Việc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình Phơng trình bậc hai vẫn là mảng kiến thức lớn có nội dung phong phú đa dạng,học sinh thờng gặp trong các kì thi tốt nghiệp ,thi học sinh g
Trang 1Đặt Phần I vấn đề
A/ Lí do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học cơ bản trí tuệ cao nhất, là chìa khoá mở cửa cho tất cả các nghành khoa học khác Toán học chiếm u thế quan trọngtrong các trờng phổ thông.nó
đòi hỏi ngời thầy một sự lao động sáng tạo,nghệ thuật giúp học sinh hứng thú say mê với
bộ môn
Trong chơng trình đại số lớp 9 Việc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình Phơng trình bậc hai vẫn là mảng kiến thức lớn có nội dung phong phú đa dạng,học sinh thờng gặp trong các kì thi tốt nghiệp ,thi học sinh giỏi,thi vào lớp 10
để giúp học sinh hạn chế bớt khó khăn khi làm dạng bài tập này nên tôi suy nghĩ và thực hiện nội dung ” Giải bài tập bằng cách lập hệ phơng trình -phơng trình "
Trong khuôn khổ SKKN này tôi đa ra một số bài tập đặc trng cho từng dạng giúp học sinh nắm bắt đợc dạng bài tập này có kĩ năng giải bài tập dễ dàng hơn
B/ Phạm vi - Ph ơng pháp -TàI liệu tham khảo:
I/ Phạm vi nghiên cứu của đề tài
Đối tợng nghiên cứu: Học sinh lớp 8 - 9 trờng phổ thông THCS Thị xã Hoà bình Nội dung "Giải bài toán bằng cách lập phơng trình- Hệ Phơng trình "
II/ Phơng pháp nghiên cứu :
Qua thực tế giảng dạy thông qua chơng trình sách giáo khoa sách tham khảo Thông qua các chuyên đề bồi dỡng giáo viên qua dự giờ trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp III/ Tài liệu tham khảo:
- Toán bồi dỡng học sinh giỏi đại số 8 -9
- Một số vấn đề phát triển đại số 8- 9
- Toán luyện giải các bài tập đại số 8,9
- Toán chọn lọc
Phần II Nội dung cụ thể
A/ Lí luận chung:
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình - hệ phơng trình là dạng toán tơng đối khó với học sinh Đòi hỏi học sinh phải có sự phân tích suy luận để tìm mối quan hệgiữa các
đại lợng biết chuyển từ ngôn ngữ mẹ đẻ sang ngôn ngữ toán học, chuyển từ hành văn sang phép toán Nhiều học sinh ngại làm dạng bài tập này hoặc trình bày không rõ ràng vì kĩ năng phân tích tổng hợp của học sinh còn yếu , không tìm đợc mối quan hệ giữ các giữ liệu nên không lập đợc phơng trình hoặc lập sai
Do đó trong quá trình giảng dạy giáo viên phải tuân theo các yêu cầu sau :
Có kĩ năng giải phơng trình - hệ phơng trình
- Hiểu đề bài phân tích kĩ tránh sai sót
Trang 2- Có lập luận chặt chẽ , toàn diện
- Trình bày khoa học rõ ràng , phù hợp với thực tế
Để đạt đợc yêu cầu sau học sinh tuân theo các bớc cơ bản sau :
B
ớc 1: Lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
- Chọn một đại lợng cha biết làm ẩn ( nếu lập phơng trình một ẩn )
- Chọn 2 đại lợng cha biết làm 2 ẩn ( nếu lập hệ phơng trình )
- Dùng ẩn số và các đại lợng đã cho , các công thức liên quan để biểu diễn các số liệu khác
- Tìm mối quan hệ giữa các số liệu để thiết lập phơng trình - hệ phơng trình
B
ớc 2 : Giải phơng trình hoặc hệ phơng trình
B
ớc 3 : Nhận định kết quả - trả lời
So sánh kết quả tìm đợc với điều kiện của ẩn xem có thích hợp không ?
