Sáng kiến kinh nghiệm SKKN một số phương pháp giải bài toán tìm số phức có mô đun lớn nhất, nhỏ nhất

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔ ĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT" A.ĐẶT VẤN ĐỀ I LỜI NÓI ĐẦU Số phức đưa vào giảng dạy bậc phổ thông nhiều nước giới, lại nội dung với học sinh trung học phổ thông Việt Nam, thực gây không khó khăn nguồn tài liệu tham khảo hạn chế Bên cạnh toán số phức năm gần thiếu đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Đại học, Cao đẳng Đặc biệt việc giải toán “Tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức” toán khó học sinh Các em cần nắm kiến thức số phức: phần thực, phần ảo, môđun số phức, phép toán số phức kết hợp với kiến thức phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, em giải tốt toán trên.Vấn đề thông qua toán học sinh biết khai thác kiến thức toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, toán cực trị hình học, để từ giải toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ thoả mãn điều kiện cho trước” Trên sở em phát huy sức sáng tạo tư logíc Riêng thân, mối tiết dạy, dạy trăn trở tìm phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới đối tượng học sinh, tìm cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức cách thụ động Đồng thời nâng cao trình độ tư sức sáng tạo học sinh Chính mà chọn đề tài “Một số phương pháp giải toán tím số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất” để viết sáng kiến kinh nghiệm II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Thực trạng: Số phức vấn đề hoàn toàn khó học sinh bậc trung học phổ thông Vì đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có tài liệu số phức để học sinh giáo viên tham khảo Bên cạnh đó, lượng tập dạng tập số phức Sách giáo khoa nhiều hạn chế Chính mà việc giảng dạy học tập giáo viên học sinh gặp khó khăn Bài toán tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ có quan hệ mật thiết vơi Trong trình giảng dạy phần nội dung nhận thấy số học sinh chưa giải toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức tập hợp điểm cần tìm thông thường đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol, Nhiều học sinh lại gặp nhiều khó khăn giải toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhât Để làm tốt toán trước hết học sinh phải tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức sau áp dụng kiến thức bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích mặt phẳng: đường thẳng, đường tròn, Elíp, để tù tìm môđun số phức lớn nhất, nhỏ Kết quả, hiệu thực trạng: Kết toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thông thường là: đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hypebol, đường Parabol, nên giảng dạy cho học sinh toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ giáo viên biết khai thác kết hợp với kiến thức bất đẳng thưc, đạo hàm, lượng giác, hình học giải tich mặt phẳng, tạo nhiều cách giải khác cho toán Cụ thể đề tài hướng dẫn học sinh tư giải toán theo nhiều cách giải khác nhau: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn có cách giải; tập hợp điểm biểu diễn z đường thẳng có cách giải; tập hợp điểm bểu diễn số phức z Elíp có cách giải B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Kiến thức số phức: Một số phức biểu thức có dạng mãn i  1 x  yi , Ký hiệu số phức z viết x, y số thực số i thoả z  x  yi i gọi đơn vị ảo x gọi phần thực y gọi phần ảo số phức z = x +yi Tập hợp số phức ký hiệu C Hai số phức Cho z = x + yi z’ = x’ + y’i z = z’   x  x '   y  y ' Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(x;y) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(x;y) biểu diễn số phức z = x +ybi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z  z '  (a  a ')  (b  b ')i   z  z '  (a  a ')  (b  b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz '  aa ' bb ' (ab ' a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a  bi = a - bi *) Tính chất số phức liên hợp: (1): zz (2): z  z '  z  z ' (3): z z '  z z ' (4): z z = a  b2 (z = a + bi ) Môđun số phức Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực không âm xác định sau: - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, - Nếu z = a + bi, z = z.z = z = OM = a  b2 a  b2 Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số z-1= Thương 1 z z a b z z' z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z' z '.z  z.z 1  z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường II.Một số kiến thức áp dụng Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với số thực Với số thực a, b, c, d ta có: ab  cd 2  a  c b  d  Dấu đẳng thức xảy ad=bc Định lý dấu tam thức bậc hai Sự đồng biến nghịch biến hàm số, bảng biến thiên 4.Giao điểm đường thẳng đường thẳng, đường thẳng đường tròn Tính chất hàm số lượng giác III Tập hợp điểm biểu diễn số phức thƣờng gặp Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0 Phương trình đường tròn: x  a2   y  b2  R Phương trình đường Elíp: x2 y2   a2 b2 IV Các phƣơng pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ Tìm số phức z có môđun lớn (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trƣớc Phương pháp chung: Bước Tìm tập hợp (G) điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện Bước 2.Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M (G) cho khoảng cách OM có giá trị lớn (hoạc nhỏ nhất) Dạng 1: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đƣờng tròn (5 cách giải) Ví dụ 1: Trong số phức z thoả mãn điều kiên sau Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ z   4i  z 2i  z 1 i z   2i 1 z   5i  z   3i Lời giải Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi Khi đó: z   4i   ( x  2)  ( y  4)i   ( x  2)  ( y  4)   ( x  2)  ( y  4)  (1) Suy tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z đường tròn tâm I(2;4), bán kính R z  OM  x  y  ( x  2)2  ( y  4)2  x  y  20  x  y  15  ( x  2)  2( y  4)   25 (2) Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: ( x  2)  2( y  4)  (12  22 ) ( x  2)  ( y  4)    5  ( x  2)  4( y  4)  Từ (2), (3) ta suy ra:  z 3 (3) Vậy: x  z     z   2i y  x  z max     z   6i y  Cách giải 2: (định lý dấu tam thức bậc 2) Đặt t  x2  y2 Do x  22   y  42   x  y  15  4( x  y) Ta có x  y  5x  y   5.t , Suy Vậy t  15  5t   t  x  z     z   2i y  x  z max     z   6i y  Cách giải 3: ( Phương pháp lượng giác hóa) Đặt x   sin t, y   cost Tacó :  x  y   sin t   4  cost   25  sin t  cos t  Do   sin t  cost    x  y  45   z  Vậy x  z     z   2i y  x  z max     z   6i y  Cách giải (Phương pháp hình học) Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn số phức z z  OM , z max  OM max Ta có phương trình đường thẳng OI là: x  y  Đường thẳng OI cắt (C) tai hai điểm phân biệt A, B có toạ độ nghiệm hệ phương trình:  x  2   y  2   x  3, x    A(1;2), B(3;6)  y  , y  2 x  y    Với điểm M thuộc đường tròn (C) OA  OM  OB Hay  z  Vậy: 10 x  z     z   2i y  x  z max     z   6i y  Cách giải (phương pháp hình học) Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) điểm A, B hình vẽ M trùng với điểm A (C) gần O Ta có z  OM  Ta có OI   16  y Kẻ AH  Ox theo định lý ta lét ta có: B AH OA     OI 2  AH   