Kinh nghiệm giải bài toán đa thức bằng máy tính cầm tay(MTCT) ở bậc THCS

Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán lí thuyết đồng dư, chia hết, … và sáng tạo cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …, mà trong quá trình giải

A MỞ ĐẦU

I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

“…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”

(Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học).

- Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được

sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay

- Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc

- Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác

Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức cần thiết .Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong cả nước

Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ”

II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa thức

Đối với giáo viên:

- Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn

- Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT

Đối với học sinh:

- Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức

- Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo

III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU

• Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường

• Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện

Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010

 Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn

ở các khối 7,8,9 từ 5/10/2009 đến 1/11/2009)

 Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009)

 Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn( Từ

- Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra

được hướng giải chung cho dạng bài tập này

Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học 2009 – 2010

khi chưa thực hiện đề tài

BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC

CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN

II NỘI DUNG – GIẢI PHÁP:

A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA

THỨC :

Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x

- Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a

- Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f

- Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có

n nghiệm x1 , x2 …,xn thì đa thức P(x) phân tích được thành

nhân tử : P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn)

… b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0

Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x +

r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0

B GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI

- Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES

- Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy 500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép toán

P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P( )

Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của MTCT để giải quyết.

Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia

Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx f(x) M (x – 2 ) <-> f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0

Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56 <-> 4m2 – 2m – 56 =

0

Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5

(*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn :

- >Tìm giá trị của m biết đa thức x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51

Đáp số:209,105

Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai đa thức

f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3)

Giải:

f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0 Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x

Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b g(x)=B(x) –3a +2b f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 <-> 2a + 3b = –87 g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 <-> –3a +2b = –318

Ta có hệ phương trình : Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai

ẩn ta được nghiệm ( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69

Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3) Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức

Giải:

P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0

Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156

Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 0 <-> 8m + 2n =

360P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nÞP(3) = 0 <-> 27m + 3n =

Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia:

Qui trình ấn máy :

Ấn các phím:

=

Đáp số: r1 = 96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) = 22944

Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức

Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 và số dư r Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r

= b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c)

Ta lại có công thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0.

Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c) Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta được bảng sau:

c bn-1 =

an

bn -2 = cbn-1 + an -1

bn -3 = cbn - 2+

Qui trình ấn máy

x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 =

= (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004

( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư)

Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3

Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0 Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và

Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0

Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Nếu không có sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một bài toán khó Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý

“Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 ( ) có n nghiệm là x1;x2,…,xn thì P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x

- xn)”

Ví dụ 7:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304

9 Giải:

Tìm chức năng giải phương trình bậc hai:Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304 Tìm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành

Vậy đa thức 65x2 + 4122x + 61039 được phân tích thành

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc hai

Nhập a = 299 , b =- 2004 , c = 3337Tìm được nghiệm của đa thức trên :

Vậy đa thức 299 x2 – 2004x + 3337 được phân tích thành

c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265

HD:Tìm chức năng giải phương trình bậc ba

Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265 Tìm được nghiệm của

Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 được phân tích thành

Dạng 5: Tính giá trị của đa thức

Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến(đa thức

Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0;

Từ đây ta có công thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ 1.

Giải trên máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M Thực hiện dãy lặp: bk-1 + ak

Ví dụ 8: (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009)

à C = -101,0981355.

Ví dụ 9 : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính khi x = 1,8165

Ví dụ 10 : Tính khi x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321

Khi đó ta chỉ cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X:

235678

Dùng phím mũi tên lên một lần (màn hình hiện lại biểu thức cũ) rồi ấn phím là xong.

