ị (4.3) o = Oi + ê A n2 («ị 02 là càc dang trèn V i )
4.8- Dinh nghlạ Già sun tàch dUde mot càch đn giàn dò
vói (Vi, ...Vie), ta eó thè xem dim Vi ?...?dim Viẹ Khi dò bièu dien tUdng ùng eùa n cJòi vói (Vi,...,Vie) dUde goi là tòi Uu nèu vói moi t $ k khóng ton tal khóng gian con V nào khàc Vij chùa Vi; thUc sU de fi là V-tàch dUdc.
Ta nhàn dUde kèt qua ly thù sau dòi vói eàc bièu dien tòi Uụ
4-9- Dinh lỵ Già su n co hai bièu dien tòi Uu dòi vói
(Vi, ... , Vie) va (Wi,.. . ,Wié)- Thi ta luón co : K= k' va dim Vt = dim Wt-
Hdn nùa eó thè xép lai thù ttl eùa (Wi, . . , ,Wie)dé cho: W-G = Vt vói moi t ma dim Vt ? 3.
Chùng minh- Do dinh ly 3.12 ta co:
(4.7) span n = Vi (9 • • - ® Vie = Wi $ , , , Q^ Wie-,
Néu dim Vt = dim W s = 2 , V t $ k , V s $ k ' t h i t a p h à i co k= k ' = ( r a n k n ) : 2 . Két l u à n c ù a d i n h l y l à tàm t h u ò n g .
Ta sé chùng minh rang: nèu dim Vt ? 3 (t ^ k) thi ton tai s $ k'dé Vt = Wọ
ThUe vày, vi n tàch dudc dòi vói Vt va moi Wr^ (r$k')nèn tu dinh ly 4.7 suy ra ràng Vt trUe giao vói moi Wr* hoàc eó it nhàt mot s ^ k' sao che n tàch dUde dòi vói (Vt + W s ) . Màt khàc, tu biéu thùc (4.7) ta thay Vt C Wi +...+ Wié nèn trUÒng hdp thù nhàt khóng thè xày rạ NhUng eàc bièu dien cùa fi dòi
vói (Vi, . . . ,Vie) va (Wi, , . . ,Wit- ) là tòi Uu nèn Vt phài trùng vói Wo-
Bang làp luàn tUdng tU ta cùng suy ra ràng: nèu dim Ws ^ 3 thi ton tai t de cho Vt = Wạ Tu tÓi biéu thùc (4.7) va dinh nghla 3.9 ta suy ra:
K= k' va dim Vt = dim Wt vói moi t^ k.
Ngoài ra nèu xèp lai mot càch thich hdp thi Vt = Wt vói moi t ma dim Vt ^ 3. Dinh ly dUdc chùng minh.
^ 5- MOT SO LÓP DANG TACH DOìCfC DÀC BIET
De hinh dung dUdc tàp hdp càe dang tàch dudc , trong muc này ta sé xét mot lóp càc dang bao gom nhùng dang nhàn dudc tu càe 2-dang bdi phép toàn *Horge va phép luy thùa ngoai; eàc dang thUc bàc (p,p) trong khóng gian phùẹ Nhò do ta cùng biét dUde tinh tàch dudc cùa càe dang trong khòng gian co so chiéu thàp.
55 -
TrUÓc hét ta xét càc 2-dang va (n+2)-dang.
5.1- mènh dẹ
i) Neu n là 2-dang trèn R*^ thi n"* là tàch dUde mot càch đn giàn vói moi m $ (rank n)/2.
ii) néu n là (n-2)-dang trèn R thi nò tàch dUde mot càch đn giàn.
Chùng minh.
i) Già su n là 2-dang trèn R . Ta ky hièu V là phép bièn dòi dòi xùng lèeh tUdng ùng vói n : (¥'(u),v) = n(u,v) vói moi u,v € R . Nèu K là khóng gian con bàt bièn hai chiéu tuy y
eùa R dòi vói 9 thi han che P\K cùa (p trèn K cùng là dòi
xùng lèeh . Vói mot ed sd trUe chuàn tuy y cùa K ta eó thè chon huóng de ma tran eùa v I K eó dang:
O X \
-X o ' , X >> 0
So X khòng phu thuóc vào ed sd cùa K va dUde goi là già tri dàc trUng cùa ¥> (tUdng ùng vói K ) . Ta biét ràng khi dò R eó phàn tich trijlc giao (khóng nhàt thièt duy nhàt) :
d day Ko = ker tp va Ki (i$r) là khóng gian con bat bién 2-chiéu ùng vói già tri dàc trUng Xị Lue này n co dang:
fi = Xiei A 92 +...+ Xre2r—1 A e 2 r
trong dò {ei}i>s2r» là he trUc chuàn sao che {e2i-i,e2i} là ed sd cùa khóng gian con bàt bién 2-ehiéu tUdng ùng vói già tri
dkc trUng Xi (i$r). Theo dinh ly 3.10 ta suy ra fi tàch dUdc
mot càch đn giàn doi vói (Ki, . , . ,Kr»).
ii) Néu n là (n - 2)-dang trèn R*^ thi *n là 2-dang trèn R"^. Theo trèn *n là tàch dude mot càch đn giàn . Vày tu dinh ly 3.10 (va nhàn xét eùa dinh ly) ta eó: n = *(*n) cùng tàch dUde mot càch đn giàn. Dinh ly dUdc chùng minh.
