Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ THỊ HUỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 Người hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thế Vinh HÀ NỘI, 2017 Mục lục Mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 5 1.1.1 Tập lồi nón pháp tuyến tập lồi 1.1.2 Siêu phẳng nửa không gian 1.1.3 Phép chiếu metric 1.1.4 Sự hội tụ yếu, hội tụ mạnh không gian Hilbert 8 1.2 Định lý điểm bất động Banach, Brouwer 1.3 Tính đơn điệu 10 1.4 Ánh xạ hemi-liên tục 12 1.5 Bất đẳng thức biến phân tồn nghiệm 13 1.5.1 Mô tả toán 1.5.2 Các toán liên quan 1.5.3 Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân 1.5.4 Phương pháp chiếu gradient 13 14 17 22 Chương Phương pháp extragradient giải toán bất đẳng thức biến phân 26 2.1 Giới thiệu phương pháp minh họa hình học 26 2.2 Sự hội tụ phương pháp extragradient 27 2.2.1 Kết hội tụ mạnh 2.2.2 Kết hội tụ yếu Chương Các dạng cải tiến phương pháp extragradient 3.1 Phương pháp subgradient extragradient 3.1.1 Giới thiệu phương pháp minh họa hình học 3.1.2 Sự hội tụ thuật toán subgradient extragradient 27 34 37 37 38 39 3.2 Phương pháp Popov subgradient extragradient 3.3 Phương pháp chiếu gradient đối xứng 48 52 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thế Vinh định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn hai Thầy phản biện, TS Lê Anh Dũng TS Dương Việt Thông cho tác giả nhiều nhận xét quý báu xác đáng Tôi xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo phòng Sau Đại học, thầy cô giáo giảng dạy lớp Cao học K25 chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn Do thời gian khả có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý sửa chữa Quý Thầy Cô để nâng cao chất lượng luận văn Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Thị Huệ Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Thế Vinh, luận văn thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài "Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân" hoàn thành nhận thức thân tác giả Trong suốt trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 06 năm 2017 Tác giả Lê Thị Huệ Mở đầu Lý chọn đề tài Năm 1966, Hartman Stampacchia [7] công bố nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân, liên quan đến việc giải toán biến phân, toán điều khiển tối ưu toán biên lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Năm 1980, sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications", Kinderlehrer Stampacchia [11] nghiên cứu toán bất đẳng thức biến phân không gian vô hạn chiều ứng dụng Năm 1984, sách "Variational and Quasivariational Inequalities " Baiocchi Capelo [3] áp dụng bất đẳng thức biến phân tựa biến phân để giải toán biên tự Hiện toán bất đẳng thức biến phân mở rộng phát triển cho nhiều dạng khác bất đẳng thức biến phân véctơ, bất đẳng thức tựa biến phân, bất đẳng thức biến phân ẩn, bất đẳng thức biến phân suy rộng Bài toán thu hút quan tâm đông đảo nhà toán học giới mô hình hợp nhiều toán quan trọng lý thuyết thực tiễn tối ưu hóa, toán bù, lí tuyết trò chơi, cân Nash, cân mạng giao thông, Một hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Để hiểu sâu sắc vấn đề này, em chọn đề tài nghiên cứu luận văn "Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân." Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân Đặc biệt sâu vào việc tìm hiểu, giới thiệu trình bày kết hội tụ phương pháp chiếu gradient (phương pháp chiếu đạo hàm), phương pháp extragradient (phương pháp đạo hàm tăng cường) dạng cải tiến Nhiệm vụ nghiên cứu • Nghiên cứu hội tụ phương pháp chiếu gradient • Nghiên cứu hội tụ yếu hội tụ mạnh phương pháp extragradient phương pháp subgradient extragradient • Nghiên cứu hội tụ yếu phương pháp gradient đối xứng phương pháp Popov subgradient extragradient Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Bài toán bất đẳng thức biến phân • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn nghiệm thuật toán giải toán bất đẳng thức biến phân Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tổng quan tài liệu, phân tích, tổng hợp, hệ thống lại kết lý thuyết tồn nghiệm phương pháp giải bất đẳng thức biến phân Đóng góp luận văn • Luận văn trình bày cách hệ thống chi tiết số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân • Luận văn trình bày thuật toán quan trọng sử dụng nhiều để giải toán bất đẳng thức biến phân vòng 50 năm trở lại thuật toán chiếu gradient, thuật toán extragradient, thuật toán subgradient extragradient, thuật toán Popov subgradient extragradient thuật toán chiếu gradient đối xứng với kết hội tụ chúng • Luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm đến phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân để áp dụng vào lĩnh vực liên quan điểm bất động, tối ưu, phương trình đạo hàm riêng, Tổng quan bố cục luận văn Bài toán bất đẳng thức biến phân toán Tìm x ∈ K cho F (x) , y − x ≥ với y ∈ K, (VIP(K, F )) K tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert thực H F : K → H ánh xạ đơn trị Lý thuyết toán bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng nhiều lĩnh vực quy hoạch toán học, nghiên cứu mạng giao thông, lý thuyết trò chơi, trở thành lĩnh vực nghiên cứu quan trọng vòng 50 năm trở lại (xem Ansari [2], Giannessi [6], Kinderlehrer Stampacchia [11], Konnov [12]) Nhờ vào tính chất phép chiếu, ta biết toán VIP(K, F ) tương đương với toán điểm bất động sau: Tìm x¯ cho x = PK (x − λF (x)) , (1) λ > Vấn đề quan tâm trước hết tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Khi K compact F liên tục, tồn nghiệm toán VIP(K, F ) hệ định lý điểm bất động Schauder Nếu K compact F giả đơn điệu hemi-liên tục tồn nghiệm VIP(K, F ) thiết lập kỹ thuật KKM Một vấn đề thú vị quan trọng lý thuyết bất đẳng thức biến phân nghiên cứu thuật toán lặp hữu hiệu để tìm nghiệm xấp xỉ toán Nhiều thuật toán lặp đề xuất để giải bất đẳng thức biến phân không gian hữu hạn chiều vô hạn chiều, chẳng hạn xem [2, 5, 12, 13, 14, 15, 17, 18] tài liệu tham khảo liên quan Trong phương pháp lặp giải toán VIP(K, F ) phương pháp đơn giản phương pháp chiếu gradient bắt nguồn từ phương trình điểm bất động (1): x0 ∈ K, xm+1 = PK (xm − γF (xm )), m ≥ 0, PK phép chiếu metric H lên K, γ số thực dương Sự hội tụ phương pháp đòi hỏi F ánh xạ đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu mạnh ngược) liên tục Lipschitz Để giảm nhẹ tính đơn điệu mạnh, Korpelevich [13] đề xuất phương pháp extragradient, bước lặp thuật toán đòi hỏi thêm phép chiếu lên tập chấp nhận Với điều kiện F đơn điệu liên tục Lipschitz, thuật toán extragradient cho hội tụ yếu không gian Hilbert Nhiều nhà nghiên cứu đề xuất cải tiến phương pháp extragradient Popov [19] (1980), Khobotov [10] (1987), Iusem-Svaiter [8] (1997), Malitsky Semenov [14] (2014), Solodov-Svaiter [21] (1999), Censor cộng [5] (2011), Malitsky [15] (2015), Maingé [17] (2016), Maingé Gobinddass [18] (2016) Mục đích luận văn nhằm trình bày tổng quan kết quan trọng liên quan đến thuật toán chiếu gradient extragradient Ngoài phần mở đầu phần tài liệu tham khảo, luận văn chia làm chương Chương 1: nhắc lại số kiến thức giải tích lồi, giới thiệu toán bất đẳng thức biến phân ứng dụng, đồng thời trình bày tồn nghiệm toán phương pháp chiếu gradient Chương 2: trình bày phương pháp extragradient, phân tích hội tụ yếu hội tụ mạnh phương pháp Chương 3: trình bày dạng cải tiến phương pháp extragradient, cụ thể trình bày phương pháp subgradient extragradient, phương pháp Popov subgradient extragradient, phương pháp chiếu gradient đối xứng, đồng thời xét đến hội tụ phương pháp không gian Hilbert Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại khái niệm kết bổ trợ cần thiết sử dụng chương sau Các kết chủ yếu tham khảo [1, 2] 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Tập lồi nón pháp tuyến tập lồi Định nghĩa 1.1 Cho H không gian Hilbert thực, tập hợp C ⊂ H gọi tập lồi ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C Ví dụ 1.1 Hình cầu đóng B (x, r) = {a ∈ H : a − x ≤ r} tập lồi Mệnh đề 1.1 Nếu A, B tập lồi không gian Hilbert thực H tập hợp sau tập lồi: A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B} , αA + βB := {x | x = αa + βb, a ∈ A, b ∈ B, α, β ∈ R} , A × B := {x | x = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B} Định nghĩa 1.2 Cho C ⊂ H tập lồi, khác rỗng x0 ∈ C Nón pháp tuyến C x0 tập hợp ký hiệu xác định sau: NC (x0 ) := d ∈ H : d, y − x0 ≤ ∀y ∈ C Định nghĩa 1.3 Cho C ⊂ H tập lồi, đóng, khác rỗng Nón đối ngẫu C, kí hiệu C ∗ , tập hợp xác định C ∗ = {y ∈ H : y, x ≥ ∀x ∈ C} Về mặt hình học, C ∗ tập hợp bao gồm tất véctơ y ∈ H tạo thành góc không tù với véctơ x ∈ C Cho x ∈ K τ > Chú ý xk − τ F xk − U xk , U xk − x ≥ ∀k ∈ N Ta có τ F xk , xk − x = τ F xk , xk − U xk + τ F xk , U xk − x = τ F xk , xk − U xk − xk − τ F xk − U xk , U xk − x + xk − U xk , U xk − x ≤ τ F xk , xk − U xk ≤ τ F xk Vì F xk xk − U xk + xk − U xk , U xk − x + xk − U xk U xk − x bị chặn xk − U xk → nên lim sup τ F xk , xk − x ≤ k→∞ Do F đơn điệu nên lim sup τ F (x) , xk − x τ k→∞ ≤ lim sup τ F xk , xk − x ≤ τ k→∞ F (x) , x − x = (3.13) Ta có điều phải chứng minh Cho ánh xạ F : H → H K tập lồi, đóng, khác rỗng H Giả sử x y k hai dãy sinh thuật toán sau:   x0 ∈ H     y k = P xk − τ F xk , K (3.14) k k k k  T = ω ∈ H : x − τ F x − y , ω − y ≤ , k     xk+1 = α x0 + (1 − α ) P xk − τ F y k , k k Tk k {αk } ⊂ (0, 1) thỏa mãn ∞ αk = ∞ lim αk = k→∞ k=1 k Chú ý Tk = T x Bổ đề 3.9 