Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình học ở lớp 8 phần đa thức Sách giáo khoa đưa ra rất ít bài tập, dạng toán việc học sinh tiếp cận kiến thức về đa thức còn ít, các đề thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh gần đây lại thường có bài toán xác định đa thức, tìm đa thức dư hoặc tính các giá trị của đa thức...Việc tìm tòi lời giải bài toán xác định đa thức thường gây lung túng cho học sinh. Nguyên nhân chính là học sinh chưa được trang bị đầy đủ các kiến cần thiết, các dạng bài tập chưa nhiều. Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy bộ môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi Môn: Giải Toán trên máy tính cầm tay, tôi rất băn khoăn về vấn đề này. Vì vậy nhằm củng cố kiến thức về đa thức trong chương trình toán từ lớp 8 đến lớp 9 và rèn kỹ năng giải một số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, để cho học sinh đại trà và đội tuyển học sinh giỏi năm sau đạt kết quả tốt hơn năm trước mà kiến thức của nó không vượt quá trình độ THCS. Tôi đã thực hiện nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này: “NÂNG CAO TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN ĐA THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT”

Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình học lớp phần đa thức Sách giáo khoa đưa tập, dạng toán việc học sinh tiếp cận kiến thức đa thức ít, đề thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh gần lại thường có toán xác định đa thức, tìm đa thức dư tính giá trị đa thức Việc tìm tòi lời giải toán xác định đa thức thường gây lung túng cho học sinh Nguyên nhân học sinh chưa trang bị đầy đủ kiến cần thiết, dạng tập chưa nhiều Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán bồi dưỡng học sinh giỏi Môn: Giải Toán máy tính cầm tay, băn khoăn vấn đề Vì nhằm củng cố kiến thức đa thức chương trình toán từ lớp đến lớp rèn kỹ giải số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, học sinh đại trà đội tuyển học sinh giỏi năm sau đạt kết tốt năm trước mà kiến thức không vượt trình độ THCS Tôi thực nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này: “NÂNG CAO TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN ĐA THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TOÁN TRÊN MTCT” Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT II.CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN II.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong sách giáo khoa (tập 1) tác giả đưa kiến thức cho học sinh biết cách chia đa thức cho đa thức, chia đa thức cho đơn thức tìm điều kiện hệ số để có phép chia hết đa thức cho đa thức Trong sách “Nâng cao phát triển Toán 8” dành cho học sinh giỏi tác giả Vũ Hữu Bình, Tôn Thân tác giả đề cập đến vấn đề cách khái quát nên học sinh hiểu mà chưa biết vận dụng nhiều II.2 CƠ SỞ LÝ THỰC TIỄN Lên lớp em không học thêm kiến thức phần đa thức mà học cách giải hệ phương trình, giải phương trình Vì để giải dạng toán cần kết hợp hai khối lớp Để giải dạng tập đa thức kì thi học sinh giỏi “Giải Toán Máy tính cầm tay” trước hết học sinh phải nắm bắt dạng toán qui trình thực hiện, qua năm bồi dưỡng rèn luyện thân học sinh, cải tiến phương pháp đưa số biện pháp thực phần đa thức sau: III TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: 1.1 Một số kiến thức bản: a Phương pháp dùng hệ Định lý Bê-du: Nếu a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho (x – a) hay f(a) =0 b Phương pháp đồng hệ số: Giả sử: f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0 Nếu f(x) = g(x) thì: a3 = b3 ; a2 = b2; a1 = b1 ; a0 = b0 c Phương pháp dùng đa thức phụ để giải toán tìm đa thức tính giá trị đa thức Tìm qui luật toán cho suy đa thức dư d Phương pháp giải hệ phương trình Từ toán cho thiết lập hệ pt ( gồm 2,3 4….phương trình ) tìm hệ số đa thức e Phương pháp chia đa thức cho đa thức Dùng phép chia đa thức cho đa thức f Dùng sơ đồ hoocner để tìm đa thức thương đa thức dư Lược đồ Hoocner dùng để tìm đa thức thương dư phép chia đa thức f(x) cho đa thức x−α, ta thực sau: Giả sử cho đa thức f(x)=a0xn+a1xn−1+a2xn−2+ +an−1.x1+an Khi đa thức thương g(x)=b0xn−1+b1xn−2+ bn−1 đa thức dư xác định theo lược đồ sau: Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT 1.2 Quy trình giải toán đa thức: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Để giải toán đa thức điều quan trọng học sinh cần xác định dạng toán để sử dụng phương pháp phù hợp nhằm giải toán nhanh xác Sau xin đưa số dấu hiệu nhận dạng toán Học sinh dùng phương pháp giải hệ phương trình toán: - Cho giá trị đa thức x= 1,2,3…yêu cầu xác định đa thức biết bậc đa thức - Xác định đa thức f(x) thoả mãn hệ thức f(x) - Xác định hệ số đa thức Nhược điểm: Chỉ sử dụng phương pháp giải hệ gồm từ đến phương trình Khi hệ phương trình có từ phương trình trở lên việc giải gặp khó khăn, phức tạp  ta nên dùng Phương pháp đa thức phụ Học sinh dùng phương pháp dùng đa thức phụ để giải toán dạng toán: - Cho giá trị đa thức x= 1,2,3…yêu cầu xác định đa thức biết bậc đa thức - Xác định hệ số đa thức - Tính giá trị đa thức thỏa hệ thức Nhược điểm: Học sinh khó khăn tư để tìm quy luật giải toán Do học sinh cần rèn luyện nhiều Học sinh dùng phương pháp đồng hệ số gặp dạng toán: Xác định đa thức f(x) thoả mãn hệ thức f(x) Nhược điểm: Việc biến đổi dùng đẳng thức để khai triển dài, thời gian Học sinh dùng sơ đồ hoocner toán: - Tìm đa thức thương đa thức dư phép chia - Tìm hệ số ( a, b, c, … ) để đa thức chia hết cho đa thức Tuy nhiên phương pháp có nhược điểm: Chỉ sử dụng cho đa thức chia có bậc Còn đa thức có bậc cao không áp dụng Học sinh dùng phương pháp chia đa thức cho đa thức toán: - Tìm đa thức thương đa thức dư phép chia - Tìm hệ số ( a, b, c, … ) để đa thức chia hết cho đa thức Ưu điểm: Sử dụng cho tất đa thức với bậc khác Nhược điểm: Phép chia dài, thời gian Học sinh dùng phương pháp sử dụng hệ Định lý Bê-du gặp dạng toán:Tính giá trị đa thức Tuy nhiên phương pháp sử dụng thường kết hợp với phương pháp giải hệ phương trình Bước 2: Xác định bậc đa thức phân tích tìm đa thức phụ, tìm nghiệm đa thức… Dựa vào kiện toán học sinh phân tích đề , điều kiện cho Việc xác định bậc đa thức giúp ta biết đa thức gồm hệ số Ví dụ đa thức bậc gồm hệ số đặt tên là: a, b, c, d,e Hay đa thức bậc gồm Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT hệ số với tên là: a, b, c, d, e, f Sau dựa vào để thiết lập phương trình, hệ phương trình hay biểu thức Đối với toán cho bậc đa thức ta cần phân tích tìm đa thức phụ tìm đa thức thương, đa thức dư, nghiệm đa thức Bước 3: Tìm đa thức, tính giá trị… Đây bước cuối bước giúp học sinh tìm kết toán Với dạng toán khác học sinh cần sử dụng phương pháp giải phù hợp Như vậy, ta khái quát quy trình thông qua sơ đồ sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Bước 2: Xác định bậc