BÁO CÁO THỰC TẬP-SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM-MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP TOÁN GIẢI BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng tập tốn giải máy tính cầm tay “ MỞ ðẦU C húng ta biết máy tính Casio loại máy tiện lợi cho học sinh từ trung học đến ðại học Vì máy giải hầu hết toán trung học phần ðại học ðể giúp học sinh ñặc biệt học sinh THCS sử dụng loại máy tính cầm tay kiểu khoa học nói chung, loại máy Casio fx – 570 MS nói riêng Ngồi tài liệu hướng dẫn sử dụng giải tốn có, học sinh mua máy Học sinh ñọc tài liệu biết chức phím tính tốn phép tốn bản, mà chưa có tập thực hành nhiều kỹ giải Tốn máy tính cầm tay ðể HS tự khám phá khả tính toán phong phú, khai thác chức máy gắn liền với việc học lớp hoạt động ngoại khóa tốn học thơng qua thực hành máy Vì trình dạy học lớp (dạy học tự chọn, dạy BDHSG,…) Chúng ta cần phải trang bị cho học sinh nắm ñược số phương pháp giải quy trình ấn phím ðể từ đó, học sinh tự giải tập tốn cách chủ động sáng tạo ðứng trước thực trạng trên, với tinh thần yêu thích mơn, muốn khám phá, muốn cho em học sinh THCS có dạng tập tốn giải máy tính cầm tay Tơi xin đưa số dạng tập ñể học sinh tự thực hành, rèn luyện kỹ giải Tốn máy tính cầm tay Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng tập toán giải máy tính cầm tay “ NỘI DUNG DẠNG 1: “ TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B “ a) Số dư số A chia cho số B: ( ðối với số bị chia tối ña 10 chữ số ) Số dư A B A B x phần nguyên (A chia cho B ) Cách ấn: A B = hình kết số thập phân ðưa trỏ lên biểu thức sửa lại A - B x phần nguyên A chia cho B ấn = Ví dụ: Tìm số dư phép chia 9124565217 cho 123456 Ấn: 9124565217 123456 = Máy thương số là: 73909,45128 ðưa trỏ lên dịng biểu thức sửa lại là: 9124565217 - 123456 x 73909 ấn Kết quả: Số dư: r = 55713 BÀI TẬP: Tìm số dư phép chia sau: a) 143946 chia cho 32147 KQ: r = 15358 b) 37592004 chia cho 4502005 KQ: r = 1575964 c) 11031972 chia cho 101972 KQ: r = 18996 d) 412327 chia cho 95215 KQ: r = 31467 e) 18901969 chia cho 1512005 KQ: r = 757909 b) Khi số bị chia A lớn 10 chữ số: Nếu số bị chia A số bình thường nhiều 10 chữ số Ta ngắt thành nhóm đầu chữ số ( kể từ bên trái ) Ta tìm số dư phần a) Rồi viết tiếp sau số dư cịn lại tối đa chữ số tìm số dư lần hai Nếu cịn tính liên tiếp Ví dụ: Tìm số dư phép chia 2345678901234 cho 4567 Ta tìm số dư phép chia 234567890 cho 4567 ñược kết 2203 Tìm tiếp số dư 22031234 cho 4567 Kết cuối 26 Vậy r = 26 Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ BÀI TẬP: 1) Tìm số dư r chia số 24728303034986074 cho 2003 2) Tìm số dư r chia số 2212194522121975 cho 2005 KQ: r = 401 KQ: r = 1095 c) Tìm số dư số bị chia ñược cho dạng lũy thừa lớn ta dùng phép đồng dư thức theo cơng thức sau:  a m(mod p) a.b m.n(mod p) ⇒ c  c b n(mod p)  a m (mod p) 376 Ví dụ 1: Tìm số dư phép chia 2004 cho 1975 Giải: Ta có 2004 841 (mod 1975) 2004 841 (mod 