skkn một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN tồn tại TRONG tổ hợp

CMR trong số 64 đỉnh bất kì của đa giác luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang.. Khi đó đường tròn sẽ được chia ra thành 3 cung bằng nhau suy ra số đỉnh của đa giác phải là số ngu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI

Đơn vị:Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

Mã số:

(Do HĐKH Sở GD&ĐT ghi)

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỒN TẠI TRONG TỔ HỢP

Người thực hiện: NGUYỄN TẤT THU

Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN

1 Mô hình 1 Phần mềm 1 Phim ảnh 1 Hiện vật khác

Năm học: 2012 – 2013

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: Nguyễn Tất Thu

2 Ngày tháng năm sinh: 13-09-1980

8 Đơn vị công tác: Trường THPT Chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị (hoặc trình độ chuyên môn, nghiệp vụ) cao nhất:

- Năm nhận bằng:

- Chuyên ngành đào tạo:

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy môn Toán

Số năm có kinh nghiệm: 10 nằm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

1 Một số phương pháp xác định CTTQ của dãy số - năm 2008

2 Sử dụng hàm lồi trong chứng minh bất đẳng thức – năm 2009

3 Sử dụng phép đếm để chứng minh đẳng thức tổ hợp – năm 2010

4 Một số phương pháp giải bài toán cực trị tổ hợp – năm 2012

này Đó là lí do mà tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp giải bài toán tồn tại trong tổ hợp” làm đề tài nghiên cứu của mình

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

2.1.3 Nguyên lí Dirichle cho tập hợp

Cho S là tập hợp hữu hạn S ,S , ,S là các tập con của S sao cho 1 2 m m i

2.1.4 Nguyên lí Dirichle trong hình học

Cho một hình phẳng (H) và (H ),i 1,ni = là các hình phẳng nằm trong (H) Kí hiệu

Để sử dụng nguyên lí Dirichle, ta cần tạo ra số chuồng và số thỏ

2.1.5 Các ví dụ

Ví dụ 1.1 Trog một tam giác đều cạnh bằng 3 cho 2012 điểm phân biệt Chứng

minh rằng tồn tại một tam giác đều cạnh bằng 1 chứa trong nó ít nhất 224 điểm trong 2012 điểm đã cho

Lời giải

Ta có: 2012

8224

  =

 

  nên ta sẽ tạo ra 9 tam giác đều và mỗi

tam giác đều có cạnh bằng 1 năm trong tam giác có cạnh

bằng 3 Ta thực hiện phép chia như sau:

Chia tam giác đã cho thành 9 tam giác đều có cạnh bằng 1

Khi đó có một tam giác chứa ít nhất 224 điểm trong 2012 điểm đã cho

Ví dụ 1.2 Trong mặt phẳng cho 2n 1+ điểm sao cho với 3 điểm bất kì luôn có 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 1 Chứng minh rằng tồn tại một đường tròn có bán kính bằng 1 chứa ít nhất n 1+ điểm trong 2n 1+ điểm đã cho

Lời giải

Xét A là một trong 2n 1+ điểm Xét đường tròn (S) (A,1)=

Nếu (S) chứa 2n điểm còn lại thì ta có điều phải chứng minh

điểm trong 2n 1+ điểm đã cho

Ví dụ 1.3 Cho đa giác đều A1A2…A1981 nội tiếp (O) CMR trong số 64 đỉnh bất kì của đa giác luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang

Khi đó đường tròn sẽ được chia ra thành 3 cung bằng nhau suy ra số đỉnh của đa

giác phải là số nguyên lần của 3, điều này là vô lí vì 1981 không chia hết cho 3

Vậy trong 3 dây cung có cùng độ dài này có ít nhất hai dây cung không có chung

đỉnh (đpcm)

A j

A i

A k

Ví dụ 1.4 Cho đa giác lồi 2013 cạnh có các tọa độ nguyên Chứng minh rằng

trong đa giác có ít nhất 402 điểm có tọa độ nguyên

Suy ra trong 5 đỉnh A,B,C,D,E luôn tồn tại hai đỉnh chung

cạnh và tổng của hai góc đó lớn hơn 180 Giả sử hai góc 0

đó là A B 180+ > 0

Mặt khác:

