Giải bài toán phẳng dầm bằng hàm lượng giác

Mục lục Lời mở đầu…………………………………………………………………………………………2 Chương : Các công thức tảng…………………………………………………………… I.Phương trình vi phân cân tĩnh học-động học II.Phương trình hình học II.1.Quan hệ biến dạng chuyển vị ( Phương trình Cauchy) II.2.Phương trình liên tục biến dạng ( Phương trình Saint-Vanant) III.Phương trình vật lí IV Công thức tính lượng đàn hồi Clapeyron V Chuỗi Fourier Chương : Khái niệm hàm ứng suất giải toán phẳng dầm chuỗi lượng giác………………………………………………………………………………………………… I Bài toán ứng suất phẳng II Hàm ứng suất III Giải toán phẳng dầm chuỗi lượng giác Chương : Áp dụng giải toán………………………………………… 10 I.Rút công thức ứng suất chuỗi mà lệnh MatLab sử dụng để tính phân bố ứng suất II Tính chuyển vị lớn đoạn dầm Phụ lục……………………………………………………………………………………………18 I.Biểu đồ phân bố hàm ứng suất dầm II.Tài liệu tham khảo Lời nói đầu Đối với ngành xây dựng công trình dân dụng công trình giao thông, môn học Lý thuyết đàn hồi môn học đóng vai trò quan trọng Tuy nhiên, số lượng ví dụ nhằm minh họa cho kiến thức cách giải tập môn học chưa nhiều nên đề tài “ Giải toán phẳng dầm hàm lượng giác” nhằm mục đích đóng góp ví dụ cụ thể để giúp bạn đọc có nhìn bao quát nắm kiến thức tiếp cận với phương pháp giải hàm lượng giác Nhân đây, nhóm nghiên cứu khoa học muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy TS Tô Giang Lam- Bộ môn sức bền vật liệu trường đại học Giao thông vận tải nhiệt tình giúp đỡ chúng em trình nghiên cứu mặt lý luận tài liệu để chúng em hoàn thành đề tài nghiên cứu Nhóm sinh viên lớp XDCTGTTT-K51 Chương 1: Các công thức tảng I Phương trình vi phân cân tĩnh học-động học : (1.1) II Phương trình hình học II.1.Quan hệ biến dạng chuyển vị ( phương trình biến dạng Cauchy) = , = = , (1.2) , II.2 Phương trình liên tục biến dạng ( phương trình Saint- Venant) += += += (1.3) III Phương trình vật lý ( phương trình đàn hồi) εx = εy = εz = E E E , , (1.4) , IV Công thức tính lượng đàn hồi Clapeyron W= + V Chuỗi Fourier: số tuần hoàn với chu kì 2L xác định khoảng từ (-L, L) khoảng Khi đó, chuỗi Fourier dùng để biểu diễn có dạng : Trong đó, Chương 2: Khái niệm hàm ứng suất cách giải toán phẳng dầm theo hàm ứng suất lượng giác Bài toán phẳng lí thuyết đàn hồi toán yếu tố tính toán ứng suất, biến dạng chuyển vị phụ thuộc vào bên Loại toán chia làm nhóm: biến dạng phẳng ứng suất phẳng Trong toán ứng suất phẳng, loại kết cấu điển hình dầm – tường chịu tải trọng khác lien kết gối khác Trong trường hợp thứ hai, trạng thái ứng suất ba phương, biến dạng xẩy mặt phẳng Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm thuộc toán Tuy khác dạng thức ý nghĩa mô hình toán học nhóm toán giải phương pháp giống Do giống cách thức tiếp cận toán đặt điều kiện nghiên cứu nên đề tài đề