Giả sử Sol(K, F) khác rỗng ký hiệu ωω tụ yếu dãy z k Ta có bổ đề sau: 45 zk tập hợp tất điểm Bổ đề 3.11 Cho ánh xạ F : H → H đơn điệu, liên tục Lipschitz H với số L > τ số thực dương thỏa mãn τ L < Giả sử xk ⊂ H dãy sinh (3.14) Khi ta có xk+1 − z ≤ αk x0 − z + (1 − αk ) xk − z ∀z ∈ Sol(K, F) Đặc biệt xk bị chặn Chứng minh Giả sử z ∈ Sol(K, F) Để thuận tiện ta viết ωk = PTk (I − τ F PK (I − τ F )) xk Do xk+1 = αk x0 + (1 − αk ) ωk Theo Bổ đề 3.9 ta có ωk − z ≤ x k − z Do xk+1 − z ≤ αk x0 − z + (1 − αk ) ωk − z ≤ αk x0 − z + (1 − αk ) xk − z Đặc biệt xk+1 − z ≤ max x0 − z , xk − z Bằng phép quy nạp ta có xk − z ≤ x0 − z k ∈ N Do dãy xk bị chặn Định lí 3.2 Cho ánh xạ F : H → H đơn điệu, liên tục Lipschitz H với số L > τ số thực dương thỏa mãn τ L < Giả sử xk ⊂ H dãy sinh (3.14) Khi xk → PSol(K,F) x0 Chứng minh Ta có xk+1 = αk x0 + (1 − αk ) ωk Đặt z = PSol(K,F) x0 Theo Bổ đề 3.1 ta có xk+1 − z ≤ (1 − αk )2 ωk − z ≤ (1 − αk ) xk − z 2 + 2αk x0 − z, xk+1 − z + 2αk x0 − z, xk+1 − z Xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Tồn k ∈ N cho xk+1 − z k > k Khi tồn lim xk − z Từ (3.15) suy k→∞ ωk − z − xk − z 46 → (3.15) ≤ xk − z với Theo Bổ đề 3.9 ta có xk − PK xk − τ F xk xk Áp dụng Bổ đề 3.10 ta có ωω xk thỏa mãn → ⊂ Sol(K, F) Giả sử {xpi } dãy lim sup x0 − z, xk+1 − z = lim x0 − z, xpi − z i→∞ k→∞ xpi z với z ∈ Sol(K, F) Khi lim sup x0 − z, xk+1 − z k→∞ = x − PSol(K,F) x0 , z − PSol(K,F) x0 ≤ Theo Bổ đề 3.3 ta có lim xk − z k→∞ = Tức xk → z Trường hợp 2: Tồn xkj ⊂ xk thỏa mãn xkj − z ≤ xkj +1 − z ∀j ∈ N Theo Bổ đề 3.2 tồn dãy không giảm {ki } ⊂ N cho lim ki = ∞ i→∞ bất đẳng thức sau với i ∈ N : xki − z ≤ xki +1 − z xi − z ≤ xki +1 − z (3.16) Lưu ý xki − z ≤ xki +1 − z ≤ αki x0 − z + (1 − αki ) ωki − z ≤ αki x0 − z + (1 − αki ) xki − z Từ limk→∞ αk = suy ωki − z − xki − z → Bỏ qua số lặp {ki } ký hiệu {ki } ta coi xki dãy xk Do áp dụng Bổ đề 3.9 Bổ đề 3.10 ta có xki − PK xki − τ F xki → ωω 47 xki ⊂ Sol(K, F) Lưu ý xki − xki +1 → Thật vậy, từ Bổ đề 3.9 với khái niệm U ta có ωki − U xki → 0, U xki − xki → xki +1 − xki = αki x0 + (1 − αki ) ωki − xki ≤ αki x0 − xki + (1 − αki ) ωki − xki ≤ αki x0 − xki + (1 − αki ) → ωki − U xki + U xki − xki Chứng minh trường hợp ta có lim sup x0 − z, xki +1 − z = lim sup x0 − z, xki − z ≤ i→∞ (3.17) i→∞ Từ (3.15) (3.16) suy xki +1 − z ≤ (1 − αki ) xki − z ≤ (1 − αki ) xki +1 − z + 2αki x0 − z, xki +1 − z + 2αki x0 − z, xki +1 − z Đặc biệt αki > nên xi − z ≤ xki +1 − z ≤ x0 − z, xki +1 − z Do từ (3.17) ta có lim sup xi − z i→∞ ≤ lim sup x0 − z, xki +1 − z ≤ i→∞ Do xi → z 3.2 Phương pháp Popov subgradient extragradient Trong phần ta giới thiệu thuật toán để giải toán bất đẳng thức biến phân VIP(K, F) với điều kiện ánh xạ F : H → H đơn điệu Lipschitz Thuật toán kết hợp ưu điểm thuật toán Popov extragradient thuật toán subgradient extragradient Thuật toán 3.2 Bước 1: Xác định x0 , y ∈ K λ > Bước 2: Tính x1 = PK (x0 − λF (y )) y = PK (x1 − λF (y )) Bước 3: Dựa vào xn , y n y n−1 xây dựng nửa không gian Hn = z ∈ H : xn − λF (y n−1 ) − y n , z − y n ≤ 48 tính xn+1 = PHn (xn − λF (y n )) y n+1 = PK (xn+1 − λF (y n )) Bước 