0 1

Ví dụ 1.5 Cho A là một tập con của tập các số tự nhiên dương Biết rằng trong

2013 số tự nhiên liên tiếp bất kì luôn tồn tại một số thuộc A Chứng minh rằng

trong A luôn tồn tại hai số sao cho số này chia hết cho số kia

Ta thấy các số trong cùng một cột luôn có số này là bội của số kia

Theo đề bài, trong cùng một hàng luôn có ít nhất 1 số thuộc A Nên trong bảng trên ta luôn tìm được 2014 số thuộc A ,mà bảng trên có 2013 cột nên trong 2014

số đó có ít nhất hai số thuộc cùng một cột và hai số đó luôn có một số là bội của số kia Từ đó, ta có đpcm

Ví dụ 1.6 Trong bảng 4x7 ( 4 hàng, 7 cột) người ta tô các ô vuông bởi hai màu:

đen và trắng, mỗi ô một màu Chứng minh rằng với bất kì cách tô nào ta luôn tìm được một hình chữ nhật có các cạnh nằm trên các đường lưới mà 4 đỉnh ở 4 ô cùng màu

Lời giải

Cách 1

Ta xét bảng 3 7× (3 hàng, 7 cột) Ta xét các trường hợp sau

TH 1:Trong bảng tồn tại ít nhất một cột được tô toàn bộ một màu Chẳng hạn toàn

bộ cột đó được tô màu đen

Ta xét 6 cột còn lại

* Nếu tồn tại ít nhất 1 cột có 2 ô được tô màu đen thì bài toán được giải quyết

* Nếu 6 cột còn lại, mỗi cột có ít nhất 2 ô được tô màu trằng Vì có 4 trạng thái tô màu cho 6 cột còn lại là T-Đ-T, Đ-T-T, T-T-Đ, T-T-T nên theo nguyên lí Dirichle, trong 6 cột đó có ít nhất 2 cột có trạng thái tô màu giống nhau Chọn 2 cột đó ta có được các tô thoả yêu cầu bài toán

TH2: Không có cột nào được tô 1 màu, nên có 6 trạng thái tô màu cho 7 cột là

T-Đ-T, Đ-T-T, T-T-Đ, Đ-T-Đ-T,Đ-T-Đ, T-Đ-Đ Suy ra sẽ có 2 cột có cùng trạng thái tô màu Chọn hai hàng đó ta có được cách tô thoả yêu cầu bài toán

Cách 2

Vì bàng đã cho có 28 ô và được tô bởi 2 màu nên có ít nhất 14 ô được tô cùng màu Gọi a là số ô được tô màu đen trên cột i (1 i 7)i ≤ ≤

Mặt khác, sô cặp điểm đen trên cột là:

2 7 i

i 1 2

Ví dụ 1.7 Trên bàn cờ 10×10 người ta viết các số từ 1 đến 100 Mỗi hàng chọn ra

số lớn thứ ba Chứng minh rằng tồn tại một hàng có tổng các số trong hàng đó nhỏ hơn tổng các chữ số lớn thứ ba được chọn

Lời giải Kí hiệu các số lớn thứ ba là a9<a8< < a0 Khi đó số phần tử lớn hơn

9 9 9 9 9

S(a ) 100 99 a≤ + + +a − + +1 a − =7 8a +171

<8a9+180 a≤ 0+a1+ + a9 (đpcm)

2.2 Sử dụng bất biến, đơn biến

 Bất biến là đại lượng hay tính chất không thay đổi khi các trạng thái khác thay đổi Bất biến có nhiều ứng dụng trong toán học, nhất là trong các bài toán chứng minh tồn tại một trạng thái hay tính chất nào đó qua một số lần thực hiện các thuật toán



Ví dụ 2.1 Lúc đầu ta ghi lên bảng cặp (1;2) Từ lần thứ hai trở đi, nếu trên bảng

có cặp (a;b) thì ta được phép ghi cặp 3a b a; 3b

S = ≠5 3 + +1 3 nên không thể ghi được cặp ( 3;1+ 3)

Ví dụ 2.2 Trên bảng ghi hai số 1 và 2 Thực hiện cách ghi số theo quy tắc sau:

Nếu trên bảng có hai số a,b thì được ghi thêm số a b ab+ + Hỏi có thể ghi được

số 2012 và 2013 lên bảng hay không?