Mènh de sau là he qua cùa mènh de trèn cho khóng gian eó so ehièu thàp.
5.2. Ménh dẹ
i) Moi dang bàt ky trong R là tàch dUdc mot càch đn giàn. ii) Moi dang tàch dUde trong R là E-tàch dUdc.
Chùng minh.
i) Già su fi là p-dang trèn R . Nèu p= 1 hoàc p= 4 thi n là khai trièn dUdc nèn nò tàch dUde mot càch đn giàn, Khi p = 2
hoàc p=3 thi ^ là tàch dUdc mot càch đn giàn theo mènh de 5.
- 57 -
ii) Néu fi tàch dude trong R thi theo dinh nghla 3.4 nò co dang :
n = fii + e ^ A n 2 .
ni va fi2 là càe dang trèn V . Bdi vi dim V^ 2 nèn dim V $5. Theo i) fii va fi2 là tàch dUde mot càch đn giàn . Vày fi là E-tàch dUdc-
Bày già ta xét C = R là khóng gian phùe vói càu trùc phùe J. Moi (p,q)-dang trèn C eó thè dUde bièu dien nhu sau:
fi= SaịK dzi^A ...A dzipA dziê A ,., /tdziẹ = Refi+ilmP
(trong dò Zj = ej + iJej la bien phUe thU J cua C )
5-3. Mènh dẹ
Già su fi eó thè bièu dien dUÓi dang :
fi = ê A Jey, A ni + n2
n-l 1 d day fii va n2 là eàc dang trèn C = (ei,Jei) . Thi Re fi va Im fi là tàch dUdc dòi vói Vi = span (ei, Jei). Dàc bièt, nèu fi là (p,p)-dang sao che
thi Refi va ImP tàch dudc mot càch đn giàn doi vói (Vi,,,., Vn) d day Vj=span(ej , Jej ) ,zj.=ed+iJej , j$n.
Chùng minh. Bdi vi
Ite 3|e
fi= ê A Jê A fii + n2,
nèn de dàng kiém tra dudc n là S0(2)-bat bién trèn Vị Vày Refi va Imfi cùng là S0(2)-bat bién trèn Vi, Theo dinh ly 4.2 ta suy ra Re fi va Imi^ tàch dUdc doi vói Vị
Dàc bièt, già su:
fi= 2 ai dzi^A dzi^A ... A dzi A dzị
Hién nhièn fi là S0(2)x...xS0(2)-bat bién trèn Vi @ ... © Vn. Vày thi Re n va Im n cùng là S0(2)x...xS0(2)-bat bién trèn Vx @ ... @ Vn nèn chùng tàch dUdc mot càch đn giàn dòi vói
(Vi,-..,Vn) theo dinh ly 4,3.
Chù y!
a) TrUÒng bop (p,p)-dang nhU trong mènh de này Le Hong Vàn [32] dà xàc dinh dUdc dòi khòi lUdng bang phUdng phàp khàc. b) Nhò àp dung dinh ly 3.2 va dinh ly 3.10 ta hoàn toàn xàc dinh dUdc tàp eàc hUÓng cUc dai eùa càc dang Re fi va Im fi khi fi là (p,p) dang nhu trèn.
CHUONG III
CAC DANG CO TACH DUOC TREN DA TAP
Nhu dà nói d chUòng I, mot dang ed trèn da tap Riemann M là mot dang vi phàn dóng (eó thè eó ky di) vói khoi lUdng hùu han. Mot k-dòng S sao cho vée td tièp xùc Sx hàu khap ndi là huóng cUc dai cùa dang ed dUde xét thi S là dòng co khòi lUdng cUc tièu dòng dièụ Hièn nay vièc nghién eùu càc dang Cd, dòng va màt cUc tièu trèn da tap co eau trùc da bièt dang dUde nhiéu ngUÒi quan tàm.
Trong ehUdng này chùng tòi su dung eàc kèt qua d chUdng 2 de chùng minh bàt dàng thùc Wirtinger md rong cho luy thùa ngoai cùa 2-dang dóng tuy y . Nhò do chùng tòi xét càe dang
ed trèn da tap eó 2-dang dóng, dhc bièt là da tap contact va
f-da taP- Ngoài ra chùng tói cùng xét tich càc dang ed trèn da tap bau tich va tich càc màt eUc tièu trèn tich càe da tap Riemauin.