Một phương pháp chiếu giải bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp

-„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC „ o0o „ HO„NG THÀ TH„O MËT PH ÌNG PH„P CHI„U GI„I B„I TO„N B„T -„NG THŸC BI„N PH„N HAI C„P LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC TH„I NGUY„N, N„M 2020 -„I HÅC TH„I NGUY„N TR ÕNG -„I HÅC KHOA HÅC „ o0o „ HO„NG THÀ TH„O MËT PH ÌNG PH„P CHI„U GI„I B„I TO„N B„T -„NG THŸC BI„N PH„N HAI C„P Chuy¶n ng nh: M¢ sË: TO„N ŸNG D÷NG 8460112 LU„N V„N TH„C S„ TO„N HÅC C¡n bÎ h˜Óng d¨n khoa hÂc PGS.TS NGUY„N THÀ THU TH’Y TH„I NGUY„N, N„M 2020 iii Mˆc lˆc LÌi c£m Ïn B£ng k˛ hi»u 1 2 Danh s¡ch b£ng 3 M ¦u 4 Ch˜Ïng 1 B§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n trong khÊng gian Hilbert 6 1.1 MÎt sË t½nh ch§t cıa khÊng gian Hilbert 1.1.1 S¸ hÎi tˆ y¸u, hÎi tˆ m¤nh 1.1.2 To¡n t˚ chi¸u trong khÊng gian Hilbert 1.1.3 N‚n ph¡p tuy¸n 1.1.4 „nh x¤ khÊng gi¢n v to¡n t˚ Ïn i»u 1.2 B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n v mÎt sË b i to¡n li¶n quan 1.2.1 B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n 1.2.2 MÎt b i to¡n th¸c t¸ ˜Òc mÊ t£ d˜Ói d¤ng b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n 1.2.3 MÎt sË b i to¡n li¶n quan 1.2.4 MÎt ph˜Ïng ph¡p l°p gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n Ch˜Ïng 2 MÎt ph˜Ïng ph¡p chi¸u gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n 6 6 7 8 8 hai c§p trong khÊng gian Hilbert 2.1 2.1.1 11 11 12 14 16 22 B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p 22 B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p 22 2.1.2 MÎt sË b i to¡n li¶n quan 23 iv 2.1.3 Thuªt to¡n ¤o h m t«ng c˜Ìng gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p 24 2.2 Ph˜Ïng ph¡p chi¸u gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p 26 2.2.1 MÊ t£ ph˜Ïng ph¡p 26 2.2.2 S¸ hÎi tˆ 27 32 K¸t luªn T i li»u tham kh£o 33 1 LÌi c£m Ïn Luªn v«n ˜Òc ho n th nh t¤i Tr˜Ìng -¤i hÂc Khoa hÂc - -¤i hÂc Th¡i Nguy¶n Trong qu¡ tr¼nh hÂc tªp v th¸c hi»n luªn v«n n y, Tr˜Ìng -¤i hÂc Khoa hÂc ¢ t¤o mÂi i·u ki»n tËt nh§t º tÊi ˜Òc tham gia hÂc tªp, nghi¶n c˘u TÊi xin ˜Òc g˚i lÌi c£m Ïn tÓi Ban gi¡m hi»u, Ph·ng o t¤o, Khoa To¡n - Tin Tr˜Ìng -¤i hÂc Khoa hÂc v qu˛ th¦y cÊ tr¸c ti¸p gi£ng d¤y lÓp Cao hÂc To¡n K12A (kh‚a 2018 „ 2020) ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nh˙ng ki¸n th˘c qu˛ b¡u cÙng nh˜ t¤o i·u ki»n cho tÊi ho n th nh kh‚a hÂc -º ho n th nh luªn v«n mÎt c¡ch ho n ch¿nh tÊi luÊn nhªn ˜Òc s¸ h˜Óng d¨n v giÛp Ô nhi»t t¼nh cıa PGS.TS NGUY„N THÀ THU TH’Y TÊi xin t‰ l·ng bi¸t Ïn s¥u sc ¸n cÊ v xin g˚i lÌi tri ¥n cıa tÊi Ëi vÓi nh˙ng i·u cÊ ¢ d nh cho tÊi TÊi xin g˚i lÌi