4: Nếu xn+1 = xn y n+1 = y n = y n−1 dừng thuật toán, ngược lại, gán n := n + quay lại Bước Đầu tiên lưu ý K ⊂ Hn Thật vậy, giả sử tồn phần tử z ∈ K \ Hn bất đẳng thức xn − λF (y n−1 ) − y n , z − y n > mâu thuẫn với y n = PK (xn − λF (y n−1 )) Bổ đề 3.12 Nếu xn+1 = xn y n+1 = y n = y n−1 Thuật toán 3.2 y n ∈ Sol(K, F) Chứng minh Nếu xn+1 = xn Thuật toán 3.2 theo tính chất phép chiếu metric F (y n ), x − xn ≥ ∀x ∈ Hn (3.18) Vì xn+1 ∈ Hn y n = y n−1 nên xn − λF (y n ) − y n , xn − y n ≤ Do F (y n ), xn − y n ≥ Bất đẳng thức (3.18) trình bày dạng F (y n ), x − y n − F (y n ), xn − y n ≥ ∀x ∈ Hn Suy F (y n ), x − y n ≥ F (y n ), xn − y n ≥ ∀x ∈ Hn Vì y n ∈ K ⊆ Hn nên y n ∈ Sol(K, F) Bổ đề 3.13 Cho dãy {xn } {y n } hai dãy sinh Thuật toán 3.2 Giả sử z ∈ Sol(K, F) Khi đó, ta có bất đẳng thức xn+1 − z ≤ xn − z − (1 − 2λL) xn+1 − y n − (1 − λL) xn − y n 2 + λL xn − y n−1 (3.19) Chứng minh Vì z ∈ Sol(K, F) ⊂ Hn xn+1 = PHn (xn − λF(yn )) nên xn+1 − z ≤ xn − λF (y n ) − z = xn − z 2 − xn − λF (y n ) − xn+1 − xn − xn+1 49 2 − 2λ F (y n ), xn+1 − z (3.20) Do F đơn điệu z ∈ Sol(K, F) ta có F (y n ), y n − z ≥ Cộng thêm vào vế phải bất đẳng thức (3.20) số hạng không âm 2λ F (y n ), y n − z ta xn+1 − z 2 ≤ xn − z = xn − z − xn − y n − 2λ F (y n ), xn+1 − y n − xn − xn+1 − xn+1 − y n − 2λ F (y n ), xn+1 − y n − xn − y n , y n − xn+1 = xn − z − xn − y n − xn+1 − y n + 2λ F (y n−1 ) − F (y n ), xn+1 − y n + xn − λF (y n−1 ) − y n , xn+1 − y n Do xn+1 ∈ Hn nên xn − λF (y n−1 ) − y n , xn+1 − y n ≤ Mặt khác 2λ F (y n−1 ) − F (y n ), xn+1 − y n ≤ 2λL y n−1 − y n xn+1 − y n ≤ 2λL y n−1 − xn + xn − y n xn+1 − y n y n−1 − xn ≤ λL + xn+1 − y n + xn − y n Từ đó, ta có bất đẳng thức (3.19) Định lí 3.3 Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng H ánh xạ F : H → H đơn điệu, Lipschitz với số L > Giả sử Sol(K, F) = ∅ λ ∈ 0, 3L Khi hai dãy {xn } {y n } sinh Thuật toán 3.2 hội tụ yếu tới z ∈ Sol(K, F) Chứng minh Đầu tiên chứng tỏ dãy {xn } bị chặn Cố định N ∈ N xét bất đẳng thức (3.19) với số N, N + 1, · · · , M M > N ta có M x M +1 −z N ≤ x −z xn+1 − y n − (1 − 2λL) n=N M xn − y n − (1 − λL) + λL xN − y N −1 (3.21) n=N Điều chứng tỏ dãy {xn } bị chặn Từ bất đẳng thức (3.21) ta suy xn+1 − y n xn − y n hội tụ Do n n lim xn+1 − y n = lim xn − y n = n→∞ n→∞ (3.22) Xét dãy {xnk } hội tụ yếu tới z ∈ H Khi y nk hội tụ yếu tới z z ∈ K Ta có y nk +1 − xnk +1 + λF (y nk ), x − y nk +1 ≥ ∀x ∈ K 50 Do F đơn điệu suy ≤ y nk +1 − xnk +1 + λF (y nk ), x − y nk +1 + y nk +1 − xnk +1 , x − y nk +1 + λ F (y nk ), y nk − y nk +1 + λ F (y nk ), x − y nk ≤ y nk +1 − xnk +1 , x − y nk +1 + λ F (y nk ), y nk − y nk +1 + λ F (x), x − y nk Chuyển qua giới hạn sử dụng (3.22) ta F (x) , x − z ≥ với x ∈ K Do z ∈ Sol(K, F) Ta chứng minh xn hội tụ yếu tới z (khi xn − y n → tức y n hội tụ yếu z) Chứng minh phản chứng, giả sử có dãy xmk hội tụ yếu tới z cho z = z Từ bất đẳng thức (3.19) bất đẳng thức < 3λL < suy với x ∈ Sol(K, F) ta có xn+1 − x 2 + λL xn+1 − y n ≤ xn − x + λL xn − y n−1 Do với x ∈ Sol(K, F) ta có lim n→∞ xn − x + λL xn − y n−1 ∈ R Áp dụng Bổ đề Opial hai lần ta có lim n→∞ = lim k→∞ xn − z