Trả lời
Trong 3 bớc trên bớc một là then chốt Để làm tốt bớc một đòi hỏi học sinh phải đọc kĩ
đề xác định dạng bài , các đại lợng tham gia , tóm tắt bằng kí hiệu đại lợng đã biết đại lợng phải tìm
B- các dạng bàI toán cụ thể:
I/ Dạng toán tìm số: (Biết tổng,hiệu,ti số, phân số…)
Bài toán 1: hai số hơn kém nhau 12 đơn vị Nếu chia số lơn cho 5 số nhỏ cho 7 thì thơng th nhát lớn hơn thơng th 2 là 4 đơn vị Tìm hai số đó
Hớng dẫn học sinh tìm lơì giảI:
Hai số hơn kém nhau 12 đơn vị thì suy ra biết hiệu hai số là 12 vậy hai số phải tìm là số lớn và số bé
Phân biệt thơng thứ nhất: Số lớn : 5
Thơng thứ hai: Số bé : 7
Trong bài này học sinh lúng túng nhầm lẫn không phân biệt thơng nhất thơng thơng thứ thơng thứ hai ⇒lập phơng trình sai
*Bài giải
*Lập phơng trình 1 ẩn
Gọi số lớn là: x (x>12)
Thì số bé là: x-12
Chia số lớn cho 5 ta có:
5
x
Chia số nhỏ cho 7 ta có:
7
12
−
x
Thơng thứ nhất lớn hơn thuơng thứ hai là 4 đơn vị nên ta có phơng trình:
4 7
12
5x− x− = *Giải phơng trình ta đợc x=40
vậy x=40 thoả mãn với điều kiện của ẩn vậy số lớn là 40
số bé là 40-12=28
Bài toán trên giải bằng cách lập hệ phơng trình nh sau:
gọi số lớn là x (x>12)
và số bé là y (y<x) ta có phơng trình x-y=12 (1)
Chia số lớn cho 5 ta đợc:
5
x
chia số nhỏ cho 7 ta đợc:
7
y
thơng thứ nhất lớn hơn thơng thứ hai là 4 đơn vị nên có phơng trình:
Trang 37
5x− y = (2)
từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
=
−
=
−
4 7 5
12
y x
y x
giải hệ phơng trình ta đợc
=
=
28
40
y x
II/ dạng toán tăng giảm, thêm bớt
Bài toán 2: Một phòng có 360 ghế ngồi đợc xếp thành từng dãy và số ghế mỗi
dãy nh nhau Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế mỗi dãy tăng thêm 1 thì trong phòng
có 400 ghế Tính số dãy, số ghế mỗi dãy?
* h ớng dẫn tìm lời giải:
- Dạng bài này rất thực tế xong học sinh vẫn lúng túng khi diễn đạt, yêu cầu học sinh chỉ dợc mỗi quan hệ giữa 3 đại lợng:
+ tổng số ghế trong phòng
+ số dãy ghế
+ số ghế trong 1 dãy
Công thức liên quan số ghế trong 1 dãy = tổng số ghế : số dãy
- Học sinh hay sót tìm diều kiện của ẩn (x∈ N)
- Học sinh biểu thị đợc 3 đại lợng này ở 2 giai đoạn
Lời giải
• Cách 1: (lập hệ phơng trình)
- gọi số dãy ghế là x (dãy) x > 0 ; x ∈ N
- và số ghế trong một dãy là y (ghế) y > 0 ; y ∈ N
ta có phơng trình: xy = 360 (1)
- nếu số dãy tăng thêm 1 ta có: x+1 (dãy)
- số ghế trong 1 dãy tăng thêm 1 ta có: y+1 (ghế)
- thì tổng số ghế trong một phòng là 400 ghế ta có phơng trình:
(x+1)( y+1) = 400 (2)
từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
= + +
=
400 ) 1 )(
1 (
360
y x xy
giải hệ phơng trình ta đợc
=
=
24
15
y
x
hoặc
=
=
15
24
y x
• Cách 2: ( lập phơng trình một ẩn)
- Gọi số dãy ghế là x (dãy) x>0 ; x∈ N
- Thì số ghế mỗi dãy là:
x
360
(ghế)
- Khi tăng thêm một dãy thì có (x+1) dãy
