S 6 Cac dang c3 trèn da tap co 2-daiig dóng
6.1. Dinh lỵ (Bàt dàng thùc Wirtinger md rong).
Già sU Ul la 2-dang tren R , {(i>i}±:sn la ed sd trUe chuan cua
n
R sao cho:
(i) = X i (Jl A U 2 +. . .+ X r t»)2r-l A t»)2r- (0 < X i$ ... ^ X ^ ) ,
Thi vói moi k^n ta co
liti) I! = k l TT Xr._ic+i v à
e € G(w khi và chi khi e = eiA,--Ae2ic trong dò {ei}is2ie là he trijlc chuan sao cho {e2±-i,e2i} là ed sd eùa khóng gian con bat bién 2-ehiéu Ki (dòi vói phép bièn dòi dòi xùng lèeh <P eùa ti)) tUdng ùng vói già tri dàc trUng ^x'~ìz-*-±.
- 61 -
Chùng minh.
Tinh trUe tièp ta nhàn dUdc:
le ^ = k ! r Xi . j . Xi tJ2ị-iAD2i^Ạ..Au2±-iAci)2i TU dinh ly 3.10 và mènh de 5.1 ta suy ra i« >•= i t llw II = kÌTT X j , - i e - ^ i v à G ( t j ) = G ( n i e ) . t r o n g d o
( 6 . 1 ) file = 2 (iì2±^ - 1 A U 2 ± ^ A . . . A <i»21j^-l A ^ 2 1 , ^ -
Ta sé chùng minh khàng dinh thù hai bang quy nap theo r. Vói r=l, kèt luàn là hièn nhièn.
Già su dinh ly dùng vói r = m, ta chùng minh dinh ly dùng vói r = m+1.
ThUc vày, nèu Xr_ic_i < X^-ie thi bièu dien cùa file d (6.1) ehi co mot so bang nèn kèt luàn là hièn nhièn. ta xét trUÒng hdp Xr-ie-i = Xr—le- Lùc này bièu thùc (6.1) co thè vièt dUÓi dang
( 6 . 2 ) file = (J2Cr—lE) + l A U>2(r—le+l) A «le-l 4 0 ^ ,
» _ .' trong dò fij (j= k,k-l) dudc xàc dinh theo (6.1) vóùtòng lày trong dò fij (j= k,k-l) dudc xàc dinh theo (6.1) vóùtòng lày
Chùng minh.
Tinh trUe tièp ta nhàn dUde:
u)^ = k! 2 Xi X l (1)21. - 1 A U 2 1 . A . . . A tJ2±.,-i A t*)2± 1 -l i< t TU dinh ly 3.10 và mènh de 5.1 ta suy ra ItJ II = kÌTT Xj,_fcH.i v à G((J ) = G ( f i i e ) . t r o n g d o ( 6 . 1 ) file = 2 (.>21^ - 1 A U 2 1 ^ A . . . A U 2 i ^ ^ - l A W2±|^-
Ta sé chùng minh khàng dinh thù hai bang quy nap theo r. Vói r=l, kèt luàn là hièn nhièn.
Già su dinh ly dùng vói r = m, ta chùng minh dinh ly dùng vói r = m+1.
ThUc vày, nèu Xr—jc-i < X^-ic thi bièu dien cua fili d (6.1) chi eó mot so bang nèn kèt luàn là hièn nhièn. ta xét trUÒng hdp Xr-ie-i = Xr-ic. Lue này bièu thùc (6.1) co thè vièt dUÓi dang
( 6 . 2 ) file = (J2Cr—le)-.-l A t J 2 C r - l e + l ) A fife-I +filt,
, _ . »
62 -
theo càe so hang khòng ehùa W2cr-ie). Ap dung dinh ly 3.2 cho V = span(w2Cr-ie)-*-i,ti)2(r-ie+i) ) ta dudc:
(6.3) G(nie) ='G(ni^)U{ev A G(fiie-i)} U Ănfe),
trong do
Ăfiie)= {(coseei + sinegi) A (eoseei + sinegi)Aei,ei€ G(fiie-i), giAg2A€i € G(nic), {ei,e2} là ed sd trUe chuan cùa V.
Bay giò ky hièu úià han che cùa u trèn V . Thi w ' co bang 2(r-l) nén thoà man già thièt quy nap- Tu do suy ra:
(6-4) e € G(w') khi và ehi khi e = gì A ... A g2ie
d day {g±}i«2ie là he trUc chuan eùa V sao cho {g2d-i,g2j} là
co Bó eùa khóng gian con bàt bièn 2-chiéu tUdng ùng vói già tri dàc trUng X^-j (j$k); và
tx € G(u)') khi và chi khi Ci = es A ,., A esiẹ
{ei}3:5 J..?2ie là he trUe chuàn cùa V sao che {g2j-i,g2j} làp nèn ed sd cùa khòng gian con bàt bièn 2-chiéu tUdng ùng vói già tri dàc trUng Xr—j (j^k);
Kèt hdp (6.3),(6.4),(6.5) ta suy ra rang £ là w-cue dai khi và chi khi £ biéu dien dudc dUÓi dang:
e = fi A ...Af21e,
trong dò {fi} là he trUc chuan cùa R'^ sao cho {f2j-i,f2j} làp nèn ed sd eùa khòng gian con bat bién 2-chiéu ùng vói già tri dàc trUng XK^_J ,
Dinh ly dUde chùng minh,
Nhàn xét. Trong trUÒng hdp Xi=.,.=Xị ta nhàn dude bat dang
thùc Wirtinger quen bièt.
Dinh ly sau là he qua cùa dinh ly trèn dòi vói da tap eó 2-dang dóng.
6.2. Dinh lỵ
Già su ti» là 2-dang vi phàn dóng trèn da tap M và :
TT Xrv-ic-t-i = e {^0)
khóng dòi vói moi x^ M, trong dò {Xi(x)} cis- r-ie-Hi> là k già tri dàc trUng lón nhàt cùa phép bièn dòi dòi xùng lèeh tUdng ùng vói wx. Khi dò dang ed n = u co dòi khòi lUdng là
fi!!* = klC
và tàp fi-cUe dai dUdc xàc dinh theo dinh ly 6,1
64 -
§ 7. Càc dang c3 trèn da tap contact
Trong muc này M sé là da tap compact (2n+l)-chiéụ Mot da tap M duoc goi là'da tap contact néu trèn no eó mot dang Pfaff (P vói lóp (2n+l) (chi tiét hdn xem [15]. Khi dò d<P co lóp 2n và ton tai trUòng véc td £ sao cho
i
(7.1) (P(£) = 1, i (d(Px) = 0 vói moi x€M.
ì
Ngoài ra vói moi x^ M ton tal mot he toa do dia phUdng eùa M sao cho
a
(7.2) <P = dxi + T X2i dx2i-Hi và e = .
3x1
Mot so tàc già (xem [17,19,20,21]) dà nghién eùu càc da tap metric contact («, C, v, g ) , trong do oc là trUÒng affinor và g là metric Riemann thoà man càc diéu kièn saụ
(7.3) rank «"^ = 2n, e Vi = 1, âê = 0
( 7 . 5 ) «Pi = g i , q ^ , g p . < a a i áj = g i ^ j - <p±(p^