skkn NÂNG CAO tư DUY CHO học SINH về bài TOÁN đa THỨC

Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong đề thi học sinh giỏi Cấp Huyện, cấp Tỉnh gần đây, thường có toán xác định đa thức tính giá trị đa thức.Việc tìm tòi lời giải toán xác định đa thức thường gây lung túng cho học sinh Nguyên nhân học sinh chưa trang bị đầy đủ kiến cần thiết khối lớp nên thường thiếu tập áp dụng Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán bồi dưỡng học sinh giỏi Môn: Giải Toán máy tính cầm tay, băn khoăn vấn đề Vì nhằm củng cố kiến thức đa thức chương trình toán từ lớp đến lớp rèn kỹ giải số dạng toán từ đơn giản đến phức tạp, đội tuyển học sinh giỏi năm sau đạt kết tốt năm trước mà kiến thức không vượt trình độ THCS Tôi thưc nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm “NÂNG CAO TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ BÀI TOÁN ĐA THỨC” II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI: Cơ sở lý luận: Ở lớp học sinh biết cách chia đa thức cho đa thức, chia đa thức cho đơn thức sách giáo khoa, sách “Nâng cao phát triển Toán 8” dành cho học sinh giỏi tác giả Vũ Hữu Bình, Tôn Thân tác giả đề cập đến vấn đề cách khái quát nên học sinh hiểu mà chưa biết vận dụng nhiều Lên lớp em không học thêm kiến thức phần đa thức mà học cách giải hệ phương trình, giải phương trình Vì để giải dạng toán cần kết hợp hai khối lớp Để giải dạng tập kì thi học sinh giỏi Toán, cụ thể môn “ Giải Toán Máy tính cầm tay” qua năm, đưa nội dung số biện pháp thực đề tài sau: Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài:  MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐỂ GIẢI LOẠI TOÁN NÀY a Định lý Bơdu: Phần dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a giá trị đa thức x=a Tức là: f(x)=(x-a).g(x)+f(a) Chứng minh : Gọi g(x) đa thức thương R số dư thì: f(x)=(x-a).g(x)+R f(a)=(a-a).g(a)+R=R (đpcm) b Phương pháp hệ số bất định: Giả sử: f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 g(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0 Nếu f(x) = g(x) với giá trị phân biệt x thì: a3 = b3 ; a2 = b2 a1 = b1 ; a0 = b0 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức c Phương pháp dùng đa thức phụ để giải toán tìm đa thức tính giá trị đa thức Tìm qui luật toán cho suy đa thức dư d Phương pháp giải hệ phương trình Từ toán cho thiết lập hệ pt ( gồm 2,3 4….phương trình ) tìm hệ số đa thức  MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Xác định đa thức bậc n (n = 2,3, ) biết ( n + 1) có giá trị đa thức: Bài toán 1: Xác định đa thức bậc biết f(0) = 1; f(1) = 0; f(2) = 5; f(3) = 22 Giải Gọi đa thức cần tìm là: f(x) = ax3 + bx2 + cx +d Theo ta có: f(0) =  d = f(1) =  a + b + c = -1 (1) f(2) =  4a + 2b + c = (2) f(3) = 22  9a + 3b + c = (3) Từ (1), (2), (3) ta có hệ phương trình:  a b  c 1  4a  2b  c  9a  3b  c   Giải ta được: a = 1; b = 0; c = -2 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x2 - 2x + * Chú ý: Để xác định đa thức bậc n cần biết n + giá trị đa thức, biết n giá trị đa thức tìm có hệ số phụ thuộc tham số * Bài tập áp dụng: Tìm đa thức bậc biết: f(0) = - 1; f(1) = 2; f(2) = 31; f(2) = 47 Tìm đa thức bậc biết: f(0) = 4; f(1) = 0; f(-1) =  Dạng 2: Xác định đa thức dư biết số phép tính khác Bài