a) lln^l *= max(lail) va G(n)= G(n).
4.1- Dinh ly T(n) =SO(n) khi va chi kh 1 p= n.
Chùng minh- Nè'u p=n, ro ràng T(n) =SO(n) . Do vày ta già thiét p nhò hdn n va sé chùng minh néu T(n ) = SO(n) thi n = 0.
ThUe vày xét mot p-véc td tuy y cùa G(n). Khi dò ta co:
n(£)= limi*; e = eiẠ..Aep trong do {ei, , , . ,eie}là he trUc chuan
- 43 -
Bdi vi p<n nèn ta tim duOc véc td e sao cho he {e,ei, . - - ,eie} là tnjle chuan. Bay giò ta thiet làp phép bien dòi A € S0(n) nhu sau:
-L Ăe) = ei, A tàc dung dong nhàt trèn (span(e,ei)) Dàt:
h=eAe2Ạ..Aệ ' Ta co:
n(h) = A*o(h) = o(eiẠ .-Aep) = Hf^il -
nèn h^ G ( n ) . Bay g i ò t a x é t p - v é c t d e ' nhU s a u :
e-=V2(e+h)/ 2 =\/2(e+ei)Ae2. . - A e p / 2 ,
De t h a y t' l à p - v é c t d đn đn v i va
n ( e - ) = : (o(e)-K>(h))/ 2 =V2Ifnii
NhUng o(e-) $ limi (theo dinh nghla 1,1) nén Ilnjl = 0 hay là n =0. Diéu này màu thuan vói già thièt o ^ 0 d trèn , vày P phài bang n. Dinh ly dUde chùng minh.
Bay giò ta xét mot khóng gian con q-ehiéu V cùa R . Vói moi
bién doi trèn R " bang càch thàc trién dong nhat trèn V . Dinh ly sau là ùng dung cùa dinh ly 4.1-
4-2- Dinh ly- Mot p-dang o là V-tàch dUdc khi va chi khi nò
là SO(q)-bat bién (trèn V) va V n span n ?? {0}.
Chùng minh. Già su n là V-tàch dude thi ta co bièudien
n= ni + ê A n2; ^x,^iz là càc dang trèn W= V
Hièn nhièn i^i,02 là S0(q)-bat bién (trèn V) nèn n cùng là SO(q)-bat bién (trèn V ) .
NgUdc lai, ta già su n là SO(q) bat bién (trèn V) . Vói mot ed sd trUe chuàn ei,...,eq. cùa V ta bò sung càe véc td e-a-*-!, - - . ,en sao cho he ei,...,en là ed sd trUc chuàn eùa R Ti Lue do n co thè bièu dien nhU sau
(4.1) 0= 2 e Ạ..Ae A Oj ,j ; q+1^ ji$ n vói moi i^t
•va nj ,4 là eàc dang trèn V
Bòi vi n là SO(q)-bat bién (trèn V) thi nj^ ....,j;j, cùng là SO(q) bat bién (trèn V) vói moi (ji,...,j-fc). Tu dinh ly 4.1 suy ra ràng:
- 45
Nhu vày biéu dién (4.1) cùa n eó the viét dUÓi dang
* ^ , X n = ni + e ^ A n2; Oi, n2 là càc dang tren V .
Màt khàc V n span n ?f {0} nèn n2 ^ {0}. Vày f^ là V-tàch dUdc. Dinh ly dUde chùng minh.
Nhàn xét . Do dinh ly 3.12, già thiét vn span n ?f {0} tUdng
dUdng vói V cspan n.
Bay giò ta xét phàn tich trUe giao min hdn cua R : R = Vi @ ... © Vie va càe dang tàch dUdc theo dinh nghla 3.7. Dinh ly sau là md rong dinh ly 4-2 cho càe dang tàch dUde mot càch đn gian.