. 3<Pj a tP
iitpxi r= ijtpir và iitjiyi r= nt^ir.
Vày t h i :
||(P A (Jir = IIVII* l4ir,G((p A 4) = G(¥>) A 0 ( 4 ) ,
Dinh l y dUdc c h ù n g m i n h ,
9 . 2 - He q u a .
Già su S* và T là hai màt cUe tièu dUdc dinh ed bòi càc dang vi phàn ¥> và di tUdng ùng trèn M và N. Néu 9x là E-tàch dUdc tai moi x^M thi SxT là màt cUc tièu trong MxN dudc dinh ed bòi tp A i-
S duoc dinh ed bòi dang ed V sao cho tPx là E-tàch dUde vói moi x^M thi SxT là dòng cUc tiéu trèn MxN.
Chùng minh.
Bdi vi T là dòng cUc tiéu trèn N nèn theo dinh ly 2.2 ton tai mot dang ed tj ma nò dinh ed T trèn N. Do dinh ly 9.1 suy ra ràng:
GCP A qi) = G((P) A G((?).
Màt khàc, Sx^ GiV), ly^ G(^) tai hàu khap ndi x^S và y€T ta suy ra (SxT)c3c,y) = Sx A Ty thuóc G(tpAqi) hàu khap ndi theo nghia dò do US >f TỤ Vày SxT là eUc tiéu trong MxN. Dinh ly dUdc chùng minh
9.4. He quà-
Nèu S là dòng tuy y dUdc dinh ed bòi càc dang ed trong §6, §7,§8 cùa da tap M và T là dòng cUc tiéu trong N thi SxT là CUc tíèu trong MxN.
Bày giò ta xét thèm mot so thi du dàng chù y .
vi du 1-
Già su S là mot p-màt phùe trong C = R thi S là màt cUc tiéu dUde dinh c3 bòi n = u (u là 2-dang kahler. theo mènh de 5.3 n tàch dUde mot càch đn giàn. Vày néu T là mot dòng eUc tièu (màt dUde dinh ed) tuy y thi SxT là dòng (màt) eUc tiéu
2 n ^ • ^
trong R xN theo dinh ly 9,3 và he qua 9.4. Vi da 2-
Già su S là dòng cUc tiéu 2-ehiéu hoàc (n-2)-ehiéu trong da tap n-chiéu M, T là dòng eUc tiéu tuy y trong da tap N. Theo ménh de 5.1 và dinh ly 9.3 ta suy ra SxT là cUc tiéu trong da tap MxN,
Vi du 3.
Già su S là dòng cUc tièu tuy y trong da tap n-chiéu M (n$5), T là dòng cUe tièu tuy y trong da tap N. Theo mènh de 5.2 và
dinh ly 9.3 ta suy ra SxT là eUc tièu trong da tap MxN,
Chù y! Càc kèt qua trèn van dùng khi S và T là màt cUc tièụ
KET LUAN
Dòi khòi lUdng cua mot dang ed (dang vi phàn dóng) và tàp eàc huóng eUc dai cùa nò là nhùng thòng tin càn thièt de àp dung nguyèn ly dang ed nhU mot diéu kièn hùu hièu nham khào sàt càc dòng và màt cUc tièu toàn cuc. Vièc tinh dòi khòi lUdng và càc hUÓng cUc dai eùa mot dang u dà cho tUdng dudng vói*bài toàn cUc tri (0,4) vói diéu kièn (0.5). Day là mot bài toàn quy hoach vói hàm muc tièu phi tuyèn và càc diéu kièn bàc hai dang dàng thùc nèn nói ehung khòng giài dùng dUdẹ 0 day chùng tòi de xuàt và nghién eùu mot lóp dang
dang vi phàn d^c biét goi là dang tàch dUdc , phàt trièn
mot phUdng phàp tinh dòi khòi lUdng và tàp càc hUÓng cUc dai cùa nò. Càc trUÒng hdp dàc bièt dan tói eàc thi du ve càc dòng và màt cUc tièu mòị
Tàì lièu tham khào
[1] Berger M.,Du còte chez Pu, Ann. scient. Eẹ Norm. Sup. 4(1972), 1-44.
