3+b3 – ab(a+b) = (a+b)(a2 – ab + b2) – ab(a+b) = (a+b)( a2 –2ab + b2) = (a+b)(a-b)2 Vì a,b dương nên (a+b) > , (a-b)2  suy (a+b)(a-b)2  Hay a3+b3  ab(a+b) Dấu xảy a = b Bài số 2: Chứng minh với xy ta ln có : x2+ y2+1  xy+x+y Xét hiệu x  y   ( xy  x  y )  x  y   xy  x  y 1  ( x  y )   y  1  ( x  1)    2 2 Vì ( x - y)  , (y-1)  ,(x-1)2    Dấu xảy x = y = Bài số 3: chứng minh : a2  b2  a  b   a)  ;   b) a2  b2  c2  a  b  c    3   c) Hãy tổng quát toán 2 =   a2  b2 a  2ab  b a2  b2  a  b     = 4   Giải: a) Ta xét hiệu 1 2a  2b  a  b  2ab = a  b   4   a2  b2  a  b      Vậy Dấu xảy a = b b)Ta xét hiệu a2  b2  c2  a  b  c  2   = a  b   b  c   c  a   3     Vậy a2  b2  c2  a  b  c    Dấu xảy a = b =c 3   c)Tổng quát a12  a 22   a n2  a1  a   a n    n n   Bài số 4: Chứng minh m,n,p,q ta có : m + n + p + q +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2     mn  n     mp  p     mq  q     m  1          2 2 m  m  m  m     n     p     q     1  (luôn đúng) 2  2  2  2  m m   n 0 n  m  m   p0  m2 p  2 Dấu xảy  m   n  p  q   q 0  m 2 q   m  22 m     Bài số 5: Cho x  1, y  1   Chứng minh: 2 1 x 1 y  xy 1 1 1       Xét hiệu : 2 2  x  y  xy  x  y  xy  xy  x( y  x) y( x  y) x ( y  x )(1  y )  y ( x  y )(1  x )   (1  x )(1  xy ) (1  y )(1  xy ) (1  x )(1  y )(1  xy ) ( x  y )(  x  xy  y  x y ) ( x  y )2 ( xy  1)  0 (1  x )(1  y )(1  xy ) (1  x )(1  y )(1  xy ) Vì x  , y   xy-1  (x-y)2 nên bất đẳng thức cuối  Suy bất đẳng thức cho chứng minh Tóm lại: Các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2: Biến đổi H=(C+D) H=(C+D) +….+(E+F) Bước 3: Kết luận A  B Lưu ý dấu xảy ? 2.2.2 Phương pháp : Dùng tính chất bất đẳng thức +A>B B A + A > B B > C  A  C + A > B  A+C > B + C + A > B C > D  A + C > B + D + A > B C >  A.C > B.C + A > B C <  A.C < B.C +A < B A.B >  1  A B Bài số 6: Cho a > 2, b > Chứng minh ab > a + b Cách 1: Với a > 2, b > nên ab > 2b b > 2, a > nên ab > 2a Suy 2ab > 2a + 2b  ab > a + b Cỏch 2: Cũng lập luận a >  1 1 1    ab     ab a b a b  1  , a b b>2   Với ab > nghĩa ab > a + b Bài số 7: Với a,b,c số thực: a  b  c  ab  bc  ca Chứng minh -Nhân vế bất đẳng thức với số ta có : a  b  c  ab  bc  ca  2(a  b  c )  2(ab  bc  ca)  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca  2a  2b  2c  2ab  2bc  2ca   (a  b)  (b  c)  (c  a )2  Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cho Hay a  b  c  ab  bc  ca - Có thể gợi ý cho học vận dụng định nghĩa để giải số Bài số 8: Chứng minh với a, b, c ta ln có : a  b  c  abc(a  b  c ) Giải: Cách 1:Ta có : a  b  c  abc(a  b  c ) , a, b, c   a  b  c  a bc  b ac  c ab   a  2b  2c  2a bc  2b ac  2c ab    a2  b2    2a b  b  c    2b c  c  a   2a c  a bc  2b ac  2c ab    a2  b2   b 2  c2   c 2  a2   (a b  b c  2b ac )  (b c  c a  2c ab )  ( a b  c a  a ab )    a2  b2   b 2  c2   c 2  a2   ab  bc   bc  ac   ab  ac  2 2 0 Đúng với a, b, c Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu kết hợp với kết tập ta có: Ta ln có : a  b4  c  a 2b  b 2c  c2 a Mà a 2b  b 2c  c a  ab c  abc  a 2bc  abc (a  b  c) 2.2.3.Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức phụ 2 a) x  y  xy b) x2  y  xy dấu = xảy x = y = c) x  y 2  xy a b b a 1 x   ( x  0);  x xy ( x  y ) 1   ( x, y  0) x y x y d)   ( x, y  0) Lưu ý: Xem bất đẳng thức phụ hệ làm vận dụng cần phải chứng minh lại Bài số 9: Cho a, b ,c số không âm chứng minh (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Giải: Dùng bất đẳng thức phụ: x  y 2  xy Ta có a  b 2  4ab ; b  c 2  4bc ; c  a 2  4ac Nhân vế theo vế bất đảng thức a  b 2 b  c 2 c  a 2  64a b c  8abc 2  (a+b)(b+c)(c+a)  8abc Dấu “=” xảy a = b = c 2 Theo ta có a  b   (a  b)   a  2ab  b  (1) Bài số 10 : Cho a + b = Chứng minh a  b  (a  b)  Mặt khác ta có  a  2ab  b  (2) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta có 2(a  b2 )   a  b  Dấu xảy a = b = 2 *Sử dụng kết số 10 thay đổi giả thiết u cầu cao ta có tốn sau: Cho a + b = Chứng minh : a4 + b4  Giải : Theo ta có a  b   (a  b)2   a  2ab  b  (1) Mặt khác ta có (a  b)   a  2ab  b  (2) Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức ta có 2(a  b2 )   a  b  (3) Bình phương hai vế bất đẳng thức (3) ta có (a  b )   a  2a 2b2  b4  (4) Ta có 2 2 (a  b )   a  2a b  b  (5) Cộng bất đẳng thức (4) (5) vế theo vế ta có : 2(a  b )   a  b  Dấu xảy a = b = Sử dụng kết số 10 tính chất A < B  1  A.B  ta có A B tốn : Bài số 11 Cho x > , y > x + y = Chứng minh 8( x  y )  Ta có (x+y)2  4xy   4xy   xy   8( x  y )   17 xy  (1) xy  8.2   17 xy Bài số 12 : Cho a,b,c > a+b+c = Chứng minh b +c  16abc Hướng dẫn : Trước hết chứng minh toán phụ để có (x+y)2  4xy Áp dụng tốn phụ ta có  a  (b  c )  4a (b  c )  (b  c ).1  4a (b  c )2  16abc 2.2.4 Phương pháp : Phương pháp đặt biến phụ (Thường dùng áp dụng cho BĐT có điều kiện) Bài số 13:(Áp dụng làm số 10) 1 1 1 Đặt a   x ; b   x Khi ta có a  b  (  x)  (  x )2  x   2 2 2 Dấu xảy x =  a  b  Với số 13 vế trái có hai hạng tử lớn vế trái có Cho a + b =1 Chứng minh a  b  hạng tử ta có tốn sau: Bài số 14: Cho a + b +c =1 Chứng minh a  b2  c  3 3 Đặt a   x , b   y , c   z Vì a + b + c =  x + y + z = 1 a  b  c  (  x )2  (  y )2  (  z )2 3 Khi ta có 1   ( x  y  z )  x  y  z   x2  y  z  3 3 Dấu xảy x = y= z = a  b  c  Từ tập 13 14 ta có toán tổng quát: *Tổng quát : Với a1  a2  a3   an  Chứng minh : a12  a2  a32   an  n 2.2.5 Phương pháp 5: Phương pháp làm trội: a > , b > a a ac   b b bc Bài số 15: Cho ba số dương a,b,c Chứng minh  Vì a  nên ab a a ac   abc ab a bc a b c   2 ab bc ca Tương tự: b b ac   abc bc abc c c cb   abc ca abc Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta có điều phải chứng minh Bài số 16 : a b c    2 1 a 1 b 1 c b c  ;  Tương tự: 2 1 b 1 c Cho a,b,c số không âm Chứng minh Ta có : (a  1)2   a   2a  a  1 a Cộng vế ba bất đẳng thức ta điều cần chứng minh Bài số 17: Chứng minh với số tự nhiên n >1 thì: 1 1      2 n 1 1 b)       n 1 n  n  nn a) Giải: a) Với k  N k  ta có: 1 1     k k k k (k  1) k  k 1 1 1   ;   ; 2 1 3 1 Cho k giá trị từ đến n ta 1   n n 1 n Cộng theo vế bất đẳng thức tacó : 1 1 n 1        1 2 n n n 1  b) Ta có : với k=1,2,3, , n-1 Suy n  k 2n 1 1 1 n           (1) n 1 n  n  n  n 2n 2n 2n 2n 1    3k  3nk  n  3k với Mặt khác ta lại có n  k n  ( n   k ) 2n k =1,2, ,n 1   n  n  n 2n 1   Với k = 2, ta có n  n  (n  1) 2n Với k = 1, ta có Với n = k ,ta có 1   n  n n  2n Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta có : 1  3 3n  2         (2)  n  n  2n 2n 2n 2n  n 1 n  Từ (1) (2) suy bất đẳng thức cần chứng minh 2.2.3 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm : Mặc dù chun đề rộng khó, song qua q trình vận dụng sáng kiến vào thực tế nhận thấy tất học sinh tiếp thu vận dụng tốt phương pháp vào việc giải tập tốn bất đẳng thức Trong q trình nghiên cứu thực tơi thu số thành công bước đầu sau: GV HS phân loại dạng tập từ xây dựng phương pháp giải cụ thể cho loại Đặc biệt tập bất đẳng thức không nội dung quan trọng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán mà tập tiếp tục nghiên cứu nhiều chương trình Tốn lớp Do tạo tảng vững để em học tốt mơn tốn lớp cấp THPT Cụ thể chất lượng làm HS có bước tiến rõ nét: Số HS không làm SL Tống số HS khảo sát : % 0% Số HS làm dạng cấp độ nâng cao đơn giản Số HS làm