SKKN một số phương pháp giải bài toán nguyên hàm dạng trắc nghiệm thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN NGUYÊN HÀM DẠNG TRẮC NGHIỆM THƯỜNG GẶP TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT Người thực hiện: Lưu Thị Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HỐ, NĂM 2021 MỤC LỤC Mở đầu…………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu….………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………………… 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm………………………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm…… 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Sử dụng nguyên hàm bản…………………………………… 2.3.2 Xác định nguyên hàm phương pháp đổi biến số………… 2.3.3 Tính nguyên hàm phương pháp phần ………………11 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………………16 Kết luận kiến nghị……………………………………………… 18 3.1 Kết luận…………………………………………………………… 18 3.2 Kiến nghị………………………………………………………… 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Đổi thi toán tự luận sang trắc nghiệm nảy sinh nhiều vấn đề Đặc biệt phần lớn học sinh sử dụng máy tính giải tốn trắc nghiệm ngun hàm, tích phân Qua q trình giảng dạy trường THPT tơi nhận thấy học sinh nhiều kiến thức chủ quan không học kĩ số phần luyện thi tốt nghiệp, đặc biệt phần nguyên hàm, tích phân Vì muốn học sinh rèn luyện tư sáng tạo việc học giải toán trắc nghiệm địi hỏi người thầy cần phải tìm tịi nghiên cứu tìm nhiều dạng tốn đáp ứng với xu cách giải qua toán để từ rèn luyện cho học sinh lực hoạt động, tư sáng tạo, phát triển tốn đề xuất tự làm toán tương tự nghiên cứu, bồi dưỡng Để giúp học sinh giải số toán nguyên hàm kỳ thi, đặc biệt kỳ thi tốt nghiệpTHPT, để học sinh giải nhanh toán trắc nghiệm với thời gian ngắn mà không đơn dùng máy tính Casio mà phải sử dụng kiến thức cách hợp lí, sử dụng cách linh hoạt phương pháp giải nguyên hàm cách nhanh Muốn phải bồi dưỡng lực tư độc lập, tư tích cực tư sáng tạo học sinh kỹ thuật tính nhanh, trước tiên phải trang bị cho em kiến thức phổ thông vững chắc, khả giải dạng tập Người giáo viên phải vận dụng phương pháp khác nhau, hướng em vào mơi trường hoạt động tích cực, xem học tập trình tự khám phá liên tục Học tập phải thực nhu cầu, mang đậm tính tự giác, chủ động sáng tạo học sinh Học sinh cần xem xét tốn nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên tưởng, kết nối giả thiết yêu cầu toán, toán chưa biết cách giải với toán quen thuộc biết cách giải, biết phân tích, tổng hợp, so sánh, trường hợp riêng lẻ để giải toán nhanh Với chút hiểu biết nhỏ bé niềm say mê tốn học tơi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giải toán nguyên hàm, dạng trắc nghiệm thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT” mong muốn chia sẻ, trao đổi kinh nghiệm làm toán, học toán dạy toán với bạn bè tỉnh Hy vọng đề tài giúp ích phần nhỏ bé cho quý thầy cô em học sinh