1975) 12 231 416 (mod 1975) ⇒ 2004 48 416 536 (mod 1975) ⇒ 2004 48 12 536 416 (mod 1975) ⇒ 2004 2004 60 2004 1776 (mod 1975) 62 1776 841 (mod 1975) ⇒ 2004 62 2004 516 (mod 1975) 62x3 516 1171(mod 1975) ⇒ 2004 62x3x2 1171 (mod 1975) ⇒ 2004 62x6 2004 591 (mod 1975) 62x6+4 591.231 (mod 1975) ⇒ 2004 376 246 (mod 1975) ⇒ 2004 376 Vậy 2004 chia cho 1975 có số dư 246 27 Ví dụ 2: Tìm số dư phép chia 176594 cho 293 Giải: Ta có 176594 208 (mod 293) 3 176594 208 (mod 293) 27 176594 (mod 293) 27 176594 52 (mod 293) 27 Vậy 176594 chia cho 293 có số dư 52 Bài tập: 1)Tìm số dư phép chia 232005 cho 100 Giải: Ta có: 23 23 (mod 100) 23 29 (mod 100) 23 29 41 (mod 100) 5 (23 ) 41 (mod 100) 20 23 (mod 100) 20 100 100 1 (mod 100) ⇒ (23 ) 2000 23 (mod 100) 2005 200 =23 23 23 1.41.23 (mod 100) ⇒ 23 2005 23 43 (mod 100) 2005 Vậy 23 chia cho 100 có số dư 43 2005 2) Tìm hai chữ số cuối 23 Giải: Ta giải 2005 Trả lời: Hai chữ số cuối 23 43 2005 3) Tìm chữ số hàng chục 23 Giải: Ta giải 2005 Trả lời: Chữ số hàng chục 23 2005 4) Tìm số dư phép chia chia cho 10 2005 ( Tìm chữ số hàng ñơn vị ) Giải: Ta có 7 (mod 10) 49 (mod 10) (mod 10) 2004 501 501 = (7 ) 1(mod 10) ⇒ 2005 2004 ⇒ =7 1.7 7(mod 10) 2005 Vậy: + chia cho 10 2005 + Chữ số hàng ñơn vị 2002 5) Tìm chữ số hàng đơn vị 17 Giải: Ta có 7 (mod 10) 49 (mod 10) (mod 10) 500 500 1(mod 10) ⇒ (7 ) 2000 1(mod 10) ⇒ 2002 2000 ⇒ 17 17 1.9 9(mod 10) 2002 Vậy: Chữ số hàng ñơn vị 17 6) Tìm hai chữ số cuối tổng A = 22000 + 22001 + 22002 Giải: 2000 Ta có A = ( 1+ + ) = 10 Mà ta lại có 24 (mod 100) 10 5 24 24 (mod 100) ⇒ (2 ) 250 24 24 (mod 100) ⇒2 1250 24 24 (mod 100) ⇒2 2000 1250 250 250 250 = 2 2 24.24.24.24 76 (mod 100) ⇒2 2000 7.76 32 (mod 100) ⇒ A = Vậy : Hai chữ số cuối tổng A 32 2000 7) Tìm hai chữ số cuối tổng B = 22000 + 22001 + 22002 + 22003 + 22004 + 22005 + 22006 Giải: 2000 2000 Ta có B = ( 1+ + + + + + ) = 127 2000 127.76 52 (mod 100) ⇒ B = 127 Vậy : Hai chữ số cuối tổng B 52 1997 8) Tìm số dư phép chia 1997 cho 13 Giải: Ta có 1997 (mod 13) 1997 12 (mod 13) 1997 12.8 5(mod 13) 1997 (mod 13) 499 499 1(mod 13) ⇒ (1997 ) 1997 1996 1997 = 1997 1997 1.8 (mod 13) 1997 Hay 1997 (mod 13) 1997 Vậy số dư phép chia 1997 cho 13 1000 9) Tìm dư phép chia cho 25 Giải: 10 Ta có 24 (mod 25) 20 (mod 25) ⇒2 1000 500 1 (mod 25) ⇒2 1000 Vậy số dư phép chia cho 25 1997 10) Tìm dư phép chia cho 49 Giải: Ta có (mod 49) 10 44 (mod 49) ⇒2 20 44 25 (mod 49) ⇒2 21 ⇒2 25.2 (mod 49) 21 95 95 ⇒ (2 ) 1 (mod 49) 1995 ⇒2 (mod 49) 1997 1995 =2 1.4 (mod 49) ⇒2 V ậy dư phép chia 1997 cho 49 1999 11) Tìm dư phép chia cho 35 Giải: Ta có 2 (mod 35) 10 (mod 35) ⇒2 20 44 25 (mod 35) ⇒2 30 9.25 29 (mod 35) ⇒2 16 16 (mod 35) 48 (mod 35) ⇒2 1999 48 41 31 ⇒2 = (2 ) 1.29.2 23 (mod 35) 1999 V ậy dư phép chia cho 35 23 12) Tìm dư chia 4362 a) 4362 cho 11 93 b) 3012 cho 13 1999 c) 1999 cho 99 345 d) 109 cho 14 (r=1) 1000 e) cho 49 1991 f) cho 28 ( r = 20) 150 g) 35 cho 425 2002 h) 