Phân dạng một số phương pháp giải bài toán ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng

I MỞ ĐẦU 1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong Chương trình giáo dục THPT nay, tích phân với khái niệm khác góp phần quan trọng mơn Giải tích tốn học, sở để nghiên cứu Giải tích đại Muốn học sinh học tốt tích phân người Giáo viên truyền đạt, giảng giải theo tài liệu có sẵn Sách giáo khoa, sách hướng dẫn thiết kế giảng cách gập khn, máy móc, làm cho học sinh học tập cách thụ động Nếu dạy học việc học tập học sinh diễn thật đơn điệu, tẻ nhạt kết học tập khơng cao Nó ngun nhân gây cản trở việc đào tạo em thành người động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với đổi diễn hàng ngày Do học vấn đề : vấn đề diện tích hình phẳng chương trình giải tích 12 học sinh gặp nhiều khó khăn Hầu hết em học sinh thường có cảm giác “sợ” tốn tính diện tích hình phẳng Khi học vấn đề nhìn chung em thường vận dụng cơng thức cách máy móc chưa có phân tích , thiếu tư thực tế trực quan nên em hay bị nhầm lẫn, khơng giải được, đặc biệt tốn cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích tính Thêm vào sách giáo khoa sách tham khảo có ví dụ minh hoạ cách chi tiết để giúp học sinh học tập khắc phục “những sai lầm đó” Càng khó khăn cho học sinh có kỹ tính tích phân cịn yếu kỹ “đọc đồ thị” hạn chế Theo số ý kiến phản ánh trường đại học em đạt thành tích cao kỳ thi THPT Quốc Gia kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2019 – 2020 vào học khơng biết yếu q trình phân tích, trình bày vấn đề chun sâu đó, từ năm học 2021 – 2022 trở Bộ GD&ĐT sở GD&ĐT Thanh Hóa dự kiến thi đánh giá kết hợp hình thức thi tự luận trắc nghiệm khách quan, phần thi tự luận giao phần VD VDC, học sinh thường dùng kỹ máy tính hay suy luận khơng sở khoa học để tìm đáp án, học sinh “khoanh bừa” đáp án không may trúng gặp nhiều khó khăn Do việc dạy học để học sinh hiểu chất toán học quan trọng Ngồi việc tính diện tích hình phẳng kiến thức thực tế cần thiết, qua để thấy vẽ đẹp Tốn học có liên kết với thực tế giúp em u thích mơn Tốn Từ lý chọn đề tài “ PHÂN DẠNG VÀ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ” phần giúp em giải phần vấn đề 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mơn Giải tích 12 nói riêng theo phương hướng tinh giản kiến thức, phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Nhằm giúp cho học sinh 12 rèn kỹ tính tích phân, đặc biệt tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối, rèn kỹ đọc đồ thị hàm số, từ khắc phục khó khăn, sai lầm gặp tốn tính diện tích hình phẳng Từ giúp học sinh phát huy tốt kiến thức diện tích mà học sinh học lớp dưới, thấy tính thực tế liên hệ nội vấn đề chương lớp học, học sinh cảm thấy hứng thú, thiết thực học tốt vấn đề ứng dụng tích phân 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Chương : Nguyên hàm,Tích phân chủ yếu số dạng tốn liên quan đến diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : a Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo - Nghiên cứu đề thi thử THPT quốc gia giáo dục trường phổ thông, trường đại học nước b Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung ứng dụng tích phân - Tổng kết rút kinh nghiệm trình dạy học - Tổ chức tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giáo án thông qua tiết dạy) để kiểm tra tính khả thi đề tài II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Phần tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số phần quan trọng chương trình THPT; phần thiếu kỳ thi vào đại