Lời giải: Ta ghi được các số 1,2,5,11,17,

Đặt c a b ab= + + ⇒ + = +c 1 (a 1)(b 1)+ nên dãy số thu được công thêm 1 sẽ được các số có dạng 2 3 Tuy nhiên 2013 và 2014 không có dạng đó nên ta không m n

thể ghi được các số đó

Ví dụ 2.3 Hình tròn được chia thành 2014 hình quạt Mỗi hình quạt ta đặt một

viên bị Ta thực hiện chuyển bị như sau: Mỗi lần lấy hai ô, mỗi ô một viên và chuyện qua ô bên cạnh ngược chiều nhau Hỏi với cách làm như vậy ta có thể chuyển tất cả các viên bi về cũng một ô hay không?

Lời giải

Tô màu các hình quạt bởi hai màu đen và trắng sao cho hai hình quạt kề nhau thì khác màu Khi đó mỗi lần chuyển thì số viên bi trong các ô màu đen hoặc không đổi hoặc tăng 2 hoặc giảm 2 Hay nói cách khác số viên bi trong ô đen luôn cùng tính chẵn lẻ với số bi ban đầu ở trong ô đen Mà lúc đầu có 1007 viên bi nằm trong các ô đen nên số bi ở các ô đen không thể là 0 và 2014 được Do đó không thể thực hiên được yêu cầu của bài toán

Ví dụ 2.4 Trên bàn cơ quốc tế 8x8 Hỏi con mã có thể đi từ ô cuối cùng bên trái

đến ô trên cùng bên phải được hay không nếu con mã phải đi qua tất cả các ô và mỗi ô đi đúng một lần

Lời giải

Số bước đi lần thứ k với k chẵn sẽ đến ô cùng màu, với k lẻ

sẽ đến ô khác màu Do đó với 63 nước đi thì con mã sẽ đi

đến ô khác màu Những hai ô xuất phát và đích là cùng

màu nên không thể thực hiện được theo yêu cầu của đề bài

Ví dụ 2.5 Có 6 viên bi được chia thành một số nhóm Ta thực hiên chuyển các

viên bi như sau: Lấy mỗi nhóm 1 viên bị và số bi lấy được lập thành một nhóm mới Hỏi sau 2012 bước thực hiên ta thu được bao nhiều nhóm và mỗi nhóm gồm bao nhiêu viên bi

Lời giải

Nếu có ba nhóm và số bi trong ba nhóm đó là 1,2,3 thì với cách làm trên số nhóm

và số bi của mỗi nhóm không thay đổi

Vì 6 6 0 5 1 4 2 3 2 1 1 1 4 1 1 1 3 1 1 1 1 2= + = + = + = + + = + + = + + + = + + + +

= + + + + + = + + + = + + = +1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3

Ta có sơ đồ sau

Vậy sau nhiều nhất 6 bước ta sẽ thu được 3 nhóm và số bi ở mỗi nhóm là 1,2,3

Ví dụ 2.6 Với bộ các số thực dương (a;b;c;d) ta thực hiện phép biến đổi T như sau

T

(a;b;c;d) (ab;bc;cd;da)→

Tìm bộ (a;b;c;d) ban đâu sao cho sau hữu hạn bước ta thu được bộ (a;b;c;d)

Lời giải

Đặt P abcd= sau phép biến đổi thứ k ta thu được tích của bộ số P 2k

Vì sau hữu hạn bước ta thu được bộ ban đầu nên P 1= hay abcd 1=

Ví dụ 3.1 CMR tập các số nguyên dương có thể chia thành một số vô hạn các tập

vô hạn sao cho : nếu x,y,z,w đều thuộc cùng một tập thì x y− và z w− cũng

Ví dụ 3.2 Trong kỳ thi chọn đội tuyển học sinh giỏi toán của một tỉnh có 20 em

tham gia Mỗi học sinh phải thi 2 vòng, mỗi vòng được gọi là một bài thi Điểm của mỗi bài thi được cho là một số tự nhiên từ 1 đến 10 Phương thức chọn đội tuyển là so sánh kết quả điểm của từng bài thi tương ứng (vòng 1, vòng 2 ) giữa các thí sinh Thí sinh A gọi là so sánh được với thí sinh B nếu điểm mỗi bài thi của A không nhỏ hơn điểm mỗi bài thi tương ứng của thí sinh B nếu điểm mỗi bài thi của A không nhỏ hơn điểm mỗi bài thi tương ứng của B Biết rằng không có hai thí sinh nào có cùng cặp điểm số tương ứng Chứng minh rằng có thể chọn được ba thí sinh A, B, C sao cho A so sánh được với B và B so sánh được với C

