Kinh nghiệm giải bài toán đa thức bằng máy tính cầm tay(MTCT) ở bậc THCS

A. MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “…Với máy tính điện tử, một dạng đề thi học sinh giỏi toán mới xuất hiện: kết hợp hữu cơ giữa suy luận toán học với tính toán trên máy tính điện tử. Có những bài toán khó không những chỉ đòi hỏi phải nắm vững các kiến thức toán (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) và sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà trong quá trình giải còn phải xét và loại trừ nhiều trường hợp. Nếu không dùng máy tính thì thời gian làm bài sẽ rất lâu. Như vậy máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, do đó các dạng toán này rất thích hợp trong các kỳ thi học sinh giỏi toán kết hợp với máy tính điện tử”. (Trích lời dẫn của Tạ Duy Phượng - Viện toán học). - Trong những năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) được sử dụng rộng rãi trong học tập, thi cử . Nó giúp cho học sinh rất nhiều trong việc tính toán và những bài tập không thể giải bằng tay. - Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về đa thức” mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều có . - Trong thực tế, khi bồi dưỡng các em trong đội tuyển của trường, của huyện sử dụng MTCT để dạy về giải “Một số bài toán về đa thức” thì phần lớn các em nắm được kiến thức nhưng sau đó việc vận dụng ,cũng như kĩ năng trình bày bài giải chưa hợp lý, chính xác. Vì vậy tôi nhận thấy giúp cho các em học sinh có kĩ năng sử dụng MTCT để giải các bài toán nói chung và về đa thức nói riêng một cách thành thạo và chính xác là hết sức cần thiết . Làm thế nào để cho học sinh nắm được cách giải các bài toán liên quan đến đa thức đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong cả nước. Do đó tôi chọn đề tài:“Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ” II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Nhiệm vụ chính: Nâng cao hiệu quả hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải các bài toán liên quan đến đa thức. Đối với giáo viên: - Có được nội dung ôn tập cho học sinh khi lồng ghép các tiết giảng dạy với sự hỗ trợ của MTCT và đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu quả hơn. - Định hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT. Đối với học sinh: - Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức - Vận dụng linh hoạt, có kĩ năng thành thạo. III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU Phương pháp: • Đan xen việc giải toán trên MTCT trong các tiết dạy( đưa thêm một số bài tập có số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…) • Sinh hoạt ngoại khoá thực hành giải toán trên MTCT tại trường THCS Bình Nghi.( Theo kế hoạch đã được bộ phận chuyên môn nhà trường duyệt) • Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường. • Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện. Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010  Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh được lựa chọn ở các khối 7,8,9 từ 5/10/2009 đến 1/11/2009).  Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của trường THCS Bình Nghi( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009).  Đội tuyển HSG giải toán trên MTCT của Huyện Tây Sơn( Từ 14/12/2009 đến 5/01/2010). B.KẾT QUẢ I. TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC: - Học sinh không biết giải các bài tập về đa thức bằng MTCT như thế nào - Nhìn chung số em giải được là nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa ra được hướng giải chung cho dạng bài tập này. Thống kê việc sử dụng MTCT ở trường THCS Bình Nghi trong năm học 2009 – 2010 khi chưa thực hiện đề tài BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC LỚP SL SL TL SL TL 7 30 5 16,7% 25 83,3% 8 40 10 25% 30 75% 9 90 23 25,6% 67 74,4% II. NỘI DUNG – GIẢI PHÁP: A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC : Định lý Bezout : “ Dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a là f(a)” Hệ quả : - Nếu f(a) = 0 , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a - Dư trong phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) là f - Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2 …,xn