22 cho 1001 2010 i) 2001 cho 2003 1930 1975 13) a) CMR: 1890 + 1945 +1⋮ 5555 2222 ⋮ b) CMR: 2222 + 5555 DẠNG 2: “ TÌM CHỮ SỐ x CỦA SỐ n = Phương pháp: an an xa1a0 ⋮m với m N“ Thay x từ đến cho n ⋮ m Ví dụ: Tìm chữ số x để 79506 x47 chia hết cho 23 Giải: Thay x = 0; 1; 2; …; Ta 79506147 ⋮ 23 Bài tập: 1)Tìm số lớn số nhỏ số tự nhiên có dạng 1x2 y3z chia hết cho Giải: - Số lớn dạng 1x2 y3z chia hết cho phải 19293z4 Lần lượt thử z = 9; 8; …;1; Vậy Số lớn dạng 1x2 y3z chia hết cho phải 1929354 - Số nhỏ dạng 1x2 y3z chia hết cho phải 10203z4 Lần lượt thử z =0; 1; …;8; Vậy Số nhỏ dạng 1x2 y3z chia hết cho phải 1020334 2)Tìm số lớn số nhỏ số 2x3 y4 z5 chia hết cho 25 KQ: - Số lớn là: 2939475 - Số nhỏ là: 1030425 4)Tìm chữ số b, biết rằng: 469283861b6505 chia hết cho 2005 KQ: b = 5) Tìm chữ số a biết 469a8386196505 chia hết cho 2005 KQ: a = 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 6)Hãy nêu bước thực máy tính từ suy phải thêm số vào bên phải số 200 chữ số ñể ñược số có bốn chữ số chia hết cho Hướng dẫn: n = 200a⋮7 KQ: 2002; 2009 DẠNG 3: “ TÌM ƯỚC VÀ BỘI CỦA MỘT SỐ “ Tìm ước số a : Phương pháp: Gán: A = nhập biểu thức A = A + : a Ấn nhiều lần phím = Gán: Nhập: Shift Alpha STO A A Alpha Ấn nhiều lần dấu A = Alpha A + Alpha : a Alpha A = Ví dụ: Tìm ( ước ) tập hợp ước 120 Ta gán: A = Nhập: A = A + : 120 A Ấn nhiều lần phím = Ta có A = {1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;30;40;60;120} Tìm bội b: Gán: A = -1 nhập biểu thức A = A + : b x A Ấn nhiều lần phím = Ví dụ : Tìm tập hợp bội nhỏ 100 Ta gán: A = -1 Nhập: A = A + : x A Ấn nhiều lần phím = Ta có: B = {0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;70;77;84;91;98} BÀI TẬP: 1) Tìm ước số sau: 24; 48; 176 2) Tìm tất bội 14 nhỏ 150 3.Kiểm tra số nguyên tố: ðể kiểm tra số số nguyên tố ta làm sau: ðể kết luận số a số nguyên tố ( a > 1) , cần chứng tỏ khơng chia hết cho số ngun tố mà bình phương khơng vượt q a Vì số a hợp số phải có ước nhỏ a Ví dụ: Số 647 có phải số ngun tố khơng ? Giải Ta có 647 = 25,43 Gán: A = Nhập: A = A + : 647 A Ấn 25 lần phím = mà hình kết thương số thập phân kết luận 647 số nguyên tố BÀI TẬP: 1)Các số sau ñây số số nguyên tố: 197; 247; 567; 899; 917; 929 2) Tìm ước 3809783 có chữ số tận KQ: 19339 3) Tìm số tự nhiên x biết lập phương có tận ba chữ số HD: Gán : A = 10 Nhập: A = A + : A KQ: x = 471 4)Tìm số a, b, c, d để ta có a5 x 7850 bcd Giải: Số a5 ước 7850 Bằng cách thử máy cho a = 0; 1; 2; ; Ta thấy a Khi a = bcd 7850 : 25 = 314 Vậy a = 2; b = 3; c = 1; d = 2) Sơ ñồ Hoocne: Trong trường hợp chia ña thức Pn(x) cho nhị thức x – m ta sử dụng thuật toán Hoocne sau: n n-1 n-2 Giả sử chia ña thức Pn(x) = anx + an-1x + an-2x + … + a1x + a0 n-1 n-2 cho nhị thức x – m ta ñược ña thức Qn(x) = bn-1x + bn-2x + … + b1x + b0 hệ số an , an-1 , an-2 , …, a1 , a0 bn-1 , bn-2 , b1, b0 có mối quan hệ sau ñây: bn-1 = an bn-2 = m bn-1 + an-1 b0 = m.b1 + a1 số dư r = m.b0 + a0 an bn-1 = an m an-1 an-2 bn-2= m.bn-1+an-1 … bn-3= m.bn-2+an-2 a1 b0=m.b1+a1 a0 r =m.b0+a0 Ví dụ 1: Tìm thương số dư đa thức f( x) x 3x x chia cho g ( x) x Giải: Ta ghi: -3 -4 -6 -2 f ( x) -5 Vậy ña thức thương Q ( x) x3 x 5x số dư r = Ví dụ 2: Tìm thương số dư ña thức 3x 5x x 2 x chia cho g ( x) x Giải: Ta ghi: -4 -7 87 35 111 683 35 16 Vậy ña thức Q ( x) x 35 16 x 16 111 64 111 683 x 64 256 256 64 683 256 số dư r = 87 256 BÀI TẬP: 1)Tìm số dư phép chia sau: a) (x + x +2x – x +1) : (x -3) b) (x – 9x – 35x + 7) : (x – 12) c) (2x + x – 3x +5) : (x + 11) d) (4x + 3x – 4x + 5) : (2x +11) 4 e) (3x + 5x -4x +2x – 7) : ( -3x +2) f) (5x – 4x + 2x + 7x + 8) : (3x – 1) KQ: r = 124 KQ: r = 19 KQ: r = -2.503 KQ: r = -20.603,5 145 27 848 KQ: r = 81 KQ: r = Hướng dẫn: Áp dụng định lí Bezoul 2) Tìm số dư ña thức thương phép chia f(x) cho g(x) sau: a) f(x) = (x + x +2x – x +1) g(x) =(x -3) b) f(x) = (x – 9x – 35x + 7) g(x) = (x – 12) c) f(x) = (2x + x – 3x +5) g(x) = (x + 11) d) f(x) = (4x + 3x – 4x + 5) g(x) = (2x +11) e) f(x) = (3x + 5x -4x +2x – 7) g(x) = ( -3x +2) f) f(x) = (5x – 4x + 2x + 7x + 8) g(x) = (3x – 1) Hướng dẫn: Áp dụng Sơ ñồ Hoocne KQ: a) r = 124 Q(x) = x + 4x + 14x + 41 b) r = 19 Q(x) =x + 3x + c) r = -2.503 Q(x) = 2x – 21x + 228 d) r = -20.603,5 Q(x) = 2x – 11x + 62x – 341x + e) r = 145 27 Q(x) = -x f) r = 848 81 Q(x) = 2 22 x - x3 27 11 200 x - x + x+ 27 81 3.747 3) Tìm a ñể P(x) = x + 7x +2x +13x + a chia hết cho x + Giải: C1: ðể P(x) ⋮ x + P(-6) = (-222) + a = a = 222 Vậy a = 222 C2: ðể P(x) ⋮ x + P(-6) = Ta nhập biểu thức : X + 7X + 2X + 13X +A = Ấn: Shift Solve X ? nhập -6 = Ấn tiếp:Shift Solve máy hiện: A = 222 Vậy : a = 222 4) Cho phương trình 2,5x – 3,1x + 2,7x + 1,7x – (5m -1,7)x + 6,5m – 2,8 có nghiệm x = - 0,6 Tính giá trị m xác đến chữ số thập phân Hướng dẫn: Giải KQ: m = 0,4618 5) Tìm m để f(x) = 2x + 3x – 5x + 2005 – m chia hết cho x – 12 Hướng dẫn: Giải KQ: m = 43849 6) Xác ñịnh giá trị k ñể ña thức f(x) = x – 9x +21x + x + k chia hết cho ña thức g(x) = x – x – Giải: C1: Lấy f(x) chia cho g(x) để tìm số dư đặt số dư để tìm k 2 Ta có: f(x) = (x – x – 2)(x – 8x + 15) +k +30 = Vậy ñể f(x) ⋮ g(x) k + 30 = Suy k = -30 C2: Ta có g(x) = x – x – 2 = x – 2x + x – = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1) Vậy f(x) chia hết cho g(x) = x – x – chia hết cho (x – 2)(x + 1) Áp dụng định lí Bezoul định nghĩa phép chia hết ta thay x = -1 x = vào f(x), ta ñược f(-1) = k = - 30 7) Cho ña thức f(x) = 3x – x + 2x – x + m a) Xác dịnh m ñể f(x) chia hết cho x – b) Với m tìm câu a Xác ñịnh ña thức thương số dư f(x) chia cho x + KQ: a) m = - 46 b)Q(x) = 3x – 10x + 32x – 97 r = 245 8) Cho ña thức P(x) = x + 2x – 3x + 4x – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 b) Tính giá trị m ñể ña thức P(x) chia hết cho x – 2,5 c) Muốn đa thức P(x) có nghiệm x = m có giá trị bao nhiêu? Giải: a) Nhập : X + 2X – 3X + 4X – 5X + 2003 CALC X? khai