Một số phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HOÀI THANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Nhật Tĩnh Đà Nẵng - Năm 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Học viên Nguyễn Thị Hoài Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn CHƯƠNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.2 BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 1.2.1 Phát biểu toán 1.2.2 Một số toán dẫn đến toán bất đẳng thức biến phân SỰ TỒN TẠI DUY NHẤT NGHIỆM 12 1.3 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP CHIẾU GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 2.1 2.2 16 MỐI QUAN HỆ GIỮA PHÉP CHIẾU VỚI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 16 PHƯƠNG PHÁP CHIẾU 17 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 3.1 28 PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT 28 3.1.1 Xây dựng hàm phạt lồi khả vi 28 3.1.2 Chuyển toán gốc dãy tốn có miền ràng buộc đơn giản 3.2 KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU PHẠT GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 3.3 29 31 ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU 34 KẾT LUẬN 38 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 39 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Bài toán bất đẳng thức biến phân, theo Harker Pang ([12]), giới thiệu lần vào năm 1966 Hartman Stampacchia Năm 1979 Micheal J Smith đưa tốn cân mạng giao thơng năm 1980 Defermos ([9]) rằng: Điểm cân toán nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Từ lý thuyết bất đẳng thức biến phân công cụ mạnh thống để giải toán cân Cho đến có nhiều tốn quy tốn bất đẳng thức biến phân, ví dụ như: Bài tốn cân mạng giao thơng, tốn cân giá khơng gian, tốn cân tài chính, cân nhập cư Gần đây, tốn bất đẳng thức biến phân đề tài nhiều người quan tâm nghiên cứu vai trị lý thuyết tốn học ứng dụng thực tế Một hướng nghiên cứu quan trọng toán bất đẳng thức biến phân việc xây dựng phương pháp giải Thông thường, phương pháp giải chia thành loại sau: Các phương pháp chuyển tốn hệ phương trình, phương pháp có tính chất kiểu đơn điệu, phương pháp dựa kỹ thuật hàm chắn Với lý nêu trên, chọn đề tài: "Một số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân" làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Luận văn nhằm nhắc lại kiến thức toán bất đẳng thức biến phân, ví dụ, vài ứng dụng tốn trình bày số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp chiếu, phương pháp phạt kết hợp phương pháp phạt - chiếu Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu giáo viên hướng dẫn, tài liệu sưu tầm từ bạn bè, đồng nghiệp, từ sách, báo khoa học có liên quan • Tham khảo tài liệu liên quan có website như: www.mathvn.com; www.mathscope.org; www.diendantoanhoc.net Bố cục đề tài Luận văn gồm có chương: Chương 1: Bài