- mỗi dãy tăng thêm 1 ghế có: 360+ 1
x (ghế)
- ta có phơng trình: (x+1)(360+ 1
x ) = 400
* giải phơng trình ta đợc: x1 = 15 ; x2 = 24 (t/m đk)
Ban đầu Sau khi tăng
Trang 4* trả lời: nếu số dãy là 15 ⇒ số ghế một dãy là: 24
15
360 = (ghế) nếu số dãy là 24 ⇒ số ghế 1 dãy là: 15
24
360 = (ghế) vậy số dãy là 15 thì số ghế mỗi dãy là 24
hoặc số dãy là 24 thì số ghế mỗi dãy là 15
l u ý: nhiều học sinh trả lời ngay số dãy là 24 số ghế là 15 nh vậy sẽ mất nghiệm (không
đủ các khả năng sảy ra)
III/ dạng toán chuyển động: (cùng chiều, ngợc chiều, đến sớm muộn, trớc sau, chuyển
động dới nớc)
Bài toán 3: Quãng đờng AB dài 200 km Hai ôtô cùng khởi hành từ A đến B Mỗi
giờ ôtô thứ nhất chạy chậm hơn ôtô thứ hai 10 km nên đến B chậm hơn 1giờ Tính v mỗi xe
* hớng dẫn tìm lời giải: giáo viên cần lu ý cac dữ kiện sau:
- xác định 2 chuyển động cùng chiều từ A đến B Công thc liên quan
S = vt
- xe thứ nhất chạy chậm hơn xe thứ 2 là 10 km/h nên: v2 - v1 = 10
- lu ý cụm từ: đến B chậm hơn do đó thời gian xe thứ nhất nhiều hơn xe thứ 2 là 1 giờ nên t1 = t2 + 1
- học sinh biết tóm tắt: SAB = 200 km
v2 - v1 = 10
t1 - t2 = 1 tính v1 ? v2 ?
* Lời giải:
Cách 1: lập phơng trình một ẩn
- Gọi vận tốc ôtô đi nhanh là x(km/h), x ≥ 0
- Thì vận tốc ôtô đi chậm là x - 10
- Thời gian ôtô đi nhanh là: 200/x (h) thì thời gian ôtô đi chậm là:
10
200
−
x (h)
- Xe ôtô đi chậm đến B châm hơn ôtô thứ 2 là 1h nên có phơng trình:
1
200 10
200 − =
x
+ Giải phơng trình ta đợc: x1 = 50 ; x2 = - 40 (loại)
Vậy vận tốc xe ôtô đi nhanh là 50 km/h Vận tốc xe ôtô đi chậm là 50 - 10 = 40 km/h
- Chú ý: Có thể chọn v xe đi chậm là x thì điều kiện của ẩn sẽ khác
* Cách 2: Lập hệ phơng trình:
- Gọi v xe đi nhanh là x (km/h) ; x > 10 Và v xe đi chậm là y (km/h) ; 0 < y < x
- Mỗi giờ xe đi nhanh đi hơn xe đi chậm 10 km nên có PT (1): x - y = 10 (1)
- Thời gian cua xe đi nhanh là:
x
200
(h) Và thời gian của xe đi chậm là: 200y (h)
- Ta có PT: 200−200 = 1
x
+ Ta có hệ PT:
=
−
=
−
) 2 ( 1 200 200
) 1 ( 10
x y
y x
+ Giải hệ phơng trình ta đợc: x = 50 ; y = 40
+ Vậy v ôtô đi nhanh là 50km/h v ôtô đi chậm là 40km/h
Bài toán 4: chuyển động dới nớc ( có v nớc)
Trang 5Một tàu thuỷ chạy trên khúc sông dài 80km Cả đi lẫn về hết 8h20p Tính v tàu lúc nớc yên lặng ( biết v nớc là 4km/h )
* H ớng dẫn tìm lời giải:
G cần khắc sâu nhng điểm sau:
- v tàu luc nớc yên lặng ⇒ v thực của tàu
- Đây là toán chuyển động dới nớc có v nớc nên phải biểu diễn:
v xuôi = v thực + v nớc
v ngợc = v thực - v nớc
- Điều kiện của ẩn: v thực > v nớc ( điều này h/s rất hay quên)
- Đơn vị thời gian cha thống nhất (phải đổi ra giờ)
- H/s phải biết tóm tắt 3 đại lợng S, v, t ( xuôi, ngợc, thực )
Lời giải:
+ Lập phơng trình 1 ẩn:
Gọi v thực của tàu là x (km/h), x > 4 thì v khi xuôi là: x + 4 (km/h) Vận tốc khi ng ợc là x- 4 (km/h)