Lời giải

Đặt Xi=(a ,b )i i đại diện cho điểm thi của học sinh thứ i,i 1,2,3, ,20= và

i i

1 a ,b 10.≤ ≤

Do không có hai thí sinh nào có cùng cặp điểm số nên Xi≠Xj với mọi i j.≠ Ta quy ước gọi Xi>Xj nếu ai≥a ,bj i≥bj

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại 3 số m,n,p mà Am<An<Ap Thật vậy, do chỉ có

10 giá trị dành cho 20 số a nên có thể có 2 trường hợp sau xảy ra: i

- Nếu tồn tại ba số a ,a ,a mà i j k ai= =aj ak thì rõ ràng các số b ,b ,b đôi một i j k

khác nhau và các thí sinh có điểm số tương ứng như thế sẽ so sánh được Trong trường hợp này, bài toán đúng

- Nếu không tồn tại ba số như thế thì rõ ràng các số này sẽ được chia thành 10 cặp, mỗi cặp là hai số bằng nhau và lấy đúng 1 giá trị không vượt quá 10 Không mất tính tổng quát, ta giả sử

là một 3 cặp so sánh được Do đó, trong mọi trường hợp, ta luôn có đpcm

Bài toán được giải quyết hoàn toàn

Lời giải

Giả sử rằng trong 673 số chọn ra không có hai số nào thoả yêu cầu bài toán

Tức là, với hai số a,b bất kì trong 673 số chọn ra ta luôn có a b 671− ≤ hoặc

[1;672 và các số mới này đôi một khác nhau Nhưng trong đoạn ] [1;672 có tối ]

đa 672 số nguyên, điều này trái với giả thiết là 673 số lấy ra phân biệt

Ví dụ 5.2 Xét số nguyên dương n (n 1)> Người ta muốn tô tất cả các số tự nhiên bởi hai màu xanh, đỏ sao cho các điều kiện sau đồng thời thỏa mãn

i) Mỗi số được tô một màu, mỗi màu được tô vô số số

ii) Tổng của n số đôi một khác nhau cùng màu là một số cùng màu

Hỏi có thể thực hiện được phép tô màu nói trên hay không, nếu:

a) n 2012= b) n 2013=

Lời giải

a) Giả sử tồn tại cách tô màu thoả yêu cầu bài toán

Vì mỗi màu tô vô hạn số nên tồn tại số a sao cho 1 a tô màu xanh và 1 a1+ =1 b1

tô màu đỏ

Tương tự, tồn tại số b sao cho 2 b tô màu đỏ và 2 b2+ =1 a2 tô màu xanh….tồn tại

số a2012 sao cho a2012 tô màu xanh và a2012+ =1 b2012 tô màu đỏ

= ∑ được tô màu đỏ

Tuy nhiên, ta thấy

Tô các số chẵn màu xanh và các số lẻ màu đỏ Cách tô này thoả yêu cầu bài toán

Ví dụ 5.3 Cho n 3≥ là 1 số nguyên dương Xét bảng n n× ,ta điền vào bảng n 2

số nguyên dương có tổng là n Chứng minh rằng luôn có thể tìm được 1 bảng 3

2 2× gồm 4 phần tử có các cạnh song song với đường chia của bảng sao cho tổng của 4 phần tử trong bảng lớn hơn 3n

Lời giải Giả sử ta không tìm ra được bảng con 2 2× nào thỏa mãn cả

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: n 2k= Khi đó ta chia bảng thành k bảng con, và tổng các số trong mỗi 2

bảng như thế này cùng lắm là 3n Khi đó tổng các số trong bảng lớn nhỏ hơn hoặc bằng

2

3

n

4 < (mâu thuẫn với giả thiết)

TH2: n 2k 1= + Ta chia bảng thành k bảng con 2 22 × trong bảng 2k 2k× , 2k

* Trong ô ( )n;n số được điền phải nhỏ hơn hoặc bằng 3n 3 6k− =

Như vậy tổng các ô trong bảng lớn nhất có thể là:

3(2k 1)k+ +(6k 1)2k 6k 6k+ + = +12k <(2k 1)+ =n (trái với gỉa thiết)