tốn bất đẳng thức biến phân Chương 2: Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân Chương 3: Phương pháp hàm phạt giải toán bất đẳng thức biến phân Ý nghĩa khoa học thực tiễn • Tổng quan hệ thống lại số phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân Kết luận văn nhằm giải vần đề giải số dạng tốn bất đẳng thức biến phân • Luận văn tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên, học viên cao học tìm hiểu bất đẳng thức biến phân CHƯƠNG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 1.1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Cho hai vectơ x := (x1 , x2 , , xn ), y := (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn n xi yi x, y = i=1 gọi tích vơ hướng hai vectơ x y Chuẩn Euclide khoảng cách xác định tương ứng x := x, x d(x, y) := x − y Chúng ta nhắc lại số kiến thức giải tích lồi dùng luận văn Định nghĩa 1.1.1 Tập D ⊂ Rn gọi là: i) tập lồi λx + (1 − λ)y ∈ D, ∀x, y ∈ D, λ ∈ (0, 1) ii) nón có đỉnh λx ∈ D, ∀x ∈ D, λ ≥ iii) nón có đỉnh x0 D − x0 nón có đỉnh Định nghĩa 1.1.2 Cho D ⊂ Rn tập lồi x∗ ∈ D i) Vecto x0 gọi pháp tuyến tập D x∗ x0 , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ D ii) Tập tất vecto pháp tuyến tập lồi D x∗ , ký hiệu N (x∗ /D) N (x∗ /D) = {x0 ∈ Rn : x0 , x − x∗ ≤ 0, ∀x ∈ D} Định nghĩa 1.1.3 Cho D ⊂ Rn tập lồi ánh xạ f : D −→ R ∪ {±∞} i) Miền hữu hiệu hàm f , ký hiệu Domf , định nghĩa sau: Domf = {x ∈ D : f (x) < +∞} ii) Hàm f gọi thường Domf = ∅ f (x) > −∞, ∀x ∈ D iii) Hàm f gọi hàm lồi D f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), ∀x1 , x2 ∈ D, λ ∈ [0, 1] iv) Hàm f gọi hàm lồi chặt D f (λx1 +(1−λ)x2 ) < λf (x1 )+(1−λ)f (x2 ), ∀x1 = x2 ∈ D, λ ∈ (0, 1) v) Hàm f gọi hàm lồi mạnh với hệ số β > D với x1 = x2 ∈ D, λ ∈ (0, 1), ta có f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) − λ(1 − λ)β x1 − x2 Định nghĩa 1.1.4 Giả sử f hàm lồi thường tập lồi D khơng gian Rn Khi vecto x∗ ∈ Rn gọi gradient hàm f x0 ∈ D f (x) − f (x0 ) ≥ x∗ , x − x0 , ∀x ∈ D Tập hợp tất gradient hàm f x0 gọi vi phân f điểm ký hiệu ∂f (x0 ) ∂f (x0 ) = {x∗ ∈ Rn : f (x) − f (x0 ) ≥ x − x0 , x∗ , ∀x ∈ D} Hàm f gọi khả vi phân D ∂f (x) = ∅ với x ∈ D Định nghĩa 1.1.5 Ánh xạ F : D −→ Rn gọi là: i) đơn điệu D F (x) − F (y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D ii) đơn điệu ngặt D F (x) − F (y), x − y > 0, ∀x = y ∈ D iii) đơn điệu mạnh D tồn số α > cho F (x) − F (y), x − y ≥ α x − y , ∀x, y ∈ D iv) đồng với mô đun δ (viết tắt δ - đồng bức) D tồn δ > cho F (x) − F (y), x − y ≥ δ F (x) − F (y) , ∀x, y ∈ D v) liên tục Lipschitz D tồn số L > cho F (x) − F (y) ≤ L x − y , ∀x, y ∈ D vi) giả đơn điệu D tương ứng với K ⊂ D K = ∅ ∀x∗ ∈ K : F (x), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ D Mệnh đề 1.1.6 Cho D tập lồi Rn F : Rn −→ Rn ánh xạ khả vi tập mở chứa D i) F đơn điệu D ▽F (x) nửa xác định dương D, với x ∈ D, nghĩa là: y, ▽F (x)y ≥ 0, ∀x, y ∈ D ii) F đơn điệu ngặt D ▽F (x) xác định dương D, với x ∈ D, nghĩa là: y, ▽F (x)y > 0, ∀x, y ∈ D, y = iii) F đơn điệu mạnh D ▽F (x) xác định dương D, với x ∈ D, nghĩa tồn β > cho : y, ▽F (x)y > β y , ∀x, y ∈ D, y = Định lý 1.1.7 (Định lý điểm bất động Brouwer) Giả sử D tập lồi, compact, khác rỗng Rn , (n ≥ 1), f : D → D ánh xạ liên tục Khi đó, f có điểm bất động 1.2 BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 1.2.1 Phát biểu toán Bài toán bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều V IP (D, F ) tốn tìm x∗ ∈ D ⊂ Rn cho F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ D, D tập lồi đóng khác rỗng Rn , F : D −→ Rn hàm liên tục cho trước ·, · tích vơ hướng không gian Euclide n chiều Tập D gọi miền chấp nhận toán Tập hợp nghiệm V IP (D, F ) ký hiệu SOL(D, F ) 26 Từ (2.8) suy dãy { xk − x∗ } khơng tăng, hội tụ Hơn dãy {xk } bị chặn, {z k } bị chặn Như vậy, tồn số M > cho F (z k ) ≤ M, ∀k ∈ Z Suy xk+1 − x∗ ≤ xk − x∗ − xk+1 − xk − σ M ηk2 r(xk ) (2.9) Vì dãy { xk − x∗ } hội tụ nên từ (2.9) ta suy ra: (2.10) lim ηk r(xk ) = k−→∞ Bây ta xét hai trường hợp * Trường hợp 1: lim supk−→∞ ηk > Từ (2.10) suy lim inf k−→∞ r(xk ) = Vì r(.) liên tục {xk } bị chặn nên tồn điểm giới hạn x ˆ {xk } cho r(ˆ x) = Suy x ˆ ∈ SOL(D, F ) ta chọn x∗ = xˆ (2.9) Như vậy, dãy { xk − x ˆ } hội tụ Do x ˆ điểm giới hạn dãy {xk } nên { xk − xˆ } hội tụ đến Tức dãy {xk } hội tụ đến x ˆ ∈ SOL(D, F ) * Trường hợp 2: limk−→∞ ηk = Theo cách chọn ηk thuật toán 4, ta thấy (2.4) không thỏa mãn với i − (tồn sốn nguyên k đủ lớn cho nk < 1), tức tồn k0 ∈ Z cho: F (xk − γ −1 ηk r(xk )), r(xk ) < σ r(xk ) , ∀k ≥ k0 (2.11) Giả sử x ˆ điểm giới hạn dãy {xk } {xkj } dãy hội tụ đến x ˆ Lấy giới hạn (2.11) kết hợp với (2.2), có: σ r(ˆ x) ≥ F (ˆ x), r(ˆ x) ≥ r(ˆ x) 27 Suy r(ˆ x) = 0, tức xˆ ∈ SOL(D, F ) Trong (2.9) ta chọn x∗ = x ˆ lặp lại phần chứng minh có toàn dãy {xk } hội tụ x ˆ ∈ SOL(D, F ) 28 CHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN 3.1 PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT 3.1.1 Xây dựng hàm phạt lồi khả vi Xét toán bất đẳng thức biến phân V IP (D, F ) Cho K tập chứa D Rn , xây dựng hàm lồi khả vi P : K −→ R thỏa mãn (3.1) P (x) ≤ ⇐⇒ x ∈ D Một hàm P gọi hàm phạt D Chú ý rằng, D = {x ∈ Rn : gi (x) ≤ 0, i = 1, 2, , m} gi (x) : Rn −→ R hàm lồi khả vi, hàm phạt P là: m [max{0, gi (x)}]2 P (x) = i=1 Rõ ràng P thỏa mãn (3.1) nữa, P khả vi Thật vậy, xét hi (x) = [max{0, gi (x)}]2 = (α ◦ gi )(x), α(x) = [max{0, gi (x)}]2 =   x2 0 x > x ≤ Dễ thấy, với x > ta có α′ (x) = 2x với x < ta có α′ (x) = (3.2) 29 Tại x = 0, đạo hàm bên phải α α(0 + ∆x) − α(0) (∆x)2 = lim =0 ∆x−→0+ ∆x−→0+ ∆x ∆x lim đạo hàm bên trái Do α(x) khả vi R Vì gi khả vi, hi hàm hợp hai hàm khả vi, khả vi, với i = 1, 2, , m nên P (x) khả vi Rn 3.1.2 Chuyển toán gốc dãy tốn có miền ràng buộc đơn giản Với t > xét toán bất đẳng thức biến phân theo tham số V IP (K, tF + ▽P ) (Bài toán phạt): Tìm xt ∈ K cho: tF (xt ) + ▽P (xt ), x − xt ≤ 0, ∀x ∈ K (3.3) Trong K ⊃ D tập lồi đóng cho hình chiếu điểm Rn lên K xác định dễ dàng, chí cơng thức hiển (ví dụ K hình hộp chữ nhật, hình cầu hay khơng gian con), ▽P gradient P Gọi S(t) tập nghiệm (3.3) đặt t∗ := sup{t ≥ : S(t) ⊂ D} Bổ đề sau đưa điều kiện cho tồn nghiệm toán (3.3) Bổ đề 3.1.1 ([14]) Giả sử F ánh xạ đơn điệu, P hàm phạt lồi khả vi thỏa mãn (3.1) bị chặn Khi đó: i) S(t) ∩ D = ∅ t > t∗ ii) S(t) ⊂ D < t < t∗ 30 iii) S(t∗ ) ⊂ SOL(D, F ) < t∗ < +∞ ánh xạ S(.) nửa liên tục t∗ iv) Nếu t∗ = ∞ dãy {xk } với xk ∈ S(tk ), tk −→ t∗ có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy {xk } nghiệm toán V IP (D, F ) v) Nếu t∗ = S(0) = ∅ điểm giới hạn dãy {xk } với xk ∈ S(tk ) tk −→ t∗ nghiệm toán V IP (D, F ) Chúng ta thấy rằng, hàm P định nghĩa công thức (3.2) bị chặn 0, hồn tồn thỏa mãn điều kiện bổ đề Thuật toán 5: ([7]) Xây dựng hàm P thỏa mãn điều kiện cần bổ đề 3.1.1 Chọn t0 > tùy ý Đặt a = 0, b = ∞ chuyển sang bước k với k = Bước k(k = 0, 1, ): Giải toán (3.3) ta thu nghiệm xk a) Nếu xk ∈ D, đặt a := tk tk+1   a + b =  2a b < ∞ b = ∞ Đặt k := k + quay lại bước k a+b Gán k := k + quay lại bước k b) Nếu xk ∈ / D, đặt b = tk tk+1 = Định lý 3.1.2 ([14]) Giả sử {xk } dãy có từ thuật tốn trên, với giả thiết cho bổ đề 3.1.1 ta có: 31 i) Nếu xk ∈ D với k dãy {xk } có dãy hội tụ tất phần tử chấp nhận (tức thuộc D) điểm giới hạn {xk } nghiệm toán V IP (D, F ) ii) Ngược lại, điểm giới hạn dãy {xk } nghiệm toán V IP (D, F ) Chú ý rằng, P (x) = 0, ∀x ∈ D xk nghiệm toán (3.3) thỏa mãn xk ∈ D xk nghiệm toán gốc V IP (D, F ) 3.2 KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU PHẠT GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Phương pháp chiếu phương pháp hiệu để giải toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ F đơn điệu, liên tục Bất lợi phương pháp việc tìm hình chiếu điểm lên tập lồi D trường hợp D khơng có dạng đặc biệt Để khắc phục khó khăn này, chuyển toán bất đẳng thức biến phân tập D lồi đóng Rn thành dãy toán bất đẳng thức biến phân tập K ⊃ D với K có dạng đặc biệt Khi ta dễ dàng tìm hình chiếu điểm lên K , nhược điểm phương pháp chiếu khắc phục Trong thuật toán 5, bước lặp thứ k , ta giải toán bất đẳng thức biến phân (3.3) Bởi miền ràng buộc tốn có dạng đặc biệt nên ta giải tốn cách dễ dàng cách dùng phương pháp chiếu, chẳng hạn dùng phương pháp chiếu hai lần giới thiệu mục 2.2 Bằng cách chọn tham số tk cách thích hợp bước, dãy nghiệm toán (3.3) hội tụ đến nghiệm toán gốc V IP (D, F ) tk −→ t∗ Đây ý tưởng thuật toán sau Xét toán bất đẳng thức biến phân V IP (D, F ), D tập lồi đóng khác