toán 2: Đa thức f(x) chia cho x –1 số dư 4, chia cho x-3 số dư 14 Tìm đa thức dư phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3) Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức Giải: Cách 1: Gọi thương phép chia f(x) cho x – cho x – theo theo thứ tự A(x) B(x) Ta có: f(x) = (x – 1).A(x) + với x (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 vỡi x (2) Gọi thương phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) C(x) dư R(x).Vì bậc R(x) nhỏ bậc số chia nên bậc nhỏ bậc nên R(x) có dạng ax + b Ta có: f(x) = (x – 1)(x – 3).C(x) +ax + b với x (3) Thay x =1 vào (1) (3) ta : f(1) =a + b Thay x =3 vào (2) (3) ta : f(3) =14; f(3)= 3a + b  ab  a5   b  1 3a  b  14 Vậy đa thức dư phép chia f(x) cho (x – 1)(x – 3) 5x – Cách 2: f(x) = (x – 1).A(x) + nên (x – 3).f(x) = (x – 3)(x – 1).A(x) + 4(x – 3) (1) f(x) = (x – 3).B(x) + 14 nên (x – 1).f(x) = (x – 3)(x – 1).B(x) + 14(x – 1) (2) Lấy (2) – (1) ta được: [(x – 1) – (x – 3) ].f(x) =(x – 1)(x – 3) [A(x) – B(x)] + 14(x – 1) – (x – 3) nên 2f(x) = (x – 1)(x – 3)[A(x) – B(x)] + 10x –  f(x) = (x – 1)(x – 3) A( x)  B ( x)  5x  Ta thấy 5x – có bậc bé bậc số chia số dư cần tìm 5x – Bài toán 3: Đa thức f(x) chia cho x + dư chia x2 + dư 2x + Tìm đa thức dư chia f(x) cho (x –1).(x2 + 1) Giải: Theo định lý Bơ du ta có f(-1)= Do bậc đa thức chia(x + 1)(x2 +1) Nên đa thức dư có dạng ax2 + bx + c 2  f(x) = (x + 1)(x + 1) q(x) +ax + bx +c = [(x +1) q(x) + a](x2 +1) + bx + c – a mà f(x) chia cho x2 + dư 2x + Từ (1), (2), (3) Ta có b=2 c–a=3 a – b + c =4 Giải hệ phương trình (4);(5);(6) Ta đa thức cần tìm: (1) (2) (3) (4) (5) (6) x + 2x + 2 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức *Bài tập: Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho (x + 3) dư 1, chia cho (x – 3) dư Chia cho (x + 3)(x – 3) thương 3x dư Bài toán 4: Tìm đa thức dư phép chia: x7 + x5 +x3 x cho x2 –1 Giải: Cách1: Tách đa thức bị chia thành đa thức chia hết cho đa thức chia Ta thấy xn – chia hết cho x – với số tự nhiên n nên x2n – chia hết cho x2 – 1; x6 – 1, chia hết cho x2 – Ta có: x7 + x5 + x3 + = x7 – x + x5 – x + x3 – x + 3x + = x(x6 – 1) + x(x4 – 1) + x(x2 – 1) + 3x +  Dư phép chia: x + x + x +1 chia cho x – 3x + Cách 2: Xét giá trị riêng Gọi thương phép chia Q(x) dư ax + b Ta có: x7 + x5 + x3 +1 = (x + 1)(x – 1).Q(x) + ax + b với x Đẳng thức với x nên với x = ta được: 4=a+b (1) với x = - ta –2 = - a + b (2) Từ (1), (2)  a = 3; b = Vậy dư phép chia là: 3x + Bài tập: Tìm đa thức dư phép chia: x99 + x55x11 + x +7 cho x2 +  Dạng 3: Xác định đa thức biết điều kiện hệ số Bài toán 5:Tìm đa thức f(x) có tất hệ số số nguyênkhông âm nhỏ thoả mãn: f(8) = 2003 Giải: Xét đa thức: f(x) = anxn + an –1xn-1 + + a1x + a0 với a0, a1 an-1, an số nguyên không âm nhỏ Do f(8) = 2003 nên an.8n + an-1.8n-1 + +a1.8 + a0 = 2003 Ở a0, a1, , an-1, an chữ số 2003 viết hệ ghi số số Thực việc chia 2003 cho dư a0 = lại lấy thương chia cho 8, liên tiếp ta đa thức cần tìm là: f(x) = 3x3 + 7x2 + 2x + Bài toán tổng quát: Tìm đa thức f(x) cho tất hệ số số nguyên không âm nhỏ a biết f(a) = b Trong đó: a,b số cho Bài tập: Tìm đa thức f(x) hệ số số nguyên không âm nhỏ f(5) = 352 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức  Dạng 4: Xác