Ngày nay với sự phát triển của công nghệ thì việc giải những bài toán trở nên dễ dàng. Với một chiếc máy tính cầm tay học sinh - sinh viên có thể giải được những bài toán khó mà không tốn quá nhiều thời gian. Dưới đây là một kinh nghiệm giải toán đa thức bằng máy tính cầm tay. Mời các bạn tham khảo sáng kiến kinh nghiệm dưới đây.
Sáng kiến kinh nghiệm Đề tài Kinh nghiệm giải tốn đa thức máy tính cầm tay(MTCT) bậc THCS A MỞ ĐẦU I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “…Với máy tính điện tử, dạng đề thi học sinh giỏi toán xuất hiện: kết hợp hữu suy luận tốn học với tính tốn máy tính điện tử Có tốn khó khơng địi hỏi phải nắm vững kiến thức tốn (lí thuyết đồng dư, chia hết, …) sáng tạo (cách giải độc đáo, suy luận đặc biệt, …), mà q trình giải cịn phải xét loại trừ nhiều trường hợp Nếu khơng dùng máy tính thời gian làm lâu Như máy tính điện tử đẩy nhanh tốc độ làm bài, dạng tốn thích hợp kỳ thi học sinh giỏi tốn kết hợp với máy tính điện tử” (Trích lời dẫn Tạ Duy Phượng - Viện toán học) - Trong năm qua việc sử dụng máy tính cầm tay(MTCT) sử dụng rộng rãi học tập, thi cử Nó giúp cho học sinh nhiều việc tính tốn tập giải tay - Một dạng tập chương trình THCS dùng MTCT để giải “các toán đa thức” mà hầu hết thi giải toán MTCT có - Trong thực tế, bồi dưỡng em đội tuyển trường, huyện sử dụng MTCT để dạy giải “Một số toán đa thức” phần lớn em nắm kiến thức sau việc vận dụng ,cũng kĩ trình bày giải chưa hợp lý, xác Vì tơi nhận thấy giúp cho em học sinh có kĩ sử dụng MTCT để giải tốn nói chung đa thức nói riêng cách thành thạo xác cần thiết Làm học sinh nắm cách giải toán liên quan đến đa thức đặc biệt đề thi giải toán MTCT diễn hầu hết tỉnh thành nước Do tơi chọn đề tài:“Giải số toán đa thức bậc THCS MTCT ” II.NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI: Nhiệm vụ chính: Nâng cao hiệu hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để giải toán liên quan đến đa thức Đối với giáo viên: - Có nội dung ôn tập cho học sinh lồng ghép tiết giảng dạy với hỗ trợ MTCT đặc biệt cho đội tuyển đạt hiệu - Định hướng dạng toán phương pháp giải toán đa thức MTCT Đối với học sinh: - Nắm sở lý luận phương pháp giải toán đa thức - Vận dụng linh hoạt, có kĩ thành thạo III.PHƯƠNG PHÁP – CƠ SỞ – THỜI GIAN TIẾN HÀNH NGHIÊN CỨU Phương pháp: Đan xen việc giải toán MTCT tiết dạy( đưa thêm số tập có số phức tạp,kết hợp nhiều phép tính,…) Sinh hoạt ngoại khố thực hành giải tốn MTCT trường THCS Bình Nghi.( Theo kế hoạch phận chuyên môn nhà trường duyệt) Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán MTCT trường Bồi dưỡng đội tuyển HSG giải toán MTCT Huyện Cơ sở – Thời gian tiến hành nghiên cứu: Năm học: 2009 – 2010 Học sinh trường THCS Bình Nghi.(160 học sinh lựa chọn khối 7,8,9 từ 5/10/2009 đến 1/11/2009) Đội tuyển HSG giải toán MTCT trường THCS Bình Nghi( Từ 2/11/2009 đến 15/11/2009) Đội tuyển HSG giải toán MTCT Huyện Tây Sơn( Từ 14/12/2009 đến 5/01/2010) B.KẾT QUẢ I TÌNH TRẠNG SỰ VIỆC: - Học sinh giải tập đa thức MTCT - Nhìn chung số em giải nhờ tham khảo đáp án, chưa đưa hướng giải chung cho dạng tập Thống kê việc sử dụng MTCT trường THCS Bình Nghi năm học 2009 – 2010 chưa thực đề tài LỚP SL 30 40 90 BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CHƯA BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA ĐA THỨC THỨC SL TL SL TL 16,7% 25 83,3% 10 25% 30 75% 23 25,6% 67 74,4% II NỘI DUNG – GIẢI PHÁP: A.KIẾN THỨC CẦN VẬN DỤNG TRONG CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC : Định lý Bezout :“ Dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a f(a)” Hệ : - Nếu f(a) = , đa thức f(x) chia hết cho nhị thức x – a - Dư phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) f - Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 ( n TM N) có n nghiệm x1 , x2 …,xn đa thức P(x) phân tích thành nhân tử : P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn) Sơ đồ Horner: Để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x - c) trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c) ta có sơ đồ: an an- c bn-1 = an bn -2 = cbn-1+ an -1 an - bn -3 = cbn - 2+ an -2 … … a1 b0 = cb1 +a1 a0 r = cb0 + a0 Vậy: P(x)=q(x)(x - c) + r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0 B GIỚI THIỆU CÁC PHÍM CHỨC NĂNG PHỤC VỤ VIỆC GIẢI TOÁN CỦA CHỦNG LOẠI MTCT CASIO: - Các loại máy sử dụng trường phổ thơng hầu hết dịng máy casio fx: 500MS,500ES;500VN-Plus;570MS;570ES - Tuỳ theo cách sử dụng nhìn chung có hai cách dành cho hai dịng máy:500ES;500VN-Plus;570ES 500MS,570MS dịng máy 500ES;500VNPlus;570ES việc nhập liệu vào máy kết truy xuất hiển thị giống phép toán sách giáo khoa - Các phím chức , hàm bố trí dạng hiển thị menu thông dụng - Trong phạm vi đề tài xem học sinh biết cách sử dụng MTCT C CÁC DẠNG BÀI TẬPỨNG DỤNG : Dạng 1:Xác định tham số m để đa thức P(x) + m chia hết cho nhị thức (ax + b) Khi chia đa thức P(x) + m cho nhị thức (ax + b) ta được: P(x)=Q(x)(ax+b) + m + r Muốn P(x) chia hết cho x + m + r = hay m = -r = - P( ) Sử dụng hệ định lý Bezout chức giải phương trình hệ phương trình MTCT để giải Ví dụ 1:Tìm m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2 x2 – mx – 80 chia hết cho x – Giải : Đặt g(x) = 4x4 – 5x3 – 80 ta có f(x) = g(x) +m2x2 – mx f(x) M (x – ) f(2) = hay g(2) +4m2 – 2m = Ta có g(2) = –56 Þ f(2) = 4m2 – 2m = 56 4m2 – 2m – 56 = Giải phương trình ẩn m , ta m1 = m2 = –3,5 (*) vào EQN chọn phương trình bậc hai ẩn : nhập vào máy a =4 ; b=- ; c= -56-> x1 = 4; x2 =- 3,5 Nghĩa hai đa thức f1(x) = 4x4 – 5x3 + 16 x2 – 4x – 80 f2(x) = 4x4 – 5x3 + 12,25 x2 +3,5 x – 80 chia hết cho x – Bài tập tương tự : Bài 1:Cho đa thức f(x) = x5 – 3x4 +5 x3 – m2x2 + mx + 861 Tìm m để f(x) M (x + 3) HD: Đặt g(x) = x5 – 3x4 +5 x3 + 861 ta có f(x) = g(x) - m2x2 + mx Giải phương trình ẩn m , ta : m1 = m2 = Bài 2: (Sở GD – ĐT TP Hồ Chí Minh 2003) Tìm giá trị m biết giá trị đa thức f(x) = x4 – 2x3 + x2 +(m - 3)x+ 2m -5 x = - 2,5 0,49 HD: Đây tốn tìm m để đa thức f(x) chia cho x + 2,5 có số dư 0,49 Ta có: f(x) – 0,49 M (x + 2,5) - >Tìm giá trị m biết đa thức x4 – 2x3 + x2 +(m - 3)x+ 2m - 4,51 chia hết cho x + 2,5 Đáp số:209,105 Ví dụ : Tìm a b cho hai đa thức f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b chia hết cho (x – 3) Giải: f(x) , g(x) chia hết cho (x – 3) f(3) = g(3) = Đặt A(x) = 4x3 – 3x2 + 2x B(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x Ta có f(x) = A(x) + 2a + 3b g(x)=B(x) –3a +2b f(3) = A(3) + 2a + 3b = 87 +2a + 3b Þ f(3) = 2a + 3b = –87 g(3) = B(3) –3a + 2b = 318–3a +2b Þ g(3) = –3a +2b = –318 Ta có hệ phương trình : Vào MODE EQN gọi chương trình giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta nghiệm ( x = 60 ; y = –69) hay a = 60 , b = –69 Bài tập tương tự : Bài 1: (Bộ GD – ĐT, 2005) Cho biết đa thức P(x) = x4 +mx3 -55x2 +nx –156 chia hết (x – 2) chia hết cho (x – 3) Hãy tìm giá trị m, n nghiệm đa thức Giải: P(x) chia hết cho (x – 