rỗng Rn , F ánh xạ liên tục tập 32 lồi compact K ⊃ D Thuật toán 6: ([13]) Ta xây dựng tập K ⊃ D có dạng đặc biệt (chẳng hạn hình hộp chữ nhật, hình cầu hay khơng gian con) hàm phạt lồi P thỏa mãn điều kiện bổ đề 3.1.1 Lấy số thực t0 > tùy ý Chọn ǫk > cho ǫk −→ k −→ ∞ Đặt a := 0, b := ∞ chuyển sang bước k với k = Bước k: (k = 0, 1, 2, ) • Bước k0 : Chọn số λ > 0, η ∈ (0, Lipschitz hàm số Fk = tk F + ▽P ), Ltk số L tk Đặt j := 0, chọn điểm khởi đầu y0 ∈ K • Bước k1 : a) Nếu y j − PK (y j − λFk (y j )) ≤ ǫk dừng lại, đặt xk := y j Tăng k lên đơn vị quay trở lại bước k b) Nếu y j − PK (y j − λFk (y j )) > ǫk chuyển sang bước k2 • Bước k2 : Tính y j+1/2 = PK (y j − ηFk (y j )), y j+1 = PK (y j − ηFk (y j+1/2 )) Đặt j := j + quay trở lại bước k1 Ở PK (x) hình chiếu x lên K Khi K có dạng đặc biệt, ta dễ dàng tính PK (x) cách dùng công thức hiển Sau bước lặp thứ j phương pháp chiếu nêu trên, ta thu nghiệm phù hợp xk toán (3.3) Chúng ta xét hai trường hợp 33 a) Nếu xk ∈ D, ta đặt a := tk   a+b tk+1 := 2a b < ∞ b = ∞ quay trở lại bước k với k := k + a+b Đặt k := k + quay trở lại bước k b) Nếu xk ∈ / D, đặt b := tk tk := Từ định lý 2.2.4 định lý 3.1.2, ǫk −→ +∞ k −→ +∞ nên có định lý sau Định lý 3.2.1 ([13]) Giả sử F ánh xạ đơn điệu K ⊃ D, P hàm lồi khả vi thỏa mãn (3.1) bị chặn K Thêm nữa, ta giả sử F ▽P hàm số liên tục Lipschitz K Giả sử {xk } dãy thu thuật tốn Khi đó, điểm giới hạn dãy {xk } nghiệm toán gốc V IP (D, F ) Chứng minh Giả sử x∗k nghiệm toán phạt V IP (K, tk F + ▽P ) Theo định lý 2.2.4, y j −→ xk∗ j −→ +∞ Mặt khác, theo phương pháp chiếu hai lần ǫ > nên vòng lặp j kết thúc sau số hữu hạn bước bước lặp cuối vịng lặp j , ta có y j = xk Giả sử x∗ nghiệm tốn V IP (D, F ), có: xk − x∗ ≤ xk − xk∗ + xk∗ − x∗ Vì xk = y j , xk − xk∗ ≤ ǫk Hơn nữa, ǫk −→ xk∗ −→ x∗ nên xk − x∗ −→ k −→ +∞ 34 3.3 ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU Mệnh đề 3.3.1 ([12]) Giả sử x∗ nghiệm toán tối ưu: (3.4) F (x) x∈D đó, F hàm khả vi liên tục D tập lồi đóng Rn Khi x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân: ▽F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ D (3.5) Chứng minh Vì D tập lồi nên ta có x∗ + t(x − x∗ ) ∈ D, ≤ t ≤ Đặt φ(t) := F (x∗ + t(x − x∗ )), t ∈ [0, 1] Do φ(t) đạt cực tiểu t = nên ta có: ≤ φ′ (0) = ▽F (x∗ ), x − x∗ , tức x∗ nghiệm (3.5) Mệnh đề 3.3.2 ([12]) Nếu F (x) hàm lồi x∗ nghiệm toán bất đẳng thức biến phân V IP (D, ▽F ), x∗ nghiệm toán tối ưu (3.4) Chứng minh Vì F (x) hàm lồi nên ta có: F (x) ≥ F (x∗ ) + ▽F (x∗ ), x − x∗ , ∀x ∈ D Mặt khác, x∗ nghiệm V IP (D, ▽F ) nên ▽F (x∗ ), x − x∗ ≥ Do đó, từ (3.6) suy F (x) ≥ F (x∗ ), x ∈ D Tức x∗ điểm cực tiểu toán quy hoạch (3.4) (3.6) 35 Định nghĩa 3.3.3 ([12]) Ma trận n × n M (x) phần tử mij (x) : i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , n hàm xác định tập S ⊂ Rn