cập đến toán ứng suất phẳng I Bài toán ứng suất phẳng Ta xét mỏng chịu lực tác dụng biên song song với mặt phẳng tọa độ, ví dụ mặt xOy Ta thấy hai mặt bên tấm, tức z = σz =0, τxz =0, τzy = Vì mỏng nên giả thiết rằng, toàn bề dày σz =0, τxz =0, τzy = (2.1) Còn ứng suất khác phân bố bề dày, tức σx, σy, τxy không phụ thuộc vào loại tọa độ z Ta xét trường hợp thể tích trọng lượng than Lúc X= Z= 0, ρ Y = -q Trong q : trọng lượng riêng Phương trình cân biến dạng + = (2.2) + q=0 Phương trình liên tục biến dạng += (2.3) Phương trình định luật Hooke εx = (µσy) εy = (σy µσx) (2.4) γxy = τxy Nếu biểu diễn ứng suất qua biến dạng, từ (2.3) ta có σx = (εx+ µεy) σy = (εy+ µεx) (2.5) τxy = γxy Thay (2.4) vào (2.3) ta có (σx - µσy)+ (σy - µσx) = 2(1+µ) (2.6) Lấy đạo hàm phương trình đầu (2.2) x phương trình thứ hai (2.2) với y cộng lại, ta 2= Thay biểu thức vào (2.6) ta phương trình liên tục biến dạng biểu diễn theo ứng suất pháp + + + =0 Hoặc + =0 Ta gọi phương trình phương trình LÉVY II Hàm ứng suất Để giải hệ (2.1) ta đưa hàm ẩn gọi hàm ứng suất Airy Xét hệ phương trình phương trình vi phân (2.1): + = + q=0 Điều kiện cần đủ cho biểu thức p(x,y)dx + q(x,y)dy = du(x,y) tức p(x,y)dx + q(x,y)dy vi phân toàn phần hàm u(x,y) p q phải có quan hệ : - Phương trình thứ (1) hệ (2.1) ⇔ Tức (.dy - dx) vi phân toàn phần hàm A(x,y) Nên ta có quan hệ σx = ; τyx = (a) Tương tự, phương trình thứ 2( bỏ qua lực thể tích) : ⇒ (.dx - dy) vi phân toàn phần của1 hàm B(x,y) : − → Ta có quan hệ : σy = ; τxy = So sánh (a) (b) ta có : = ∂B ∂y (b) (c) ⇒ (A.dy + B.dx) vi phân toàn phần hàm ϕ(x,y) : → Ta có quan hệ : A = ; B= (d) Thay (d) vào (a) (b) ta có: = ; = ; = (2.7) Hàm ϕ(x,y) : Gọi làm ứng suất Airy, hàm để giải toán phẳng theo ứng suất Tiếp tục thay (2.7) vào phương trình LÉVY ta phương trình trùng điều hòa có dạng sau: + 2+ = (2.8) III Giải toán theo cách dùng hàm lượng giác Do nhược điểm cách giải đại số áp dụng trường hợp đặc biệt nên cách giải theo hàm lượng giác ứng dụng rộng rãi Trong trường hợp cụ thể toán nghiên cứu, ta sử dụng chuỗi lượng giác để giải Giả thiết tải trọng đặt dọc theo mặt cắt hình chữ nhật khai triển thành chuỗi lượng giác ϕ(x, y) = Đặt = Khi đó, ; ; Thay vào phương trình (2.8) ta được: Hoặc Nghiệm phương trình có dạng : (2.9) ϕ(x,y) = + Tùy thuộc vào điều kiện đầu dầm để chọn hàm ứng suất Nếu điểm đầu điểm cuối dầm mà tải trọng τxy =0 chọn tổng thứ hai (2.9) τxy chọn tổng thứ (2.9) Tải trọng q(x) khai triển thành chuỗi lượng giác khoảng từ (0,L) Nếu q(x) hàm chẵn chuỗi khai triển Fourier trở thành Trong đó: Ngược lại tải trọng hàm lẻ Trong Chương 3: Áp dụng phương pháp hàm ứng suất lượng giác để giải toán cụ thể Bài toán : xác định phân bố ứng suất dầm giản đơn có độ dài hữu hạn bị tác dụng lực đặt tâm LO = 220mm, L1 = 180mm 2h = 30mm, ε = 2mm, δ = 2mm P = 960 N Cho biết : , , y 2h x 2L1 2L0 I.1 Rút công thức ứng suất : Điều kiện biên : +) Mặt : σ yy ( x, + h) = − σ yy ( x, + h) = P 2ε | x|[...]