2) P(2) = Đặt A(x) = x4 – 55x2 – 156 Ta có P(x) = A(x) + 8m + 2n P(2) = A(2) + 8m + 2n = -360 + 8m + 2n Þ P(2) = 8m + 2n = 360 P(3) = A(3) +27m + 3n= -570 + 27m + 3nÞP(3) = 27m + 3n = 570 Ta có hệ phương trình : ( n = 172; m = 2; ) Bài 2:Tìm m n để hai đa thức P(x) Q (x) chia hết cho (x +4 ) P(x) = 4x4– 3x3 + 2x2 – x + 2m – 3n Q(x) = 5x5 – 7x4 + 9x3 – 11x2 + 13x – 3m + 2n HD : Tương tự ví dụ Đáp số:m = –4128,8 ; n = –2335,2 Dạng : Tìm dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b Khi chia đa thức P(x) cho nhị thức ax + b ta P(x)=Q(x)(ax+b) + r, (vì ax + b bậc 1) Thế ta P( ) = r ( Bezout) Như để tìm số dư chia P(x) cho nhị thức ax+b ta cần tính r = P( Ví dụ 3: (Sở GD - ĐT TPHCM, 1998) Tìm số dư phép chia: Giải: Đặt P(x) = số dư : r =P(1,624) = 1,62414 - 1,6249 - 1,6245 + 1,6244 + 1,6242 + 1,624 – 723 Qui trình ấn máy : Ấn phím: Đáp số: r = 85,92136979 Ví dụ 4: Tìm số dư phép chia: Giải: Đặt P(x) = số dư : r =P( ) = + - + –7 ) Qui trình ấn máy : Ấn phím: Đáp số: r = Bài tập tương tự : Bài 1: (Sở GD - ĐT Đồng Nai, 1998) Tìm số dư phép chia Giải: Số dư : r = (-2,318)5 – 6,723(-2,318)3 + 1,857(-2,318)2 - 6,458(-2,318) + 4,319 Qui trình ấn máy : Ấn phím: Đáp số: r = 46,07910779 Bài 2: (Sở GD - ĐT Cần Thơ, 2003) Cho Tìm phần dư r1, r2 chia P(x) cho x – x – 3.Tìm BCNN(r1,r2)? Giải: Số dư : r1 = 24 + 5.23 – 4.22 + 3.2 + 50 Số dư : r2 = 34 + 5.33 – 4.32 + 3.3 + 50 Qui trình ấn máy : Ấn phím: = số: r1 = 96 ;r2 =239 ;BCNN(r1,r2) = 22944 Đáp Dạng3 : Tìm đa thức thương dư chia đa thức cho đa thức Bài toán : Chia đa thức a3x3 + a2x2 + a1x + a0 cho x – c ta thương đa thức bậc hai Q(x) = b2x2 + b1x + b0 số dư r Vậy a3x3 + a2x2 + a1x + a0 = (b2x2 + b1x + b0)(x - c) + r = b2x3 + (b2-b1c)x2 + (b1-b0c)x + (r + b0c) Ta lại có cơng thức truy hồi Horner: b2 = a3; b1= b2c + a2; b0= b1c + a1; r = b0c + a0 Vậy: r = a0 +ca1 + c2a2 + c3a3 Tương tự cách suy luận trên, ta có sơ đồ Horner để tìm thương số dư chia đa thức P(x) (từ bậc trở lên) cho (x - c) trường hợp tổng quát P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 chia cho (x – c) Trước tiên thực phép chia P(x)=q(x)(x - c)+r theo sơ đồ Horner để q(x) r với q(x) = bn-1xn-1 + bn-2xn-2 +…+ b1x + b0 ta bảng sau: c an bn-1 = an an- an - … bn -2 = bn -3 = … cbn-1 + an -1 cbn - 2+ an -2 a1 b0 = cb1 +a1 a0 r = cb0 + a0 Do đó: r = c(c(…(c(can + an-1)) )) + a0 = cnan + cn -1an-1 + …+ ca1 + a0 Ví dụ5: Tìm thương số dư phép chia x7 – 2x5 – 3x4 + x – cho x – Giải Ta có: c = 5; a7 =1; a6 = 0; a5 = -2; a4 = -3; a3 = a5 = 0; a1 = 1; a0 = -1; b6 = a7 = Qui trình ấn máy Vậy : x7 – 2x5 – 3x4 + x – = = (x - 5)(x6 + 5x5 + 23x4 + 112x3 + 560x2 + 2800x + 14001) + 7004 ( Ta sử dụng biến Ans để tìm hệ số số dư) Ví dụ 6: Phân tích x4 – 3x3 + x – theo bậc x – Trước tiên thực phép chia P(x)=q1(x)(x - c)+r0 theo sơ đồ Horner để q1(x) r0 Sau lại tiếp tục tìm qk(x) rk-1 ta bảng sau: Tổng quát: P(x) = rn(x-c)n + rn-1(x-c)n-1 +…+ r2(x-c)2 + r1(x-c) + r0 3 3 1 1 12 -3 24 51 19 91 -2 x4-3x2+x-2 55 q1(x)=x3+ 3x2 + 6x +19, r0 = 55 q2(x)=x2+ 6x + 24, r1 = 91 q3(x)=x + 9, r2 = 51 q4(x)=1 = a0, r3 = 12 Vậy :x4 – 3x3 + x – = (x-3)4+ 12(x-3)3+ 51(x-3)2 + 91(x-3) + 55 Dạng 4: Phân tích đa thức thành nhân tử Nếu khơng có hỗ trợ MTCT việc phân tích đa thức thành nhân tử tốn khó Tuy nhiên sử dụng chức giải phương trình MTCT để tìm nghiệm, sau sử dụng hệ định lý Bezout để giải “Giả sử đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 +…+ a2x2 + a1x + a0 ( x1;x2,…,xn P(x) = an(x - x1)(x - x2)…(x - xn)” ) có n nghiệm Ví dụ 7:Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 105x2 + 514x – 304 Giải: Tìm chức giải phương trình bậc hai: Nhập a = 105 , b = 514 , c = –304 Tìm nghiệm đa thức : Vậy đa thức 105x2 + 514x – 304 phân tích thành Bài tập tương tự : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 65x2 + 4122x +61093 HD:Tìm chức giải phương trình bậc hai Nhập a = 65 , b = 4122 , c = 61093 Tìm nghiệm đa thức : Vậy đa thức 65x2 + 4122x + 61039 phân tích thành b) 299 x2 – 2004x + 3337 HD:Tìm chức giải phương trình bậc hai Nhập a = 299 , b =- 2004 , c = 3337 Tìm nghiệm đa thức : Vậy đa thức 299 x2 – 2004x + 3337 phân tích thành c) 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 HD:Tìm chức giải phương trình bậc ba Nhập a = 156 , b =- 413 , c = -504, d = 1265 Tìm nghiệm đa thức : bn Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 phân tích thành Dạng 5: Tính giá trị đa thức Dạng 5.1: Tính giá trị đa thức giá trị biến(đa thức cho trước) Bài tốn:Tính giá trị đa thức P(x,y,…) x = x0, y = y0; … Phương pháp 1: (Tính trực tiếp) Thế trực tiếp giá trị x, y vào đa thức để tính Phương pháp 2: (Sơ đồ Horner, đa thức biến) Viết dạng Vậy Đặt bn-1 = bnx0 + an; bn-2 = bn-1x0 + an-1; …; b1= b0x0 + a0; bo=a0 Suy ra: P(x0) = bn Từ ta có cơng thức truy hồi: bk = bk-1x0 + ak với k ≥ Giải máy: - Gán giá trị x0 vào biến nhớ M Thực dãy lặp: bk-1 + ak Ví dụ 8: (Phịng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009) Tính C = Quy trình: Với C = -101,0981355 Ví dụ : (Sở GD TP HCM, 1996) Tính Cách 1: Tính nhờ vào biến nhớ Aán phím: 8165 x = 1,8165 Đáp số : 1.498465582 Cách 2: Tính nhờ vào biến nhớ Aán phím: 8165 Đáp số: 1.498465582 Phương pháp dùng sơ đồ Horner tương đối phức tạp hiệu ,đối với máy fx-500 MS;fx500 ES nên dùng phương pháp tính trực tiếp có sử dụng biểu thức chứa biến nhớ, riêng fx-570 MS;fx-570 ES giá trị biến x nhanh cách bấm , máy hỏi X? khai báo giá trị biến x ấn phím xong Để kiểm tra lại kết sau tính nên gán giá trị x0 vào biến nhớ khác biến Ans để tiện kiểm tra đổi giá trị Ví dụ 10: Tính x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 Khi ta cần gán giá trị x1 = - 0,235678 vào biến nhớ X: 235678 Dùng phím mũi tên lên lần (màn hình lại biểu thức cũ) ấn phím xong Bài tập tương tự : Bài 1: (Bộ GD – ĐT ,2006) Tính giá trị biểu thức với x = 1,257; y = 4,523 Đáp số : B = 7,955449483 với x = 0,36; y = 4,15 Đáp số : C = 0,788476899 Dạng 5.2 : Tính giá trị đa thức giá trị biến( đa thức chưa xác định) Ví dụ 11 : (Phòng GD - ĐT TÂY SƠN, 2009) Đa thức P(x) = giá trị là: 1;2;3;4;5 có giá trị 11;14;19;26;35 x nhận Tính P(11) P(15) Tìm số dư r chia P(x) cho 10x – Giải : a) Rõ ràng ta 1,2,3,4,5 xác định hệ số tự , việc lại giải hệ phương trình bậc ẩn mà máy CASIO khơng thể giải Giải tay vất vả Bài tốn giải sau : Xét đa thức phụ k(x) = x2 + 10 Ta có : k(1) = 11 ; k(2) = 14 ; k(3) = 19 ; k(4) = 26; k(5) = 35 Đặt g(x) = P(x) – k(x) Ta có : g(1) = P(1) – k(1) = g(2) = P(2) – k(2) = g(3) = P(3) – k(3) = g(4) = P(4) – k(4) = g(5) = P(5) – k(5) = Từ suy 1,2,3,4,5 nghiệm g(x) Mặt khác g(x) đa thức bậc (Cùng bậc với P(x) k(x) bậc mà g(x) = P(x) – k(x) ) có hệ số cao Từ suy g(x) phân tích thành nhân tử : g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x) Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 10 ÞP(11) = 30371;P(15)=240475 Vấn đề tìm đa thức phụ k(x) = x2 + 10 ? Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c gán cho k(x) nhận giá trị k(1) = 11 k(2) = 14 , k(3) = 19 (nhận giá trị P(x) cho) ta có hệ phương trình : nhập hệ số vào máy tìm nghiệm a = , b = , c = 10 Þ k(x) = x2 + 10 Thử tiếp thấy k(4) = 26 k(5) = 35 Vậy k(x) = x2 + 10 đa thức phụ cần tìm Tất nhiên thử k(4) 26 k(5) 35 buộc phải tìm cách giải khác Ở câu b) việc tìm số dư đơn giản tốn dạng Quy trình: Dư phép chia P(x) cho 10x -3 P( CALC…X? à r = - 45,78407 ) Bài tập tương tự : Bài 1:(Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho đa thức P(x) = x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết P(1) = ; P(2) = ; P(3) = ; P(4) = 16 ; P(5) = 25 Tính giá trị P(6) ; P(7) , P(8) , P(9) HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nhận giá trị k(1) = 1; k(2) = , k(3) = (nhận giá trị P(x) cho) ta có hệ phương trình : nhập hệ số vào máy tìm nghiệm a = , b = , c = Þ k(x) = x2 Thử tiếp thấy k(4) = 16 k(5) = 25 Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 ÞP(6) = 36;P(7)=49;P(8) = 64;P(9)=81 Cho đa thức Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q biết Q(1) = , Q(2) = , Q(3) = 9, Q(4) =11 Tính giá trị Q(10) , Q(11) Q(12) , Q(13) HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nhận giá trị k(1) = 1; k(2) = , k(3) = (nhận giá trị P(x) cho) ta có hệ phương trình : nhập hệ số vào máy tìm nghiệm a = , b = , c = Þ k(x) = 2x + Thử tiếp thấy k(4) = 11 Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)+ 2x + ÞP(10) = 23;P(11)=25;P(12) = 27;P(13)=29 Cho đa thức f(x) = 2x5 +ax4 +bx3 +cx2 +dx + e Biết f(1) = 1, f(2) = 3, f(3) = 7, f(4)= 13, f(5) = 21 Tính f(34,567) HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nhận giá trị k(1) = 1; k(2) = , k(3) = (nhận giá trị P(x) cho) ta có hệ phương trình : nhập hệ số vào máy tìm nghiệm a = , b = -1 , c = Þ k(x) = x2 – x + Thử tiếp thấy k(1) = k(2) = Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – x +1 ÞP(34,567) = (34,567)2 - 34,567 + = 1161,310489 d) Cho đa thức f(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Biết f(1) = –1 ; f(2) = –1 ; f(3) = ; f(4) = ; f(5) = 11 Hãy tính f(15) f(16), f(18,25) HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nhận giá trị k(1) = -1; k(2) = -1 , k(3) = (nhận giá trị P(x) cho) ta có hệ phương trình : nhập hệ số vào máy tìm nghiệm a = , b = -3 , c = Þ k(x) = x2 – 3x + Thử tiếp thấy k(4) = k(5) = 11 Vậy P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 – 3x +1 ÞP(15) = (15)2 – 3.15 + = 181;P(15) = (16)2 – 3.16 + = 209; P(18.25) = (18.25)2 – 3.18.25 + = 278 Vận dụng linh hoạt phương pháp , kết hợp với máy tính giải nhiều dạng tốn đa thức bậc cao mà khả nhẩm nghiệm không Do yêu cầu phải nắm vững phương pháp vận dụng phép biến đổi cách hợp lí , logic Bài tốn sau ví dụ mà nhiều học sinh dễ nhầm lẫn trình giải Ví dụ 12: Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết P(1) = , P(2) = 11 , P(3) = 14 , P(4) = 17 Tính P(15) Giải : Xét đa thức phụ k(x) = 3x + Ta có k(1) = ; k(2) = 11 ; k(3) = 14 ; k(4) = 17 Đặt g(x) = P(x) – k(x) Ta có g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = hay g(x) có nghiệm , , , Từ suy g(x) phân tích thành nhân tử : g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) mà g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) = g(x) + k(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 3x + àP(15) = 24074! Chúng ta làm theo qui trình phương pháp vừa đưa kết nhận đáp án sai Vậy nhầm lẫn bước nào? Ở toán đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) kết nhận đa thức bậc (Cùng bậc với P(x) k(x) bậc mà g(x) = P(x) – k(x) ) có hệ số cao Nên kết sai đa thức g(x) tìm đa thức bậc Vậy ta cần giải toán nào? Đa thức g(x) phải có hệ số cao hệ số cao P(x) nên g(x) phân tích thành nhân tử sau g(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) Vấn đề cịn lại tìm số I ? Vì g(x) = P(x) – k(x) Þ P(x) =g(x) + k(x) Hay P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + Þ Hệ số tự P(x) I.