đa thức phân tích tìm đa thức phụ, tìm nghiệm đa thức… Bước 3: Tìm đa thức, tính giá trị Vận dụng quy trình để giải toán đa thức  Dạng 1:Xác định đa thức bậc n (n = 2,3,4 ) Bài toán 1: Xác định đa thức bậc biết f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22 Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán cho từ giá trị đa thức trở xuống, ta tìm đa thức ta sử dụng phương pháp giải hệ phương trình Bước 2: Xác định bậc đa thức, phân tích dạng tổng quát đa thức bậc Bước 3: Tìm hệ số đa thức cách giải hệ phương trình Giải Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax3 + bx2 + cx +d Theo ta có: f(0) = ⇒ d = f(1) = ⇒ a + b + c = -1 (1) ⇒ f(2) = 4a + 2b + c = (2) ⇒ f(3) = 22 9a + 3b + c = (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:  a +b+c =1  4a + 2b + c = 9a + 3b + c =  Giải ta được: a = 1; b = 0; c = -2 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x2 - 2x + Lưu ý: toán đặt giải hệ nhiều phương trình việc giải hệ pt trở nên khó khăn, dùng Phương pháp đa thức phụ để tìm qui luật toán cho suy đa thức Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT Bài toán 2: Đa thức P(x) = x6 +ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex +f có giá trị 3;0;3;12;27;48 x nhận giá trị tương ứng 1;2;3;4;5;6 Xác định hệ số a,b,c,d,e,f P(x) (Trích: Đề thi HSG Giải toán MTCT THCS Bộ GD năm 2008-2009) Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán cho nhiều giá trị đa thức ( từ giá trị ) ta sử dụng phương pháp sử dụng đa thức phụ Bước 2: Phân tích tìm qui luật toán để đưa đa thức phụ Bước 3: Nhân đa thức với đa thức suy hệ số đa thức Giải: Ta có nhận xét P(x) = (x–1).(x–2).(x–3).(x–4).(x–5).(x–6)+r(x) đa thức bậc 6, hệ số cao Phân tích toán tìm qui luật để suy đa thức phụ Khi chia giá trị 3;0;3;12;27;48 cho ta có 1;0;1;4;9;36 số phương giá trị (x – )2 x lấy giá trị 1;2;3;4;5;6 Vậy P(x) = (x –1).(x–2).(x–3).(x–4).(x–5).(x–6) + 3.(x–2)2 Suy ra: P(x)= x6 - 21x5 +175x4 -735x3 +1627x2 -1776x +732 Lưu ý: Việc tìm qui luật để suy đa thức phụ đơn giản cần đưa nhiều toán tìm qui luật cho học sinh Vd: Viết công thức số hạng tổng quát nó:  n +1 , ,  kết quả: với n ∈ N n ≥ n  16 25  2n 2  b)  , , , ,  kết quả: với n ∈ N n ≥ 3n +  11 14  1 1 1  c)  , , , , ,  kết quả: n(n + 1) với n ∈ N n ≥  12 20 30 42  d) { 2,12,36,80,150 } kết quả: n(n + 1) với n ∈ N n ≥  a)  , , Bài toán 3: Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 +bx3 +cx2 + dx +e cho biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7) , P(8) , P(9) , P(10) P(11) (Trích Đề thi khu vực Bộ GD – ĐT lớp năm 2003) Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán cho nhiều giá trị đa thức ta sử dụng phương pháp sử dụng đa thức phụ Bước 2: Phân tích tìm qui luật toán để đưa đa thức phụ Bước 3: Tính giá trị đa thức x Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT Giải: Phân tích toán tìm qui luật để suy đa thức phụ P(1) = 3= 2.12 +1, P(2) = 9=2.22 +1, P(3) = 19=2.32 +1, P(4) = 33=2.42 +1, P(5) = 51=2.52 +1 nên đa thức dư là: 2x2 +1 Vậy P(x) = (x – 1).(x – ).