dạng nâng cao khó SL % SL % 40% 60% KẾT LUẬN Qua thời gian giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn lớp 8, tơi nhận thấy yếu tố quan trọng để nâng cao chất lượng phương pháp giảng dạy giáo viên Trong việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề đặc biệt quan trọng giáo viên phải xây dựng hệ thống phương pháp giải tập cho loại Có học sinh hiểu nắm vững cách tổng quát kiến thức, sở em tự học, tự nghiên cứu tài liệu có hứng thú học tập, biết tự lực, chủ động, tự tin làm tốt thi Đây sáng kiến phát tích lũy qua q trình thân trực tiếp nghiên cứu vận dụng vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp năm học Do vấn đề thiết thực có tính ứng dụng cao Mỗi nội dung trình bày mang tính chất khái quát cao giải cách cụ thể, chi tiết Chính không đơn kiến thức, phương pháp để áp dụng cho việc giải tập bất đẳng thức đại số hệ thống tính chất quan trọng bất đẳng thức Do việc giảng dạy theo nội dung đề tài không giúp học sinh lớp có hệ thống phương pháp giải tập, mà quan trọng em nắm chất toán bất đẳng thức Qua thời gian giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 8, nhận thấy yếu tố quan trọng để nâng cao chất lượng phương pháp giảng dạy giáo viên Trong việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề đặc biệt quan trọng giáo viên phải xây dựng hệ thống phương pháp giải tập cho loại Có học sinh hiểu nắm vững cách tổng quát kiến thức, sở em tự học, tự nghiên cứu tài liệu có hứng thú học tập, biết tự lực, chủ động, tự tin làm tốt thi Bài tập bất đẳng thức nói chung nội dung rộng khó Bởi lý phương pháp để giải loại tập đòi hỏi phải vận dụng lượng kiến thức tổng hợp nâng cao Đối với học sinh lớp việc nắm tập khó khăn Tơi nghĩ rằng, để học sinh hiểu cách sâu sắc hệ thống loại tập thiết qúa trình giảng dạy giáo viên phải phân loại dạng tập xây dựng phương pháp giải cụ thể cho loại Đặc biệt tập bất đẳng thức không nội dung quan trọng chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán mà tập tiếp tục nghiên cứu nhiều chương trình Tốn lớp Do tảng vững để em học tốt mơn toán lớp cấp THPT Sáng kiến xây dựng phương pháp giải tập cho mảng nhỏ số dạng tập nâng cao đại số lớp Tuy nhiên, phương pháp tương tự, trình giảng dạy giáo viên xây dựng phương pháp giải cho tất loại tập lại Việc phân loại xây dựng phương pháp giải tập Toán vấn đề khó khăn tất giáo viên dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn Song cơng việc thiết phải làm mang lại hiệu cao q trình dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn nói chung mơn Tốn cho học sinh giỏi lớp nói riêng Qua q trình nghiên cứu giảng dạy , với học hỏi kinh nghiệm từ đồng nghiệp tơi mạnh dạn đăng kí tên sáng kiến kinh nghiệm viết năm học từ đầu năm theo kế hoạch Do thời gian có hạn, sáng kiến khơng tránh khỏi khiếm khuyết cần phải sửa chữa, bổ sung Rất mong đóng góp ý kiến cấp lãnh đạo bạn đồng nghiệp để sáng kiến hồn thiện tốt Tơi xin chân thành cảm ơn./  ... đẳng thức Thiết kế xây dựng tập mẫu toán bất đẳng thức chương trình bồi dưỡng HSG mơn Toán lớp Nghiên cứu hiệu việc áp dụng phương pháp giải toán bất đẳng thức vào q trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn... em học tốt mơn tốn lớp cấp THPT Sáng kiến xây dựng phương pháp giải tập cho mảng nhỏ số dạng tập nâng cao đại số lớp Tuy nhiên, phương pháp tương tự, trình giảng dạy giáo viên xây dựng phương pháp. .. đẳng thức + Thiết kế xây dựng tập mẫu toán bất đẳng thức chương trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn lớp + Nghiên cứu hiệu việc áp dụng phương pháp giải tốn bất đẳng thức vào q trình bồi dưỡng HSG mơn Tốn