(–1)(–2).(–3).(–4) + = 132005 hay 24I = 132000 Þ I = 132000:24 = 5500 Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + Þ P(15) = 132492410 Ví dụ 13:(Bộ GD – ĐT,2005) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận giá trị 1,2,3,4 giá trị tương ứng đa thức P(x) 8,11,14,17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15 HD: Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nhận giá trị k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14 (nhận giá trị P(x) cho) ta có hệ phương trình : nhập hệ số vào máy tìm nghiệm a = , b = , c = Þ k(x) = 3x + Thử tiếp thấy k(4) = 17 Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + Þ Hệ số tự P(x) I.(–1)(–2).(–3).(–4) + = 132005 hay 24I = 132000 Þ I = 132000:24 = 5500 Vậy P(x) = (x + 5500)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 3x + Đáp án: P(11) = 27775417; P(12)= 43655081; P(13) = 65494484 P(14) = 94620287; P(15) = 132492410 Bài tập tương tự : Bài 1:Cho đa thức f(x) = 2x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 115197 Biết f(1) = –1 , f(2) = 1, f(3) = , f(4) = Tính f(12) HD:Ta giả sử k(x) = ax2 + bx + c cho gán cho k(x) nhận giá trị k(1) = 8; k(2) = 11 , k(3) = 14 (nhận giá trị P(x) cho) ta có hệ phương trình : nhập hệ số vào máy tìm nghiệm a = , b = , c = -3 Þ k(x) = 2x - Thử tiếp thấy k(4) = Vậy P(x) = (x + I) (x – 1)(x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - Þ Hệ số tự P(x) I.(–1)(–2).(–3).(–4) - = 115197 hay 24I = 115200 Þ I = 115200:24 = 4800 Vậy P(x) = (x + 4800)(x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4) + 2x - Đáp số: 38111061 Bài tập tổng hợp: Bài 1: (Sở GD – ĐT Bắc Ninh, 2005) Cho đa thức bậc :f(x) = x4 +bx3 +cx2 + dx + 43 có f(0) = f(-1); f(1)= f(-2); f(2) = f(-3) Tìm b,c,d Với b,c,d vừa tìm ,Hãy tìm tất số nguyên n cho f(n)= n4 +bn3 +cn2 + dn + 43 số phương HD: Ta có: f(0) = f(-1) f(1)= f(-2) f(2) = f(-3) Giải hệ pt : Đáp số: b = 2; c = 2; d = Khi xác định b, c, d ta có đa thức f(x) = x4 +2x3 +2x2 + x + 43 để tìm n cho f(n) số phương ta làm sau : Vì f(n)= n4 +2n3 + 2n2 + dn + 43=(n2 + n + 1)(n2 + n) +43 > 0, Gán n vào biến nhớ thực dãy tăng ,giảm biến nhớ để tìm số nguyên ta xác định n để f(n) số phương Đáp số : n = -7; - 2; 1; Bài 2: Cho f(2x – 3) = x3 + 3x2 – 4x + a) Xác định f(x) b) Tính f(2,33) Giải: a) Đặt t = 2x – Þ Þ f(t) = Þf(x) b)f(2,33) Qui trình ấn phím : kết nhận Đáp số :34,57410463 Bài 3: Cho đa thức P(x) = a) Tính f(–4) , f(–3) , f(–2) , f(–1) ,f(0) , f(1) , f(2) ,f(3) , f(4) b) Chứng minh với xTM Z P(x) nhận giá trị nguyên Giải : a) Tính f(–4) = f(–3) = f(–2) = f(–1) = f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = b) Suy –4 ,–3 , –2 ,–1 , , , 2, , nghiệm của P(x) Þ P(x) phân tích thành nhân tử sau : P(x) = (x – 4)(x – 3) (x – (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) Với x TMZ (x – 4)(x – 3) (x – (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) số ngun liên tiếp Trong có số chia