báo: 2,5 = KQ: r =2144,406250 b) Giải KQ: m = -141,40625 c) P(x) có nghiệm x = P(2) = m = - 46 9)Cho hai ña thức: P(x) = x + 5x – 4x + 3x + m Q(x) = x + 4x – 3x + 2x + n a) Tìm giá trị m n ñể ña thức P(x) Q(x) chia hết cho x – b)Xét ña thức R(x) = P(x) – Q(x), với giá trị m, n vừa tìm Hãy chứng tỏ đa thức R(x) có nghiệm Giải: a) Giải KQ: m = -46, n = -40 b) Ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x – x + x – Vì P(x) Q(x) chia hết cho x – nên R(x) = P(x) – Q(x) chia hết cho x – 2 Do ta có R(x) = P(x) – Q(x) = x – x + x – = (x – 2)(x + x + 3) 1 3 = (x + ) + > x 4 ( hay tam thức bậc hai x + x + có nên vô nghiệm ) 2 Mà x + x + = x + x + + Suy R(x) có nghiệm x = 10)Cho ña thức P(x) = 6x – 7x – 16x + m a)Với ñiều kiện m đa thức P(x) chia hết cho 2x + b)Với m tìm câu a Hãy tìm số dư r chia ña thức P(x) cho 3x – Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 30 c)Với m tìm câu a Hãy phân tích đ thức P(x) tích thừa số bậc d)Tìm m n ñể hai ña thức P(x) = 6x – 7x – 16x + m Q(x) = 2x – 5x – 13x + n chia hết cho x - e)Với n tìm câu trên, phân tích thừa số bậc Giải: a) ðể P(x) chia hết cho 2x + P( 3 )=0 m = 12 b) Chia ña thức P(x) = 6x – 7x – 16x + 12 cho 3x – -7 -16 -3 -18 -1 12 -6 Ta ñược P(x) = (3x – 2)(2x – x – 6) số dư r = c) P(x) = (3x – 2)(2x + 3)(x – 2) 3 d) ðể hai ña thức P(x) = 6x – 7x – 16x + m Q(x) = 2x – 5x – 13x + n chia hết cho x – P(2) = Q(2) = Suy m = 12, n = 30 e) ða thức Q(x) = 2x – 5x – 13x + 30 chia cho x – nên chia Q(x) cho x – ta ñược Q(x) =(x – 2)(2x – x – 15) 2 Vì 2x – x – 15 = 2x – 6x + 5x – 15 = (x – 3)2x + 5(x – 3) = (x – 3)(2x + 5) Vậy Q(x) = (x – 2)(x – 3)(2x + 5) 11)Cho ña thức P(x) = x + ax + bx + cx +dx + e Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 a) Tính giá trị P(6), P(7), P(8), P(9) b) Viết lại ña thức P(x) với hệ số số nguyên Giải: a) Ta có P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25 Xét ña thức Q(x) = P(x) – x Dễ thấy Q(1) = 1, Q(2) = 4, Q(3) = 9, Q(4) = 16, Q(5) = 25 Suy 1; 2; 3; 4; nghiệm ña thức Q(x) Vì hệ số x = nên suy Q(x) có dạng: Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) Nên Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 - 5) = P(6) – Suy P(6) = + 5! = 156 Tương tự P(7) = + 6! = 769 7! = 2584 2! 8! P(9) = + = 6801 3! P(8) = + b)P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x - 5) + x P(x) = x – 15x + 85x – 284x + 274x – 120 12)Cho ña thức Q(x) = x + mx + nx + px + q cho biết Q(1) = 5; Q(2) = 7; Q(3) = 9; Q94) = 11 Tính giá trị Q(10); Q(11); Q(12); Q(13) Giải: Nhận xét: Q(1) = = 2.1 + ; Q(2) = = 2.2 + Q(3) = =2.3 + ; Q(4) = 11 = 2.4 + Xét ña thức P(x) = Q(x) – (2x + 3) Ta có P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = ðiều chứng tỏ 1; 2; 3; nghiệm ña thức P(x) Suy ra: P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = Q(x) – (2x + 3) Nên P(10) = 9.8.7.6 = Q(10) – ( 2.10 + 3) Hay Q(10) = 2.10 + + 9.8.7.6 9! = 3047 5! 