Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài tập bất đẳng thức dành cho học sinh lớp 10

Với sáng kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức ở toán lớp 10, giúp các em có được một số kỹ năng, kỹ thuật khi làm bài tập về bất đẳng thức... Ph[r]

Phần I: Đặt vấn đề Học sinh khối lớp 10 chất lượng học tập nói chung là còn yếu, có thể bỡ ngỡ vì thay đổi môi trường THCS lên THPT Phải có thời gian làm quen với trường mới, bạn mới, thầy cô và có thể là phương pháp học Vì tiếp cận với các môn THPT các em phần lớn bước đầu thể khả tiếp thu chậm, học trước quên sau, đặc biệt môn Toán là môn Đối với chương trình toán lớp 10 bước sang phần bất đẳng thức là phần toán đòi hỏi học sinh phải tư nhạy bén và có kỹ giải bài tập linh hoạt nên các em thường gặp khó khăn tiếp cận bài toán Nhất là gặp phải các bài toán chứng minh Bất đẳng thức, các em thường lúng túng không biết giải vấn đề nào để giúp các em giải tốt phần bài tập này tôi nghĩ cần phải đưa hệ thống bài tập và các phương pháp giải phạm vi kiến thức toán các em đã học Do tên đề tài là: '' Một số phương pháp gi¶i bµi tËp B§T' dµnh cho häc sinh líp 10” Với sáng kiến này tôi hy vọng góp phần nhỏ bé và phương pháp giải bài tập bất đẳng thức toán lớp 10, giúp các em có số kỹ năng, kỹ thuật làm bài tập bất đẳng thức Phần II: giải vấn đề A: Néi dung I: C¬ së ly luËn 1/ Sử dụng định nghĩa và biến đổi tương đương a) KiÕn thøc: xR , x2  xR , x  x i  , i  1,2 , , n , n  N  x1  x   x n  a b  a b 0 a  b   ac b  c  ac  bc; c  a  b   ac  bc; c   ac  bc; c  a  b, c  d  a  c  b  d a  b, c  d  a  c  b  d a  b, c  d  a  c  b  d a  b, c  d  a  c  b  d b) Bµi to¸n: Bµi to¸n 1: Cho a, b, c, d, e lµ c¸c sè thùc Chøng minh r»ng: a  b2  c  d  e2  a  b  c  d  e  Lop12.net 1 Gi¶i: 1  a  b  c  d  e2  ab  ac  ad  ae   a2   a2   a2   a2     ab  b     ac  c     ad  d     ae  e           2 2 a  a  a  a     b     c     d     e   đúng  (đpcm) 2  2  2  2  Bµi to¸n 2: Cho a , b  R Chøng minh r»ng: a  b2  ab      Gi¶i: (1) a  2ab  b a  b2  1   a  2ab  b  2a  2b  a  2ab  b    a  b   đúng  (đpcm) Bµi tËp 3: Chøng minh r»ng: x  y  z  xy  yz  zx ; x , y , z  R Gi¶i: Ta cã: x  y  xy   y  z  yz   x  y  z  xy  yz  zx  z  x  xz     x  y  z  xy  yz  zx (®pcm) Bµi tËp 4: Chøng minh r»ng víi a  b  Gi¶i: 1    a  b2  ab (1) 1 1      a  ab  b  ab ab  a ab  b     a 1  ab   b 1  ab  1      Lop12.net    a b  a    a 1  ab   b a  b    b 1  ab  0 b  a   a  b   1  ab    a  b2  b  a   a  ab  b  ba    0  2  1  ab   1  a 1  b    b  a   ab  1     1  ab  1  a 1  b2  Vì a  b   ab   ab –   (2) đúng  (đpcm) Bµi tËp 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P  x  xy  y  x  y  2000 Gi¶i: P  x  1  y  1  xy  x  y  1998 2  x  1  y  1  x y  1  y  1  1997 2  x  1  y  1  x  1y  1  1997 2 y 1    x     y  1  1997     P  1997 DÊu ''='' x¶y vµ chØ x  y  Bµi tËp 6: Cho a, b,c  0 ;2  vµ a  b  c  Chøng minh r»ng: Gi¶i: a  b  c  a           b       ,  ,   1;1  §Æt c    2 B§T        Trong sè  ,  , lu«n tån t¹i sè cïng ≥ 0, hoÆc cïng ≤ Gi¶ sö sè đó là:  ,  Khi đó:           2       2    2  II: Sö dông tam thøc bËc hai Tam thøc bËc hai lµ biÓu thøc cã d¹ng f x   ax  bx  c ; a   T am thøc cã nghiÖm   b  ac  Lop12.net Bµi to¸n 1: Cho tam gi¸c ABC Chøng minh r»ng: pa  qb  pqc ; p, q; p  q  Gi¶i: B§T  pa  1  p  b  p 1  p  c  0; p    f  p   c p  a  b  c p  p  0; p    a2  b2  c     4b c  a  b  c  a  b  c  2    a  b  c  a  b  c  a  b  c  a  b  c   Do đó: c f  p   ; p  f  p   0; p Bµi tËp 2: Chøng minh r»ng: 19 x  54 y  16 z  16 xz  24 y  36 