thì đa thức P(x) phân tích được thành nhân tử : P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn) Sơ đồ Horner: Để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c) ta có sơ đồ: an an- 1 an - 2 … a1 a0 c bn-1 = an bn -2 = cbn-1+ an -1 bn -3 = cbn - 2+ an -2 … b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0 Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 và r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0 B. GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA CHỦNG LOẠI MTCT CASIO: - Các loại máy được sử dụng hiện nay ở trường phổ thông hầu hết là dòng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES. - Tuỳ theo cách sử dụng nhưng nhìn chung có hai cách cơ bản dành cho hai dòng máy:500ES;500VN-Plus;570ES và 500MS,570MS nhưng đối với dòng máy 500ES;500VN-Plus;570ES thì việc nhập dữ liệu vào máy cũng như kết quả truy xuất hiển thị giống như phép toán ở sách giáo khoa. - Các phím chức năng , các hàm cơ bản được bố trí dưới dạng hiển thị menu rất thông dụng - Trong phạm vi của đề tài này chúng ta xem như học sinh đã biết cách sử dụng MTCT C. CÁC DẠNG BÀI TẬPỨNG DỤNG : Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức (ax + b) Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta luôn được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r. Muốn P(x) chia hết cho x + thì m + r = 0 hay m = -r = - P( ). Sử dụng hệ quả của định lý Bezout và chức năng giải phương trình và hệ phương trình của MTCT để giải quyết. Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2 Giải : Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx f(x) M (x – 2 ) <-> f(2) = 0 hay g(2) +4m2 – 2m = 0 Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 0 khi 4m2 – 2m = 56 <-> 4m2 – 2m – 56 = 0 Giải phương trình ẩn m , ta được m1 = 4 và m2 = –3,5 (*) vào EQN chọn phương trình bậc hai một ẩn : nhập vào máy a =4 ; b=- 2 ; c= -56-> x1 = 4; x2 =- 3,5 Nghĩa là hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 và f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 đều chia hết cho x – 2 Bài tập tương tự : Bài 1:Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 . Tìm m để f(x) M (x + 3) HD: Đặt g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx Giải phương trình ẩn m , ta được : m1 = 5 và m2 = Bài 2: (Sở GD – ĐT TP. Hồ Chí Minh. 2003) Tìm giá trị của m biết giá trị của đa thức f(x) = x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m -5 tại x = - 2,5 là 0,49. HD: Đây là bài toán tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư là 0,49 Ta có: f(x) – 0,49 M (x + 2,5) - >Tìm giá trị của m biết đa thức x4 – 2x3 + 5 x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết cho x + 2,5 Đáp số:209,105 Ví dụ 2 : Tìm a và b sao cho hai đa thức f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b và g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b cùng chia hết cho (x – 3) Giải: f(x) , và g(x) cùng chia hết cho (x – 3) khi và chỉ khi f(3) = g(3) = 0 Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x và B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b g(x)=B(x) –3a +2b f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 0 <-> 2a + 3b = –87 g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = 0 <-> –3a +2b = –318 Ta có hệ phương trình : Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta được nghiệm ( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 . Bài tập tương tự : Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005) Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) và chia hết cho (x – 3). Hãy tìm giá trị của m, n và các nghiệm của đa thức. Giải: P(x) chia hết cho (x – 2) khi và chỉ khi P(2) = 0 Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156 Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 0 <-> 8m + 2n = 360 P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nÞP(3) = 0 <-> 27m + 3n = 570 Ta có hệ phương trình : ( n = 172; m = 2; ) Bài 2:Tìm m và n để hai đa thức P(x) và Q (x) cùng chia hết cho (x +4 ) P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n HD : Tương tự như ví dụ 2 Đáp số:m = –4128,8 ; n = –2335,2 Dạng 2 : Tìm dư trong phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta luôn được P(x)=Q(x) (ax+b) + r, trong đó (vì ax + b bậc 1). Thế ta được P( ) = r ( Bezout) Như vậy để tìm số dư khi chia P(x) cho nhị thức ax+b ta chỉ cần đi tính r = P( ) Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư trong phép chia: Giải: Đặt P(x) = thì số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy : Ấn các phím: Đáp số: r = 85,92136979 Ví dụ 4: Tìm số dư trong phép chia: Giải: Đặt P(x) = thì số dư : r =P( ) = 3. + 5. - 4. + 2. – 7 Qui trình ấn máy : Ấn các phím: Đ áp số: r = Bài tập tương tự : Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998) Tìm số dư trong phép chia Giải: Số dư : r = (-2,318)5 – 6,723(-2,318)3 + 1,857(-2,318)2 - 6,458(- 2,318) + 4,319 Qui trình ấn máy : Ấn các phím: Đáp số: r = 46,07910779 Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003) Cho . Tìm phần dư r1, r2 khi chia P(x) cho x – 2 và x – 3.Tìm BCNN(r1,r2)? Giải: Số dư : r1 = 24 + 5.23 – 4.22 + 3.2 + 50 Số dư : r2 = 34 + 5.33 – 4.32 + 3.3 + 50 Qui trình ấn máy : Ấn các phím: = Đáp số: r1 = 96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) = 22944 Dạng3 : Tìm đa thức thương và dư khi chia đa thức cho đa thức Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta sẽ được thương là một đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 và số dư r. Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r = b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c). Ta lại có công thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0. Vậy: r = a0 +ca1 + c2a2 + c3a3 Tương tự như cách suy luận trên, ta cũng có sơ đồ Horner để tìm thương và số dư khi chia đa thức P(x) (từ bậc 4 trở lên) cho (x - c) trong trường hợp tổng quát. P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c) Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để được q(x) và r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta được bảng sau: an an- 1 an - 2 … a1 a0 c bn-1 = an bn -2 = cbn-1 + an -1 bn -3 = cbn - 2+ an -2 … b0 = cb1 +a1 r = cb0 + a0 Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0 Ví dụ5: Tìm thương và số dư trong phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 cho x – 5. Giải Ta có: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = 1. Qui trình ấn máy Vậy : x7 – 2x5 – 3x4 + x – 1 = = (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004. ( Ta cũng có thể sử dụng biến Ans để tìm các hệ số và số dư) Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – 2 theo bậc của x – 3. Trước tiên thực hiện phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để được q1(x) và r0. Sau đó lại tiếp tục tìm các qk(x) và rk-1 ta được bảng sau: Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0 1 0 -3 1 -2 x4-3x2+x-2 3 1 3 6 19 55 q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55 3 1 6 24 91 q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91 3 1 9 51 q3(x)=x + 9, r2 = 51 3 1 12 q4(x)=1 = a0, r3 = 12 Vậy :x4 – 3x3 + x – 2 = (x-3)4+ 12(x-3)3+ 51(x-3)2 + 91(x-3) + 55 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Nếu không có sự hỗ trợ của MTCT thì việc phân tích đa thức thành nhân tử là một bài toán khó. Tuy nhiên chúng ta có thể sử dụng chức năng giải phương trình của MTCT để tìm nghiệm, sau đó sử dụng hệ quả của định lý Bezout để giải quyết. “Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 ( ) có n nghiệm là x1;x2,…,xn thì P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x - xn)” Ví dụ 7:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304 9 Giải: [...]... một đáp án sai Vậy chúng ta đã nhầm lẫn ở bước nào? Ở bài toán trên khi chúng ta đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) thì kết quả nhận được là đa thức bậc 5 (Cùng bậc với P(x) vì k(x) là bậc 2 mà g(x) = P(x) – k(x) ) và có hệ số cao nhất là 1 Nên kết quả của bài sai là do đa thức g(x) tìm được chỉ là một đa thức bậc 4 Vậy ta cần giải quyết bài toán này như thế nào? Đa thức g(x) phải có hệ số cao nhất là hệ... toán, … -> Dãy lệnh cho máy 4.Trình bày bài làm(lộ trình đối với những bài tập yêu cầu viết qui trình hoặc kết quả) Đề tài: “Một số kinh nghiệm về giải các bài toán đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ” giúp