10! Tương tự: Q(11) = 2.11 + + = 5065 6! 11! Q(12) = 2.12 + + = 7947 7! 12! Q(13) = 2.13 + + = 11909 8! = 2.10 + + 13) Cho ña thức P(x) = x + ax + bx + cx +dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51.Tính giá trị P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) Giải: ðặt Q(x) = 2x + Khi Q(1) = 3, Q(2) = 9, Q(3) = 19, Q(4) = 33, Q(5) = 51 ðiều chứng tỏ ña thức (bậc 5) R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm 1; 2; 3; 4; Vậy : P(x) = Q(x) + (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) Do đó: P(6) = 2.6 + + 5! = 193 P(7) = 2.7 + + 6! = 819 7! = 2649 2! 8! P(9) = 2.9 + + = 6883 3! 9! P(10) = 2.10 + + = 15321 4! 10! P(11) = 2.11 + + = 30483 5! P(8) = 2.8 + + 14)Cho đa thức P(x) bậc có hệ số bậc cao thỏa mãn P(1) = 3; P(3) = 11; P(5) = 27; P(5) = 27; P(7) = 51 Tính giá trị P(-2) + P(6) Giải: 2 Nhận xét: P(1) = = + 2; P(3) = 11 = + 2; P(5) = 27 = + 2; P(7) = 51 = + 2 Xét ña thức Q(x) = P(x) – ( x + 2) Ta có Q(1) = Q(3) = Q(5) = Q(7) = ðiều chứng tỏ 1; 3; 5; nghiệm Q(x) Suy Q(x) = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) Nên P(x) = Q(x) + x + 2 = (x – 1)(x –3)(x – 5)(x – 7) + x + Do P(-2) = 951 P(6) = 23 Vậy: P(-2) + 7P(6) = 951 + 7.23 = 1112 DẠNG 12: DÃY SỐ I/ Dãy số Lucas: Dãy số Lucas dãy số tổng quát dãy Fibonaci: Các số hạng tuân theo quy luật u1 = a; u2 = b; un+1 = un +un-1 với n a, b hai số tùy ý Với a = b = dãy Lucas trở thành dãy Fibonaci Dạng 1: u1 = a; u2 = b( a, b tùy ý ).Tính: un+1 = un +un-1 với n Phương pháp: - C1: + Ấn: b + Lặp: Shift STO + ALPHA + ALPHA A A + a a + M Shift Shift STO M Shift STO A STO M u3 u4, u6 , u5, u7 , - C2: + Gán: D = ( biến ñếm ) A = a ( Số hạng u1) B = b ( Số hạng u2) + Ghi vào hình: D = D + 1: A = B + A : D = D + : B = A + B + Ấn: = …… ta ñược u3, u4, u5, …, un Ví dụ 1: Với u1 = 1; u2 = Tính: un+1 = un +un-1 với n 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, … Ví dụ 2: Với u1 = -3; u2 = Tính: un+1 = un +un-1 với n -3, 4, 1, 5, 6, 11, 17, 28, 45, 73, 118, … Ví dụ 3: Với u1 = -1; u2 = -5 Tính: un+1 = un +un-1 với n -1, -5, -6, -11, -17, -28, -45, … Ví dụ 4: Với u1 = 1; u2 = -5 Tính: un+1 = un +un-1 với n 1, -5, -4, -9, -13, -22, -35, -57, -92, -149, … BÀI TẬP: 1)Cho dãy số u1 = 144; u2 = 233; ….; un+1 = un +un-1 với n Tính u12, u37, u38, u39 KQ: u12 = 28657; u37 = 4807526976; u38 = 7778742049; u39 = 12586269025 ( tính tay ) 2) Cho u1 = 2002, u2 = 2003 un+1 = un +un-1 với n Xác ñịnh u5, u10 ? KQ: u5 = 10013, u10 = 110144 II/ Dãy số Fibonaci ( Dãy Lucas ) suy rộng tuyến tính có dạng: Dạng 2: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ) un+1 = m.un + n.un-1 với n Phương pháp: - C1: + Ấn: b Shift STO A x m + n + Lặp: x m + ALPHA A x n x m + ALPHA B x n x a Shift STO Shift STO A Shift STO B B u3 u4, u6 , u5, u7 , - C2: + Gán: D = ( biến ñếm ) A = a ( Số hạng u1) B = b ( Số hạng u2) + Ghi vào hình: D = D + 1: A = m.B + n.A : D = D + : B = m.A + n.B + Ấn: = …… ta ñược