[2] Blair,D.Ẹ,Geometry of manifolds with structures U(n)xO(s), J. Diff. Geom.4,N2 (1970),155-176-
[3] Blair,D.E,, On a generalization of the Hopf fibration,An, StịUniv. Iasi,Sec.Ia 17,NI (1971),171-177.
[4] É. Cartan, Leoon sur la geometrie des espaces de Remaniann, Paris, Gauthier-Villars, 1946,
s [5] Dadok J.,Harvey R and Morgan F.,Calibrations on R ,
Trans.Am.Math.Soc. 305 (1988),1-39.
[6] Dao Trong ThịGlobally minimal currents aind surfaces in Riemannian manifolds,Acta Math. Vietnamiea 10(1985), 296-333.
[7] Dao Trong Thi and Hoàng Xuàn Huàn, Generalized Wirtinger's inequality and minimal currents. Abstract of
International coference of Topology in Bacu,October 1987.
[8] De Rham G,, Variétés differentables, formes,
curajits, formes harmoniques, Act. Scị et Ind. , v. 1222, Paris:Hermann
[9] Douglas J., Minimal surfaces of higher topological structure, Ann, Math.V.40,1939, 205-298,
[10] Federer H-,Some theorem on integrai currents. Trans,Am-Math. Soc.117(1965),43-67.
[11] Federer H., Geometrie measure theory, Berlin Springer, , 1969,
[12] Ferderer H. 'and Fleming W.H.,Normal and integrai currents, Ann. Math., 72(1960), 488-520.
[13] Gluc H.,Morgan F. and Ziller W.,Calibrated geometries in Grassmann manifolds, Comm. Math. Helv. 64 ( 1989 ) •, 256-268.
[14] H. Gluck, D.Mackenzie and F. Morgan, Minimizing eycles in grassmann manifolds, preprints (1991).
[15] C. Godbillon, Geometrie differentielle et mecainique analytique Paris, Hermann 1969.
[16] Harvey R.,Lawson H.B., Calibrated geometries,Acta Math, 148(1982),47-157.
[17] HatakeyamạOnthe existence of Riemannian metries associated with a 2-form of rank 2r-TohokụMath.J.14, N2, 1962,162-166.
[18] Hoang Xuan Huan, A class of globally minimal currents and surfaces on f-manifolds, Abstracts of the 4th congtess of Viet-Math.,sept 1990, 58-59.
[19] Hoang Xuan Huan,A class of caiibrated forms on f-manifolds, Acta Math Vietnamiea 16(1991), 155-170.
[20] Hoang Xucin Huan, Separable calibrations and minimal currents, to appear in Acta Math. Vietnamiea (1994),
structures, Tohoku Math.J. 12,N3,(1960),459-476.
[22] S.H- Sasaki and Ỵ Hatakeyama, On differentiables manifolds with contaets metric structurs, J. Math, Soc. Japan (1962),N 3, 249-271.
[23] Simons J.,Minimal varieties in Riemannian manifolds,Ann.
Math.88(1968),62-105 ^ [24] Tasaki H., Calibrated geometries in wuaternionie
Grasmannian, Osaka J. Math-25(1988),591-597.
[25] Whiney H., Geometrie integration theoy, Princeton Univ. Press,1957.
[IQ] Dooo ^oHi Ixw, ẠT. 9oMeHKo , MUHM MciAkHbie
[ I T ^ ] oDaO HoHl T x u , 0 MUHUlMaAbHblx nOTOKa/ u
no-tjefvXHOCT/^x ^ Pu luaHotbi x MHdzoo<5'pâu;ax ,