công tác giảng dạy học tập 1.2 Mục đích nghiên cứu Nhằm nâng cao nghiệp vụ chuyên môn, rút kinh nghiệm trình giảng dạy, phát triển tư linh hoạt, sáng tạo học sinh học Toán Từ thực tiễn kiến thức nguyên hàm, tích phân phong phú đa dạng, dạng tốn mà ta hay sử dụng vào thực tế như: Tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay Thời lượng phân phối chương trình ỏi Vì mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đích giúp học sinh giải cách nhanh gọn số tập nguyên hàm, tích phân Giúp em đạt hiệu cao kỳ thi, đặc biệt kỳ thi tốt nghiệp THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu Cách giải số dạng nguyên hàm Nghiên cứu phương pháp giải toán thi tốt nghiệp TPHT theo nhiều cách 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn tốn hay, độc đáo, có phương pháp giải sau phân tích, so sánh, khái qt hóa, đặc biệt hóa để làm bật phương pháp rút kết luận Trong chương trình giải tích 12, kiến thức nguyên hàm chiếm phần quan trọng Tuy nhiên tốn ngun hàm tích phân chưa nhiều dừng lại toán đơn giản, chưa có nhiều phương nhiều phương pháp kỹ thuật giải dạng cho học sinh Học sinh giải toán theo hướng định Do tốn ngun hàm chưa khai thác hết cách giải Qua trình giảng dạy học tập, tìm hiểu sách đặc biệt mạng internet nhận thấy việc dạy cho học sinh định hướng giải cách nhanh toán cần thiết để phù hợp với việc giải toán cho kỳ thi đặc biệt kỳ thi tốt nghiệp THPT cấp bách Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Dựa vào định nghĩa nguyên hàm, tính chất nguyên hàm, phương pháp tính nguyên hàm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy dự đồng nghiệp, nhận thấy nhiều học sinh không quan tâm đến kiến thức mà quan tâm đến việc sử dụng máy tính để bấm kết tốn ngun hàm, tích phân Qua kiểm tra lớp học, cho học sinh làm số tập nguyên hàm mà học sinh không bấm máy tính kết học sinh làm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Qua q trình giảng dạy, tơi khơng ngừng tự tìm tịi, sáng tạo tốn khơng sử dụng máy tính Mục đích làm cho học sinh thấy cần thiết việc học kiến thức bản, làm dạng tốn ngun hàm Ngồi ra, tơi rút kinh nghiệm đề thi mẫu giáo dục, đồng nghiệp quan để đưa dạng toán phù hợp, nằm mẫu đề thi Cách thức thực hiện: - Hình thức luyện tập lớp có hướng dẫn Thầy giáo +) Thực phạm vi số buổi chữa tập buổi học khố với tập mức độ vừa phải Thầy giáo đưa phương pháp giải hệ thống tập, học sinh nêu lời giải có tốn Sau cho học sinh tìm tịi, phát số vấn đề xung quanh toán mức độ đơn giản +)Thực số buổi bồi dưỡng học sinh mức độ toán cao - Hình thức tự nghiên cứu tốn có hướng dẫn thầy giáo Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, sáng tạo học sinh ngày tăng lên 2.3.1 Sử dụng nguyên hàm Bảng nguyên hàm số hàm thường gặp (với C hằng s y) ũ 0dx = C ắắđ òkdx = kx +C xn+1 ò x dx = n + +C  dx = ln x +C ò x  (ax + b)n +1 ò(ax + b) dx = a n + +C ắắđ 1 dx = - +C ò x  