xnk − z = lim xnk − z + λL xnk − y nk −1 < lim xnk − z k→∞ xnk − z = lim xn − z = lim xmk − z n→∞ k→∞ = lim xmk − z 2 2 + λL xnk − ynk −1 2 + λL xmk − y mk −1 < lim xmk − z 2 k→∞ = lim xmk − z = lim xn − z n→∞ + λL xn − y n−1 k→∞ k→∞ k→∞ = lim k→∞ + λL xn − y n−1 2 + λL xmk − y mk −1 + λL xn − y n−1 Điều vô lý Do z = z Ta chứng minh PSol(K,F) xn hội tụ mạnh tới z Thật vậy, ta có PSol(K,F) xn − xn , z − PSol(K,F) xn ≥ 51 Nếu ta chứng minh PSol(K,F) xn hội tụ mạnh tới z sau chuyển qua giới hạn ta z − z, z − z ≥ suy z = z PSol(K,F) xn hội tụ mạnh tới z Sau ta chứng minh PSol(K,F) xn hội tụ mạnh Ta có xn+1 − PSol(K,F) xn+1 2 ≤ xn+1 − PSol(K,F) xn ≤ xn − PSol(K,F) xn + λL xn − y n−1 Do lim xn − PSol(K,F) xn ∈ R n→∞ Áp dụng tính chất phép chiếu metric Bổ đề 3.12 ta có PSol(K,F) xm − PSol(K,F) xn ≤ xm−1 − PSol(K,F) xn ≤ xm − PSol(K,F) xn − PSol(K,F) xm − xm − PSol(K,F) xm − xm + λL xm−1 − y m−2 2 ≤ · · · ≤ xn − PSol(K,F) xn − PSol(K,F) xm − xm 2 m xk−1 − y k−2 + λL ∀m > n k=n Điều chứng tỏ dãy PSol(K,F) xn hội tụ mạnh 3.3 Phương pháp chiếu gradient đối xứng Phương pháp chiếu gradient đối xứng ứng dụng để giải toán bất đẳng thức biến phân với giả thiết ánh xạ F đơn điệu liên tục Lipschitz không gian Hilbert thực H Phương pháp đòi hỏi phép chiếu lên tập chấp nhận cần tính giá trị ánh xạ F bước lặp Điều phân biệt phương pháp chiếu gradient đối xứng với hầu hết phương pháp chiếu khác Xét đại lượng r (x, y) := y − PK (x − λF (y)) + x − y , λ số dương Sau thuật toán chiếu gradient đối xứng Thuật toán 3.3 √ Bước 1: Chọn x0 = y ∈ H λ ∈ 0, 2−1 L Bước 2: Tính xn+1 = PK (xn − λF (y n )) 52 Bước 3: Nếu r (xn , y n ) = dừng thuật toán Ngược lại, tính y n+1 = 2xn+1 − xn gán n := n + quay lại Bước Bổ đề 3.14 Nếu r (xn , y n ) = xn = y n = xn+1 nghiệm toán VIP(K, F ) Bổ đề 3.15 Cho {xn } {y n } hai dãy sinh Thuật toán 3.3 z ∈ Sol(K, F) Khi √ xn+1 − z ≤ xn − z − − λL + xn − xn−1 √ + λL xn − yn−1 − − 2λL xn+1 − yn − 2λ F (z) , yn − z (3.23) Chứng minh Ta có xn+1 − z 2 ≤ xn − λF (y n ) − z = xn − z − xn − λF (y n ) − xn+1 − xn+1 − xn 2 − 2λ F (y n ) , xn+1 − z (3.24) Vì F đơn điệu nên 2λ F (y n ) − F (z) , y n − z ≥ Do đó, cộng thêm 2λ F (y n ) − F (z) , y n − z vào vế phải (3.24) ta xn+1 − z ≤ xn − z − xn+1 − xn − 2λ F (z) , y n − z + 2λ F (y n ) , y n − xn+1 = xn − z − xn+1 − xn + 2λ F (y n ) − F y n−1 , y n − xn+1 + 2λ F y n−1 , y n − xn+1 − 2λ F (z) , y n − z (3.25) Vì xn+1 , xn−1 ∈ K nên theo tính chất phép chiếu metric ta có xn − xn+1 + λF y n−1 , xn − xn+1 ≤ 0, xn − xn+1 + λF y n−1 , xn − xn−1 ≤ Cộng hai bất đẳng thức ta xn − xn+1 + λF y n−1 , y n − xn+1 ≤ Suy 2λ F y n−1 , y n − xn+1 ≤ xn − xn−1 , xn+1 − y n = y n − xn , xn+1 − y n = xn+1 − xn − xn − y n 53 − xn+1 − y n , (3.26) Ta có 2λ F (y n ) − F y n−1 , y n − xn+1 ≤ 2λL y n − y n−1 xn+1 − y n √ 2 ≤ λL √ y n − y n−1 + xn+1 − y n √ √ √ n n n n−1 √ 2+ y −x ≤ λL + x −y 2λL xn+1 − y n √ √ 2 = λL + y n − xn + λL xn − y n−1 + 2λL xn+1 − y n (3.27) Từ (3.25), (3.26) (3.27) suy xn+1 − z √ − − λL + xn − y n √ 2 − − 2λL xn+1 − y n − 2λ F (z) , y n − z ≤ xn − z + λL xn − y n−1 Bổ đề chứng minh Định lí 3.4 Cho K tập lồi, đóng, khác