Kinh nghiệm giải bài toán đa thức bằng máy tính cầm tay(MTCT) ở bậc THCS

- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có.. - Trong thực tế, khi b

Trang 1

Kinh nghiệm giải bài toán đa thức bằng máy tính cầm tay(MTCT) ở bậc THCS

Cập nhật: 12/10/2010 - đọc: 2370 lần

A MỞ ĐẦU

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử

Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo,

suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu Như

vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện

tử”

(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).

- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc

tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay

- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán

trên MTCT đều có

- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn

các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo

và chính xác là hết sức cần thiết

Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra

hầu hết các tỉnh thành trong cả nước

Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Nhiệm vụ chính:

Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa thức

Đối với giáo viên:

- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn

- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT

Đối với học sinh:

- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức

- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo

III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU

Phương pháp:

• Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một số bài tập có số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…)

• Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT tại trường THCS Bình Nghi.( Theo kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà

trường duyệt)

• Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường

• Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện

Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010

 Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các khối 7,8,9 từ 5/10/2009 đến 1/11/2009)

 Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009)

 Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn( Từ 14/12/2009 đến 5/01/2010)

B.KẾT QUẢ

I TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC:

- Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào

- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho dạng bài tập này

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học 2009 – 2010 khi chưa thực hiện đề tài

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

ĐA THỨC

CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA

THỨC

II NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:

A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC :

Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)”

Hệ quả :

- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a

Trang 2

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f

- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2 …,xn thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử : P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)

Sơ đồ Horner:

Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)

ta có sơ đồ:

c bn-1 = an bn -2 =

cbn-1+ an -1

bn -3 = cbn - 2+ an -2

… b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0

Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 và

r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0

B GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA CHỦNG LOẠI MTCT CASIO:

- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES

- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy 500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa

- Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng

- Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT

C.

CÁC DẠNG BÀI TẬPỨNG DỤNG :

Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho

nhị thức (ax + b)

Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta luôn được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r

Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P( )

Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của MTCT để giải quyết.

Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2

Giải :

Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx

f(x) M (x – 2 ) <-> f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0

Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56 <-> 4m2 – 2m – 56 = 0

Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5

(*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :

nhập vào máy a =4 ; b=- 2 ; c= -56-> x1 = 4; x2 =- 3,5

Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và

f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2

Bài tập tương tự :

Bài 1:Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861

Tìm m để f(x) M (x + 3)

HD: Đặt g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx

Giải phương trình ẩn m , ta được : m1 = 5 và m2 =

Bài 2:

(Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh 2003)

Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m -5

tại x = - 2,5 là 0,49

HD: Đây là bài toán tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư là 0,49

Ta có: f(x) – 0,49 M (x + 2,5)

- >Tìm giá trị của m biết đa thức x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết cho x + 2,5

Đáp số:209,105

Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai đa thức

f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và

g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)

Giải:

f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0 Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x

Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b g(x)=B(x) –3a +2b

Trang 3

f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 <-> 2a + 3b = –87 g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 <-> –3a +2b = –318

Ta có hệ phương trình : Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm

( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69

Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005)

Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3) Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức

Giải:

P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0 Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156

Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 0 <-> 8m + 2n = 360 P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nÞP(3) = 0 <-> 27m + 3n = 570

Ta có hệ phương trình :

Bài 2:Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 )

P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n

Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n

HD : Tương tự như ví dụ 2

Đáp số:m = –4128,8 ; n = –2335,2

Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b

Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x)(ax+b) + r, trong đó (vì ax + b bậc 1) Thế ta được

P( ) = r ( Bezout)

Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( )

Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia:

Giải: Đặt P(x) =

thì số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723

Qui trình ấn máy :

Ấn các phím:

Đáp số: r = 85,92136979

Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia:

Giải:

Đặt P(x) =

Trang 4

thì số dư : r =P( ) = 3 + 5 - 4 + 2 – 7

Ấn các phím:

Đáp

số: r =

Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998)

Tìm số dư trong phép chia

Giải:

Số dư : r = (-2,318)5 – 6,723(-2,318)3 + 1,857(-2,318)2 - 6,458(-2,318) + 4,319

Ấn các phím:

Đáp số: r = 46,07910779

Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003)

Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3.Tìm BCNN(r1,r2)?

Giải:

Số dư : r1 = 24 + 5.23 – 4.22 + 3.2 + 50

Số dư : r2 = 34 + 5.33 – 4.32 + 3.3 + 50

Ấn các phím:

=

Đáp số: r1 = 96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) = 22944

Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức

Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 và số dư r Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r

= b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c)

Ta lại có công thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0.