x 1 d x = × +C ị (ax + b)2 a ax + b ắắđ sin xdx = ũ ắắđ n cosx +C ắắđ ũ ax +b dx = a ln ax + b +C ò sin(ax + b)dx = - ò cosxdx = sinx +C dx = ò sin x  n cot x + C dx = tan x +C ò  cos x cos(ax + b) +C a ắắđ ũ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) +C a ắắđ dx ũ sin (ax + b) = cot(ax + b) +C a dx = ò cos2(ax +b) a tan(ax + b) +C ắắđ ax+b ax+b e d x = e +C a ắắđ ũ ax aax+b x ax +b a d x = + C a d x = +C ò ò ln a ắắđ a ln a Nhn xột Khi thay x bằng (ax + b) lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm e dx = e ò x x +C × a Một số nguyên tắc tính PP g Tích đa thức hoc ly tha ắắ ắ đ khai trin PP g Tớch cỏc ham m ắắ ắ đ khai trin theo cơng thức mũ Þ g Bậc chẵn sin và cosin 1 1 sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a 2 2 PP g Chứa tích thức x ¾¾ ¾ ® chuyển lũy thừa Ví dụ Cho ∫ f ( x)dx = ln x + + ln x + + C Tìm ∫ f (2 x + 1)dx Hạ bậc: A ln x + 10 x + ln x + 10 x + + C B ln x + 10 x + +C ln x + 10 x + +C +C C D Hướng dẫn: Đối với tốn này, học sinh buộc phải tìm lời giải kiến thức Khơng sử dụng máy tính để dò kết 1 f ( x) = (ln x + + ln x + + C )' = + x + x + Từ Cách 1: Ta có: ln x + 10 x + 1 f (2 x + 1) = + f (2 x + 1)dx = +C x + 2 x + ∫ Đáp án B Cách 2: Chuyển x = 2t + Ví dụ Cho hàm số f ( x) = a cos x có nguyên hàm F ( x) Tìm a biết π π + 18 F (0) = 2; F ( ) = A B C D Hướng dẫn: sin x x+ π π + 18 +C F (0) = 2; F ( ) = F ( x) = a Ta có Thay C =  π ⇒ a =1  + π + 18 a +C = Ta hệ:  Đáp án A x 2 Ví dụ Cho F ( x) = e (a.tan x + b.tan x + c) nguyên hàm hàm số π π (− ; ) x f ( x) = e tan x 2 Tìm a + b + c A Hướng dẫn: Ta có: B 1− 2 C 1+ 2 F '( x) = 2.e x (a.tan x + b tan x + c) + e x (2a − D 1 tan x + b ) cos x cos2 x = e x [ 2a.tan x + 2.b.tan x + 2c + 2a(1 + tan x).tan x + b(1 + tan x)] = e x [2a.tan x+( 2a+b).tan x+( 2b+2a) tan x + b + 2c]  a =   −  ⇒ b = 2a =    2a + b =  c=   ⇒ a + b + c = − 2 Đáp án B Vậy ta có hệ: b + 2c =  Ví dụ Xét mệnh đề sau: x x f ( x ) = (sin − cos ) 2 (I) F ( x) = x + cos x nguyên hàm x4 f ( x) = x + F ( x) = +6 x x (II) nguyên hàm hàm số (III) F ( x) = tan x nguyên hàm hàm số f ( x) = − ln cos x Mệnh đề sai? A (I) (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D (I) (III) Hướng dẫn: Đây toán học sinh phải nắm công thức xử lý nhanh x x ( x + cos x)' = − sin x = (sin − cos ) 2 (I) x ( + x )' = x + x (II) (tan x)' = ≠ − ln cos x cos x (III) sai Đáp án C Ví dụ Hàm số f ( x ) = ( 2x + 1) có nguyên hàm dạng F ( −1) = F ( x ) = ax + bx + cx + d Khi đó, a + b + c + d thỏa mãn điều kiện bằng: A B C D Hướng dẫn: Do F(x) nguyên hàm f(x) nên ta có:  a =  b =  3ax + 2bx + c = x + x + c =    − a + b − c + d = d =   Đồng hệ số ta được:  Vậy a + b + c + d = Đáp án D f '(1) = 2; ∫ f ( x)dx = a , b ∈ R f ( x ) = a sin π x + b Ví dụ Cho để thỏa mãn: a − b Tìm 2 a −b = 2− a −b = 2+ π π A B −2 − 2π −π a−b= a −b = π π C D Hướng dẫn: aπ cos π = −2  2 a = ⇒  