c£m Ïn ch¥n th nh nh§t tÓi gia ¼nh, b¤n b±, Áng nghi»p ¢ luÊn Îng vi¶n, hÈ trÒ v t¤o i·u ki»n cho tÊi trong suËt qu¡ tr¼nh hÂc tªp v th¸c hi»n luªn v«n Th¡i Nguy¶n, th¡ng 6 n«m 2020 T¡c gi£ luªn v«n Ho ng Th‡ Th£o 2 B£ng k˛ hi»u H C h;i VI(F; C) khÊng gian Hilbert th¸c mÎt tªp con lÁi ‚ng kh¡c rÈng cıa H t½ch vÊ h˜Óng b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n vÓi ¡nh x¤ gi¡ F v tªp r ng buÎc C 0 NC (x ) S (F;C) OP(F; C) FP(F; C) P C BVI(F; G; C) S (G;C) 0 n‚n ph¡p tuy¸n ngo i cıa C t¤i x tªp nghi»m cıa b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n VI(F; C) b i to¡n tËi ˜u b i to¡n iºm b§t Îng ph²p chi¸u m¶tric chi¸u H l¶n C b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p tªp nghi»m b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n VI tªp nghi»m cıa b i to¡n BVI(F; G; C) (G; C) 3 Danh s¡ch b£ng 1.1 B£ng t½nh to¡n vÓi x0 = (5; 5; 5)T 2 R3, chÂn = 1=(k + 2) 21 1.2 1.3 B£ng t½nh to¡n vÓi x0 = ( B£ng t½nh to¡n vÓi x0 = ( 20; 60; 10)T 2 R3, = 1=(k + 2) 20; 60; 10)T 2 R3, = 1=(k + 4) 21 21 4 M ¦u Cho H l mÎt khÊng gian Hilbert th¸c vÓi t½ch vÊ h˜Óng h ; i v chu©n k k Cho C l mÎt tªp con lÁi ‚ng kh¡c rÈng cıa H, v ¡nh x¤ F : C ! H th˜Ìng ˜Òc gÂi l ¡nh x¤ gi¡ (trong mÎt v i tr˜Ìng hÒp, F i t¯ H tÓi H) B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n (Ïn tr‡) trong H, vi¸t tt VI(F; C), ˜Òc ph¡t biºu nh˜ sau: T¼m x 2 C sao cho hF (x ); x xi 0 vÓi mÂi x 2 C: B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n VI (F; C) ˜Òc giÓi thi»u l¦n ¦u ti¶n v o n«m 1966 b i G.J Hartman v G Stampacchia, khi nghi¶n c˘u vi»c gi£i b i to¡n i·u khiºn tËi ˜u v c¡c b i to¡n bi¶n cho ph˜Ïng tr¼nh ¤o h m ri¶ng [7] B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n c‚ quan h» mªt thi¸t vÓi nhi·u b i to¡n th¸c ti¹n nh˜ mÊ h¼nh c¥n b¬ng m¤ng giao thÊng, b i to¡n bi¶n t¸ do, b i to¡n x˚ l˛ £nh N«m 1971, M Sibony [13] ¢ x²t b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n trong tr˜Ìng hÒp tªp r ng buÎc C l tªp nghi»m cıa ph˜Ïng tr¼nh to¡n t˚ Ïn i»u CÙng nghi¶n c˘u v· b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n trong tr˜Ìng hÒp n y, I Yamada [18] ¢ x²t b i to¡n vÓi tªp C l tªp iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ khÊng gi¢n (tr˜Ìng hÒp ri¶ng khi C l tªp nghi»m cıa ph˜Ïng tr¼nh to¡n t˚ Ïn i»u) Nh˙ng n«m g¦n ¥y, b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n l mÎt · t i ˜Òc nhi·u nh to¡n hÂc quan t¥m nghi¶n c˘u b i t½nh ˘ng dˆng cıa b i to¡n n y trong mÎt sË ng nh khoa hÂc B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n ˜Òc nghi¶n c˘u m rÎng th nh c¡c d¤ng tÍng qu¡t hÏn nh˜ b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n