định đa thức f(x) thoả mãn hệ thức f(x) Bài toán 6: Tìm đa thức f(x) bậc nhỏ thoả mãn hệ thức sau với giá trị phân biệt x f(x) – f(1 – x) = x2 + (1) Giải: Giả sử f(x) = a3x3 + a2x2 + a1x + x0 Sử dụng phương pháp hệ số bất định ta có: 1 Từ có: (4a1 + 1) x =  a1=   2a0 = +  a0 = 1 Vậy  f(x) = x  x  4a3x3 =  a0 =  2a2x2 = x2  a2 = Bài tập: Tìm tất đa thức P(x) bậc nhỏ thoả mãn hệ thức sau giá trị phân biệt x: x.P(x – 1) = (x – 2).P(x)  PHƯƠNG PHÁP DÙNG ĐA THỨC PHỤ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TÌM ĐA THỨC HOẶC TÍNH GIÁ TRỊ CỦA ĐA THỨC Bài toán 7: Cho đa thức bậc 4: f(x) với hệ số bậc cao thoả mãn f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30 Tính: f (12)  f (8)  15 10 Giải: Từ toán cho f(1) = 10, f(2) = 20, f(3) =30 Suy đa thức phụ 10x với x = 1, 2, Đặt đa thức phụ: g(x) = f(x) – 10x  g(1) = g(2) = g(3) = bậc f(x) bậc nên g(x) từ g(x) chia hết cho x – 1; x – 2; x – suy ra: g(x) =(x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – x0) +10x Ta tính được: f (12)  f (8)  15  1984  15  1999 10 Cách khác: * Để tìm đa thức phụ ta làm sau: Bước 1: Đặt g(x) = f(x) + h(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc f(x) đồng thời bậc h(x) nhỏ số giá trị biết f(x) Trong đề bậc h(x) nhỏ nghĩa là: g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Bước 2: Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) =   10  a  b  c Tức là: 0  20  4a  2b  c   30  9a  3b  c  Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức Giải hệ phương trình : a = 0; b = -10; c = Theo phương pháp hệ số bất định: Suy ra: h(x) = - 10x Hay: g(x) = f(x) – 10x Bài toán 10: Cho đa thức f(x) bậc với hệ số x3 số nguyên, thoả mãn f(1990) = 2000 f(2000) = 2001 Chứng minh f(2001) – f(1998) hợp số Giải: + Tìm đa thức phụ Đặt g(x) = f(x) +ax + b Tìm a,b để g(1999) + g(2000) = tương đương với a, b 0  2000  1999.a  b 0  2001  2000.a  b nghiệm hệ:  Giải hệ ta : a = b = - Nên đặt g(x) = f(x) – x – + Tính giá trị f(x): Giả sử k  Z hệ số x3 đa thức f(x) Do bậc f(x) nên bậc g(x) g(x) chưa hết cho (x – 1999); (x – 2000) nên: g(x) +k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0)  f(x) = k(x – 1999)(x – 2000)(x – x0) Tính f(2001) – f(1998) = 3(2k + 1) hợp số Bài toán 11: Cho đa thức f(x) bậc có hệ số bậc cao thoả mãn: f(1) = 3; f(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị f(-2) + 7.f(6) Giải: Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx +c Tìm a, b, c để g(1) = g(3) = g(4) =  a, b, c nghiệm hệ phương trình   3 a b c    11  9a  3b  c 0  27  25a  5b  c  Giải hệ ta được: a= - 1; b = 0; c = -2 nên đặt g(x) = f(x) – x2 – * Tính giá trị f(x): Bậc f(x) bậc nên bậc g(x)là bậc g(x) chia hết cho (x – 1); (x – 3); (x – 5) nên g(x) = (x – 1)(x – 3)(x – 5)(x – x0)  f ( x)  ( x  1)( x  3)( x  5)( x  x0 )  x  Tính được: f(-2) + 7f(6) =1112 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức Bài toán 12: Tìm đa thức bậc biết f(0) =10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) =1 Giải: Cách 1: Đã giải dạng Cách 2: +Tìm đa thức phụ: Đặt g(x) =f(x) +ax2 +bx + c Tìm a, b, c để g(0) = g(1) = g(2) = 0  10  c   a, b, c nghiệm hệ    12  a  b  c 0   4a  2b   Giải: Hệ ta được: a = 5, b = -7, c = -10 Nên đặt g(x) = f(x) + 5x2 – 7x – 10 Với