π (a sin π x + b)dx =  ∫  b = Ta có f '( x ) = aπ cos π x Theo giả thiết:  −2 − 2π a −b = π Vậy Đáp án C 2017 Ví dụ Cho hàm F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = (2 x + 1) F (0) = 4037 4036 Tìm F (1) Biết 32016 + 2018 4036 A 32018 + 4036 4036 C 32017 + 4036 4036 B 32019 + 2018 4036 D Hướng dẫn: (2 x + 1)2018 32018 + 4036 4037 F ( x) = +C F (1) = F (0) = ⇒ C =1 4036 4036 4036 Do Vậy đáp án C Ví dụ Cho hàm f ( x); g ( x) xác định liên tục ¡ Hỏi khẳng định sau sai ? [f (x) + g(x)]dx = ∫ f (x)dx + ∫ g(x)dx A ∫ [f (x).g(x)]dx = ∫ f (x)dx.∫ g(x)dx B ∫ [f (x) − g(x)]dx = ∫ f (x)dx − ∫ g(x)dx C ∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx D ∫ Hướng dẫn: Đây dạng toán tương đối dễ học sinh nắm công thức Đáp án B Ví dụ Cho f g hai hàm số theo x Biết ∀x ∈ [a; b]; f '( x) = g '( x) Trong mệnh đề: (I) ∀x ∈ [a; b]; f ( x) = g ( x) b (II) b ∫ f ( x)dx = ∫ g ( x)dx (III) ∀x ∈ [a; b]; f (b) − f (a) = g (b) − g (a ) Mệnh đề A (I) B (II) C (III) D Khơng có mệnh đề Hướng dẫn: Mệnh đề (I) (II) sai Có thể cách cho ví dụ cụ thể: f ( x) = x + 2; g ( x) = x + a a b b ∫ f '( x)dx = ∫ g '( x)dx ⇔ f (b) − f (a) = g (b) − g (a ) a Mệnh đề (III) a Đáp án C 2.3.2 Xác định nguyên hàm phương pháp đổi biến số Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm dựa vào định lí sau Định lý : a Nếu ∫f(x)dx = F(x) + C u = ϕ(x) hàm số có đạo hàm thì: ∫f(u)du = F(u) + C b Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = ϕ(t) ϕ(t) với đạo hàm ϕ’(t) hàm số liên tục, ta được: ∫f(x)dx = ∫f[ϕ(t)].ϕ’(t)dt Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: 10 Dấu hiệu Cách chọn a2 − x2  π  −π  x = a sin t ,  ≤ t ≤      x = a cos t , ( ≤ t ≤ π ) x2 − a2  a − π π  ,t ∈ , , t ≠ x = sin t  2   a π x = , t ∈ [ 0, π ], t ≠ cos t  x = a cos 2t a+x a−x , a−x a+x ( x − a )( b − x ) x= a + (b – a)sin2t Hàm có mẫu số Hàm f(x, ) t mẫu số t= f (x) Hàm f(x) = f (x) t= ( x + a )( x + b ) Hàm f(x) = f(lnnx; x ) x+a + x+b t = lnx 2017 Ví dụ Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = x( x + 1) Biết F (−1) = Tìm F (0) 12223025 A 4074324 12223052 B 4074324 12223025 C 4074342 12223052 D 4074342 Hướng dẫn: Đặt x + = t ta có ∫ f ( x)dx = ∫ (t − 1)t 2017 t 2019 t 2018 ( x + 1)2019 ( x + 1)2018 dt = − +C = − +C 2019 2018 2019 2018 Do F (−1) = nên C = 12223025 F (0) = 4074342 Đáp án C Từ Nhận xét: Thường máy tính khơng tính mũ cao Vì giáo viên nên đưa thêm có số mũ lớn vào để tránh việc học sinh dùng máy tính để dị kết x −1 f ( x) = x − x ln x Ví dụ Cho F ( x) nguyên hàm hàm hàm Với C số, tìm đáp án A F (ex) = ln ex + x − ln x + C B F (ex) = ln x + e − x ln ex + C 11 F (ex) = ln ex + x − e ln x + C F ( ex ) = ln ex − − ln x + C C D Hướng dẫn: 1− x −1 t = x − ln x ⇒ dt = (1 − )dx ∫ x − x ln x dx = ∫ x − lnx x dx x Ta có: Đặt x −1 dt F ( x) = ∫ dx = ∫ = ln t + C = ln x − ln x + C x − x ln x t Vậy Từ F (ex) = ln ex − ln(ex) + C = ln ex − − ln x + C Đáp án C ∫ Ví dụ Cho I = I =∫ dt t ( t − 4) A dx x Đặt e + = t Chọn đáp án I =∫ dt I =∫ dt t (t − 4) t −4 B C D ex + 2t dt t2 − Hướng dẫn: I =∫ e x + = t ⇒ e x = t − ⇒ e x dx = 2tdt ⇒ dx = Vậy I =∫ 2t dt = dt ∫ t t2 − t − Đáp án C 2t dt t2 − Ví dụ Cho F (x) nguyên hàm hàm số e + thỏa mãn F ( ) = − ln F ( x ) + ln ( e x + 1) = Tìm tập nghiệm S phương trình A S = { −3} B S = { ±3} C S = { 3} D S = ∅ Hướng dẫn: Đặt: dt dt 1 t −1 e x + = t ⇒ dt = e x dx ⇒ dx = ⇒ F ( x) = ∫ = ∫( − )dt = ln +C t −1 t (t − 1) t −1 t t ex F ( x ) = ln x +C e +1 Vậy mà F (0) = − ln ⇒ C = x x Từ phương trình F ( x ) + ln(e + 1) = có nghiệm x = Đáp án C + ln x f ( x) = x Ví dụ Cho F ( x) nguyên hàm hàm số Biết F (e) = Tìm F (1) + 2.F (e ) 27 A 57 B 53 C 12 27 D Hướng dẫn: t4 ln x t = ln x ⇒ dt = dx F ( x) = ∫ (1 + t ) dt = t + + C = ln x + +C x 4 Đặt 57 F ( e) = ⇒ + + C = ⇒ C = F (1) + 2.F (e ) = 4 Vậy Mặt khác Đáp án B F ( x) = ∫ ( x + 1) x + 1dx Ví dụ Cho Với C số, tìm F ( x − 1) 2x 4x − +4 x +C A 2x 4x − +4 x +C C Hướng dẫn: x 4x 4x − + +C B 7 2x 4x 4x − + +C D x = t − ⇒ dx = 2tdt ⇒ F ( x) = t7 t5 t3 −4 +4 +C x + = t ta có ( x + 1)7 ( x + 1)5 ( x + 1)3 F ( x) = −4 +4 +C Vậy x x x ( x )7 ( x )5 ( x )3 F ( x − 1) = −4 +4 +C =2 −4 +4 +C 7 Từ Đáp án D 2.3.3 Tính nguyên hàm phương pháp phần 1) Công thức nguyên hàm phần du = f ′( x)dx u = f ( x) ⇒  dv = g ( x)dx v = ∫ g ( x )dx = G ( x) (C = 0) u.dv =u.v − ∫ v.du Khi ta có ∫ hay ∫ f ( x) g ( x)dx = f ( x)G ( x) − ∫ G ( x) f ′( x)dx Đặt 2) Cơng thức tích phân phần b Khi ta có b ∫ a ∫ u.dv = ( u.v ) a du = f ′( x)dx u = f ( x) ⇒  dv = g ( x)dx v = ∫ g ( x)dx = G ( x) (C = 0) b a b − ∫ v.du a b hay b f ( x ) g ( x )dx = [ f ( x )G ( x) ] − ∫ G ( x ) f ′( x )dx a a 3) Công thức đạo hàm hàm số sơ cấp hàm hợp 13 ′ x ) =αx (  ′ u ) = nu (  ′ ′ ′  ( uv ) = u v + uv x ′ x sin u ) ′ = u′ cos u ( cos u ) ′ = −u′ sin u ( e ) = e (    α  ( eu ) ′ = e u u ′ Hàm số α −1  n ( ln x ) ′ = F ( x) u′ n −1 x nguyên hàm hàm số f ( x) F′( x) = f ( x) xα +1 u ( x ) v′ ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) u′ ( x ) dx ∫ x dx = α + + C ∫   , với α ≠ −1 dx = ln x + C e x dx = e x + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ ∫ x    α cos xdx = sin x + C ∫ 4) Chúng ta cần ý, sử dụng phương pháp phần để tính nguyên hàm cần tuân thủ nguyên tắc sau: - Lựa chọn phép đặt dv cho v xác định cách dễ dàng - Nguyên hàm ∫vdu xác định cách dễ dàng so với I Ta dùng P(x) đa thức - Khi gặp nguyên hàm có dạng: ∫P(x)axdx, ∫P(x)sinxdx, ∫P(x)cosxdx nên dùng nguyên hàm phần để tính với cách đặt: u = P(x) - Khi gặp tích phân có dạng ∫P(x)logaxdx nên dùng nguyên hàm phần để tính với cách đặt: u = P(x) - Khi gặp nguyên hàm dạng ∫eaxsinbxdx, ∫eaxcosbxbx nên dùng nguyên hàm phần hai lần để tính với cách đặt: u = eax Sau ví dụ nhằm minh hoạ cho tính phổ biến tiện lợi phương pháp này: Ví dụ1 : Tính : I = ∫ x ln( x + x + 1) x2 +1 dx Hướng dẫn: Ta viết lại I dạng: I = ∫ ln( x + 14 x + 1) x x2 +1 dx Đặt: ( ) x  1+ u = ln x + x +  x + dx =  du = ⇒  x x + x2 +1 dx dv =  x +1  v = x +  dx x2 +1 Đặc biệt: Khi tốn thi trắc nghiệm Ví dụ : Gọi F(x) = ( ax3 + bx2 +cx + d )ex nguyên hàm hàm số f(x) = ( 2x3 + 9x2 - 2x + )ex Tính a2 + b2 +c2 +d2 A 244 B 247 C 245 D 246 - Như gặp dạng nguyên hàm ta tính nào? - Cũng dùng nguyên hàm phần để tính nhanh ta làm sau : F(x) = f(x)ex - f’(x)ex + f”(x)ex - f’’’(x)ex sau ta cộng tổng bình phương hệ số chọn đáp án Nhận xét: Nếu ta dùng tích phân phần rắc rối dài dịng dẫn đến thời gian làm lâu, nên trình giảng tơi đưa cách tính nhanh để có kết nhanh q trình làm trắc nghiệm Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Biết cos 2x nguyên hàm x x ′ hàm số f ( x ) e , họ tất nguyên hàm hàm số f ( x ) e là: A − sin x + cos x + C B −2sin x + cos x + C C −2sin x − cos x + C D 2sin x − cos x + C Hướng dẫn: Chọn C f ( x) ex cos 2x Do nguyên hàm hàm số x x ′ nên f ( x ) e = ( cos x ) ⇔ f ( x ) e = −2sin x f ( x ) e x dx = cos x + C ∫ Khi ta có u = f ( x ) du = f ′ ( x ) dx ⇒   x x dv = e dx v = e Đặt f ( x ) e xdx = cos x + C ⇔ ∫ f ( x ) d ( e x ) = cos x + C Khi ∫ ⇔ f ( x ) e x − ∫ f ′ ( x ) e x dx = cos x + C ⇔ ∫ f ′ ( x ) e x dx = −2sin x − cos x + C 15 x ′ Vậy tất nguyên hàm hàm số f ( x ) e −2sin x − cos x + C J = ∫ ( x + 1)e3 xdx Ví dụ 4: Tìm ngun hàm 1 1 J = ( x + 1)e3 x − e3 x + C J = ( x + 1)e3 x − e3 x + C 3 A B 1 J = ( x + 1)e3 x + e3 x + C J = ( x + 1)e3 x − e3 x + C C D Hướng dẫn: Chọn B du = dx u = x +  ⇒  3x  3x dv = e dx v = e  Đặt 1 1 J = ( x + 1)e3 x − ∫ e3 x dx = ( x + 1)e3 x − e3 x + C 3 Khi Ví dụ 5: Kết tính ∫ x ln ( x − 1) dx bằng: ( x + 1) ln ( x − 1) − x2 − x + c A x2 x ln ( x − 1) − − x + c C Hướng dẫn: Chọn D I = ∫ x ln ( x − 1) dx x2 ( x − 1) ln ( x − 1) − + x + c B x2 ( x − 1) ln ( x − 1) − − x + c D  dx u = ln ( x − 1) du = ⇒ x −1  dv = xdx v = x −  Đặt x2 − I = ( x − 1) ln ( x − 1) − ∫ dx x − Khi = ( x − 1) ln ( x − 1) − ∫ ( x + 1) dx x2 = ( x − 1) ln ( x − 1) − − x + c *)Một số toán tương tự Câu Cho F ( x) = ∫ dx x + Tìm F (2 x ) 16 A F (2 x) = arctan(2 x) + C C F (2 x ) = 2arctan(2 x) + C F (2 x) = arctan x + C B D F (2 x ) = arctan( x) + C f ( x) = ln x x Câu Hàm số sau nguyên hàm hàm số x.ln ( x + 1) ln ( x + 1) F( x ) = F( x ) = 4 A B ln x ln x + F( x ) = F( x ) = 2.x C D dx ∫ Câu Nguyên hàm tan x + bằng? x 2x + ln 2sin + cos x + C − ln 2sin x + cos x + C 5 5 A B x x − ln 2sin x + cos x + C + ln 2sin x + cos x + C C 5 D 5 sin 4x dx ∫ Câu Nguyên hàm sin x + cos x bằng? A B C D − 3π  π   cos  3x + ÷− cos  x + ÷ + C  4   −  3π  π  sin  3x + ÷− sin  x + ÷+ C  4   − 3π  π   cos  3x + ÷+ sin  x + ÷+ C  4   − 3π  π   cos  3x + ÷+ cos  x + ÷+ C  4   Câu Nếu f ( x) = (ax + bx + c ) x − nguyên hàm hàm số 10 x − x + g ( x) = ( ; + ∞) 