- Thời gian xuôi là:
4
80
+
- Thời gian ngợc là:
4
80
−
x (h)
- Thời gian cả đi lẫn về hết 8h20p =
3
25 (h) nên có PT:
3
25 4
80 4
80 =
−
+
x
+ Giải PT: ta đợc x1 = 20 ; x2 = - 0.8 ( loại)
+ Vậy v thực của tàu là 20km/h
IV/ Dạng toán về số và chữ số:
Bài toán 5: Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, tổng hai chữ số bằng 8 Nếu đổi vị trí hai
chữ số cho nhau thì số tự nhiên đó giảm đi 16 đơn vị
* Hớng dẫn học sinh giải:
- xác đinh dạng toán và kiến thức liên quan:
+) gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab (a,b ∈ N, 0 < a ≤ 9 ; 0 ≤b≤ 9)
+) ab = 10a + b
B
ớc 1: chọn ẩn ( nh trên )
B
ớc 2: lập hệ phơng trình:
Chữ số hàng chục Chữ số hàng đơn vị Tổng
Nhìn vào bảng ta dễ dàng có đợc hệ PT là:
=
−
= +
⇔
=
−
− +
= +
⇔
=
−
=
+
4
8 36
10 10
8 36
8
b a
b a a
b b a
b a ba
ab
b
a
Lời giải:
- gọi số tự nhiên có 2 chữ số là ab ( a,b∈ N, 0 < a ≤ 9; 0 ≤b≤ 9 ) Vì tổng 2 chữ số là 8
Ta có PT: a + b = 8 (1)
- đổi chỗ 2 chữ số cho nhau ta có số mới là: ba
- Theo bài gia ta có phơng trình: ab−ba=36⇔a−b=4 (2)
Trang 6Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
=
−
= +
4
8
b a
b a
+ Giải hệ phơng trinh ta đợc a = 6 ; b = 2 thoả mãn với điều kiện của ẩn
Vậy số phải tìm là 62
V/ b ài toán có nội dung hình học:
Bài toán 6: Một khu vờn hinh chữ nhật có chu vi là 280 m Ngời ta làm một lối đi xung
quanh vờn (thuộc đất của vờn) có chiều rộng là 2m, vì vậy diện tích trồng trọt là 4256m2 Tính kích thớc của vờn
* Hớng dẫn học sinh giải:
Minh hoạ bằng hinh vẽ:
- phân tích thấy rõ kích thớc của vừơn bị bớt đi 4m
- kiếm thức hình học liên quan: chu vi =( D + R ) ì 2
Diện tích = D ì R
Lời giải:
Cách 1:
* Lập PT :
- Gọi chiều dài của khu vờn hình chữ nhật ban đầu là x (m), x>70, thì chiều rộng khu vờn
la 140 - x (m)
Diện tích lối đi là: (140 - 4 ) 4 = 544 (m2)
Theo bài ra ta có phơng trình: x( 140 - x) - 544 = 4256
* giải phơng trinh trên ta đợc: x1 = 80 ; x2 = 60
*nhận đinh kết quả và trả lời: x2 = 60 không thoả mãn với điều kiện của ẩn;
Vậy chiều dài của khu vờn là 80m, và chiều rộng của khu vờn là:
140 - 80 = 60 (m)
Cách 2:
* Lập hệ PT:
- Gọi chiều dài khu vờn là x(m), x > 70
Và chiều rộng khu vờn là y(m); 0 < y < x
- vì chu vi khu vờn là 280m , ta có PT: x + y = 140 (1)
- kich thớc cua khu vờn trồng trọt là: x - 4 (m) và y - 4 (m)
- Do diện tich khu vờn trồng trọt là 4256(m2 )ta có PT:
( x - 4 )( y - 4 ) = 4256 (2)
- Từ (1) và (2) ta có hệ PT:
=
−
−
= +
4256 )
4 )(
4 (
140
y x
y x
• Giải hệ phơng trình ta đợc kết qua nh cách 1
VI/ Toán về tim thời gian mỗi đơn vị làm một mình xong công việc:
(toán quy về đơn vị)
Trang 7Bài toán 7: Hai máy bơm cùng bơm nớc vào một bể thì 12 phút đầy bể Nếu máy