Do đó ta có đpcm

Ví dụ 5.4 trong tập 2006 phần tử ta chọn ra 2005 tập con, mỗi tập có 3 phần tử

Chứng minh rằng có thể tìm được 2 tập con mà chúng có chung đúng 1 phần tử

Lời giải: Giả sử không tồn tại tính chất như đề bài đã nêu, tức là 2 tập con bất kì

trong 2005 tập con đó đều rời nhau hoặc giao nhau tại đúng phần tử

Khi đó ta cm ta có thể phân các tập thành các nhóm với 3 loại nhóm

Các tập đôi một rời nhau ta phân làm một nhóm (nhóm I )

Với một tập con A bất kì gồm 3 phần tử {a,b,c}thuộc 2005 tập nói trên: nếu nó không giao với bất kì tập nào khác, nó thuộc nhóm I

Nếu nó giao với tập B tại 2 phần tử (giả sử là a,b) thì dễ dang có những nhận xét sau:

- Nếu có một tập C giao với A cũng tại 2 phần tử a,b thì mọi tập con khác, nếu giao

A thì đều giao tại 2 phần tử a,b Ta gọi nhóm các tập này là nhóm II

- Nếu có một tập C giao với A tại 2 phần tử, chẳng hạn như a,c thì ta cùng lắm cũng chỉ thiết lập được nhiều nhất là một tập nữa giao A 4 tập này ta xếp vào một loại nhóm là nhóm III

Dễ dàng nhận thấy là nhóm này rời nhau, tức là một tập đã thuộc nhóm này thì không thể nào thuộc nhóm khác

Mặt khác, nhận xét thêm rằng số tập có ở nhóm I luôn ít hơn số phần tử có trong

nhóm đó, số tập có trong nhóm II nhiều nhất cũng chỉ bằng số phần tử của các tập

có trong nhóm đó, số tập có trong nhóm III luôn nhỏ hơn hoặc bằng k 2− với k là

số phần tử của các tập có trong nhóm đó

Chú ý rằng tổng số phần tử của các tập thuộc nhóm II phải chia hết cho 4 Mà 2006 không chia hết cho 4 nên chắc chắn phải có sự hiện diện của 2 loại nhóm còn lại Vậy tổng số phần tử (chú ý là phân biệt) của tất cả các tập có mối liên hệ sau với các tập: x y 2≥ + (với x là tổng số phần tử, y là số tập)

Có 2006 phần tử, vậy thì tối đa ta cũng chỉ có thể lập được 2004 tập con thỏa mãn

mà thôi Vậy với 2005 tập con thì luôn tồn tại 2 tập con mà chúng giao nhau ở đúng 1 phần tử (đpcm)

2.6 Bài tập

Bài 1 Trong hình tròn có diện tích bằng 8 đặt 17 điểm bát kì phân biệt Chứng

minh rằng có ít nhất ba điểm tạo thành một tam giác có diện tích nhỏ hơn 1

Bài 2 Trên đường tròn cho 16 điểm tô bởi một trong ba màu: X, Đ, V Các dây

cung nối 2 điểm trong 16 điểm trên được tô bởi hai màu: T, Đ Chứng minh rằng ta luôn có 3 trong 16 điểm trên tô cùng màu và 3 cạnh của nó cũng được tô cùng màu

Bài 3 Trong hình tròn(O, 2,5) cho 10 điểm bất kì CMR có hai điểm có khoảng

cách nhỏ hơn 2

Bài 4 Trong mặt phẳng cho 9 đường thẳng ngang song song nằm ngang và 9

đường thẳng ngang song song nằm dọc Người ta đánh dấu các giao điểm bởi hai màu X, Đ CMR tồn tại 2 đường thẳng nằm ngang và 2 đường thẳng nằm dọc sao cho 4 giao điểm của chúng cùng màu

Bài 5 Cho hình bình hành ABCD và 25 đường thẳng Mỗi đường thẳng chia

ABCD thành 2 hình thang với tỉ số diện tích là 1

3 CMR trong 25 đường thẳng đó

có 7 đường thẳng đồng quy

Bài 6 Xét 100 số nguyên dương a1, a2,…, a100; ai ≤ 100 với i = 1, 2,…, 100 và

a1+a2+…+a100 = 200 CMR trong 100 số đó luôn tồn tại một vài số có tổng bằng

100