(x – )(x – ) + 2x2 +1 Từ tính được: Tính P(6), P(7) , P(8) , P(9) , P(10) P(11)  Dạng 2: Xác định đa thức dư, tìm số dư phép chia đa thức Bài toán 4: Tìm đa thức dư phép chia: x7 + x5 +x3 +1 cho x2 –1 Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán Tìm đa thức dư phép chia cho đa thức có nghiệm nguyên ta sử dụng Dùng Phương pháp hệ Định lý Bedu kết hợp giải hệ pt Bước 2: Phân tích đa thức chia dạng tổng quát đa thức dư Bước 3: Giải hệ phương trình, tìm hệ số đa thức dư Giải: Ta thấy đa thức chia x –1 có bậc nên đa thức dư phải có bậc nên có dạng ax + b Gọi thương phép chia Q(x) Suy ra: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b Áp dụng hệ định lí Bedu  P (1) =  a+b = a = ⇔ ⇔   P (−1) = −2  − a + b = −2 b = Vậy dư phép chia là: 3x + Bài toán 5: Tìm thương dư phép chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1) Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán tìm thương dư phép chia đa thức cho đa thức bậc ta sử dụng Dùng Phương pháp sử dụng sơ đồ hoocner Bước 2: Phân tích nghiệm đa thức chia Bước 3: Sử dụng sơ đồ hoocner, tìm hệ số đa thức thương 1  Giải:- Thực sơ đồ hoocner P(x) chia cho  x −  , ta được:  2 -3 1 −7 Trang 2 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT 1  7  P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x −   x + x −  + Từ ta phân tích:  2  4     P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =  x −   x + x −  + 2  4    = (2x - 1)  x + x −  + 8 2 Vậy: thương 1 x + x − dư 8  Dạng 3: Xác định hệ số phép chia đa thức Bài toán 6: Tìm a,b cho f(x) = x4 + x3 +3x2 +ax + chia hết cho x2 – x + b Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán tìm hệ số đa thức chia đa thức bị chia ta sử dụng Dùng Phương pháp chia đa thức cho đa thức kết hợp giải hệ pt Bước 2: thực chia đa thức cho đa thức Bước 3: giải hệ pt, tìm hệ số đa thức bị chia đa thức chia Giải: x4 + x3 + 3x2 + ax + x4 – x3 + bx2 2x3 + (3 – b)x2 + ax + 2x3 - 2x2 +2bx (5 – b)x2 + (a – 2b)x +4 (5 – b)x2 + (b – 5)x +5b – b2 x2 – x + b x2 +2x + – b ( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + Thực phép chia ta thương là: x2 +2x + – b dư ( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + Để f(x) = x4 + x3 +3x2 +ax + chia hết cho x2 – x + b ( a – 3b + 5)x + b2 – 5b + =   a = −2 a = 3b −    a − 3b + = b = Vậy: (a;b) = (-2;1) (7;4)  b = ⇔ ⇔ ⇔   a = b − 5b + =  b =  b =   Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn hệ thức f(x) Bài toán 7: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ thoả mãn hệ thức sau : 3.f(x) – f(1 – x) = x2 + (1) Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT Đối với toán tìm đa thức bậc n thỏa mãn hệ thức ta sử dụng Dùng Phương pháp đồng hệ số kết hợp giải hệ pt Bước 2: thực việc khai triển đẳng thức, trừ đa thức Bước 3: giải hệ pt, đồng hệ số tìm hệ số đa thức Giải: Đa thức f(x) có dạng f(x) = ax3 + bx2 + cx + d 3.f(x) = 3ax3 + 3bx2 + 3cx + 3d f(1 – x) = a(1 – x)3 + b(1 – x)2 + c(1 – x) + d = -ax3 +(3a + b)x2 + (-3a -2b - c)x + a + b + c + d 3.f(x) – f(1 – x) = x2 + ⇔ 4ax3 +(-3a + 2b)x2 + (3a +2b +4c)x - a - b - c + 2d= x2 + Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có:  a=0  a =  b=  − 3a + 2b =   −1 ⇔ ⇔ c=  3a + 2b + 4c =  − a − b − c + 2d =  d =  1 Vậy : f(x) = x − x + Bài toán 8: Tìm đa thức f(x) có bậc cho: f(-1) = f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)(2x + 2) Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán ta sử dụng Dùng Phương pháp đồng hệ số kết hợp giải hệ pt Bước 2: thực việc khai triển đẳng thức, trừ đa thức Bước 3: giải hệ pt, đồng hệ số tìm hệ số đa thức Giải: Đa thức f(x) có bậc có dạng: f(x) = ax4 + bx3 + cx2 +dx +e Ta có : f(-1) = suy a – b + c – d + e = (1) f(x - 1) = a(x –1)4 + b(x –1)3 + c(x –1)2 +d(x –1) +e = ax4 + (-4a + b)x3 +(6a – 3b + c)x2 + (-4a +3b – 2c +d)x +(a+b+c–d+e) f(x) – f(x – 1) =4ax3 + (-6a + 3b)x2 + (4a – 3b + 2c)x + (-a – b – c + d) x(x + 1)(2x + 2) =2x3 + 4x2 + 2x theo đề bài: f(x) – f(x – 1) = x(x + 1)(2x + 2) Suy ra: 4ax3 + (-6a + 3b)x2 + (4a – 3b + 2c)x + (-a – b – c + d)= 2x3 + 4x2 + 2x Dùng Phương pháp đồng hệ số ta có: Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT  a=2 4a =    − 6a + 3b = b=   (2) ⇔  a − b + c =  c= − a − b − c + d =  d = 19  14 Từ (1) (2) suy ra: e = 7 19 14 Vậy đa thức f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 3 Bài tập: Tìm đa thức P(x) bậc nhỏ thoả mãn hệ thức sau: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)  Dạng 5: Tính giá trị đa thức thỏa hệ thức Bài toán 9: Cho đa thức bậc bốn f(x) với hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30 Tính: f (12) + f (−8) + 15 10 Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán cho giá trị đa thức, tính giá trị biểu thức ta sử dụng Dùng phương pháp dùng đa thức phụ kết hợp định lí bedu Bước 2: thực tìm qui luật để tìm đa thức phụ Bước 3: Tính giá trị đa thức Giải: Từ toán cho f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30 Suy đa thức phụ là: 10x với x = 1, 2, Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x ⇒ g(1) = g(2) = g(3) = bậc f(x) bậc nên g(x) từ g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – suy ra: g(x) =(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) +10x Ta tính được: f (12) + f (−8) + 15 = 1984 + 15 = 1999 10 Bài toán 10: Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị f(-2) + 7.f(6) Để giải toán học sinh thực bước theo quy trình sau: Bước 1: Xác định dạng toán đa thức Đối với toán ta sử dụng Dùng phương pháp dùng đa thức phụ, giải hệ pt kết hợp định lí bedu Bước 2: thực giải pt, tìm đa thức phụ Bước 3: Tính giá trị đa thức Giải: Tìm đa thức phụ: Trang Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx +c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) = ⇔ a, b, c nghiệm hệ phương trình  = 3+ a +b+c   = 11 + 9a + 3b + c 0 = 27 + 25a + 5b + c  Giải hệ ta được: a= - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – * Tính giá trị f(x): Bậc f(x) bậc nên bậc g(x)là bậc g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0) ⇒ f ( x) = ( x − 1)( x − 3)( x − 5)( x − x0 ) + x + Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112 IV HIỆU QUẢ ĐỀ TÀI Với việc hướng dẫn, bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề đa thức thấy: - Bước đầu học sinh biết cách áp dụng tập dạng vào kì thi giải tập nằm đề thi học sinh giỏi năm qua - Các em không lúng túng việc xác định đa thức mà yêu cầu toán đặt mà sáng tạo làm tập dạng - Ngoài dạng này, em biết thêm dạng tập tìm số dư phép chia số A cho B phần chuyên đề - Giáo viên hướng dẫn phần đa thức khai thác thêm số dạng toán phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi - Khi thực xong phần đề tài cho học sinh thử sức vào kỳ thi Huyện, Tỉnh tổ chức Cụ thể : Tôi thực đề tài trình bồi dưỡng học sinh giỏi trường từ năm học 2013 - 2014 Sau hướng dẫn học sinh đưa dạng tập đa thức 100% học sinh làm được, cho kết Ngoài ra, thống kê tỉ lệ làm toán đa thức năm bồi dưỡng học sinh giỏi môn: Giải Toán máy tính cầm tay gần sau: Năm học Tổng số hs tham dự Tỉ lệ Số học sinh giải toán đa thức Số lượng % 2013 - 2014 33.3% 2013 - 2014 60% Trang 10 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT 2014 - 2015 4 100% V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: - Trên phương pháp hướng dẫn cho học sinh giải số dạng toán đa thức Để thực tốt nhiệm vụ người giáo viên cần rèn luyện nhiều dạng toán đồng thời cập nhật thi cấp Huyện Tỉnh gần để mở rộng cho học sinh - Kiến thức phần đa thức phần quan trọng chương trình, giúp em hiểu sâu kiến thức mà giúp học sinh nâng cao điểm kỳ thi học sinh giỏi - Ngoài ra, đề thi học sinh giỏi nhiều dạng toán khác như: Toán ngân hàng, số học, lũy thừa, hình học … Do người giáo viên cần nghiên cứu, tìm hiểu nhiều dạng toán khác để bồi dưỡng nhằm giúp em đạt kết cao kỳ thi - Cùng với việc hỗ trợ máy tính Casio việc giải toán đa thức thuận tiện nhiều giáo viên cần nghiên cứu tính khác máy tính Casio áp dụng vào giải toán Qua thân đề xin đề xuất - Đối với nhà trường cần tạo điều kiện xếp thời khóa biểu thuận lợi cho giáo viên để phục vụ tốt cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Đối với phòng giáo dục cần có buổi chuyên đề công tác bồi dưỡng học sinh giỏi để giáo viên học tập, rèn luyện giúp cho đội tuyển Huyện thi Tỉnh đạt kết cao - Đối với Sở giáo dục hàng năm cần có buổi tập huấn MTCT để giáo viên, học sinh hiểu thêm tính máy tính hỗ trợ cho việc tính toán Trang 11 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT VI TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1- TS Tạ Duy Phượng – Phạm Thị Hồng Lý (2005), Một số dạng toán thi học sinh giỏi: giải toán máy tính điện tử, Nhà xuất giáo dục 2- TS Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Thạch (2004) Các đề thi học sinh giỏi: giải toán máy tính casio từ năm 1996 – 2004, Nhà xuất giáo dục 3- TS Tạ Duy Phượng (2003), Giải toán máy tính điện tử Nhà xuất giáo dục 4- Nguyễn Hải Châu (2008), Hướng dẫn thực hành: Toán – Lí – Hóa – Sinh máy tính cầm tay Nhà xuất Hà Nội 5- TS Nguyễn Thái Sơn (2013), Giải toán: Toán, Lý, Hóa Sinh học với máy tính casio fx-570vn plus Nhà xuất TPHCM 6- TS Nguyễn Thái Sơn (2013) Giải toán máy tính casio fx – 570vn plus Nhà xuất TPHCM 7- PGS-TS Tôn Thân (2011), Bài Tập Nâng Cao Toán (Tập hai) Nhà xuất giáo dục Việt Nam 8- Bùi Văn Tuyên (2013), Bài Tập Nâng Cao Toán (Tập hai) Nhà xuất giáo dục Việt Nam Trang 12 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT VII PHỤ LỤC: Phụ lục : ĐỀ KIỂM TRA Đề kiểm tra thứ nhất: Trước thực nghiệm Bài : ( 5đ) Cho đa thức P(x) = x + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3; P(2) = 9; P(3) = 19; P(4) = 33; P(5) = 51; a) Tính hệ số a, b, c, d, e b) Tính xác P(2010) a= B= c= d= e = P(2010) = Bài 2: ( 2,5đ) Cho đa thức P( x) = x5 + ax + bx3 + cx + dx + e có giá trị là: −14; − 9; 0; 13; 30 x nhận giác trị 1; 2; 3; 4; a) Tìm biểu thức hàm đa thức P( x) b) Tính giá trị xác P(17), P(25), P(59), P(157) Bài 3: ( 2,5đ) a) Tìm giá trị a b đa thức x5 − x + 3x3 − x + ax + b chia hết cho tam thức 3x + x − b) Cho đa thức f ( x) = x5 + ax + bx + cx + dx + e c)Biết x nhận giá trị 1; 2; 3; 4; f ( x) có giá trị tương ứng là: 5; 17; 37; 65; 101 Tính f (16) Câu Cách giải Đáp án Đặt Q(x)= 2x +1; h(x)= P(x) – (2x2+1) Từ giả thiết ta súy h(1) = h(2) = h(3) = h(4) =h(5) = 0; Do hệ số x5 nên h(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Suy p(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) + (2x2+1) P(x)= x5 –15x4 +85x3 – 223x2 +274x – 119 a= –15; b = 85; c = –223 ; d= 274; e = –119 P(2010)=2009.2008.2007.2006.2005+2(2010)2+1 