g(x) = g(1) = g(2) = + Xác định f(x) Do bậc f(x) = nên bậ g(x) = g(x) chia hết cho x; x – 1; x – Gọi m hệ số x2 đa thức f(x) g(x) = mx(x – 1)(x – 2)  f ( x)  mx( x  1)( x  2)  5x  x  10 Mặt khác; f(3) =  m = 25 x  12 x  10 Vậy đa thức cần tìm là: f(x) = x 2 Bài toán 13:Tìm đa thức bậc biết cho f(x) chia cho x – 1, x – 2,x –3 đủ dư f(-1) =-18 Giải: + Tìm đa thức phụ: Theo định lý Bơdu ta có f(1) = f(2) = f(3) =6 Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c Tìm a, b, c để g(1) = g(2) = g(3) =   6abc   a, b, c nghiệm hệ 0   4a  2b  c    9a  3b  c  Giải ta được: a = b = 0; c = -6 nên đặt g(x) = f(x) – Với g(1) = g(2) = g(3) + + Xác định f(x): Do bậc f(x) = nên bậc g(x) = g(x) chia hết cho(x–1);(x–2);(x–3)  g ( x)  n( x  1)( x  2)( x  3) n hệ số x3 đa thức f(x)  f ( x)  n( x  1)( x  2)( x  3)  Mặt khác f(-1)= -18 => n = => f(x) = x3 – 6x2 + 11x Bài tập: Tìm đa thừc(x) bậc biết f(0) = 19, f(1) = 5; f(2) =1995 Tìm đa thừc(x) bậc bi ết f(0) =2; f(1)=9; f(2) =19; f(3) =95 Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: - Với việc hướng dẫn, bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề thấy bước đầu học sinh biết cách áp dụng tập dạng cách nhuần nhuyễn giải tập nằm đề thi học sinh giỏi năm qua - Các em không lúng túng việc xác định đa thức mà yêu cầu toán đặt mà sáng tạo làm tập dạng - Ngoài dạng này, em biết thêm dạng tập tìm số dư phép chia số A cho B phần chuyên đề - Giáo viên hướng dẫn vấn đề mở rộng thêm kiến thức phần đa thức phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi trường - Khi thực xong phần đề tài cho học sinh thử sức vào kỳ thi Huyện tổ chức đạt kết khả quan Cụ thể : Thống kê kết đạt năm bồi dưỡng học sinh giỏi môn: Giải Toán máy tính cầm tay Năm học Tổng số hs tham dự Số học sinh giỏi cấp Huyên Số học sinh giỏi cấp Tỉnh Số lượng % Số lượng % 2006 - 2007 0 0 2007 - 2008 40% 20% 2008 - 2009 80% 60% 2009 - 2010 50% 50% 2011 - 2012 80% 60% 2012 - 2013 75% 67% IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG: - Trên đây, hướng dẫn cho học sinh dạng toán đa thức Để thi học sinh giỏi dạng Toán mà nhiều dạng Toán khác Vì thế, kiến thức phần đa thức góp phần cho học sinh làm dạng đóng góp vào cho thang diểm cho toàn - Vì người giáo viên dạy cho học sinh nhiều dạng Toán khác để thi học sinh giỏi có kết tốt - Với việc hỗ trợ máy tính Casio vào giải toán đa thức thật dễ dàng, nhanh chóng Nên em máy tính để giải thật công việc khó khăn vô Qua đề xuất với BGH xem xét mua thêm máy tính VINACAL Vn-500MS để hỗ trợ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tốt Nâng cao tư cho học sinh toán đa thức V TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THI HỌC SINH GIỎI: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Tác giả: TẠ DUY PHƯỢNG – PHẠM THỊ HỒNG LÝ Nhà xuất giáo dục Năm 2005 2- CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO TỪ NĂM 1996 - 2004 Tác giả: TẠ DUY PHƯỢNG – NGUYỄN THẾ THẠCH Nhà xuất giáo dục Năm 2004 3- GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH ĐIỆN TỬ Tác giả: TẠ DUY PHƯỢNG - Nhà xuất giáo dục Năm 2003 4- HƯỚNG DẪN THỰC HÀNH: TOÁN – LÍ – HÓA – SINH TRÊN MÁY TÍNH CẦM TAY Tác giả: NGUYỄN HẢI CHÂU ( Chủ biên ) - Nhà xuất Hà Nội Năm 2008 Người thực Lưu Đình Diễn