u3, u4, u5, …, un BÀI TẬP: 1) Cho u1 = 2; u2 = un+1 = 4.un + 5.un-1 với n Xác ñịnh u7, u8? KQ: u7 =13022, u8 = 65103 2) Cho u1 = 2; u2 = un+1 = 19.un + 45.un-1 với n Xác ñịnh u5, u10? KQ: u5 = 113.661, u7 = 50.732.586, u8 = 1071961389, u9 = 22650232761 ( tính tay) u10 = 19u9 + 45.u8 = 478592684964 ( tính tay) 3) Cho u1 = 30; u2 = un+1 = 19.un + 75.un-1 với n Xác ñịnh u5, u7? KQ: u5 = 1.019.836, u7 = 508.052.446, 4) Cho u1 = 3; u2 = un = 2.un-1 + 3.un-2 với n Xác ñịnh u21? KQ: u21 = 4358480503 5) Cho dãy số xếp theo thứ tự với u1 = 2; u2 = 20 u3 tính theo cơng thức un+1 = 2.un + un-1 với n a) Viết quy tình bấm phím liên tục để tính giá trị un với u1 = 2; u2 = 20 b) Xác ñịnh u22, u23, u24, u25? Giải: a) + Gán: D = ( biến ñếm ) A = ( Số hạng u1) B = 20 ( Số hạng u2) + Ghi vào hình: D = D + 1: A = 2.B + A : D = D + : B = 2.A + B + Ấn: = …… ta ñược u3, u4, u5, …, un b) u22 = 804.268.156, u23 = 1.941.675.090 u24 = 4.687.618.336, u25 = 11.316.911.762 Chú ý: u25 = 2.u24 + u23 ( Tính tay ) 6)Cho a1 = 2000; a2 = 2001 an+2 = 2.an+1 -an + với n ñịnh a100? Xác Giải: + Gán: D = ( biến ñếm ) A = 2000 ( Số hạng u1) B = 2001 ( Số hạng u2) + Ghi vào hình: D = D + 1: A = 2B – A + : D = D + : B = 2A – B +3 + Ấn: = …… ta ñược u3, u4, u5, …, un KQ: a100 = 16.652 III/ Dãy Fibonacoci ( dãy Lucus ) suy rộng bậc hai dạng: Dạng 3: u1 = a; u2 = b ( a, b tùy ý ) un+1 = u n2 + u với n n Phương pháp: - C1: + Ấn: b Shift STO A x + a x Shift STO + Lặp: x + ALPHA A x + Shift STO A x + ALPHA B x + Shift STO B B u3 u4, u6 , u5, u7 , - C2: + Gán: D = ( biến ñếm ) A = a ( Số hạng u1) B = b ( Số hạng u2) + Ghi vào hình: 2 2 D = D + 1: A = B + A : D = D + : B = A + B + Ấn: = …… ta ñược u3, u4, u5, …, un BÀI TẬP: 1) Cho u1 = u2 = un+1 = u n2 + u với n n Thực máy theo qui trình ta dãy: 1, 1, 2, 5, 29, 11 866, 750797, 5636968851 2)Cho u1 = u2 = un+1 = u n2 - u với n Xác ñinh u 100? n KQ: u100 = -1 IV/ Dãy Lucas bậc ba có dạng: Dạng 4: u1 = a , u2 = b , u3 = c ( a, b, c tùy ý ) un+1 = un + un-1 + un-2 với n Phương pháp: - C1: + Ấn: b Shift STO c Shift STO ALPHA + Lặp: B + A ( ðưa u2 vào ô nhớ A ) ( ðưa u2 vào ô nhớ B ) B A + a ALPHA Shift STO C A ALPHA STO B Shift STO ALPHA B B + ALPHA B + ALPHA + ALPHA C + + ALPHA C + A Shift Shift STO B u4 u5, u8 , u6, u9 , u7, u10 , - C2: + Gán: D = ( biến ñếm ) A = a ( Số hạng u1) B = b ( Số hạng u2) C = c ( Số hạng u3 ) + Ghi vào hình: D = D + 1: A = C + B + A : D = D + : B = A + C + B : D = D + : C = B + A+C + Ấn: = …… ta u4, u5, u6 ,…, un Ví dụ: Dãy Fibonaci bậc ba: u1 = u2 = u3 = 1, un+1 = un + un-1 + un-2 với n Thực qui trình ta dãy: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, … BÀI TẬP: 1) Cho u1 = 4, u2 = 7, u3 = un = un -1 + un -2 + un -3 với n Xác ñịnh u30 ? 2) Cho u1 = 3, u2 = 2, u3 = 1930 un = un -1 + un -2 - un -3 với n Xác ñịnh u78 ? 3) Cho u1 = 7, u2 = 5, u3 = 1954 un = un -1 - un -2 + un -3 với n Xác ñịnh u54 ? 