skkn phát triển tư duy cho học sinh về dấu cảu tam thức bậc 2 trên 1 miền

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG PHỔ THÔNG NGUYỄN MỘNG TUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT MIỀN... toán dấu tam thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG PHỔ THÔNG NGUYỄN MỘNG TUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT TRIỂN TƯ DUY CHO HỌC SINH VỀ

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI TRÊN MỘT MIỀN

toán dấu tam thức bậc hai mà học sinh gặp phải Các bài toán chủ yếu được mở rộng từ các dạng tổng quát Chính vì vậy trong phạm vi đề tài này tôi muốn giới thiệu đến các bạn đồng nghiệp một phương pháp phát triển tư duy cho học sinh trong việc xét dấu tam thức bậc hai trên một miền và bài toán giải biện luận bất phương trình bậc hai

II NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận: Định lý dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai: f(x)= ax2 + bc + c

+ Nếu ∆<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈R

+ Nếu ∆=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x 2b

3 f(x) > 0 ∀x ∈(α, β)

Phương pháp giải chung là tìm điều kiện của tham số sao cho (α, β)

là tập con của miền nghiệm M của bất phương trình đã cho (α, β) có thể là khoảng nghiệm (-∞,β) hoặc (α, +∞) hay (-∞, + ∞) và có thể mở rộng là [α, β]

Ngoài các dạng trên ta có thể xét thêm dạng:

Xác định m để sao cho

1 f(x)> 0 có nghiệm

2 f(x) >0 có nghiệm x >α

3 f(x) >0 có nghiệm x∈(α, β)

b) Ta đi sâu xem xét các dạng chính đã nêu trên.

Dạng 1: Tìm điều kiện để bất phương trình f(x) = ax2 + bx +c >0 với

x

x x

mx x

2

2 2

−

−

>

0 ) 2 )(

2 3 (

1 0

) 1 (

1 Với a=0: xét trực tiếp

2 Với a<0: Xét đồ thị có bề lõm quay xuống bởi vậy không xảy ra f(x) >0 ∀x >α vì:

Nếu ∆≤ 0 thì f(x) <0 ∀x

0 0

x x

Tương tự đối với bài toán tìm m để f(x) <0 ∀x > α (∀x < α)

Ví dụ 3: Cho bất phương trình:

f(x) = (a-1)x2 + (2a - 3) x + a -3 >0 (1)

a Với giá trị nào của a thì bất phương trình nghiệm đúng ∀x <1

b Tìm m để bất phương trình có nghiệm thoả mãn x <1

Lời giải:

a Nếu a - 1 = 0 ⇔ a = 1 thì (1) có dạng:

- x - 2 >0 ⇔ x <-2

Vậy (1) không nghiệm đúng ∀x <1

Nếu a-1 <0 : (1) không thể nghiệm đúng ∀x <1

Nếu a- 1>0 : (1) nghiệm đúng ∀x' <1 khi và chỉ khi

1

0 0

x x

a a a

a a a a

a a

4 7 4 3

0 ) 1 ( 2

4 5

0 7 4

0 3 4

4

3 0

3 4

tồn tại a

Vậy không tồn tại a để f(x) >0 thoả mãn ∀x

b) + Xét a= 1 : (1) ⇔ x <-2 < 1 thoả mãn yêu cầu đầu bài

+ Xét a>1: thoả mãn yêu cầu đầu bài vì (1) có nghiệm (- ∞, x1) U (x2, + ∞) hoặc (-∞, +∞)

+ Xét a <1: (1) có nghiệm ⇔ ∆ > 0 ⇔ a > 43

Khi ấy (1) có nghiệm là (x1, x2)

Thay vì tìm a để (1) có nghiệm thoả mãn x <1 ta tìm a sao cho (1) không có nghiệm thoả mãn x <1

0 7 4

1 4

3 <a< thì (a) có nghiệm thoả mãn x <1

Tóm lại để (a) có nghiệm thoả mãn x <1 cần có a > 43

Dạng 3: Tìm điều kiện để bất phương trình f(x) = ax2 + bx + c >0 nghiệm đúng ∀ α <x <β

Phương pháp giải:

không thoả mãn a >1

x x

2 1

0

0 0

x x

x x

0 1

0 15 2 2

1

m

m m

m

m m m

f

f



Tóm lại ∀m: -1 ≤ m ≤5 thì ∀x ∈(-1,0) (1) đều thoả mãn

Ví dụ 5 Tìm m để hệ sau vô nghiệm mx2 + 2x + m <0 với - 1

1 4 ' 0 1

4 1

2 1

0 4 5

2 2 1

0 ) 2

1 ( 2

1

m

m m

m s

f

1 ≤ x1 ≤x2 ⇔ (1) 0 2 2 01 1 1

1 1

1 2

0 ) 2

1 ( 1

⇔25m m−+42<≤00

⇔ m ≤ - 2 (loại)

Đáp số: m ≤ -1 Trên đây ta xét các ví dụ cho các bài toán cơ bản Do yêu cầu của các bài toán có thể thay đổi bởi vậy trong quá trình giải cần thay đổi từ bài toán cơ bản cho phù hợp

−

≥ +

−

) 2 ( 0 1 2

) 1 ( 0 3 4

2

2

m m x

m x x

vô nghiệm

VN

* Nhận xét: Nếu như một trong hai tam thức trên có thể tính được nghiệm thì ta có thể có ngay dạng cơ bản Tuy nhiên ở bài toán này việc tính nghiệm không thuận lợi nên ta phải tiến hành biện luận.