a) Đa thức P( x) viết dạng: Điểm 2,5đ 2,5đ P ( x ) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) + ( x − 3) ( ax + b )  P (1) = −14  a+b = a = ⇔ ⇔   P (2) = −9 2a + b = b = Với giá trị a b vừa tìm, thử lại P(4) = 13; P(5) = 30 giả thiết toán cho Vậy: P( x) = ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4)( x − 5) + ( x − 3) ( x + ) b) P(17) = 524706; P(25) = 5101690; P(59) = 549860808; P(157) ≈ 8,659888145×1010 ⇒ P(157) = 86598881446 Trang 13 1,5đ 1đ Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT a) a= −842 292 ; b= 81 81 1,5đ b) 361385 1đ Đề kiểm tra thứ 2: Sau thực nghiệm Bài 1:(2,5đ) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? Bài 2: (2,5đ) Cho đa thức g ( x) = x3 − 18 x + x + a Tìm nghiệm đa thức g ( x) b Tìm hệ số a, b, c đa thức bậc ba f ( x) = x3 + ax + bx + c , biết chia đa thức f ( x) cho đa thức g ( x) đa thức dư r ( x) = x + x + c Tính xác giá trị f (2008) Bài 3: (2,5đ) Cho đa thức f(x) bậc Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? Bài 4: (2,5đ) Chia x8 cho x + 0,5 thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 thương q2(x) dư r2 Tìm r2 ? Câu Cách giải Đáp án Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + Bậc H(x) nhỏ bậc P(x) + Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e Bước 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:  a1 + b1 + c1 + d1 + e1 + = 16a + 8b + 4c + 2d + e + = 1 1  81a1 + 27b1 + 9c1 + 3d1 + e1 + =  256a + 64b + 16c + 4d + e + 16 = 1 1  625a1 + 125b1 + 25c1 + 5d1 + e1 + 25 = ⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1 Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = 4, x = nghiệm Q(x), mà bậc Q(x) có hệ số x5 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x Từ tính Trang 14 Điểm 2,5đ Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán MTCT được: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 2,5đ 23 33 23 b a = ; b = ; c = f (2008) = 8119577168.75 c a x1 = − ; x2 = 2; x3 = - Giả sử f(x) có dạng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Vì f(0) = 10; f(1) = 2,5đ  d = 10  a + b + c + d = 12  12; f(2) = 4; f(3) = nên:  8a + 4b + 2c + d =  27a + 9b + 3c + d = lấy phương trình cuối trừ cho phương trình đầu giải hệ gồm phương trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kết quả: 25 a = ; b = − ; c = 12; d = 10 2 ⇒ f ( x) = x − 25 x + 12 x + 10 ⇒ f (10) = x8 = (x + 0,5).q1(x) + r1 q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2 - Dùng lược đồ Hoocner, ta tính hệ số đa thức q1(x), q2(x) số dư r1, r2: - Ta phân tích: 0 0 0 − − − 16 − 32 64 − − -1 − 16 − 16 64 − Vậy: r2 = − 16 Trang 15 128 16 256 2,5đ [...]... buổi chuyên đề về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi để giáo viên học tập, rèn luyện giúp cho đội tuyển của Huyện đi thi Tỉnh đạt kết quả cao - Đối với Sở giáo dục hàng năm cần có các buổi tập huấn MTCT để giáo viên, học sinh hiểu thêm tính năng của máy tính hỗ trợ cho việc tính toán Trang 11 Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT VI TÀI LIỆU.. .Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT 2014 - 2015 4 4 100% V ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: - Trên đây là phương pháp tôi đã hướng dẫn cho học sinh khi giải một số dạng toán về đa thức Để thực hiện tốt nhiệm vụ người giáo viên cần rèn luyện nhiều dạng toán này đồng thời cập nhật những bài thi cấp Huyện Tỉnh gần nhất để mở rộng cho. .. 