bơm 1 bơm trong 10 phút, máy bơm 2 bơm trong 6 phút thì đợc 7/10 bể Hỏi mỗi may bơm làm một mình thì bơm dầy bể trong mấy phút
Hớng dẫn học sinh giải:
- Đọc đề, xác định yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm, dạng toán đề ra hơng giải:
+ Coi dung tích của bể là một đơn vị thể tích
+ Tinh vận tốc mỗi vòi chaỷ trong một phút
+ Xác đinh mối liên quan để lập PT, hệ PT
lời giải:
* Lập hệ phơng trình:
- Gọi thời gian vòi 1 chảy một minh đầy bể là x ( phút), x > 12 thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là y (phút), y > 12
- Mỗi phút vòi 1 chảy đợc 1/x phần bể Mỗi phút vòi 2 chảy đợc 1/y bể
- Vì 2 vòi cung chảy vào bể thì sau 12 phút bể đầy ta có PT:
12
1 1
1 + =
y
- Trong 10 phút vòi 1 chảy ra đợc 10/x phần bể và trong 6 phút vòi 2 chảy đợc 6/y phần
bể Theo bài ra ta có phơng trình:
10
7 6
10 + =
y
- Từ (1) và (2) ta có hệ PT:
= +
= +
10
7 6 10
12
1 1 1
y x
y x
* Giải hệ PT ta đợc: x = 20 ; y = 30
* Nhận đinh kết quả và trả lời:
Vì x = 20; y = 30 thoả mãn điều kiện của ẩn ; vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là
20 phút và thời gian vòi 2 chảy một mình là 30 phút
VII/ Toán cổ :
Bài toán 8:
Một đàn em nhỏ đứng bên sông
To nhỏ ban nhau chuyện chia hồng Mỗi ngời năm trái thừa năm trái Mỗi ngời sáu trái một ngời không Hỏi ngời bạn trẻ dang dừng bớc
Có mấy em thơ có mấy trái hồng ?
H ớng dẫn giải
-Tóm tắt dữ kiện bài toán :
C
C' D'
2m
2m
S = 4256 m2
2m 2m
Trang 8Số trái / ngời Kết quả
Cách chia thứ nhất 5 D năm trái
Cách chia thứ hai 6 Một ngời không đợc chia
* Giải toán bằng cách lập PT:
- Đặt x là số em đứng bên sông ; x > 0 , x nguyên
+ Theo cách thứ nhất số hồng là : 5x + 5
+ Theo cách thứ hai số hồng là : 6( x -1 )
- Vì số hồng không đổi nên ta có : 5x +5 = 6( x - 1)
- Giải phơng trình ta đợc : x = 11 Nguyên, dơng Thoả mãn điều kiện đầu bài Vậy số em bé là 11 em số trái hồng là : 6 ( 11 -1) = 60
VIII/ Dạng toán phần trăm :
Bài toán 9:
Tháng đầu 2 tổ sản xuất đợc 720 chi tiết máy Trong tháng sau tổ 1 vợt mức 15% ,
Tổ 2 vợt mức 12% nên sản xuất đợc 819 chi tiết máy Tính số chi máy của mỗi tổ trong tháng đầu
• Hớng dẫn tìm lời giải:
- Tổng số chi tiết máy của hai tổ trong tháng đầu : 720
- Vợt mức 15% => sản phẩm tháng sau = Sản phẩm tháng đầu + 15% sản phẩm tháng đầu
- Có thể trọn số sản phẩm của một tổ làm ẩn => tính đợc số sản phẩm của tổ kia hoặc chọn sản phẩm cả 2 tổ làm 2 ẩn => lập hệ PT:
* Lời giải:
Cách 1: Lập PT 1 ẩn
- gọi số tri tiết máy của tổ 1 trong tháng đầu là x (chi tiết) ; x∈z* 0 < x < 720
- Thì số tri tiết máy của tổ 2 trong thang đầu là: 720 - x
- Tháng 2 tổ 1 sản xuất đợc: x + 15% x (chi tiết)
- Tháng 2 tổ 2 sản xuất đợc: 720 - x + (720 - x) 12%
- Tháng 2 cả hai tổ sản xuất đợc 819 chi tiết nên có phơng trình:
x + 15% x + 720 - x +( 720 - x ) 12% = 819 99
100
12 ) 720 ( 100