học, cao đẳng năm gần Để tính diện tích hình phẳng giới hạn em thường dùng hai phương pháp là: Dùng cơng thức vẽ đồ thị sau dựa vào đồ thị để tính Trong có dạng tốn mà việc dùng cơng thức để tính khó khăn dễ bị sai, thiết ta phải vẽ đồ thị để tính Việc vẽ đồ thị chia diện tích thành phần làm cho toán trở nên đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn xác Mặt khác từ chuyên đề nhỏ với số kinh nghiệm mà tơi tích lũy em mở rộng tư tiếp cận số toán khác Đặc biệt giúp em giải số tập liên quan đến phần dạng toán thi THPT Quốc gia 2.2 Thực trạng đề tài Qua thời gian giảng dạy trường THPT Lê Lợi tiếp cận với học sinh, nắm khả học sinh qua việc đọc tài liệu, sách báo, tìm hiểu đề kì thi kinh nghiệm thân Tôi nghiên cứu sâu vào vấn đề để biên soạn hệ thống khối 12 Nhằm mục đích tạo điều kiện phù hợp với học sinh từ yếu đến trung bình, giỏi 2.3 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Bài tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn nhìn chung học vấn đề này, đại đa số học sinh (kể học sinh giỏi ) thường gặp khó khăn, sai lầm sau: - Nếu khơng có hình vẽ thi học sinh thường khơng hình dung hình phẳng Do dó học sinh có cảm giác “xa lạ” so với học diện tích hình phẳng học trước ( diện tích đa giác , thể tích khối đa diện …).Học sinh không tận dụng kiểu “tư liên hệ cũ với mới” vốn có nghiên cứu vấn đề -Hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập cịn “ chưa đủ” để giúp học sinh rèn luyện tư từ trực quan đến trừu tượng Từ học sinh chưa thấy gần gũi thấy tính thực tế hình phẳng -Học sinh chưa thực hứng thú chưa có cảm giác nhẹ nhàng học vấn đề này, trái lại học sinh có cảm giác nặng nề, khó hiểu - Học sinh thường nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng cách máy móc , khó phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt kỹ đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính; kỹ cộng, trừ diện tích Đây khó khăn lớn mà học sinh thường gặp phải -Học sinh thường bị sai lầm việc tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối b f ( x ) dx  Chẳng hạn , thường áp dụng sai công thức : I  � a b f ( x )dx � a Học sinh : công thức trường hợp biểu thức f(x) không đổi dấu khoảng (a ; b) Ví dụ : S� x  3x  dx Học sinh viết sai : S� ( x  3x  2)dx 2/ Hướng khắc phục - Giúp học thành thạo kỹ phá dấu giá trị tuyệt đối cách linh hoạt tùy thuộc vào tình cụ thể cách sau : + Hoặc cách xét biểu thức dấu giá trị tuyệt đối + Hoặc dựa vào hình vẽ (đồ thị ) để xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối + Hoặc tách thành tích phân mà hàm f  x  không đổi dấu khoảng dùng cơng thức sau: b I � f ( x ) dx  a b f ( x )dx � a Với điều kiện f(x) không đổi dấu khoảng (a ;b) - Đưa nhiều tập minh họa có lời giải chi tiết để giảng dạy dạy phụ đạo để học sinh tham khảo Qua rèn luyện cho học sinh kỹ đọc đồ thị vận dụng vào giải tốn Giúp học có hình ảnh trực quan hình phẳng Từ học sinh có cảm giác nhẹ nhàng, gần gũi thực tế hơn, hứng thú - Đưa hệ thống tập tương tự có hình vẽ kèm theo khơng có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó Giáo viên chọn tập tiêu biểu để giảng giải, số lại để học sinh tự thảo luận làm nhóm nhà nộp làm cho giáo viên 2.4 Giải pháp thực để giải vấn đề Dạng 1: Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b Giả sử hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a; b  Khi hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b có diện tích S tính theo cơng thức : b S� f ( x ) dx (1) a ( Sách giáo khoa giải tích 12CB)  Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức f ( x ) b b a b a b a a f ( x ) dx  � f ( x )dx Nếu f ( x ) �0 , x �  a ; b  S  �  f ( x ) dx  �   f ( x )  dx Nếu f ( x ) �0 , x �  a ; b  S  �   Muốn khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức f ( x ) ta phải xét dấu biểu thức f(x) Thường có hai cách làm sau: -Cách 1: Dựa vào định lí dấu biểu thức để xét dấu biểu thức f(x) -Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y =f(x) đoạn  a;b  để suy dấu f(x) đoạn  Nếu đoạn  a;b  đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía “trên” trục hồnh f ( x ) �0 , x �  a ; b  Nếu đoạn  a;b  đồ thị hàm số y  f  x  nằm phía “dưới” trục hồnh  f ( x ) �0 , x �  a ; b  Nếu y  f  x  không đổi dấu  a;b  ta có: Chú ý : b S� f ( x ) dx  a b f ( x )dx � a Nếu phương trình f ( x )  có nghiệm c �( a; b) b c b �f ( x) d  �f ( x) d  �f ( x) d x a x a c c x  f ( x )d � a b x  f ( x )d � x c Một số tập vận dụng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y   x  , trục hoành, hai đường thẳng x  x  Giải Diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng y   x  , trục hoành , hai  x  dx đường thẳng x  x  tính cơng thức S  � Cách 1: Dựa vào định lí dấu nhị thức bậc ta có bảng xét dấu f ( x )   x  sau : � � x -2 f ( x)   x  + Dựa vào bảng xét dấu ta thấy với x � 0; 3  x   �  x   x  x � 0;3 Diện tích S hình phẳng : 3 32 � � x2 02 21 S�  x  dx  � ( x  2)dx  (  x )   2.3  �  2.0 �   2 �2 � 0 Cách 2: Dựa vào đồ thị y sau: -2 -1 A O B x fx = -x-2 Từ đồ thị ta thấy  x  �0 , x � 0;3 3 0 S�  x  dx  � ( x  2)dx  ( -4 32 � � x2 02 21  x )   2.3  �  2.0 �   2 �2 � (đvdt) Cách 3: Dựa vào ý Ta có  x   � x  2 � 0;3 3 x2 21 S�  x  dx  � (  x  2)d x  (   x )  2 0 Cách 4: Quan sát diện tích cần tính hình thang vng, áp dụng cơng thức 21 tính diện tích hình thang ta kết Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C ) y  x3  3x  , trục hoành, trục tung đường thẳng x  Giải Trục tung có phương trình x  Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị (C ), trục hoành hai đường thẳng x  0, x  tính cơng thức : S � x3  x  dx Cách 1:Ta có bảng xét dấu biểu thức f ( x )  x3  x  sau : x � � 1 1 - + 0 + f ( x )  x  3x  2 x  3x  dx  � ( x  3x  2)dx  � ( x3  x  2)dx Nên S  � 3 1 x � � x 24 3  (  x  x )  (  x  x )      �  23  2.2  (   2) � 4 4 �4 � 1  1    1  4 Cách : Dựa vào đồ thị hàm số Ta có đồ thị hàm số y  f ( x )  x  x  sau: 4 y fx = x 3-3x2+2 -2 -1 A O1 B x (C) Dựa vào đồ thị, suy đoạn [ ; ] đồ thị (C ) cắt trục hoành điểm có hồnh độ x = 3 Hơn x  3x  �0, x � 0;1 x  3x  �0, x � 1; 2 2 x  3x  dx  � ( x  3x  2)dx  � ( x3  x  2)dx Do S  � 3 0 1 x � � x 24 3  (  x  x )  (  x  x )      �  23  2.2  (   2)� 4 4 �4 � 1  1    1  (đvdt) 4 4 Cách 3: � x   � 0; 2 � x  1� 0; 2 Phương trình x  3x   � � � x   � 0; 2 � � 2 x  3x  dx  � x  3x  dx  � x3  3x  dx Nên S  � 3 2 1 � ( x  x  2)dx  � ( x  3x  2)dx ( x4 x4  x3  2x )  (  x3  x) 4  5 5     (đvdt) 4 4 Bài 3: Cho hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hàm số y  ( x  3)2 , trục hoành, trục tung Gọi A  0;  , B  b;   3  b   Tìm b để đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H) thành phần có diện tích nhau.