gọi là: • nửa xác định dương S v, M (x)v ≥ 0, ∀v ∈ Rn , x ∈ S • xác định dương S v, M (x)v > 0, ∀v = 0, v ∈ Rn , x ∈ S • xác định dương mạnh S α > 0: v, M (x)v ≥ α v , v ∈ Rn , x ∈ S Định lý 3.3.4 ([12]) Giả sử F (x) hàm khả vi liên tục D ma trận Jacobian  ∂F1  ∂x1    ▽F (x) =      ∂Fn ∂x1  ∂F1 ∂xn          ∂Fn ∂xn đối xứng nửa xác định dương tồn hàm lồi có giá trị thực f : D −→ R thỏa mãn ▽f (x) = F (x) với x∗ nghiệm toán V IP (D, F ) nghiệm toán quy hoạch f (x) x∈D Trước vào ví dụ sau, ta xây dựng toán phạt cho M OP (D, F ) Cố định tập K ⊃ D Với t > ta định nghĩa toán phạt sau: M OP (K, F (t) ) : (t) F (t) = (F1 , , Fn(t) ), x∈K 36 Fi (t) = Fi + tP, i = 1, , n P hàm phạt D Định lý 3.3.5 ([12]) Cho D tập lồi đóng khác rỗng Rn Giả sử F : Rn −→ Rn lồi khả vi Giả sử thêm điều kiện sau thỏa mãn: K bị chặn, K không bị chặn tồn a ∈ D cho: lim y −→+∞ ▽Fi (y), y − a > 0, i = , n Giả sử x(n) ∈ S(tn ) với n ∈ N Khi dãy {x(n) }n có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu đa mục tiêu M OP (D, F ): F (x) = (F1 (x), , Fn (x)) x∈D Ví dụ 3.3.6 Xét D = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x2 −x1 −1 ≤ 0, −x2 +x21 −1 ≤ 0} Hình 3.1: Miền ràng buộc D 37 Khi đó, F (x) = (F1 (x), F2 (x)), x2 x21 x22 F1 (x) = + + x1 x2 + 2e − 2x2 , 2 x22 x1 + F2 (x) = e + x1 − x1 + Dễ thấy F hàm lồi khả vi R2 Lấy hàm phạt P sau: P (x) = [max{0, x2 − x1 − 1}]2 + [max{0, −x2 + x21 − 1}]2    0, x ∈ D,      (x2 − x1 − 1)2 , x ∈ (I), =   (x2 − x1 − 1)2 + (−x2 + x21 − 1)2 , x ∈ (II),      (−x + x2 − 1)2 , x ∈ (III) Lấy K = R2 a = ∈ D, ta có: y2 ▽F1 (y), y = (y1 + y2 )2 + y2 e − 2y2 , ▽F2 (y), y = 2y12 + y22 + y1 ey1 − y1 , hiển nhiên số dương y −→ +∞ Do đó, theo định lý 3.3.5, dãy nghiệm hữu hiệu yếu toán phạt M OP (K, F (tn ) ), n = 1, 2, có điểm giới hạn điểm giới hạn dãy nghiệm hữu hiệu yếu toán tối ưu M OP (D, F ) 38 KẾT LUẬN Trong luận văn này, phần nội dung trình bày thành chương Trong Chương 1, chúng tơi giới thiệu tốn bất đẳng thức biến phân số toán quy toán bất đẳng thức biến phân Kết luận văn nằm Chương Chương Trong đó, chúng tơi trình bày vài phương pháp phổ biến giải bất đẳng thức biến phân ứng dụng việc tìm lời giải tốn tối ưu Cụ thể, Chương 2, mục 2.1, trình bày mối quan hệ phép chiếu tốn bất đẳng thức biến phân Trong mục 2.2, trình bày số thuật toán chiếu để giải toán Trong Chương 3, mục 3.1, chúng tơi trình bày phương pháp chuyển toán bất đẳng thức biến phân gốc dãy tốn có miền ràng buộc đơn giản phương pháp hàm phạt Ở mục 3.2, giới thiệu phương pháp kết hợp phạt - chiếu để giải toán trường hợp miền ràng buộc tốn khơng có dạng đặc biệt Trong mục 3.3, trình bày ứng dụng phương pháp giải toán bất đẳng thức biến phân vào toán tối ưu Các kết bước đầu chưa nhiều góp phần giúp thân hiểu thêm bất đẳng thức biến phân ứng dụng Tơi cố gắng nhiều trình làm