4) Cho u1 = 30, u2 = 4, u3 = 1975 un = un -1 + un -2 - un -3 với n Xác ñịnh u33 ? 5) Cho u1 = 20, u2 = 11, u3 = 1982 un = un -1 + un -2 + un -3 với n Xác ñịnh u26 ? V/ Dãy Lucas bậc ba suy rộng có dạng: Dạng 5: u1 = a , u2 = b , u3 = c ( a, b, c tùy ý ) un+1 = m.un + n.un-1 + p.un-2 với n x x x Phương pháp: - C1: + Ấn: b Shift STO A ( ðưa u2 vào ô nhớ A ) c Shift STO B ( ðưa u2 vào ô nhớ B ) m x ALPHA B + n x ALPHA A + p x Shift STO C u4 a + Lặp: m + n x ALPHA B + p x ALPHA A Shift STO A u5, u8 , m + n x ALPHA C + p x ALPHA B Shift STO B u6, u9 , m + n x ALPHA A + p x ALPHA C Shift STO C u7, u10 , - C2: + Gán: D = ( biến ñếm ) A = a ( Số hạng u1) B = b ( Số hạng u2) C = c ( Số hạng u3 ) + Ghi vào hình: D = D + 1: A = mC + nB + pA : D = D + : B = mA + nC + pB : D = D + : C = mB + nA + pC + Ấn: = …… ta ñược u4, u5, u6 ,…, un u1 = , u2 = , u3 = un+1 = 2un + 3un-1 + 4un-2 với n Ví dụ: Thực quy trình ta dãy: 1, 2, 3, 16, 49, 158, 527, … BÀI TẬP: 1) Cho u1 = 4, u2 = 7, u3 = un = 2un -1 - un -2 + un -3 với n Xác ñịnh u30 ? KQ: u30 = 20929015 2) Cho u1 = 3, u2 = 2, u3 =1945 un = 3un -1 - 2un -2 + 2008un -3 với n Xác định u10 ? VI/ Tính số hạng thứ n dãy số Fibonacci theo công thức nghiệm tổng quát:  n u    5    n n 1            Nhập: ( ( ( + 5) ALPHA X ) 2) Bấm: CALC máy X ? Thay X = n tính un ) n Ví dụ: Cho dãy số : un 3 5     KQ: u6 = 322, ALPHA X - ( 1( n 3 5     Tính u6, u18? u18 = 33385282 - 5) KẾT LUẬN Trên ñây dạng tập mà qua trình nghiên cứu giảng dạy, tham gia dạy bồi dưỡng, dạy học tự chọn, thân tơi tổng hợp lại ñược Thật ñây tốn mà ta bắt gặp sách tốn, đề thi, … Việc phân chia dạng tập ñể cho học sinh dễ nhớ, dễ thực hành ðể học sinh tự rèn luyện kỹ thực hành giải tốn máy tính cầm tay Với suy nghĩ Tôi tin tưởng học sinh ñều tự học, tự thực hành máy tính cầm tay để có kết Vì khả thời gian có hạn nên sáng kiến xin tạm dừng Rất mong góp ý đồng chí, đồng nghiệp để sáng kiến phát huy ñược mở rộng Ba Tơ, ngày 25 tháng năm 2008 NGƯỜI VIẾT Trần Ngọc Duy Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Hướng dẫn sử dụng giải toán 6,7,8,9,10,11,12 vụ THPT Hướng dẫn thực hành Toán MTBT Casio Fx 500MS, Fx 570 MS vụ THPT Giải tốn máy tính ñiện tử Casio Fx 500MS, Fx 570 MS TS Tạ Duy Phượng – NXBGD Một số ñề thi cấp thi khu vực …… Người viết: Trần Ngọc Duy GV trường THCS – DTNT Ba Tơ 41 ...Sáng kiến cải tiến kỹ thuật : “ Các dạng tập tốn giải máy tính cầm tay “ NỘI DUNG DẠNG 1: “ TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA CỦA SỐ A CHO SỐ B “ a) Số dư số A chia cho số B: ( ðối với số bị chia... chia dạng tập ñể cho học sinh dễ nhớ, dễ thực hành ðể học sinh tự rèn luyện kỹ thực hành giải toán máy tính cầm tay Với suy nghĩ Tơi tin tưởng học sinh tự học, tự thực hành máy tính cầm tay để có... 10 10 0, 35111 DẠNG 7: “TÍNH GIÁ TRỊ CỦA LIÊN PHÂN SỐ “ Phương pháp: C1: Tính từ lên C2: Tính từ xuống Ví dụ 1: Biểu diễn A phân số thường số thập phân A= 2 Giải: C1: Tính từ lên Ấn : x x x x