OH   z   2i z max  OM max  M trùng với điểm B (C) xa O Kẻ BK  Ox , theo định lý ta lét ta có: I A x K O H A OI    BK OB   BK   OK   z   6i Các lại học sinh làm tương tự theo cách giải Đáp số: 11 z 4 4  i, 2 z z    10 i, z   4 4  i 2   z    10 i 10   i,  1  13 13   z  5 10   i,  1  13 13   Dạng 2: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đƣởng thẳng ( cách giải) Ví dụ2: Tìm z cho u   z   i  z   3i  z đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều kiện sau: số thực u  z  1z  2i  số thực z   3i 1 z4i z  i  z   3i Lời giải Cách giải 1: Giả sử z  x  yi ( x, y  R) u  x    y  1i x   3  y i   x  y  x  y   2x  y  4i Ta có u R  x  y   12 tập hợp điểm biểu diễn số phức z dường thẳng (d): Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z x  y   z  OM  OM  (d ) Ta M(- 2;2)  z  2  2i Cách giải Ta có z  x  y  x  4  x   2x     2 2 Vậy z  2  x  2  y   z  2  2i Cách giải Xét hàm số z  x  y  x  4  x   x  x  16 f ( x)  x  x  16 , f ' ( x)  2x  x  x  16 f ' ( x)   x  2  z  f ( x)  x  2  y   z  2  2i Cách giải 4: Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z = x+yi  M  (d )  x  y    x  y  4  16  x  y   x  y 2   x  y   z  x  y  2  z  2  x   y  2  z  2  2i Các lại học sinh làm tương tự theo cách Đáp số: z  z   i 5  i 10 10 13 z  i 5 Dạng 3: Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đƣờng Elíp (3 cách giải) Ví dụ 3: Tìm số phức z cho môđun z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện: z   z 1  z  4i  z  4i  10 z   z2 6 Lời giải Trong mặt phẳng Oxy Giả sử điểm M, F1 , F2 biểu số phức z, -1, Suy ra: F1M biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ; F2 M biểu diễn số phức z-1.Với F1 , F2 nằm trục thực Ox -Khi điều kiện: z   z    MF1  MF2  F1 F2  Vậy tập hợp điểm M Elip có trục lớn trục bé Phương trình Elip mặt phẳng tọa độ Oxy là: Tìm z cho x2 y  1 z , z max 14 Cách giải 1: Ta có Do z  OM  x  y   x2 x2 y x2  1   1  z  4 z   z   3i Vậy : z max   z  2 Cách giải 2: Giả sử M(x;y) điểm biểu diễn z Khi đó:  x2 y2 OM  x  y  4     x2 y2   4     x2 y2  1     OM    x2 y2   x2 y2    3     OM  OM  x  y  3  3     2 Từ ta  z  Vậy: z   z   3i z max   z  2 Cách giải 3: Đặt x  2.sin t, y  cost , Ta có: t  0;2  OM  x  y  sin t  cos2 t   sin t Do  sin t  1, t   OM    z  15 Vậy: z   z   3i z max   z  2 Các lại học sinh làm tương tụ theo cách Đáp số: z   z  3, z max   z  4i z   z   5i, z max   z  3i V Kiểm chứng- so sánh Năm học 2011 -2012 , ôn luyện thi Đại học chuyên đề tập tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức, số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất, có chia lớp thành nhóm , nhóm thực nghiệm , nhóm đối chứng cho đề tài với dạng tập ,tôi thu kết sau : Dạng 1(%) Dạng 2(%) Dạng 3(%) G K TB [...]... vận dụng các phương pháp trên để giải các bài tập tìm số phức có mô un lớn nhất, nhỏ nhất đã mang lại những kết quả đáng mừng + Số học sinh hiểu bài và vận dụng giải bài tập có hiệu quả cao dần thể hiện ở số lượng cũng như chất lượng học sinh có điểm thi vào các trường Đại học , cao đẳng tăng + Đa số học sinh tỏ ra tự tin khi giải quyết các bài tập về tìm số phức có mô un lớn nhất, nhỏ nhất khi được... cận với các phương pháp giải được nêu trong sáng kiến kinh nghiệm + Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải nêu trong sáng kiến kinh nghiệm 17 2 Bài học kinh nghiệm Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được mmọt số phương pháp giảng dạy cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh Chính điều đó sẽ thuận lợi cho giáo viên khi dạy tiết giải bài tập trong... max  2  z  2 Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên Đáp số: 2 z min  3  z  3, z max  4  z  4i 3 z min  5  z   5i, z max  3  z  3i V Kiểm chứng- so sánh Năm học 2011 -2012 , khi ôn luyện thi Đại học chuyên đề bài tập tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức, số phức có mô un lớn nhất, nhỏ nhất, tôi có chia lớp thành 2 nhóm , 1 nhóm thực nghiệm , 1 nhóm đối chứng...  