2x − a + b + c có giá trị A B C D 2 Câu Xác định a, b, c cho g ( x) = (ax + bx + c) x − nguyên hàm 20 x − 30 x + ( ; + ∞) 2x − hàm khoảng A a = 4; b = 2; c = B a = 1; b = −2; c = C a = −2; b = 1; c = D a = 4; b = −2; c = 17 Câu Hàm số sau nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + k (k ≠ 0) A C F ( x) = x k x + k + ln x + x + k 2 F ( x) = x x + k + ln x + x + k 2 I=∫ k F ( x) = ln x + x + k B F ( x) = +C x +k D x 3x + 9x − dx Câu Nguyên hàm I = (9x + 1) + x + C 27 A I = (9x − 2) + x + C 27 B 3 1 2 I = (9x − 1) + x + C I = (9x + 2) + x + C 27 27 C D π f ( x ) dx = tan x + C f( ) ∫ Câu Cho Tìm A B C Câu 10 Cho hàm số ( ) thỏa mãn đúng? f x = 3x + 5cosx + A ( ) f x C D f '( x) = 3− 5sin x B f ( x) = 3x − 5cos x + 15 D f ( 0) = 10 Mệnh đề f ( x) = 3x + 5cos x + f ( x) = 3x − 5cos x + x Câu 11 Cho F ( x) nguyên hàm hàm số f (x) = e + 2x thỏa mãn F ( 0) = Tìm F ( x) A C F ( x) = 2ex + x2 − F ( x) = ex + x2 + Câu 12 Biết A F ( x) D nguyên hàm f ( x) = F ( 3) = ln − 1 F ( 3) = C Câu 13 Tìm nguyên hàm π  F  ÷= 2 B F ( x) = ex + x2 + F ( x) = ex + x2 + x − F ( ) = Tính F ( 3) F ( 3) = ln + B F ( x) D hàm số 18 F ( 3) = f ( x ) = sin x + cos x thoả mãn A C F ( x ) = cos x − sin x + B F ( x ) = − cos x + sin x − Câu 14 Cho F ( x) = ( x − 1) ex nguyên hàm hàm số D F ( x ) = − cos x + sin x + nguyên hàm hàm số f ′ ( x) e 2x f ( x) e2x Tìm 2− x ∫ f ′ ( x) e dx = e + C B f ′ x e dx = ( − 2x) e + C D ∫ ( ) f ′ ( x) e2xdx = ( x − 2) ex + C A ∫ f′ x e C ∫ ( ) F ( x ) = − cos x + sin x + 2x dx = ( − x) ex + C 2x 2x x x 2x Câu 15 F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) e thỏa F ( ) = Tính F ( 1) F ( 1) = e2 F ( 1) = 3e 2 A F ( 1) = 2e B C F ( 1) = e D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà Với phương pháp tổ chức cho học sinh tiếp nhận học cách chủ động, tích cực, tất em hứng thú học tập thực hăng hái làm tập giao nhà tương tự Phương pháp dạy học dựa vào nguyên tắc: - Đảm bảo tính khoa học xác - Đảm bảo tính lơgic - Đảm bảo tính sư phạm - Đảm bảo tính hiệu Khi trình bày tơi ý đến phương diện sau: - Phù hợp với trình độ nhận thức học sinh - Phát huy lực tư toán học học sinh Qua thực tế giảng dạy lớp trường THCS THPT Như Xuân, em hào hứng sôi việc đề xuất cách toán Cụ thể kiểm tra khảo sát chất lượng học sinh khối 12 năm học 2020 – 2021 trước sau áp dụng sáng kiến sau: *)Trước giảng dạy: Điểm Điểm từ đến Điểm Năm Tổng trở lên Lớp học số Số Tỷ Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lệ lượng lượng 12C 33 0% 15% 28 85% 2020 -2021 12D 33 0% 18% 27 82% *)Sau giảng dạy: Năm Lớp Tổng học số Điểm trở lên Số Tỷ 19 Điểm từ đến Điểm Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ 2020 -2021 12C 12D 33 33 lượng 1 lệ 4% 4% lượng 20 21 20 60% 64% lượng 12 11 36% 32% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Nếu học sinh biết phương pháp có hiệu thh́ì em tự tin giải