chúng ta định hướng cho học sinh các dạng bài tập về đa thức và phương pháp giải những dạng toán đó Giúp cho học sinh tự tin hơn trong việc giải các dạng bài tập về đa thức một cách sáng tạo, phối hợp nhịp...Tìm chức Nhập Tìm a năng = được giải 105 nghiệm , phương b của = đa trình 514 thức , bậc c trên hai: = –304 : Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 được phân tích thành Bài tập Phân tích a) đa thức 65x2 HD:Tìm Nhập Tìm tương = được thành + chức a sau tự năng 65 nghiệm phương b của nhân tử 4122x giải , : = 4122 đa thức trên : +61093 trình , bậc c = hai 61093 : Vậy đa thức 65x2 + 4122x + 61039 được phân... trong đa thức Q(x) có bậc 3 là 10 C 1.khái KẾT quát LUẬN cục bộ : Qua thực tế dạy – học về sử dụng MTCT để giải toán, thầy và trò cần nắm vững chu trình tổng quát : Muốn đạt được kết quả cao khi giải các bài toán đa thức bằng MTCT chúng ta cần nắm vững một số vấn đề: 1 .Tính năng của các phím, chủng loại máy, 2.Dạng bài, kiểu bài, … -> định hướng đi 3.Các phép biến đổi, thuật toán, … -> Dãy lệnh cho máy. .. năng 299 giải , nghiệm 2004x của phương b =- 2004 đa thức + trình , 3337 bậc c trên = hai 3337 : Vậy đa thức 299 x2 – 2004x + 3337 được phân tích thành c) 156x3 HD:Tìm chức – 413 năng x2 giải – phương 504 trình x+ bậc 1265 ba Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265 Tìm được nghiệm của đa thức trên : bn Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 được phân tích thành Dạng 5: Tính giá trị của đa thức Dạng... 1265 được phân tích thành Dạng 5: Tính giá trị của đa thức Dạng 5.1: Tính giá trị của đa thức tại các giá trị của biến (đa thức cho trước) Bài toán: Tính giá trị của đa thức P(x,y,…) khi x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp các giá trị của x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đối với đa thức một biến) Viết dưới dạng Vậy Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0... b, khi c chia của P(x) Tính: đa cho thức x P(x) + 4 c Tìm d Tìm Bài số dư số 11: dư (Sở r2 r3 khi khi GD chia chia - P(x) P(x) ĐT cho cho Thái 5x +7 (x+4)(5x +7) Nguyên, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 42 Tính P(2002)? b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – 2 ta được thương là đa thức Q(x) có bậc 3 Hãy tìm hệ số của...  1.Nguyễn Lực - lớp 9 trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT 2.Nguyễn Quang Sinh- lớp 9 trường THCS Bình Thành giải KK HSG- MTCT 3 Lê Văn Đẽ- lớp 9 trường THCS Tây Giang giải KK - HSG- MTCT ( Đội tuyển Tỉnh dự thi khu vực) 2 lợi ích và khả năng vận dụng: - Giáo viên định hướng cách giải các bài tập về đa thức bằng MTCT - Có được tài liệu về việc giải toán bằng MTCT đan xen trong các tiết dạy chính... hợp với máy tính có thể giải được rất nhiều dạng toán đa thức bậc cao mà khả năng nhẩm nghiệm không được Do đó yêu cầu phải nắm vững phương pháp và vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lí , logic Bài toán sau đây là một ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trong quá trình giải Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết P(1) = 8 , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15) Giải. .. MTCT Kết quả khảo sát ở năm học 2009– 2010 BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC TỐT LỚP SL KHÁ - TBÌNH HẠN CHẾ SL TL SL TL SL TL 7 30 10 33,3% 18 60% 2 6,7% 8 40 18 45% 22 55% 0 0% 9 90 55 61,1% 25 27,8% 0 0%  Trường THCS Bình Nghi:  Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp huyện:1.Nguyễn Lực - lớp 9 trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT Kì thi HSG giải toán trên MTCT cấp Tỉnh: . đặc biệt là các đề thi giải toán bằng MTCT đã và đang diễn ra hầu hết các tỉnh thành trong cả nước. Do đó tôi chọn đề tài: Giải một số bài toán về đa thức ở bậc THCS bằng MTCT ” II.NHIỆM. hướng được các dạng toán cũng như các phương pháp giải các bài toán về đa thức bằng MTCT. Đối với học sinh: - Nắm được cơ sở lý luận của phương pháp giải các bài toán về đa thức - Vận dụng linh. bài tập không thể giải bằng tay. - Một trong những dạng bài tập ở trong chương trình THCS có thể dùng MTCT để giải là “các bài toán về đa thức mà hầu hết các cuộc thi giải toán trên MTCT đều