...  cosh  − cosh  − sinh   ÷  ÷  ÷ ÷ ÷ ÷  L0 L0 Lo  Lo   Lo    L0   L0  L0  L0   L0   Giải hệ phương trình trên ta tìm được các giá trị A1m, A2m, A3m, A4m từ đó ta xác định được hàm ứng suất trong trường hợp này I.2.Chương trình tính toán ứng suất: viết bằng Matlab để tính toán các thành phần ứng suất Chương trình được Những ứng suất này được tính với tổng cộng 61x221điểm lưới điện... dầm Dựa theo công thức Clapeyron ta có : W= + Lại có công của lực được xác định theo công thức : A= P trong đó là biến dạng lớn nhất trên dầm khi có lực P tác dụng vào 16 Đối với vật thể hoàn toàn đàn hồi, thì năng lượng sinh ra khi biến dạng được bảo toàn Do đó công A hoàn toàn chuyển thành thế năng của lực đàn hồi W, nên : W= A Vật liệu có E = 2 GPa, và µ = 0.3 Dựa vào các giá trị ứng suất tính toán. .. toán được ở trên, ta được W = 3.83*N.mm,từ đó tính được = = 3.98mm Phụ lục 1 Để so sánh sự khác nhau giữa các kết quả tính theo phương pháp hàm lượng giác và tính theo phương pháp sức bền chúng ta sử dụng matlab minh họa các giá trị tại các vị trí khác nhau trên dầm 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3.Tài liệu tham khảo +) Advanced Calculus 2nd Edition by Robert C.Wrede – Murray Spiegel, Chapter... A3m + A4 m y ) cosh  L0 L0 L0  Xem xét điều kiện biên ở mặt trên và mặt dưới của dầm : σ yy ( x, + h) +) ứng suất tại mặt trên của dầm: 2  mπ    mπ h   mπ h   P mπε − sin ÷ ( A1m + A2 m h ) cosh  ÷+ ( A3m + A4 m h ) sinh  ÷ = − mπε L0  L0    L0   L0   σ yy ( x, −h) +)ứng suất tại mặt dưới của dầm: 2  mπ    mπ h   mπ h   P mπ L1 mπδ − cos sin ÷ ( A1m − A2m h ) cosh ... L0  −P mπ L1 mπδ Bm' = cos sin mπδ L0 L0 Bm' = − L1 +δ L1 +δ −P 4mπδ  −P ÷+  4mπδ  mπ L1 mπδ  sin  2 cos ÷ L0 L0   Hàm ứng suất AIRY : Φ ( x, y ) = − Px 2 ∞  mπ y mπ y  mπ y + ∑ ( A1m + A2 m y ) cosh + ( A3m + A4 m y ) sinh  cos 4 L0 m = 0  L0 L0  L0 Hàm này thỏa mãn hàm trùng điều hòa và điều kiện biên Thành phần ứng suất : +) ∂ 2Φ σ xx = 2 ∂y mπ x  m 2π 2 mπ y mπ mπ y = ∑ cos +2 A2 m ... cách giải toán phẳng dầm theo hàm ứng suất lượng giác Bài toán phẳng lí thuyết đàn hồi toán yếu tố tính toán ứng suất, biến dạng chuyển vị phụ thuộc vào bên Loại toán chia làm nhóm: biến dạng phẳng. .. hàm lượng giác Do nhược điểm cách giải đại số áp dụng trường hợp đặc biệt nên cách giải theo hàm lượng giác ứng dụng rộng rãi Trong trường hợp cụ thể toán nghiên cứu, ta sử dụng chuỗi lượng giác. .. thuộc toán Tuy khác dạng thức ý nghĩa mô hình toán học nhóm toán giải phương pháp giống Do giống cách thức tiếp cận toán đặt điều kiện nghiên cứu nên đề tài đề cập đến toán ứng suất phẳng I Bài toán