Lời giải:

Đặt f(x) = x2 - 4x + 3m g(x) = x2 - 2x + m - 1Xét g(x) có ∆ = -m + 2+ Nếu ∆ <0 ⇔ m >2 thì (2) vô nghiệm ⇒ hệ vô nghiệm

+ Nếu ∆ = 0 ⇔ m = 2 thì (2) có nghiệm x = 1 thoả mãn (1) nên hệ có nghiệm Không thoả mãn điều kiện đầu bài

+ Nếu ∆ > 0 ⇔ m <2 thì (2) có nghiệm x1 ≤ x ≤ x2 trong đó x1, x2 là nghiệm của g(x)

Do vậy hệ vô nghiệm khi và chỉ khi ∀x ∈[x1, x2] đều không là nghiệm của (1)

⇔ f(x) phải có hai nghiệm x3, x4 thỏa mãn x3 <x1<x2 <x4

0 3 4 0

)

(

0 )

(

2

2 2 1

2 1 2

1

m x x

m x x x

−

=

− +

−

0 1 2

0 1 2

x

m x

=

− +

=

1 2

1 2

2

2 2 1

2 1

m x x

m x x

−

<

+ +

−

0 2 1 2

0 2 1 2

m m

m m

⇔ x1 >1+22m (do x1 < x2)

2

7 2

1 2

0 4 7

2 2

1

2

0 ) 2

m

m

g

thoả mãn m <2

Tóm lại ta phải có m>2 hoặc m < -

2

7 thì hệ đã cho vô nghiệm

Ví dụ 7 Tìm m để ∀ x ∈[-4,6] là nghiệm của bất phương trình

0 24 0

) 5 (

0 ) 0 (

m

m f

3 )(

2

1 (

0 2 1 0

m af

Với nhận xét này ta không cần xét nhiều trường hợp mà kết luận được ngay phương trình luôn có nghiệm dương.

−

1

0 3 lg

lg 2

x

m x m x

x x

Nếu m >0 (1) ⇔ x1 ≤ x ≤ x2

1 1

0 3 8 0

3 2

1

0 )

3

(

0 )

1

(

m m

m m

≥

− + +

0 3 cos

cos

2

0 1 cos

b x a x

Đặt t = cos x : |t| ≤1

) ( ) 2 ( 0 3 2

) 1 ( 0 1 2

2

2

H b

2 1

1 0 1 0 0

t t

t t

(1) nghiệm đúng ∀ t ∈[-1,1] xảy ra trong ba khả năng:

0 8 8

0 ) 1 ( 2

2

a

b a f

0 8 8

0 ) 1 ( 2

2

a

b a f

0 1 0

) 1 (

0 ) 1 (

b a

b a f

−

≤

− +

−

≤

− +

≤ +

−

0 1

0 1

) 1 ( 8 0

1

0 1

0 8

2

b a

b a

b a

b a

b a

b a

Từ hai bất phương trình sau ⇒ b ≤ 1

Thay lên bất phương trình đầu chỉ thoả mãn khi

−

≤

− +

≥ + +

4

0 1

0 1

0 1

0 8 8

2

a a

a

b a

b a

b a

b a

−

≤

− +

≥ + +

>

+

−

4 1

4

0 1

0 1

0 1

0 8 8

2

a a

a

b a

b a

b a

b a

không xảy ra

Tóm lại chỉ có a= 0, b = 1 thoả mãn điều kiện đầu bài

b) Với giá trị nào của a thì mọi nghiệm của (2) đều thoả mãn (1)

4 Tìm m để bất kỳ x∈R đều là nghiệm của ít nhất một trong hai bpt:

2 2

2 ( 1) 0 (2 1) ( 1) 0

III KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT:

Trên đây là những vấn đề tôi thấy cần quan tâm nhấn mạnh cho học sinh khi giảng dạy về tam thức bậc hai trong chương trình Đại số

lớp 10 Tuy chưa được đầy đủ nhưng tôi mong muốn sẽ giúp học sinh

có cái nhìn hoàn thiện hơn về tam thức bậc hai Rất mong các bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để đề tài của tôi được hoàn thiện hơn Xin chân thành cám ơn

Thanh Hoá, ngày 15 tháng 5 năm

2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN

của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Lê Thị Thu Huyền

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1, Đại số 10-Phan Đức Chính-NXB Giáo dục 1993

2 Đại số 10_Ngô thúc Lanh-NXB Giáo dục 1993

3 Bài tập Đại số 10_ Ngô Thúc Lanh- NXB Giáo dục 1993

4 Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp-Phạm Văn

5 Tam thức bậc hai trong chương trình THPT- Nguyễn Tiến Quang- NXB Hà Nội 1996.

6 Giới thiệu các dạng toán luyện thi đại học-Phần II- Phan Huy Khải- NXB Hà Nội 1998