86598881446 Trang 13 1,5đ 1đ Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT 3 a) a= −842 292 ; b= 81 81 1,5đ b) 361385 1đ Đề kiểm tra thứ 2: Sau thực nghiệm Bài 1:(2,5đ) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16; P(5) = 25 Tính P(6); P(7); P(8); P(9) = ? Bài 2: (2,5đ) Cho đa thức g ( x) = 8 x3 − 18 x... (Tập hai) Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam 8- Bùi Văn Tuyên (2013), Bài Tập Nâng Cao Toán 8 (Tập hai) Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam Trang 12 Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT VII PHỤ LỤC: Phụ lục : ĐỀ KIỂM TRA Đề kiểm tra thứ nhất: Trước thực nghiệm Bài 1 : ( 5đ) Cho đa thức P(x) = x 5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3; P(2) = 9; P(3)... nhất để mở rộng cho học sinh - Kiến thức về phần đa thức là một phần quan trọng trong chương trình, giúp các em hiểu sâu kiến thức mà còn giúp học sinh nâng cao điểm trong các kỳ thi học sinh giỏi - Ngoài ra, trong đề thi học sinh giỏi còn nhiều dạng toán khác như: Toán ngân hàng, số học, lũy thừa, hình học … Do đó người giáo viên cần nghiên cứu, tìm hiểu nhiều dạng toán khác để bồi dưỡng nhằm giúp các... của x5 bằng 1 nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) ⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x 2 Từ đó tính Trang 14 Điểm 2,5đ Nâng cao tư duy cho học sinh về bài toán đa thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi giải Toán trên MTCT được: P(6) = 2 3 ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) = 2,5đ 1 3 2 4 23 33 23 b a = ; b = ; c = 4 8 4 f (2008) = 8119577168.75 c a x1 = − ; x2 = 2; x3 = - Giả sử... Toán trên MTCT VI TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1- TS Tạ Duy Phượng – Phạm Thị Hồng Lý (2005), Một số dạng toán thi học sinh giỏi: giải toán trên máy tính điện tử, Nhà xuất bản giáo dục 2- TS Tạ Duy Phượng – Nguyễn Thế Thạch (2004) Các đề thi học sinh giỏi: giải toán trên máy tính casio từ năm 1996 – 2004, Nhà xuất bản giáo dục 3- TS Tạ Duy Phượng (2003), Giải toán trên máy tính điện tử Nhà xuất bản giáo dục 4-... của đa thức g ( x) b Tìm các hệ số a, b, c của đa thức bậc ba f ( x) = x3 + ax 2 + bx + c , biết rằng khi chia đa thức f ( x) cho đa thức g ( x) thì được đa thức dư là r ( x) = 8 x 2 + 4 x + 5 c Tính chính xác giá trị của f (2008) Bài 3: (2,5đ) Cho đa thức f(x) bậc 3 Biết f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = 1 Tìm f(10) = ? Bài 4: (2,5đ) Chia x8 cho x + 0,5 được thương q1(x) dư r1 Chia q1(x) cho. .. đạt kết quả cao trong các kỳ thi - Cùng với việc hỗ trợ của máy tính Casio việc giải các bài toán đa thức thuận tiện hơn rất nhiều vì vậy giáo viên cần nghiên cứu những tính năng khác của máy tính Casio áp dụng vào giải toán Qua đây bản thân tôi cũng đề xin đề xuất - Đối với nhà trường cần tạo điều kiện sắp xếp thời khóa biểu thuận lợi cho giáo viên để phục vụ tốt cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi - Đối... hành: Toán – Lí – Hóa – Sinh trên máy tính cầm tay Nhà xuất bản Hà Nội 5- TS Nguyễn Thái Sơn (2013), Giải toán: Toán, Lý, Hóa và Sinh học với máy tính casio fx-570vn plus Nhà xuất bản TPHCM 6- TS Nguyễn Thái Sơn (2013) Giải toán trên máy tính casio fx – 570vn plus Nhà xuất bản TPHCM 7- PGS-TS Tôn Thân (2011), Bài Tập Nâng Cao Toán 8 (Tập hai) Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam 8- Bùi Văn Tuyên (2013), Bài