luận văn, nhiên thời gian lực hạn chế nên chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Do đó, mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để luận văn hồn thiện 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phan Huy Khải, Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu, lý thuyết thuật toán, Nhà xuất Bách Khoa, Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Viện tốn học Hà Nội Tiếng Anh [5] N.Anna (2002), Variational inequalities, Isenberg School of Management, University of Massachusetts [6] J F Bonnans (1976), Optimization Mesthodes Numériques, Masson, Paris [7] R W Costtle, F Giannessi and J L Lions (1980), Variational Inequalities and Complementary Problems: Theory and Applications, Wiley, New York [8] S C Daffermos (1983), An iterative sacheme for variational inequalities, Math Programming, 26, pp 40 - 47 [9] S C Daffermos (1980), Traffic equilibrium and variational inequalities, Transport Sci 14, 42 - 54 40 [10] Fucchinei F., Pang J S (2003), "Finite Dimmensional Variational Inequalities and Complementarity Problems", Springer Series in Operations Research [11] M Fukushima (1992), Equivalent differentiable optimization problems and descent methods for asymmetric variational inequality problems, Math Programming, 53, pp 99 - 110 [12] Patrick T Harker and Jong - Shi Pang (1989), Finite - dimmensional variational inequality and nonlinear complementarity problems: A survey of theory, algorithms and applications, Math Programming, 48, pp 161 - 220 [13] Dau Xuan Luong, Le Dung Muu (2010), "Combining the Projection Method and the Penalty Fuction to solve the Variational Inequalities with Monote Mappings", International Journal of Optimization: Theory, Methods and Applications, Vol 2, No 2, 124 - 137 [14] Muu L D (1986), An Augmented Penalty Fuction Method for Solving a Class of Variational Inequalities, Soviet Computational Math Phys 2, 1788 - 1796 [15] V H Nguyen (2003), Variational Inequality Elementary and Beyond, FUNDP Namur - Belgium (Baài giảng trường hè Cần Thơ 2003) [16] E H Zarantonello (1971), Projections on convex sets in Hilbert space and spectral theory in Contributions to Nonlinear Fuctional Analysis ... chương: Chương 1: Bài tốn bất đẳng thức biến phân Chương 2: Phương pháp chiếu giải toán bất đẳng thức biến phân Chương 3: Phương pháp hàm phạt giải toán bất đẳng thức biến phân Ý nghĩa khoa học... KẾT HỢP PHƯƠNG PHÁP CHIẾU PHẠT GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Phương pháp chiếu phương pháp hiệu để giải toán bất đẳng thức biến phân với ánh xạ F đơn điệu, liên tục Bất lợi phương pháp việc... thiệu tốn bất đẳng thức biến phân số toán quy toán bất đẳng thức biến phân Kết luận văn nằm Chương Chương Trong đó, chúng tơi trình bày vài phương pháp phổ biến giải bất đẳng thức biến phân ứng