Vậy: r = a0 +ca1 + c2a2 + c3a3

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c)

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta được bảng sau:

c bn-1 = an bn -2 =

cbn-1 + an -1 bn -3 = cbn - 2+ an -2 … b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0

Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0

Ví dụ5: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5.

Giải

Ta có: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = 1

Qui trình ấn máy

Trang 5

Vậy :

x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =

= (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004

( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)

Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0 Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau:

Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0

3 1 3 6 19 55 q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55

3 1 6 24 91 q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91

Vậy :x4 – 3x3 + x – 2 = (x-3)4+ 12(x-3)3+ 51(x-3)2 + 91(x-3) + 55

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu không có sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một bài toán khó.

Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết.

“Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 ( ) có n nghiệm là x1;x2,…,xn thì P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x - xn)”

Ví dụ 7:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304

9 Giải:

Tìm chức năng giải phương trình bậc hai:

Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304

Tìm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành

Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

a) 65x2 + 4122x +61093

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai

Nhập a = 65 , b = 4122 , c = 61093

Vậy đa thức 65x2 + 4122x + 61039 được phân tích thành

b) 299 x2 – 2004x + 3337

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai

Nhập a = 299 , b =- 2004 , c = 3337

Vậy đa thức 299 x2 – 2004x + 3337 được phân tích thành

Trang 6

c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc ba

Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 được phân tích thành

Dạng 5: Tính giá trị của đa thức

Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến(đa thức cho trước)

Bài toán:Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; …

Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính.

Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến)

Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0 Suy ra: P(x0) = bn

Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.

Giải trên máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M.

Thực hiện dãy lặp: bk-1 + ak

Ví dụ 8: (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)

Quy trình:

à C = -101,0981355.

Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ

Aán phím: 1 8165

Trang 7

Đáp số : 1.498465582

Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ

Aán phím: 1 8165

Đáp số: 1.498465582

Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp ít hiệu quả ,đối với máy fx-500 MS;fx-500 ES chỉ nên dùng phương pháp tính trực tiếp

có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS;fx-570 ES có thể thế các giá trị của biến x nhanh bằng cách bấm , máy hỏi X? khi đó khai báo các giá trị của biến x ấn phím là xong Để có thể kiểm tra lại kết quả sau khi tính nên gán giá trị x0 vào một biến nhớ nào đó khác biến Ans để tiện kiểm tra và đổi các giá trị.

Ví dụ 10 : Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321

Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:

235678

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong

Bài 1: (Bộ GD – ĐT ,2006)

Tính giá trị của biểu thức

với x = 1,257; y = 4,523

Đáp số : B = 7,955449483

với x = 0,36; y = 4,15

Đáp số : C = 0,788476899

Dạng 5.2 : Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến( đa thức chưa xác định)

Ví dụ 11 : (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)

• Tìm số dư r khi chia P(x) cho 10x – 3

Giải : a) Rõ ràng nếu ta thế 1,2,3,4,5 chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết

được Giải bằng tay thì rất vất vả Bài toán này có thể giải quyết như sau :

9 Xét đa thức phụ k(x) = x2 + 10

Ta có : k(1) = 11 ; k(2) = 14 ; k(3) = 19 ; k(4) = 26; k(5) = 35

Đặt g(x) = P(x) – k(x)

Ta có : g(1) = P(1) – k(1) = 0 g(2) = P(2) – k(2) = 0 g(3) = P(3) – k(3) = 0 g(4) = P(4) – k(4) = 0 g(5) = P(5) – k(5) = 0

Từ đó suy ra 1,2,3,4,5 là nghiệm của g(x) Mặt khác g(x) là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là 1

Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử : g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)

mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)

Trang 8

Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10 ÞP(11) = 30371;P(15)=240475

9 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) = x2 + 10 ?

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) = 11 k(2) = 14 , k(3) = 19

(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình : nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 10

Þ k(x) = x2 + 10 Thử tiếp thấy k(4) = 26 và k(5) = 35 Vậy k(x) = x2 + 10 là đa thức phụ cần tìm Tất nhiên khi thử k(4) 26 hoặc k(5) 35 thì buộc phải tìm cách giải khác

Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở trên

Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P( )

CALC…X? à à r = - 45,78407.

Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)

• Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e

Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ;

P(5) = 25 Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)

HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9

ta có hệ phương trình :

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 0

Þ k(x) = x2 Thử tiếp thấy k(4) = 16 và k(5) = 25

Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2

ÞP(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81

• Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 ,

Q(3) = 9, Q(4) =11

Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9

Þ k(x) = 2x + 3 Thử tiếp thấy k(4) = 11

Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + 3

ÞP(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29

• Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết f(1) = 1, f(2) = 3,

f(3) = 7, f(4)= 13, f(5) = 21

Tính f(34,567)

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9

Trang 9

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -1 , c = 1

Þ k(x) = x2 – x + 1 Thử tiếp thấy k(1) = 1 và k(2) = 3

Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – x +1

ÞP(34,567) = (34,567)2 - 34,567 + 1 = 1161,310489

d) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 Hãy tính f(15) f(16), f(18,25)

k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = 1

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -3 , c = 1

Þ k(x) = x2 – 3x + 1 Thử tiếp thấy k(4) = 5 và k(5) = 11

Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – 3x +1

ÞP(15) = (15)2 – 3.15 + 1 = 181;P(15) = (16)2 – 3.16 + 1 = 209;

P(18.25) = (18.25)2 – 3.18.25 + 1 = 278

Vận dụng linh hoạt các phương pháp , kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lí , logic.

Bài toán sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình giải.

Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005

Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)

Giải :

Xét đa thức phụ k(x) = 3x + 5

Ta có k(1) = 8 ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17

Đặt g(x) = P(x) – k(x)

Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = 0 hay g(x) có 4 nghiệm là 1 , 2 , 3 , 4

Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử :

g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)

mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x)

= (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + 5

àP(15) = 24074!

Chúng ta đã làm đúng theo qui trình của phương pháp vừa đưa ra nhưng kết quả nhận được là một đáp án sai Vậy chúng ta đã nhầm lẫn ở bước nào?

Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) thì kết quả nhận được là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là 1 Nên kết quả của bài sai là do đa thức g(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc 4.

Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?

Đa thức g(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên g(x) được phân tích thành nhân tử như sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4)

Vấn đề còn lại là tìm số I như thế nào ?

Vì g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) =g(x) + k(x)

Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005

hay 24I = 132000

Þ I = 132000:24 = 5500

Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ P(15) = 132492410

Ví dụ 13:(Bộ GD – ĐT,2005)

Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết rằng khi x lần lượt nhận các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức P(x) lần lượt

là 8,11,14,17

Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15

HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị

k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14

Trang 10

Þ k(x) = 3x + 5 Thử tiếp thấy k(4) = 17

Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005

hay 24I = 132000

Þ I = 132000:24 = 5500

Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Đáp án: P(11) = 27775417; P(12)= 43655081; P(13) = 65494484

P(14) = 94620287; P(15) = 132492410.

Bài 1:Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197

Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = 3 , f(4) = 5 Tính f(12)

k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = -3

Þ k(x) = 2x - 3 Thử tiếp thấy k(4) = 5

Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3

Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) - 3 = 115197

hay 24I = 115200 Þ I = 115200:24 = 4800

Vậy P(x) = (x + 4800)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - 3

Đáp số: 38111061

Bài tập tổng hợp:

Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005)

Cho đa thức bậc 4 :f(x) = x4 +bx3 +cx2 + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1)= f(-2);

f(2) = f(-3) Tìm b,c,d

Với b,c,d vừa tìm được ,Hãy tìm tất cả các số nguyên n sao cho

f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 là một số chính phương

HD: Ta có: f(0) = f(-1)

f(1)= f(-2)

f(2) = f(-3)

Giải hệ pt :

Đáp số: b = 2; c = 2; d = 1

Khi xác định b, c, d ta có đa thức f(x) = x4 +2x3 +2x2 + x + 43 để tìm n sao cho f(n) là một số chính phương ta làm như sau :

Vì f(n)= n4 +2n3 + 2n2 + dn + 43=(n2 + n + 1)(n2 + n) +43 > 0,

Gán n vào biến nhớ thực hiện dãy tăng ,giảm của biến nhớ để tìm nếu kết quả nhận được một số nguyên thì ta xác định được n

để f(n) là một số chính phương

Đáp số : n = -7; - 2; 1; 6.

Bài 2:

Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + 5

a) Xác định f(x)

b) Tính f(2,33)

Giải:

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	569 KB