xy  ; x , y , z  R Gi¶i: f x   19 x  8 z  18 y x  54 y  16 z  24 y XÐt: Ta cã: ' x  g y   702 y  168 y  240 z Ta l¹i cã: ' y  84 z   702.240 z  161424 z   ' x  g y    f x   VËy ta cã (®pcm) Bµi tËp 3: Cho p  q  a  b  c  d  Ch­ng minh r»ng: p Gi¶i:    a  b q  c  d  pq  ac  bd  2 ' 2 2 2 XÐt:   pq  ac  bd   p  a  b q  c  d       Theo (gt)  p  a  b  q  c  d    Ýt nhÊt mét biÓu thøc dương, chẳng hạn: p  a  b  2 2 2 XÐt: f x   p  a  b x  pq  ac  bd x  q  c  d   px  q   ax  c   bx  d  2 2  aq p   bq    f       c     d     p q   p   p  p  a  b f     f x  q   Lop12.net có nghiệm Do đó '  Vậy: p    a  b q  c  d  pq  ac  bd  Bµi tËp 4: Cho x , y , z  là nghiệm hệ phương trình: x  y  z    xy  yz  zx  Chøng minh r»ng:  Gi¶i: 8  x, y ,z  3 x  y  z 2  16   xy  yz  zx  §Æt t  x  y  z  t  HÖ Ta cã: y  z  t  x y  z  t  x   yz   x y  z  yz  x  tx  Theo ĐL Viet thì y , z  là nghiệm phương trình:   u  t  x u  x  tx   Vì y , z  luôn tồn nên phương trình luôn có nghiệm        t  x   x  tx    x  tx  16  t  Mµ    x  8 2 t   t  16  x  2tx     x 3 0  x   Tương tự, ta có:  8  y ,z  3 VËy ta cã (®pcm) Bµi tËp5: T×m MGT cña hµm sè: y Gi¶i: Ta cã: NÕu: x 1 x  x 4 y  MGT  y x  y  x  y   y0   x  y   PT (*) cã nghiÖm, Ta cã:   19   19  y0  15 15    19   19   MGT :  ;  15 15      15 y  x   Lop12.net III: Bất đẳng thức Côsi: a) D¹ng tæng qu¸t: ab  ab ; a  0, b  DÊu ''='' x¶y vµ chØ a  b 1 x yz  xyz ; x, y , z  R DÊu ''='' x¶y vµ chØ  2 x  y  z x1  x2   xn  n  3 n x1 x2 xn DÊu ''='' x¶y vµ chØ x1  x  x n b) Bµi tËp: Bµi to¸n1: (§¸nh gi¸ tõ TB céng  TB nh©n) Chøng minh r»ng: a     b b  c c  a  a b c ; a, b, c Gi¶i: a  b  ab   b  c  bc   a  b b  c c  a  a b c  a b c  c  a  ca      Bài tập2: (Tách nghịch đảo) Chứng minh rằng: Gi¶i: V× a b   ; a, b  b a a b a b a b a b   a, b cùng dấu Do đó:      b a b a b a b a Bµi tËp3:(Thªm h»ng sè phô) Chøng minh r»ng: Gi¶i: a b   b a   ab; a, b  b   ab   2    a b   b a   ab a   ab  b a   b a  1.1  b  2  a b   a b  1.1  a Bài tập4: ( Ghép đối xứng) Chứng minh rằng: bc ca ab    a  b  c; a, b, c  a b c Lop12.net Gi¶i:  bc ca c a b    ca ab  ca ab bc ca ab   a    a  b  c ; a, b, c 0   2 b c  b c a b c    ab bc  ab bc   b   2 c a  c a   bc ca     2 a b  Bµi tËp5: ( §æi biÕn sè) Chøng minh r»ng: a b c    ; a, b, c 0 bc c a ab Gi¶i: §Æt B§T y zx  a   b  c  x  xzy   c  a  y  b  a  b  z   xy z  c   y zx xzy xy z   3 2x 2y 2z x y z x y z              y x x z z y (*)  Mµ VT (*)  x y  z x  y z  y x x z z y c) Một số bài tập áp dụng Bất đẳng thức Côsi: Cho a, b, c  0, a  b  c  chøng minh r»ng: b+c  16 abc (1- a)(1-b)(1-c)  8abc  1  1  1 1    1    1    64  a  b  c  a  b  c  1   1   1     b  c  a  a2 b2 c2 abc    bc ac ab Lop12.net B: Đối tượng phục vụ xây dựng đề tài: Häc sinh khèi 10 Ban tù nhiªn C: Nội dung và phương pháp nghiên cứu: I: Nội dung: bất đẳng thức II: Phương pháp: Các phương pháp giải toán BĐT, SGK, khảo sát trên lớp D: Kết sau áp dụng đề tài: Sau áp dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi thấy chất lượng học sinh khá lên rõ rệt Qua nhiều đợt kiểm tra, kết cụ thể lớp 10A2 sau: *) Trước: Khá=8%; TB=80%; Yếu=12% *) Sau: Kh¸=10%; TB=83%:YÕu=7% PhÇn III: KÕt luËn Với kết đạt sau áp dụng đề tài tôi mong muốn đề tài này song kết thu còn khiêm tốn, mong góp ý, giúp đỡ các đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện hơn, góp thêm phần nhỏ vào việc giảng d¹y häc sinh trªn líp tµi liÖu tham kh¶o 1.kỹ thuật chứng minh BĐT: trần phương 2.các bài toán BĐT hay và khó: nguyễn đễ SGK- §¹i sè 10 Lop12.net Lop12.net