• Tính P(11) và P(15)

• Tìm số dư r khi chia P(x) cho 10x – 3

Giải :a) Rõ ràng nếu ta thế 1,2,3,4,5 chỉ xác định hệ số tự do , việc còn lại

là giải hệ phương trình bậc nhất 4 ẩn mà máy CASIO không thể giải quyết được Giải bằng tay thì rất vất vả Bài toán này có thể giải

quyết như sau :

9 Xét đa thức phụ k(x) = x2 + 10

Ta có : k(1) = 11 ; k(2) = 14 ; k(3) = 19 ; k(4) = 26; k(5) = 35

Đặt g(x) = P(x) – k(x)

Ta có : g(1) = P(1) – k(1) = 0 g(2) = P(2) – k(2) = 0 g(3) = P(3) – k(3) = 0g(4) = P(4) – k(4) = 0

ÞP(11) = 30371;P(15)=240475

9 Vấn đề ở đây là làm sao tìm được đa thức phụ k(x) = x2 + 10 ?

Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và gán cho k(x) nhận các giá trị k(1) =

11 k(2) = 14 , k(3) = 19 (nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

ta có hệ phương trình : nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 10

Þ k(x) = x2 + 10 Thử tiếp thấy k(4) = 26 và k(5) = 35Vậy k(x) = x2 + 10 là đa thức phụ cần tìm Tất nhiên khi thử k(4)

26 hoặc k(5) 35 thì buộc phải tìm cách giải khác

Ở câu b) việc tìm số dư quá đơn giản đây là bài toán ở dạng 2 ở

trên

Quy trình: Dư trong phép chia P(x) cho 10x -3 là P( )

CALC…X? à à r = - 45,78407.

Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9)

• Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e

Biết P(1) = 1 ; P(2) = 4 ; P(3) = 9 ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 Tính các giá trị của P(6) ; P(7) , P(8) , P(9)

HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9 (nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = 0 , c = 0

Þ k(x) = x2 Thử tiếp thấy k(4) = 16 và k(5) = 25Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 ÞP(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81

• Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q và biết Q(1) = 5 , Q(2) = 7 ,

Tính các giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13)

HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9 (nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 2 , c = 3

Þ k(x) = 2x + 3 Thử tiếp thấy k(4) = 11 Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + 3ÞP(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29

• Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết f(1) = 1, f(2) = 3,

HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị

k(1) = 1; k(2) = 4 , k(3) = 9 (nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -1 , c = 1

Þ k(x) = x2 – x + 1 Thử tiếp thấy k(1) = 1 và k(2) = 3Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – x +1ÞP(34,567) = (34,567)2 - 34,567 + 1 = 1161,310489

d) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = 1 ; f(4) = 5 ; f(5) = 11 Hãy tính f(15)

HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá trị

k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = 1(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 1 , b = -3 , c = 1

Þ k(x) = x2 – 3x + 1 Thử tiếp thấy k(4) = 5 và k(5) = 11Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – 3x +1ÞP(15) = (15)2 – 3.15 + 1 = 181;P(15) = (16)2 – 3.16 + 1 = 209;P(18.25) = (18.25)2 – 3.18.25 + 1 = 278

Vận dụng linh hoạt các phương pháp , kết hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lí , logic.

Bài toán sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình giải.

Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15)

Từ đó suy ra g(x) phân tích được thành nhân tử : g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)

là do đa thức g(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc 4 Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào?

Đa thức g(x) phải có hệ số cao nhất là hệ số cao nhất của P(x) nên g(x) được phân tích thành nhân tử như sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2)

Vấn đề còn lại là tìm số I như thế nào ?

Vì g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) =g(x) + k(x) Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5

Þ Hệ số tự do của P(x) là I.(–1)(–2).(–3).(–4) + 5 = 132005

Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết rằng khi

x lần lượt nhận các giá trị 1,2,3,4 thì giá trị tương ứng của đa thức

Tính giá trị của đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15

HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c và cho gán cho k(x) nhận các giá

trị

k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14(nhận 3 trong 5 giá trị của P(x) đã cho)

nhập các hệ số vào máy tìm được nghiệm a = 0 , b = 3 , c = 5

Þ k(x) = 3x + 5 Thử tiếp thấy k(4) = 17Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + 5