hết cho , số chia hết cho 5, số chia hết cho số chia hết cho Đặt A = (x – 4)(x – 3) (x – (x – 1)x (x + 1) (x + 2) (x +3)(x + ) Vì ƯCLN(2,5) = Þ A M 10 ƯCLN(7,9) = 1Þ A M 63 ƯCLN(10 ,63) = Þ A M 630 Þ số nguyên hay P(x) nhận giá trị nguyên với x TMZ Bài 4: (Thi khu vực 2001, lớp 8) Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b Với m vừa tìm câu a tìm số dư r chia P(x) cho 3x-2 phân tích P(x) tích thừa số bậc c Tìm m n để Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + n P(x) chia hết cho x-2 d Với n vừa tìm phân tích Q(x) tích thừa số bậc HD:a)Đặt g(x) = 6x3 - 7x2 – 16x ta có P(x) = g(x) + m P(x) M (2x + ) P( ) = hay g( )+m=0 Ta có g( ) = -12 Þ P( ) = -12 + m = m = 12 Đáp số: m = 12 b)Ta có: P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + 12 ->Số dư r = P( ) = c)P(x) , Q(x) chia hết cho (x – 2) P(2) =Q(2) = Đặt A(x) = 6x3 – 7x2 - 16x B(x) = 2x3 - 5x2 – 13x Ta có f(x) = A(x) + m g(x)=B(x) + n P(2) = A(2) + m= -12 + m Þ P(2) = m = 12 Q(2) = B(2) + n = -30 + nÞ Q(2) = n = 30 d)Tìm chức giải phương trình bậc ba Nhập a = , b =- , c = - 13, d = 30 Tìm nghiệm đa thức : Vậy đa thức Q(x) = 2x3 – 5x2 – 13x + 30 phân tích thành Bài 5: (Thi khu vực 2002, lớp 9) Cho P(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x + m Q(x) = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x + n a Tìm giá trị m, n để đa thức P(x) Q(x) chia hết cho x – b Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) = P(x) – Q(x) có nghiệm HD:P(x) , Q(x) chia hết cho (x – 2) P(2) =Q(2) = Đặt A(x) = x4 + 5x3 – 4x2 + 3x B(x) = = x4 + 4x3 – 3x2 + 2x Ta có f(x) = A(x) + m g(x)=B(x) + n P(2) = A(2) + m= 46 + m Þ P(2) = m = - 46 Q(2) = B(2) + n = 40 + nÞ Q(2) = n = - 40 -> R(x) = P(x) – Q(x) = x3 – x2 + x – -> R(x) = x3 – x2 + x – = (x – 2)( x2 + x + 3) = có nghiệm x = Bài 6: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) a Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m Tìm số dư phép chia P(x) cho x – 2,5 m = 2003 Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho x – 2,5 P(x) có nghiệm x = Tìm m? b Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 + cx2 + dx + e Biết P(1) = 3, P(2) = 9, P(3) = 19, P(4) = 33, P(5) = 51 Tính P(6), P(7), P(8), P(9), P(10), P(11) HD:a) Dựa vào ví dụ 1;3 b)Dựa vào ví dụ 11 Bài 7: (Sở GD - ĐT Cần Thơ 2002) Cho f(x)= x3 + ax2 + bx + c Biết ? HD: Dựa vào tập 1(Bài tập tổng hợp) Tính giá trị gần Bài 8: (Sở GD - ĐT Lâm Đồng, 2005) Tìm m để P(x) chia hết cho (x -13) biết P(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x – m + HD : Đặt g(x) = 4x5 + 12x4 + 3x3 + 2x2 – 5x + ta có P(x) = g(x) – m P(x) M (x – 13 ) P(13) = hay g(13) – m = Ta có g(13) = 1834775 Þ P(13) = 1834775 – m = m = 1834775 Đáp số: m = 1834775 Bài 9: (Thi khu vực 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = -15; P(2) = -15; P(3) = -9 Tính: a Các hệ số b, c, d đa thức P(x) Đáp số : b = - ; c = 2; d = - 15 b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x – Đáp số : c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 2x +3 Đáp số : Bài 10: (Sở GD - ĐT Hải Phòng, 2004) Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx + c Biết P(1) = -25; P(2) = -21; P(3) = -41 Tính: a Các hệ số a, b, c đa thức P(x) b Tìm số dư r1 chia P(x) cho x + c Tìm số dư r2 chia P(x) cho 5x +7 d Tìm số dư r3 chia P(x) cho (x+4)(5x +7) Bài 11: (Sở GD - ĐT Thái Nguyên, 2003) a Cho đa thức P(x) = x4+ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 