toán dạng dạng tương tự Tuy nhiên tốn có nhiều cách giải, phương pháp giải dài phương pháp khác lại có đường lối nhận biết rõ ràng dễ tiếp cận phương pháp khác Hoặc tiền đề cho ta sáng tạo dạng tập khác Từ vấn đề học sinh q phụ thuộc máy tính giải tốn tơi tìm giải pháp để em có nhìn tồn diện vấn đề Đó hay, đẹp toán học, khiến người ta say mê tốn học Tơi thấy phương pháp có hiệu tương đối trình dạy học học sinh THPT đặc biệt đáp ứng nhu cầu cần thiết học sinh kỳ thi, đặc biệt kỳ thi tốt nghiệpTHPT hành Theo tơi dạy phần tốn ngun hàm, tích phân ứng dụng giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt 3.2 Kiến nghị - Tích cực trau dồi chuyên môn nghiệp vụ, trao đổi kinh nghiệm, kiến thức, phương pháp không trường mà mở rộng cụm trường tỉnh tỉnh xung quanh, trao đổi nhiều thu nhiều - Rất mong thầy cô giáo quan tâm, dựa vào trình độ khối lớp để đưa dạng tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho em quen dần với phương pháp này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập - Cần tăng cường buổi thảo luận khoa học để thống cách dạy đưa tài liệu tham khảo XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 – 05 – 2021 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lưu Thị Hương 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa giải tích 12 - Nhà xuất bản giáo dục [2] Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất bản giáo dục [3] Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục [4] Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà x́t bản giáo dục [5] Tài liệu bồi dưỡng giáo viên (mơn Tốn học), Bộ giáo dục và đào tạo, Nxb Giáo dục [6] Đề thi ĐH mơn tốn năm đề thi minh họa năm 2020 GD ĐT 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lưu Thị Hương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS THPT Như Xuân TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh Kết Năm học giá xếp loại đánh giá đánh giá xếp xếp loại C loại 2015-2016 C 2016 - 2017 Rèn luyện kĩ tư Tỉnh sáng tạo cho học sinh sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải hệ phương trình Rèn luyện kĩ tư Tỉnh sáng tạo cho học sinh THPT thông qua việc xây dựng số tốn tính ngun hàm khơng sử dụng máy tính cầm tay 23 ... để giải toán nhanh Với chút hiểu biết nhỏ bé niềm say mê tốn học viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Một số phương pháp giải toán nguyên hàm, dạng trắc nghiệm thường gặp đề thi tốt nghiệp THPT? ??... kinh nghiệm với mục đích giúp học sinh giải cách nhanh gọn số tập nguyên hàm, tích phân Giúp em đạt hiệu cao kỳ thi, đặc biệt kỳ thi tốt nghiệp THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu Cách giải số dạng nguyên. .. Cách giải số dạng nguyên hàm Nghiên cứu phương pháp giải toán thi tốt nghiệp TPHT theo nhiều cách 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, tác giả sử dụng chủ yếu phương pháp thống kê, lựa chọn