15 + −x ì =
* giải phơng trình ta đợc: x = 420 ( thoả mãn đk)
- Vậy tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 420 chi tiết máy Tổ 2 sản xuất đợc trong tháng
đầu là: 720 - 420 = 300 ( chi tiết máy )
Cách 2: Lập hệ PT:
- Gọi số chi tiết máy trong tháng đầu của tổ 1 là x ( chi tiết ) 0 < x < 720 x∈Z+ và
số chi tiết máy tháng đầu của tổ 2 là y ( chi tiết ) 0 < y < 720 y∈Z+
Ta có PT: x + y = 720 (1)
- Tháng 2 tổ 1 sản xuất đợc: x + x15% (chi tiết)
- Tháng 2 tổ 2 sản xuất đợc: y + y12% (chi tiết)
100
12 100
15x+ y = (2)
- Từ (1) và (2) ta có hệ PT:
= +
= +
99 100
12 100 15
720
y x
y x
* Gải hệ phơng trình ta đợc:
=
=
300
420
y x
(thoả mãn với điều kiện)
Trang 9Vậy: Tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 420 chi tiết máy.
Tháng đầu tổ 2 sản xuất đợc 300 chi tiết máy
C- Kết quả thực hiện:
- So sánh kết quả của năm học 2005 - 2006 với năm học trớc khi tôi cha đi sâu nghiên cứu chuyên đề này Tôi thấy kết quả năm học 2005 - 2006 khá hơn rõ rệt: Năm học 2004 - 2005 kết quả đạt 85% - 90% từ trung bình trở lên Năm học này lời giải của học sinh rõ ràng chặt chẽ điều kiện của ẩn toàn diện hơn
- Kết quả bài kiểm tra về giải toán bằng cách lập hệ phơng trình ( chơng 2 )
Kết quả kiểm tra về giải toán bằng cách lập phơng trình ( chơng 3 ) nh sau:
Điểm
K lớp học sinhTổng số 1 -2 3-4 5 -6 7- 8 9 -10
Khối lớp 8
Khối lớp 9
Phần III Kết luận
Để việc dạy và học tôt môn toán nói chung Giải bài tập băng cách lập phơng trình
-hệ phơng trinh noi riêng việc chuyền đạt kiến thức và đúc rút kinh nghiệm của ngời thầy đối với trò là rất cần thiết Theo tôi cần phải chuẩn bị tốt các nôih dung sau:
1 Đối với thầy :
- Phân loại các bài rõ rệt ,chọn bài tiêu biểu cho từng dạng ,cung cấp kiến thức cho học sinh từ dễ đến khó,từ cụ thể đến tổng quát giúp học sinh làm quen dần không
sợ, không chán nản nắm đợc đặc trng của từng dạng
- Sử dụng tốt phơng pháp phát huy tính tích cực sáng tạo tác động cả ba đối tợng học sinh để tránh nhàm chán
2 Đối với học sinh :
- Nhận dạng đợc bài tập, hình thành cách giải Phải thực hiện đúng theo ba bớc : +) Lập phơng trình - hệ phơng trình
+) Giải PT - Hệ PT
+) Nhận định kết quả - Trả lời
Trong đó bớc 1 là khâu quan trọng nhất
- Biết liên hệ thực tế tìm điều kiện của ẩn và phân tích tìm mối quan hệ giữa các số liệu
- Trên đây là một số kinh nghiệm là bản thân tôi tích luỹ đợc trong quá trinh giảng dạy và thực hiện dạy chuyên đề" Giải bài toán băng cách lập phơng trình - hệ
ph-ơng trình"
Tuy nhiên còn nhiều hạn chế về nội dung hoặc hớng giải cha đợc hoàn hảo Rất mong đợc sự góp ý của hội đồng khoa học nhà trờng, chuyên môn phòng giáo dục - đào tạo đóng góp ý kiến để kinh nghiệm của tôi đợc hoàn thiện hơn
Tôi xin chân thành cảm ơn
Hoà bình ngày 30 tháng 5 năm 2006
Ngời thực hiện