a tr‡ vÓi ¡nh x¤ F l ¡nh x¤ a tr‡, b i to¡n c¥n b¬ng, b i to¡n t¼m 22 Ch˜Ïng 2 MÎt ph˜Ïng ph¡p chi¸u gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p trong khÊng gian Hilbert Ch˜Ïng n y tr¼nh b y thuªt to¡n chi¸u gi£i mÎt lÓp b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p BVI(F; G; C) trong khÊng gian Hilbert th¸c H vÓi gi£ thi¸t ¡nh x¤ F l -Ïn i»u m¤nh, L-li¶n tˆc Lipschitz v ¡nh x¤ G l -Ïn i»u m¤nh ng˜Òc tr¶n C NÎi dung cıa ch˜Ïng ˜Òc tr¼nh b y trong hai mˆc Mˆc 2.1 tr¼nh b y b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p Mˆc 2.2 tr¼nh b y ph˜Ïng ph¡p chi¸u gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p v s¸ hÎi tˆ cıa ph˜Ïng ph¡p NÎi dung cıa ch˜Ïng ˜Òc vi¸t tr¶n cÏ s b i b¡o [4] 2.1 B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p 2.1.1 B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p Trong khÊng gian Hilbert th¸c H, x²t ¡nh x¤ F; G : C ! H B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p, k˛ hi»u l BVI (F; G; C), l ¥y S t¼m x 2 S(G;C) th‰a m¢n hF (x ); x (G;C) b i to¡n x i 0 8x 2 S(G;C); l tªp nghi»m b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n t¼m y 2 C th‰a m¢n hG(y ); x y i 0 8x 2 C: (2.1) 23 Ta k˛ hi»u tªp nghi»m cıa b i to¡n BVI (F; G; C) l : B i to¡n BVI(F; G; C) ¢ ˜Òc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n c˘u trong thÌi gian g¦n ¥y, °c bi»t l vi»c x¥y d¸ng mÎt sË thuªt to¡n gi£i d¸a tr¶n t½nh Ïn i»u cıa c¡c ¡nh x¤ gi¡ F v G 2.1.2 MÎt sË b i to¡n li¶n quan ThÊng th˜Ìng khi nghi¶n c˘u c¡c b i to¡n tËi ˜u hai c§p n‚i chung v b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p n‚i ri¶ng, ng˜Ìi ta quan t¥m ¸n c¡c thuªt to¡n gi£i cÙng nh˜ i·u ki»n tÁn t¤i nghi»m cıa c¡c b i to¡n ‚ B i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p ch˘a ¸ng mÎt sË lÓp cıa b i to¡n c¸c tiºu hai c§p, b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n, b i to¡n t¼m chu©n nh‰ nh§t cıa tªp nghi»m b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n, c¡c mÊ h¼nh b i to¡n lÁi hai c§p v b i to¡n tuy¸n t½nh hai c§p Trong thÌi gian g¦n ¥y, c‚ nhi·u t¡c gi£ ¢ ˜a ra thuªt to¡n t¼m nghi»m b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p d˜Ói c¡c tr˜Ìng hÒp ri¶ng, nh˜ trong tr˜Ìng hÒp f; g l hai h m lÁi v kh£ vi, b i to¡n BVI (F; G; C) (vÓi F = rf v G = rg) c‚ d¤ng cıa b i to¡n c¸c tiºu hai c§p [14] 8 T¼m x C; k k G(x ) kx ); y = PC (x > > < x k+1 = PC [xk > :x f k + (y k x )]; 8k G(x > Khi ‚, d¢y > k) k hÎi tˆ m¤nh ¸n x (0) d˜Ói mÎt sË i·u ki»n °t =P S g 0: (G;C) l¶n tham sË Ta nhc l¤i mÎt sË bÍ · ˜Òc dÚng º ch˘ng minh s¸ hÎi tˆ cıa c¡c d¢y l°p trong Thuªt to¡n 2.2.2 K˛ hi»u Fix(S) l tªp iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ S, t˘c l Fix(S) = fx 2 C : x = Sxg: BÍ · 2.1.1 (xem [6]) Trong khÊng gian Hilbert th¸c H, cho C l tªp con lÁi, ‚ng, kh¡c rÈng v S : C ! H l ¡nh x¤ khÊng gi¢n Khi ‚, n¸u Fix(S) 6= ;, th¼ I S (I l ¡nh x¤ Áng nh§t tr¶n H) l n˚a ‚ng t¤i y 2 H t˘c l , vÓi b§t k k k˝ d¢y fx g thuÎc C hÎi tˆ y¸u ¸n iºm x 2 C v d¢y f(I S)(x )g hÎi tˆ m¤nh ¸n y, ta c‚ (I S)(x) = y BÍ · 2.1.2 (xem [16], BÍ · 2.5) Gi£ s˚ fang l d¢y sË th¸c khÊng ¥m th‰a m¢n an+1 (1 vÓi f ng P (0; 1) v 1 (a) n = 1; n=0 (b) lim sup n 0 n n!1 Khi ‚, lim an = 0 n)an + n; 8n 0; f ng l mÎt d¢y trong R th‰a m¢n 1 ho°c P j n nj < +1 n=0 n!1 2.1.3 Thuªt to¡n ¤o h m t«ng c˜Ìng gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p Thuªt to¡n ¤o h m t«ng c˜Ìng [9] l mÎt trong nh˙ng ph˜Ïng ph¡p h˙u hi»u gi£i b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n vÓi ¡nh x¤ gi¡ Ïn i»u v li¶n tˆc 25 Lipschitz G¦n ¥y, khi nghi¶n c˘u v· vi»c x¥y d¸ng thuªt to¡n º gi£i b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p, t¡c gi£ cıa b i b¡o [3] ¢ ¡p dˆng thuªt to¡n ¤o h m t«ng c˜Ìng b¬ng c¡ch x¥y d¸ng c¡c d¢y l°p nh˜ sau Thuªt to¡n 2.1.3 ([3], Thuªt to¡n 2.2) Cho f d¢y sË d˜Ïng f kg; f kg; f kg, f kg; f kg v 8 f kg [m; n]1vÓi m; n 2 (0; 1); > 1 lim k = 0; k >k < k 2 2H;0< L1 2 , c¡c kg th‰a m¢n 8k 0; L2 ; 0 < lim inf k k=0 0 k = 0; x k < lim supk k !1 1 < 1; !1 !1 > > > < k + k P ; 8k 0 ; lim k = 0 ; + > k > k!1 =1 1 k = 1 : k=0 P > > > B˜Óc 1 k N¸u th¼ d¯ng Ng˜Òc l¤i, t½nh x : k k y = PC (x 2 k k k kG(x v )) k z = PC (x kG(y )) B˜Óc 2 V·ng l°p trong, j = 0; 1; : : : T½nh k;j ( k ) k;j 8 k;j = z z >xk;0 k F y = PC (x ; j G(x )); > > >x < k;j+1 > k T¼m h th‰a > : m¢n = jx + jx + jPC (x k;0 k kh k;j k;j k;j lim x j !1 k )): k;j k k+1 v °t k jG(y x = x k k + (1 k )h : B˜Óc 3 Ng˜Òc l¤i, thay k b i k + 1 v quay l¤i B˜Óc 1 S¸ hÎi tˆ cıa Thuªt to¡n 2.1.3 ˜Òc kh¯ng ‡nh trong ‡nh l˛ sau -‡nh l˛ 2.1.4 ([3], -‡nh l˛ 3.8) Cho tªp con, lÁi, ‚ng, kh¡c rÈng cıa Cl khÊng gian Hilbert th¸c H Gi£ s˚ ¡nh x¤ F : C ! H l -Ïn i»u m¤nh v L1-li¶n tˆc Lipschitz tr¶n C v ¡nh x¤ G : C ! H l Ïn i»u v L2-li¶n tˆc k k k Lipschitz tr¶n C Khi ‚, c¡c d¢y fx g; fy g v fz g ˜Òc x¡c ‡nh b i Thuªt to¡n 2.1.3 hÎi tˆ m¤nh ¸n x HÏn n˙a, ta c‚ l nghi»m duy nh§t cıa B i to¡n BVI(F; G; C) k x = lim PS(G;C) (x ): k!1 26 2.2 Ph˜Ïng ph¡p chi¸u gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p 2.2.1 MÊ t£ ph˜Ïng ph¡p Trong mˆc n y ta tr¼nh b y thuªt to¡n chi¸u trong [4] º gi£i b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p BVI(F; G; C) d¸a tr¶n cÏ s k¸t hÒp gi˙a thuªt to¡n chi¸u ¤o h m v ph˜Ïng ph¡p iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ khÊng gi¢n Thuªt to¡n gÁm hai b˜Óc B˜Óc 1 S˚ dˆng thuªt to¡n chi¸u ¤o h m gi£i b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n VI(G; C) v t½nh d¢y l°p xk+1 = PC (xk G(xk)) (k = 0; 1; : : : ) vÓi 0 > 0 v x 2 C B˜Óc 2 S˚ dˆng Nguy¶n l˛ iºm b§t Îng cıa ¡nh x¤ co Banach t¼m iºm b§t Îng duy nh§t cıa ¡nh x¤ co T = I F vÓi I l ¡nh x¤ Áng nh§t, 2 2 (0; L2 ) v 2 (0; 1] Gi£ thi¸t 2.2.1 Gi£ s˚ ¡nh x¤ F v G th‰a m¢n c¡c i·u ki»n sau: (C1) G l ¡nh x¤ -Ïn i»u m¤nh ng˜Òc tr¶n H; (C2) F l ¡nh x¤ -Ïn i»u m¤nh v L-li¶n tˆc Lipschitz tr¶n C; (C3) Tªp nghi»m cıa b i to¡n BVI(F; G; C) kh¡c rÈng Khi ‚, c¡c d¢y l°p cıa thuªt to¡n ˜Òc tr¼nh b y chi ti¸t nh˜ sau Thuªt to¡n 2.2.2 (xem [4]) ChÂn x0 2 C; k = 0, d¢y sË d˜Ïng f kg; ; th‰a m¢n 8 0 < k minf1; > lim k = 0; lim : k!1 1 g; = 1 1 k+1 1 k 1 1 = 0; p k=0 2 (2 k = L ); 1 ;0< P , th¸c hi»n c¡c b˜Óc sau: k B˜Óc l°p th˘ k; (k = 0; 1; 2; : : : ), c‚ x B˜Óc 1 T½nh yk = PC (xk G(xk)) 2 2;0< lim < k!1 Khi ‚, d¢y k f minf1; k > : x g k v = 0; lim y 1 k!1 k+1 1 = 0; k ˜Òc x¡c ‡nh b i k f 1g; = 1 j 1 g j; 1 k=0 P k = 1 : (2.12) iºm x^ = PS(G;C)(0) 32 K¸t luªn -· t i luªn v«n ¢ nghi¶n c˘u ph˜Ïng ph¡p gi£i b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p trong khÊng gian Hilbert th¸c H Cˆ thº: 1 GiÓi thi»u b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n trong khÊng gian Hilbert th¸c; tr¼nh b y mÎt b i to¡n th¸c t¸ d¨n ¸n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n 2 Tr¼nh b y mËi li¶n h» gi˙a b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n vÓi b i to¡n gi£i ph˜Ïng tr¼nh to¡n t˚, b i to¡n tËi ˜u, b i to¡n iºm b§t Îng; t¯ ‚ tr¼nh b y mÎt ph˜Ïng ph¡p l°p gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n d¸a tr¶n ph˜Ïng tr¼nh iºm b§t Îng v t½nh to¡n v½ dˆ sË minh hÂa 3 GiÓi thi»u b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p; mÊ t£ ph˜Ïng ph¡p ¤o h m t«ng c˜Ìng v mÎt ph˜Ïng ph¡p chi¸u gi£i b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n hai c§p; ch˘ng minh s¸ hÎi tˆ m¤nh cıa ph˜Ïng ph¡p chi¸u v x²t tr˜Ìng hÒp °c bi»t l b i to¡n t¼m nghi»m c‚ chu©n nh‰ nh§t tr¶n tªp nghi»m cıa b i to¡n b§t ¯ng th˘c bi¸n ph¥n 33 T i li»u tham kh£o Ti¸ng Vi»t [1]Ho ng Tˆy, H m th¸c v Gi£i t½ch h m, NXB -¤i hÂc QuËc gia H NÎi, 2005 Ti¸ng Anh [2] R.P Agarwal, D O'Regan, D.R Sahu (2009), Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications , Springer [3] P.N Anh (2012), "A new extragradient iteration algorithm for bilevel vari-ational inequalities", Acta Math Vietnam., 37, pp 95-107 [4] T.T.H Anh, L.B Long, T.V Anh (2014), "A projection method for bilevel variational inequalities", J Inequal Appl., 2014:205 [5] H.H Bauschke, P.L Combettes (2010), Convex analysis and monotone op- erator theory in Hilbert Spaces , Springer [6] K Goebel, W.A Kirk (1990), Topics on metric fixed point theory , Cam- bridge University Press, Cambridge, England [7] P.T Harker, J.S Pang (1990), "A damped-Newton method for the linear complementarity problem", Lectures in Appl Math., 26, pp 265-284 [8] I.V Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequal-ities, Springer Verlag, Berlin, Germany 34 [9]G.M Korpelevich (1976), "An extragradient method for finding saddle points and other problems", Ekonomika i Matematicheskie Metody ,12, pp 747-756 [10] P.E Maing² (2008), "Strong convergence of projected subgradient methods for nonsmooth and nonstrictly convex minimization", Set-Val Anal., 16, pp 899-912 [11] P.E Maing² (2010), "Projected subgradient techniques and viscosity meth-ods for optimization with variational inequalities constraints", Eur J Oper Res 205, pp 501-506 [12] M.A Noor (1991), "An iterative algorithm for variational inequalities", J Mathematics Anal Appl., 158, 448 „ 455 [13]M Sibony (1971), "Sur I'approximation d'²quation et in²quations aux d²riv²es partielles nonlin²aires de type monotone", J Math Anal App., 34, pp 502-564 [14]M Solodov (2007), "An explicit descent method for bilevel convex opti-mization", J Convex Anal., 14, pp 227-237 [15]H Tuy (1997), Convex analysis and global optimization , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht [16]H.K Xu (2002), "Iterative algorithms for nonliner operators", J London Math Soc., 66, pp 240-256 [17] I Yamada (2001), The hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the intersection of fixed point sets of nonexpansive mappings, In inherently parallel algorithm for feasibility and optimization and their applications edited by: D Butnariu, Y Censor, and S Reich, Elsevier., 473 - 504 [18] I Yamada, N Ogura (2005), "Hybrid steepest descent method for the variational inequality problem over the fixed point set of certain quasinonexpansive mappings", Numer Funct Anal Optim., 25, pp 619-655 ... giÊi bĐt ng thc bián phƠn 6 8 hai c§p khÊng gian Hilbert 2.1 2.1.1 11 11 12 14 16 22 B i toĂn bĐt ng thc bián phƠn hai cĐp 22 B i toĂn bĐt ng thc bián phƠn hai cĐp 22 2.1.2... bián phƠn hai cĐp Luên vôn nghiản cu mẻt phẽng phĂp chiáu giÊi mẻt lểp b i toĂn bĐt ng thc bián phƠn hai cĐp khấng gian Hilbert thác b i bĂo [4] Nẻi dung ca luên vôn ềc trẳnh b y hai chẽng... hai cĐp khÊng gian Hilbert" Ch˜Ïng n y giÓi thi»u v· b i toĂn bĐt ng thc bián phƠn hai cĐp khấng gian Hilbert cng mẻt sậ b i toĂn liản quan; mấ tÊ phẽng phĂp chiáu giÊi bĐt ng thc bián phƠn hai