rỗng không gian Hilbert H ánh xạ F : H → H đơn điệu liên tục Lipschitz với số L > Giả sử Sol(K, F) = ∅ dãy {xn } sinh Thuật toán 3.3 hội tụ yếu nghiệm toán VIP(K, F ) Chứng minh Ta chứng minh dãy {xn } bị chặn Thật vậy, cố định z ∈ Sol(K, F) √ Vì − 2λL > λL F (z) , y n − z = F (z) , xn − z − F (z) , xn−1 − z ≥ F (z) , xn − z − F (z) , xn−1 − z , nên từ bất đẳng thức (3.23) suy xn+1 − z + λL xn+1 − y n ≤ xn − z + 2λ F (z) , xn − z 2 + λL xn − y n−1 + 2λ F (z) , xn−1 − z √ xn − xn−1 (3.28) − − λL + Với n ≥ giả sử an = xn − z 2 + λL xn − y n−1 + 2λ F (z) , xn−1 − z , √ bn = − λL + xn − xn−1 54 Khi đó, bất đẳng thức (3.28) viết lại sau: an+1 ≤ an − bn Suy {an } bị chặn lim xn − xn−1 = Do đó, dãy { xn − z } {xn } n→∞ bị chặn Từ bất đẳng thức xn+1 − y n ≤ xn+1 − xn + xn − y n = xn+1 − xn + xn − xn−1 , ta có lim xn+1 − y n = n→∞ n Vì {x } bị chặn nên tồn dãy {xni } {xn } cho {xni } hội tụ yếu tới x∗ ∈ H Rõ ràng {y ni } hội tụ yếu tới x∗ Theo tính chất phép chiếu metric ta có xni +1 − xni + λF y ni , y − xni +1 ≥ ∀y ∈ K Vì F đơn điệu nên với y ∈ K ta có ≤ xni +1 − xni , y − xni +1 + λ F (y ni ) , y − y ni + λ F (y ni ) , y ni − xni +1 ≤ xni +1 − xni , y − xni +1 + λ F (y) , y − y ni + λ F (y ni ) , y ni − xni +1 Lấy giới hạn i → ∞ sử dụng lim xni +1 − xni = lim yni +1 − yni = i→∞ i→∞ ta thu ≤ F (y) , y − x∗ ∀y ∈ K Áp dụng Bổ đề Minty ta có x∗ ∈ Sol(K, F) Ta chứng minh xn x∗ Thật vậy, từ (3.28) suy dãy {an } đơn điệu với z ∈ Sol(K, F) Do {an } bị chặn nên hội tụ Cuối dãy hội tụ, xn − y n−1 xn − z + 2λ F (z) , xn−1 − z hội tụ Ta phải chứng minh {xn } hội tụ yếu Ngược lại, giả sử dãy {xn } có hai điểm tụ yếu x ∈ Sol(K, F) x ∈ Sol(K, F) cho x = x Giả sử {xnk } dãy thỏa mãn xnk x k → ∞ Theo tính chất Opial ta có lim n→∞ xn − x = lim k→∞ + 2λ F (x) , xn − x x nk − x + 2λ F (x) , xnk − x = lim inf xnk − x ≤ lim inf xnk − x k→∞ k→∞ = lim n→∞ + 2λ lim inf F (x) , xnk − x k→∞ xnk − x xn − x k→∞ k→∞ k→∞ ≤ lim inf < lim inf xnk − x = lim xnk − x + 2λ F (x) , xnk − x + 2λ F (x) , xn − x 55 Chứng minh tương tự lim n→∞ xn − x < lim n→∞ + 2λ F (x) , xn − x xn − x + 2λ F (x) , xn − x điều vô lý Do xn hội tụ yếu tới x∗ ∈ Sol(K, F) 56 , Kết luận Luận văn nghiên cứu số phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân Cụ thể luận văn tìm hiểu, giới thiệu phương pháp chiếu phương pháp chiếu gradient (phương pháp chiếu đạo hàm), phương pháp extragradient (phương pháp đạo hàm tăng cường) dạng cải tiến Các kết trình bày luận văn bao gồm: Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân trường hợp đơn điệu không đơn điệu Mối quan hệ toán bất đẳng thức biến phân Stampacchina với toán bất đẳng thức biến phân Minty Sự hội tụ phương pháp chiếu gradient không gian Hilbert Sự hội tụ yếu hội tụ mạnh phương pháp extragradient không gian Hilbert Sự hội tụ yếu hội tụ mạnh phương pháp subgradient extragradient không gian Hilbert Sự hội tụ yếu phương pháp Popov subgradient extragradient phương pháp chiếu gradient đối xứng không gian Hilbert 57 Tài liệu tham khảo [1] Agarwal, R.P., Donal O’Regan, Sahu, D.R.: Fixed point theory for Lipschitzian-type mappings with applications