MỘT BÀI TOÁN ĐA THỨC HAI BIẾN HAY

MỘT BÀI TOÁN ĐA THỨC HAI BIẾN HAY TRẦN NGỌC THẮNG, THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Đa thức là một trong lĩnh vực rất hay và khó trong chương trình thi học sinh giỏi các cấp, vì thế trong các kì thi học sinh giỏi quốc gia và quốc tế thường xuất hiện những bài toán về đa thức và những bài toán này thường là những câu phân loại, những câu khó trong đề. Một trong những khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán về đa thức đó là các kiến thức liên quan rất rộng và liên quan hầu hết các lĩnh vực khác của toán học, để giải quyết những bài toán về đa thức học sinh cần được trang bị đầy đủ về kiến thức cơ sở và cách liên kết các kiến thức này. Trong bài viết nhỏ này, tôi muốn hướng dẫn các em giải một bài toán khó xuất phát từ bài toán quen thuộc, cơ bản trong đa thức. Bài toán nhỏ này nó cũng được sử dụng khá nhiều trong các bài toán khác mà tôi có liệt kê ở cuối bài viết. BÀI T11/435 (Báo toán học và tuổi trẻ tháng 09/2013) Tìm tất cả các đa thức ( ) ,T x y sao cho ( ) ( ) ( ) , , ,T x y T z t T xz yt xt yz = + + với mọi số thực , , ,x y z t . Lời giải. Trước hết ta giải hai bài toán sau: Bài toán 1. Tìm tất cả các đa thức ( ) [ ] P x x∈¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 2 ,P x P x x= ∀ ∈¡ . (1) Chứng minh. Nếu ( ) ,P x c c ≡ là hằng số thì ta được 0, 1c c = = hay ( ) ( ) 0, 1P x P x ≡ ≡ . Nếu ( ) deg 1P x n = ≥ , so sánh hệ số cao nhất hai vế của (1) ta được [ ] 1a P = . Khi đó đặt ( ) ( ) n P x x Q x = + , ( ) deg 1Q x n ≤ − . Từ (1) ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , 2 , n n n x Q x x Q x x Q x x Q x Q x x+ = + ∀ ∈ ⇔ = + ∀ ∈¡ ¡ (2). So sánh bậc trong (2) ta được ( ) deg 0Q x = và cũng từ (2) ta được ( ) 0Q x ≡ suy ra ( ) n P x x ≡ . Do đó bài toán 1 được giải quyết. Bài toán 2. Tìm tất cả các đa thức ( ) [ ] P x x ∈ ¡ thỏa mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) 2 1 , n P x P x x x− = − ∀ ∈¡ (3) Chứng minh. Nếu ( ) P x có nghiệm phức 0 x thì từ (3) ta được 2 0 0 1 0 1x x − = ⇔ = ± . Từ đẳng thức (3) so sánh hệ số cao nhất ở hai vế ta được [ ] { } 1,1a P ∈ − , kết hợp với đa thức ( ) P x chỉ có nghiệm là 1 ± nên ta được ( ) ( ) ( ) 1 1 , k h P x a x x = + − trong đó { } , , , 1,1k h k h n a ∈ + = ∈ − ¥ . Trở lại bài toán T11. Thay 0,y t x z = = = ta được ( ) ( ) ( ) 2 ,0 ,0 ,0 ,T x T x T x x = ∀ ∈ ¡ . Đặt ( ) ( ) ,0P x T x = ta được ( ) ( ) ( ) 2 2 ,P x P x x= ∀ ∈¡ . Khi đó theo kết quả bài toán 1 ta được : ( ) ( ) ( ) ,0 0, ,0 1, ,0 n T x T x T x x ≡ ≡ ≡ . TH1. Nếu ( ) ,0 0T x ≡ thì thay 1, 0z t = = ta được ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,0 , , 0T x y T T x y T x y = ⇒ ≡ Th2. Nếu ( ) ,0 1T x ≡ thì thay 0, 0z t = = ta được ( ) ( ) ( ) ( ) , 0,0 0,0 , 1T x y T T T x y = ⇒ ≡ Th3. Nếu ( ) ,0 n T x x≡ , thay 0t = vào đẳng thức ban đầu ta được : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,0 , , , n T x y T z T xz yz T xz yz z T x y = ⇔ = (4). Với 0y ≠ ta có ( ) , . , ,1 n x x T x y T y y y T y y     = =  ÷  ÷     (5). Thay 1,y t z x = = = − ta được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ,1 ,1 1 ,0 1 n T x T x T x x− = − = − (6). Từ (6) và kết quả của bài toán 2 ta được ( ) ,1T x = ( ) ( ) 1 1 , k h a x x + − trong đó { } , , , 1,1k h k h n a ∈ + = ∈ − ¥ (7). Từ (5) và (7) ta được : ( ) ( ) ( ) , 1 1 k h k h n x x T x y ay a y x y x y y     = + − = + −  ÷  ÷     , trong đó { } , , , 1,1k h k h n a ∈ + = ∈ − ¥ . Nhận xét. Qua bài toán này ta thấy Bài toán 1 rất quan trọng trong các bài toán về phương trình hàm đa thức. Một số bài tập sử dụng kết quả này, chẳng hạn : Bài 1 (VMO 2006). Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 2 ,P x x P x P x P x x x + + − = + ∀ ∈ ¡ Bài 2 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) 2 2 , ,P x y P x y P x y x y − = + − ∀ ∈ ¡ Bài 3 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 ,P x x P x x− = − ∀ ∈ ¡ Bài 4 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) 2 2 16 2 ,P x P x x= ∀ ∈¡ Bài 5. Tìm tất cả các đa thức hệ số thực P(x) thỏa mãn đẳng thức sau : ( ) ( ) ( ) , ,P xy P x P y x y = ∀ ∈ ¡ Một số bài tập về đa thức hai biến (hay theo các lời giải của cá nhân tôi) Bài 6 (IMO 1975) Tìm tất cả các đa thức thuần nhất bậc n hai biến ( ) ,P x y thỏa mãn đồng thời các đẳng thức sau ( ) 1,0 1P = và ( ) ( ) ( ) , , , 0P a b c P b c a P c a b + + + + + = với mọi số thực , ,a b c . Bài 7. Tìm tất cả các đa thức hai biến ( ) ,P x y thỏa mãn đẳng thức ( ) ( ) 1, 1 , , ,P x y P x y x y + + = ∀ ∈ ¡ . giải một bài toán khó xuất phát từ bài toán quen thuộc, cơ bản trong đa thức. Bài toán nhỏ này nó cũng được sử dụng khá nhiều trong các bài toán khác mà tôi có liệt kê ở cuối bài viết. BÀI T11/435. xét. Qua bài toán này ta thấy Bài toán 1 rất quan trọng trong các bài toán về phương trình hàm đa thức. Một số bài tập sử dụng kết quả này, chẳng hạn : Bài 1 (VMO 2006). Tìm tất cả các đa thức hệ. MỘT BÀI TOÁN ĐA THỨC HAI BIẾN HAY TRẦN NGỌC THẮNG, THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC Đa thức là một trong lĩnh vực rất hay và khó trong chương trình thi học sinh