(Theo đề thi thử THPT quốc gia 2017 trường chuyên ngoại ngữ ) Giải Để giải ta phải dùng phương pháp đồ thị để xác định hình phẳng phần giới hạn đường ,từ ta tính diện tích chúng Gọi S diện tích hình phẳng (H) Đoạn thẳng AB chia hình phẳng (H) thành phần gồm: - Phần tam giác OAB có diện tích S1 - Phần phần cịn lại hình phẳng (H) (Như hình vẽ sau) Theo ta có S  S2 (1) Mặt khác : S� ( x  3)2 d x  (2) 3 9b S2  SOAB  OA.OB  (3) 2 Từ (1),(2),(3) ta có phương trình  9b � b  1 Vậy b  1 giá trị cần tìm Nhận xét: Qua tập ta thấy khơng vẽ đồ thị xác định diện tích hình phẳng (H), cịn phần mà hình phẳng (H) đoạn thẳng AB chia ta khơng hình dung hình dạng cơng thức tính diện tích việc giải tốn gặp khó khăn Do sử dụng đồ thị trường hợp phương án giải toán khả thi Bài Cho hình thang cong (H) giới hạn đường y  , y  0, x  1, x  x Đường thẳng x  k (1  k  5) chia hình (H) thành hai phần có diện tích S1 , S2 Tìm k để S2  2S1 Giải Tương tự tập trên, để xác định S1 , S2 ta phải dựa vào đồ thị sau: Nhìn vào đồ thị ta thấy : , y  0, x  1, x  k x S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường y  , y  0, x  k , x  x k k 1 Khi : S1  �d x  ln x  lnk ; S2  �d x  ln x k  ln5  lnk x x k Theo ta có phương trình: ln5  lnk  2.lnk � ln5  3.lnk S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường y  �k35 Vậy k  giá trị cần tìm Nhận xét : Qua tập 3,4 ta thấy phương pháp sử dụng đồ thị phương pháp vẽ đồ thị chia diện tích thành phần làm cho tốn trở nên đơn giản làm cho việc tính diện tích trở nên nhanh gọn xác Dạng 2: Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 1/ Cách tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số Cho hai hàm số y = f(x) có đồ thị (C) , y = g(x) có đồ thị (C’ ) Nếu hai đồ thị (C ) (C’) có điểm chung điểm M(x0 ; y0) cặp số (x0 ; y0) �y  f ( x ) nghiệm hệ phương trình � (1) y  g ( x ) � Hoành độ x0 điểm M nghiệm phương trình f ( x )  g ( x ) (*) Giải phương tình (*) ta x0 hoành độ giao điểm hai đồ thị Phương trình (*)được gọi phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị Thay x = x0 vào hai phương trình hệ (1) ta tìm tung độ giao điểm 2/ Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số : Cho hai đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y  f  x  , y  g  x  hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  có diện tích S tính theo cơng thức : b S� f ( x )  g ( x ) dx a (Theo sách giáo khoa giải tích 12 –CB) Muốn tính diện tích S cần khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức cần tính tích phân Cách khử áp dụng cách mục I Một số tập vận dụng Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  3x  đường thẳng y  x  Giải Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  3x  đường x 1 � 2 thẳng y  x  : x  3x   x  � x  x   � � x3 � Suy diện tích hình phẳng : 3 S� x  3x   ( x  1) dx  � x  x  dx 1 Cách : Xét dấu tam thức x  x  ta có : x -∞ x – 4x + + Do x  x  �0, x � 1;3 S  � ( x  x  3)dx  ( - +∞ + x3 4  x  3x )    (đvdt) 3 Cách : Dựa vào đồ thị Đồ thị hai hàm số y  x  3x  y  x  sau : y (C) x -3 -2 -1 O -1 -2 d -3 Dựa vào đồ thị ta có x  3x  �x  1, x � 1; 3 Do x  x  �0, x � 1;3 nên 3 x3 4 S  � ( x  x  3)dx  (  x  3x )    (đvdt) 3 Cách : Phương trình x  x   có nghiệm x  � 1; 3 x  � 1; 3 nên : 3 x3 4 2 S� x  x  dx  � ( x  x  3)dx  (  x  3x )   (đvdt) 3 1 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  3x  đường thẳng d : y  x  Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị (C ) đường thẳng d : x0 � x  3x   x  � x  x  � x( x  )  � � x  �2 � Cách Diện tích hình phẳng : S x  3x   ( x  2)dx �x  3x   ( x  2) dx  � 3 2 S x  x dx �x  x dx  � 3 2 Ta có bảng xét dấu sau: � x -2 x  4x + 0 � + x4 x4 ( x  x ) d  ( x  x ) d  x )  (  x ) =8(đvdt) Khi :S= � x x =( � 4 2 2 3 10 Cách Dựa vào đồ thị hàm số y (C) x -3 -2 -1 d O -1 -2 -3 [( x  3x  2)  ( x  2)]d x  � [( x  2)  ( x  3x  2)]d x = S= � 2 0 2 x4 x4 ( x  x )d x  � (  x  x )d x = (  x )  (   x ) =8(đvdt) � 4 2 2 3 Cách Áp dụng cách đưa dấu giá trị tuyệt đối ngồi ta có : S x  x   ( x  2) d �x  3x   ( x  2) dx  � 3 2 �S x  x dx �x  x dx  � 3 2 0 �S x (x � 2  x )dx  � ( x3  x )dx   4  (đvdt) x parabol y  x  a , ( a tham số thực S S dương) Gọi , diện tích hai hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên Khi S1  S a thuộc khoảng đây? Câu Cho đường thẳng y  Giải Ta có phương trình hồnh độ giao điểm x  x  a  � x  x  4a  11 � �x1  x2  Theo đề phương trình có hai nghiệm  x1  x2 thỏa mãn � �x1 x2  2a � x1  *  ** x 2 3 � x  x  a d x  x  x  a dx  S1  S  � � 4 x1 x2 � �2 x  x  a dx  � x3  x  ax x2 0 � 3 x 3x x2  x2  ax2  � a     ***  8 x22 3x2 �3 � x22 3x2 Từ  *  � x1   x2 , thay vào  **  � �  x2 �x2    �  0 4 �2 � 27 27 (***) � x2  ��� �a  Vậy a  128 128 Dạng 3: Hình phẳng giới hạn bới ba đồ thị hàm số Để tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trở lên bắt buộc ta phải vẽ hình để xác định hình phẳng chia nhỏ hình phẳng thành hình phẳng có dạng mục I II Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , y  x  3, y  đoạn  2;3 Giải: Hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y  x , y  x  nghiệm x  1 � 2 phương trình : x  x  � x  x   � � x3 � Ta có hình vẽ minh họa sau: Nhìn vào đồ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích chia làm hai phần : Phần 1: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , đường thẳng y  x  đường thẳng x=-2,x=-1 12 Phần 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x , đường thẳng y  x  đường thẳng x  2, x  Dựa vào đồ thị ta thấy : Trên đoạn  2; 1 x �2 x  , đoạn  1; 3 x  �x Vậy nên diện tích cần tính : 1 1 3 x3 x3 S� [ x  ( x  3)]d x  � [2 x   x ]d x  (  x  3x )  ( x  3x  )  3 1 2 1 2 Dạng Bài toán diện tích hình phẳng có liên qua đến hàm hợp Để giải toán dạng ta cần số kỹ f�  x  dx  f  x   C *) � b *) f  u  x   u�  x  dx , đặt t  u  x  � a Bài Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm �, đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ Biết diện tích hình phẳng phần sọc kẻ Tính giá trị biểu thức: T � f� f� f  x   dx  x  1 dx  �  x  1 dx  � Giải *) Diện tích phần kẻ sọc là: S  Vì f  x  �0 x � 2; 0 �  �f  x  dx  2 0 2 2 2 �  f  x � dx � � f  x  dx  3 �f  x  dx  � � � f  x   dx *) Tính I  � Đặt t  x  � dt  2dx ; x  � t  2 ; x  � t  0 1 f  t  dt  � f  x  dx   Suy ra: I  � 2 2 2 f� f� f  x   dx  x  1 dx  �  x  1 dx  � *) Vậy T  � 13 3    1   2 Nhận xét Trên số toán tính diện tích hình phẳng dạng khác dạng có cách giải khác Tuy nhiên phương pháp sử dụng đồ thị tốn rõ ràng , dễ hiểu trực quan hơn, nhiều tốn khó giải dễ dàng Dạng Ứng dụng diện tích hình phẳng để giải số toán đại số Sử dụng kết dạng vào toán đại số so sánh giá trị hàm số, min, max…  x  hình bên Đặt Bài 10 Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f �  f  x  1  f  x  1  I  f  3  f    f    f  1  g  x   f  x    x  1 Mệnh đề đúng? x 1 �  x  f �  x    x  1 ; g �  x  � f �  x  x 1 � � Giải Ta có g � x  � � Bảng biến thiên Suy g  3  g  1 g  3  g  1 (1) 14 Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  f '( x ), y  x  1, x  3, x  Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x  1, y  f '( x ), x  1, x  Dựa vào hình vẽ, ta thấy: S1  S  Suy ra: S1  S2  3 1 3 � � �� dx  � dx   x    x  1 �  x  1  f �  x � �f � � � � � � �� dx  � dx   x    x  1 �  x    x  1 � �f � � �f � � � �� dx   x    x  1 � �f � � 3 3 3 3 � g� dx  (2)  x  dx  �  x    x  1 � Khi đó: g  3  g  3   � �f � � Từ (1) (2) suy ra: g  1  g  3  g  3  x  hình vẽ bên Đặt Bài 11 Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f � M  max f  x  , m  f  x  Khi tính T  M  m  2; 6  2; 6 (Trích đề thi thử THPT quốc gia 2018 sở GD&ĐT Thanh Hóa ) Giải Gọi S1 , S2 , S3 , S4 diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f�  x  với trục hoành 15 Quan sát hình vẽ, ta có  2 f�  x  dx �f � x  dx  � � f  x 2  f  x � f    f  2   f    f   � f  2   f   f� f� �  x  dx  �  x  dx � f  x   f  x  � f    f  2  f  5  f    f� f�  x  dx  �  x  dx � � f  x  f  x 5 � f  5  f    f  5  f   � f    f   Ta có bảng biến thiên f  x   f   x  Dựa vào bảng biến thiên ta có M  max  2; 6 Khi T  f    f  2  Dạng Một số tốn thực tế Bài 12 Có người cần làm cổng cổ xưa có hình dạng parabol bạc hai(như hình vẽ 1) ,biết chiều rộng chân cánh cử 4m, chiều cao 4m Hỏi diện tích cánh cửa bao nhiêu?(Theo đề thi thử trường THPT Tĩnh gia I) Hình Hình Giải Gắn cánh cửa vào hệ tọa độ Oxy cho gốc tọa độ O trùng với điểm chân cánh cửa (như hình vẽ 2) 16 Khi cánh cửa parabol có đỉnh I  0;  cắt trục Ox hai điểm có hồnh độ x  2 x  Ta có phương trình parabol là: y   x  Diện tích cánh cửa : 2  x3 32 S� (  x  )d x  (  x )  ( m2 ) 3 2 2 Bài 13 Một công ty quảng cáo X muốn làm tranh trang trí hình MNEIF(Như hình vẽ ) tường hình chữ nhật ABCD có chiều cao BC=6m, chiều dài CD=12m Cho biết MNEF hình chữ nhật có MN=4m, cung EIF có dạng phần cung parabolcó đỉnh I trung điểm cạnh AB qua điểm C, D Kinh phí làm tranh 900.000đồng/m Hỏi công ty X cần tiền để làm tranh ?(Trích đề khảo sát chất lượng lớp 12 SGD&ĐT Thanh hóa năm 2017) Giải Gắn hệ trục tọa độ Oxy cho : O trùng với trung điểm MN ON trùng với trục Ox OI trùng với trục Oy Theo ta có : I  0;  , N  2;  , C  6;  1 Khi ta có phương trình parabol : y  x  6 Ta có hình vẽ sau: 17 Dựa vào hình vẽ ta có diện tích tranh là: 2 1 1 208 S  2� ( x  )d x  ( x  x )  (m ) 18 0 Vậy số tiền cần làm nên tranh là: T=900.000.S=20.800.000(đồng) Bài 14 Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m, Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng /1m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó?(Số tiền làm trịn đến hàng nghìn)( Theo đề thi thử BGD &ĐT) Giải Chọn hệ trục tọa độ O xy để gắn mảnh vườn cho gốc tọa O trùng với tâm elip, trục Ox trùng với trục lớn elip, trục Oy trùng với trục bé elip x2 y2   � y  � 64  x Khi ta có phương trình elip là: 64 25 Ta có đồ thị sau: Dựa vào đồ thị ta có phần đất ơng An trồng hoa có diện tích là: 4 5 S  � 64  x d x  �64  x d x 20 Đặt x  8.sint    sin2t 40 � S  160 � cos 2td t  80 � (1  cos2t )dt  80 (t  )   20 (m ) 0 Vậy chi phí để ông An trồng hoa là: T=S �100.000= 40 (  20 ) �100.000 �7.653.000 (đồng) 2.5 Một số tập áp dụng Bài 1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) hàm số 18 y  x3  x  , trục hoành Ox đường thẳng x  1; x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  2 x  , trục hoành Ox, trục tung Oy đường thẳng x  2 x  Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  , trục x 1 hoành đường thẳng x  1; x  Bài Tính diện tích hình phẳng sau giới hạn đồ thị hàm số x 1 y , đường thẳng y  2, y  2 x  x2 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x3  3x  3x  ; y  tiếp tuyến đường cong điểm có hồnh độ x  x  Bài Tính diện tích hình phẳng sau giới hạn đường y  2x  , y  đường thẳng (d) qua hai điểm  2;  ,  0;  Bài Ông B có khu vườn giới hạn parabol y  x đường thẳng y  25 Ông B dự định dùng mảnh vườn nhỏ chia từ khu vườn đường thẳng qua O điểm M parabol để trồng lồi hoa Hãy giúp ơng B xác định vị trí điểm M để diện tích mảnh vườn trông hoa (đvdt) (Theo đề