Springer Dordrecht Heidelberg London New York (2009) [2] Ansari, Q.H., Lalitha, C.S., Mehta, M.: Generalized convexity, nonsmooth variational inequalities, and nonsmooth optimization CRC Press, Boca Raton, FL (2014) [3] Baiocchi, C., Capelo, A.: Variational and quasivariational inequalities, New York (1984) [4] Censor, Y., Gibali, A., Reich, S.: Strong convergence of subgradient extragradient methods for the variational inequality problem in Hilbert space Optim Methods Softw 26, 827–845 (2011) [5] Censor, Y., Gibali, A., Reich, S.: The subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert space J Optim Theory Appl 148, 318–335 (2011) [6] Giannessi, F (ed.): Vector Variational Inequalities and Vector Equilibria: Mathematical Theories, Nonconvex Optimization and Its Applications, vol 38 Kluwer, Dordrecht (2000) [7] Hartman, P., Stampacchia, G.: On some nonlinear elliptic differential functional equations Acta Math 115, 271-310 (1966) [8] Iusem, A.N., Svaiter, B.F.: A variant of Korpelevich’s method for variational inequalities with a new search strategy Optimization 42, 309-321 (1997) [9] Khanh, P.D.: A modified extragradient method for infinite-dimensional variational inequalities Acta Math Vietnam 41, 251-263 (2016) [10] Khobotov, E.N.: A modification of the extragradient method for solving variational inequalities and some optimization problems (Russian) Zh Vychisl Mat i Mat Fiz 27, 1462-1473 (1987) [11] Kinderlehrer, D., Stampacchia, G.: An introduction to variational inequalities and their applications Academic Press, New York (1980) [12] Konnov, I.V.: Equilibrium Models and Variational Inequalities Elsevier, Amsterdam, Boston, Heidelberg, London, New York (2007) 58 [13] Korpelevich, G.M.: An extragradient method for finding saddle points and for other problems Ekonom i Mat Metody 12, 747-756 (1976) [14] Malitsky, Y., Semenov V.: An extragradient algorithm for monotone variational inequalities Cybernetics and Systems Analysis 50, 271-277 (2014) [15] Malitsky, Y.: Projected reflected gradient method for monotone variational inequalities SIAM J Optim, 25, 502–520 (2015) [16] Maingé, P E.: Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization, Set-Valued Analysis 16, 899-912 (2008) [17] Maingé, P.: Numerical approach to monotone variational inequalities by a one-step projected reflected gradient method with line-search procedure Comput Math Appl 72, 720-728 (2016) [18] Maingé, P., Gobinddass, M L.: Convergence of one-step projected gradient methods for variational inequalities J Optim Theory Appl 171, 146168 (2016) [19] Popov, L.: A modification of the Arrow-Hurwicz method for search for saddle points Math Notes 28, 845-848 (1980) [20] Saejung, S., Kraikaew, R.: Strong convergence of the halpern subgradient extragradient method for solving variational inequalities in Hilbert spaces J Optim Theory Appl 163, 399-412 (2014) [21] Solodov, M.V., Svaiter, B.F.: A new projection method for variational inequality problems SIAM J Optim 37, 765-776 (1999) [22] Xu, H.-K.: Iterative algorithms for nonlinear operators, J London Math Soc 66, 240-256 (2002) 59