0; P(2) = 4; P(3) = 18; P(4) = 42 Tính P(2002)? b Khi chia đa thức 2x4 + 8x3 – 7x2 + 8x – 12 cho đa thức x – ta thương đa thức Q(x) có bậc Hãy tìm hệ số x2 Q(x)? HD:a) Tương tự ví dụ 11 Đáp số: P(2002)= 1598401602004 b)Ta lập bảng 2 2 1 1 10 16 18 20 -7 -12 2x4+8x3 - 7x2+ 8x -12 13 34 56 q1(x)=x3+ 10x2 + 13x +34, r0 = 56 45 124 q2(x)=x2+1 6x + 45, r1 = 124 81 q3(x)=x + 18, r0 = 81 q4(x)=1 = a0, r0 = 20 Vậy hệ số x2 đa thức Q(x) có bậc 10 C KẾT LUẬN 1.khái quát cục : Qua thực tế dạy – học sử dụng MTCT để giải tốn, thầy trị cần nắm vững chu trình tổng quát : Muốn đạt kết cao giải toán đa thức MTCT cần nắm vững số vấn đề: 1.Tính phím, chủng loại máy, 2.Dạng bài, kiểu bài, … -> định hướng 3.Các phép biến đổi, thuật tốn,… -> Dãy lệnh cho máy 4.Trình bày làm(lộ trình tập yêu cầu viết qui trình kết quả) Đề tài: “Một số kinh nghiệm giải toán đa thức bậc THCS MTCT ” giúp định hướng cho học sinh dạng tập đa thức phương pháp giải dạng tốn Giúp cho học sinh tự tin việc giải dạng tập đa thức cách sáng tạo, phối hợp nhịp nhàng tư phương tiện bổ trợ, sử dụng có hiệu khai thác hết chức MTCT Kết khảo sát năm học 2009– 2010 BIẾT SỬ DỤNG MTCT ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐA THỨC TỐT LỚP SL SL TL KHÁ - TBÌNH SL TL SL HẠN CHẾ TL 30 40 90 10 18 55 33,3% 45% 61,1% 18 22 25 60% 55% 27,8% 0 6,7% 0% 0% Trường THCS Bình Nghi: Kì thi HSG giải tốn MTCT cấp huyện:1.Nguyễn Lực - lớp trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT Kì thi HSG giải tốn MTCT cấp Tỉnh: 1.Nguyễn Lực - lớp trường THCS Bình Nghi giải KK - HSG- MTCT 2.Nguyễn Quang Sinh- lớp trường THCS Bình Thành giải KK - HSG- MTCT Lê Văn Đẽ- lớp trường THCS Tây Giang giải KK - HSG- MTCT ( Đội tuyển Tỉnh dự thi khu vực) lợi ích khả vận dụng: - Giáo viên định hướng cách giải tập đa thức MTCT - Có tài liệu việc giải toán MTCT đan xen tiết dạy khố sử dụng buổi sinh hoạt ngoại khoá giải toán MTCT - Học sinh nắm phương pháp giải, vận dụng hợp lý, sáng tạo sử dụng hiệu MTCT việc giải toán Kết hợp tư thực hành bước đầu hình thành nề nếp làm việc với MTĐT phù hợp với xu phát triển CNTT Đề xuất kiến nghị: - Giáo viên tự rèn, dạy rộng rãi MTCT nghiên cứu chuyên sâu phục vụ đội tuyển nâng cao chất lượng kì thi - Thư viện trường cần tổng hợp nhiều nội dung ,kiến thức liên quan đến MTCT phục vụ cho việc giảng dạy - Lãnh đạo: Chỉ đạo, kiểm tra, giám sát phát triển rộng khắp việc sử dụng MTCT dạy học Với kinh nghiệm cịn cố gắng tìm tịi nghiên cứu khơng tránh thiếu sót Mong quý đồng nghiệp thử áp dụng vào q trình giảng dạy đóng góp ý kiến để hoàn thiện đề tài tốt D.TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách hướng dẫn sử dụng giải tốn máy tính casio.( Nhà xuất GD) - Đề kiểm tra HSG – Giải tốn máy tính casio tỉnh, thành phố.(Từ năm 1998 đến nay) - Chuyên đề đa thức Võ Xán ngày 25 tháng 02 năm 2010 Mai Quốc Điệp ... nghiệm đa thức : bn Vậy đa thức 156x3 – 413 x2 – 504 x+ 1265 phân tích thành Dạng 5: Tính giá trị đa thức Dạng 5.1: Tính giá trị đa thức giá trị biến (đa thức cho trước) Bài tốn :Tính giá trị đa thức. .. nào? Ở toán đặt đa thức g(x) = P(x) – k(x) kết nhận đa thức bậc (Cùng bậc với P(x) k(x) bậc mà g(x) = P(x) – k(x) ) có hệ số cao Nên kết sai đa thức g(x) tìm đa thức bậc Vậy ta cần giải toán. .. tài: “Một số kinh nghiệm giải toán đa thức bậc THCS MTCT ” giúp định hướng cho học sinh dạng tập đa thức phương pháp giải dạng tốn Giúp cho học sinh tự tin việc giải dạng tập đa thức cách sáng