thi thử THPT quốc gia 2017 trường chuyên đại học Vinh) Bài Cho  H  hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  trục hồnh Tính diện tích  H  Bài Cho hàm số f  x  xác định liên tục đoạn  5;3 có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng  A  ,  B  ,  C  ,  D  giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  trục hoành 6; 3; 12; Tính tích phân f  x  1  1� dx �� � � 3 2 Bài 10 Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e ��) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 2 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho Bài 11 Đặt S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x , trục hoành đường thẳng x  2 , x  m ,  2  m   Tìm số giá trị 25 tham số m để S  Bài 12 Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40cm Người thiết kế sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (được tơ mầu sẫm hình vẽ bên) Tính diện tích cánh hoa viên gạch Qua q trình giảng dạy thời gian vừa qua tơi nhận thấy , tài liệu giúp thu nhiều kết khả quan Học sinh khắc phục “sai lầm” khó khăn gặp tốn tính diện tích hình phẳng chương trình giải tích 12 Thuận lợi cho việc tăng cường tính trực quan, đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học Từ em học sinh có hứng thú học tốt vấn đề 2.6 HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI : Qua qúa trình giảng dạy tự chọn ơn luyện cho lớp có trình độ tương đương vào buổi chiều để so sánh thấy kết thực nghiệm tốt nhiều so với lớp đối chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên, học sinh yếu, trung bình giảm xuống Kếtquả Giỏi Khá Trung bình Yếu Lớp Đối chứng 25 Thực nghiệm 20 12 III KẾT LUẬN , KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Việc giảng dạy cho học sinh theo hướng phát yếu tố toán để làm cho toán đơn giản cách cho học sinh hiểu rõ, hiểu sâu sắc phương 20 pháp giải dạng toán tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh chủ động tư duy, tìm tịi ứng dụng sáng tạo q trình giải tốn Đồng thời giúp học sinh có mối liên hệ qua lại dạng tốn có liên quan Qua kinh nghiệm nhỏ muốn vận dụng phương pháp vào trình giảng dạy đặc biệt ơn luyện cho học sinh lớp 12 có kiến thức giải phần ứng dụng tích phân vào việc tính diện tích hình phẳng, Giúp học sinh tự tin vững vàng ôn thi THPT quốc gia chuyên đề 3.2.KIẾN NGHỊ Với đề tài triển khai trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN lớp ban Cơ học theo khối mang lại hiệu tốt Vì tơi hy vọng đề tài đóng góp vào việc giải toán nêu đồng nghiệp khai thác mở rộng nữa, tài liệu tham khảo cho em học sinh lớp 12 trình học tập ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia hàng năm Mặc dù cố gắng biên soạn chuyên đề khơng thể tránh khỏi thiếu sót hạn chế mong góp ý quý bạn đọc thầy, giáo để chun đề hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 14 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Bùi Anh Tuấn 21 ... Trên số tốn tính diện tích hình phẳng dạng khác dạng có cách giải khác Tuy nhiên phương pháp sử dụng đồ thị toán rõ ràng , dễ hiểu trực quan hơn, nhiều tốn khó giải dễ dàng Dạng Ứng dụng diện tích. .. giáo khoa giải tích 12 –CB) Muốn tính diện tích S cần khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức cần tính tích phân Cách khử áp dụng cách mục I Một số tập vận dụng Bài Tính diện tích hình phẳng giới... 128 Dạng 3: Hình phẳng giới hạn bới ba đồ thị hàm số Để tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trở lên bắt buộc ta phải vẽ hình để xác định hình phẳng chia nhỏ hình phẳng thành hình phẳng