2  2i Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên Đáp số: 2 z  3 z  4 2  i 5 5 3 1  i 10 10 13 4 z 3 6  i 5 5 Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣờng Elíp (3 cách giải) Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho mô un của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Biết số phức z thoả mãn điều kiện: 1 z  1  z 1  4 2 z  4i  z  4i  10 3 z  2  z2 6 Lời giải Trong mặt... F2 lần lượt biểu số phức z, -1, 1 Suy ra: F1M biểu diễn số phức z-(-1)=z+1 ; F2 M biểu diễn số phức z-1.Với F1 , F2 nằm trên trục thực Ox -Khi đó điều kiện: z  1  z  1  4  MF1  MF2  4 và F1 F2  2 Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là: Tìm z sao cho 2 3 x2 y 2  1 4 3 z min , z max 14 Cách giải 1: Ta có Do z  OM  x... Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên Đáp số: 11 2 z 4 2 4 2  i, 2 2 z 3 z   3  10 i, 4 z  5  4 2 4 2  i 2 2   z   3  10 i 10 5  2 5  i,  1  13 13   z  5 10 5  2 5  i,  1  13 13   Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đƣởng thẳng ( 4 cách giải) Ví dụ2: Tìm z sao cho 1 u   z  3  i  z  1  3i  z đạt giá trị nhỏ nhất. Biết số. .. y  6 Cách giải 5 (phương pháp hình học) Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất Ta có z min  OM min  Ta có OI  4  16  2 5 y Kẻ AH  Ox theo định lý ta lét ta có: B AH OA 2 5  5 1    4 OI 2 2 5  AH  2  OH  1  z  1  2i z max  OM max  4 M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất Kẻ BK  Ox , theo định lý ta lét ta có: I A x K... 1  3i  z đạt giá trị nhỏ nhất. Biết số phức z thỏa mãn điều kiện sau: là số thực 2 u  z  1z  2i  là số thực 3 z  2  3i 1 z4i 4 z  i  z  2  3i Lời giải Cách giải 1: Giả sử z  x  yi ( x, y  R) u  x  3   y  1i x  1  3  y i   x 2  y 2  4 x  4 y  6  2x  y  4i Ta có u R  x  y  4  0 12 tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là dường thẳng (d): Giả sử M(x;y)... được M(- 2;2)  z  2  2i Cách giải 2 Ta có z  x 2  y 2  x 2  4  x   2x  2   8  2 2 2 2 Vậy z min  2 2  x  2  y  2  z  2  2i Cách giải 3 Xét hàm số z  x 2  y 2  x 2  4  x   2 x 2  8 x  16 2 f ( x)  2 x 2  8 x  16 , f ' ( x)  2x  4 2 x 2  8 x  16 f ' ( x)  0  x  2  z min  f ( x) min  x  2  y  2  z  2  2i Cách giải 4: Giả sử M(x;y) là điểm biểu... max  2  z  2 Cách giải 2: Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z Khi đó:  x2 y2 OM 2  x 2  y 2  4  4  4   x2 y2   4  3   4  x2 y2  1 4 3    4  OM  2   x2 y2   x2 y2    3    3  OM  3 OM  x  y  3  3 3 4 3     2 2 2 Từ đó ta được 3  z  2 Vậy: z min  3  z   3i z max  2  z  2 Cách giải 3: Đặt x  2.sin t, y  3 cost , Ta có: t  0;2  OM 2  ... Đa số học sinh tỏ tự tin giải tập tìm số phức có mô un lớn nhất, nhỏ tiếp cận với phương pháp giải nêu sáng kiến kinh nghiệm + Học sinh tự chọn cho cách giải cách giải nêu sáng kiến kinh nghiệm. .. b2  R Phương trình đường Elíp: x2 y2   a2 b2 IV Các phƣơng pháp tìm số phức có mô un lớn nhất, nhỏ Tìm số phức z có mô un lớn (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trƣớc Phương pháp chung:... toán tìm tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z toán tìm số phức z có mô un lớn nhất, nhỏ có quan hệ mật thiết vơi Trong trình giảng dạy phần nội dung nhận thấy số học sinh chưa giải toán tìm