Một số phương pháp giải bài toán tồn tại trong số học

A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Số học là một phân môn quan trọng trong toán học và đã gắn bó với chúng ta xuyên suốt quá trình học Toán từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông. Chúng ta được tiếp xúc với Số học bắt đầu bằng những khái niệm đơn giản như tính chia hết, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất... giúp làm quen dễ dàng hơn với sự kì diệu của những con số cho đến những vấn đề đòi hỏi nhiều tư duy hơn như đồng dư, số nguyên tố, các phương trình Diophantine mà nổi tiếng nhất là định lý Fermat. Các bài toán Số học xuất hiện nhiều trong các đề thi Olimpic toán của các nước với độ khó càng ngày càng tăng lên. Đã có khá nhiều chuyên đề về số học được viết và thường tập trung vào các chủ đề như phương trình nghiệm nguyên, đồng dư chia hết, cấp của phần tử, số chính phương... Tuy nhiên trong các đề thi học sinh giỏi hiện nay xuất hiện khá nhiều bài toán về sự tồn tại của một tập hợp số thỏa mãn điều kiện cho trước. Đây là chủ đề rất khó bởi tính đa dạng của nó và cũng giống như trong tổ hợp thì cách xây dựng không hề tự nhiên chút nào. Có thể thấy các chuyên đề về bài toán tồn tại trong số học và tổ hợp rất ít và chưa được quan tâm đúng mức. Chính vì vậy tác giả mạnh dạn viết về một số phương pháp cũng như hướng tiếp cận với bài toán về sự tồn tại trong số học. Nội dung của bài viết này được chia làm ba phần, đầu tiên tóm tắt lại lý thuyết cơ bản hay sử dụng trong bài viết, phần thứ hai là một số phương pháp cũng như hướng tiếp cận để giải bài toán về sự tồn tại trong Số học và phần cuối là một số bài tập áp dụng.

MT S PHNG PHP GII BI TON TN TI TRONG S HC MC LC M u A PHN M U Lý chn ti Mc ớch ca ti B- PHN NI DUNG I Mt s lý thuyt liờn quan H thng d 1.1 H thng d y v h thng d thu gn 1.2 Tớnh cht c bn ca h thng d nh lý phn d trung hoa nh lý Fermat, Euler S chớnh phng modulo S m ỳng II Mt s phng phỏp gii bi toỏn tn ti s hc Phng phỏp quy np Phng phỏp s dng nh lý phn d Trung hoa 18 Phng phỏp s dng h thng d 25 Phng phỏp phn chng 30 Mt s phng phỏp v hng tip cn khỏc 39 C PHN KT LUN 62 Nhng quan trng ca ti 62 Nhng xut v kin ngh 62 Bi ỏp dng 64 Ti liu tham kho 67 Ch vit tt v kớ hiu Ch vit tt AMM American Mathematical Monthly MO Mathematical Olympiad IMO International Mathematical Olympiad RMO Romanian Mathematical Olympiad Putnam The William Lowell Putnam Mathematical Competition TST Team Selection Tests ( thi chn i tuyn d thi quc t) THTT Toỏn hc tui tr Kớ hiu Ơ cỏc s t nhiờn ( Ơ = { 0,1, 2,3, } ) Ơ* * cỏc s nguyờn dng ( Ơ = { 1, 2,3, } )  cỏc s nguyờn (  = { , 3, 2, 1, 0,1, 2,3, } ) Â* * cỏc s nguyờn khỏc (  =  \ { 0} ) Â+ + cỏc s nguyờn dng (  = { 1, 2,3, } ) Ô * cỏc s hu t; Ô = ; m  , n Ơ , (m, n) = Ô+ cỏc s hu t dng m n A PHN M U Lý chn ti S hc l mt phõn mụn quan trng toỏn hc v ó gn bú vi chỳng ta xuyờn sut quỏ trỡnh hc Toỏn t bc tiu hc n trung hc ph thụng Chỳng ta c tip xỳc vi S hc bt u bng nhng khỏi nim n gin nh tớnh chia ht, c chung ln nht, bi chung nh nht giỳp lm quen d dng hn vi s kỡ diu ca nhng s cho n nhng ũi hi nhiu t hn nh ng d, s nguyờn t, cỏc phng trỡnh Diophantine m ni ting nht l nh lý Fermat Cỏc bi toỏn S hc xut hin nhiu cỏc thi Olimpic toỏn ca cỏc nc vi khú cng ngy cng tng lờn ó cú khỏ nhiu chuyờn v s hc c vit v thng trung vo cỏc ch nh phng trỡnh nghim nguyờn, ng d chia ht, cp ca phn t, s chớnh phng Tuy nhiờn cỏc thi hc sinh gii hin xut hin khỏ nhiu bi toỏn v s tn ti ca mt hp s tha iu kin cho trc õy l ch rt khú bi tớnh a dng ca nú v cng ging nh t hp thỡ cỏch xõy dng khụng h t nhiờn chỳt no Cú th thy cỏc chuyờn v bi toỏn tn ti s hc v t hp rt ớt v cha c quan tõm ỳng mc Chớnh vỡ vy tỏc gi mnh dn vit v mt s phng phỏp cng nh hng tip cn vi bi toỏn v s tn ti s hc Ni dung ca bi vit ny c chia lm ba phn, u tiờn túm tt li lý thuyt c bn hay s dng bi vit, phn th hai l mt s phng phỏp cng nh hng tip cn gii bi toỏn v s tn ti S hc v phn cui l mt s bi ỏp dng Mc ớch ca ti ti "Mt s phng phỏp gii bi toỏn tn ti s hc" c tỏc gi chn vit nhm gii thiu vi cỏc thy cụ v cỏc em hc sinh nhng kinh nghim v phng phỏp ca chỳng tụi ging dy v bi toỏn tn ti S hc chng trỡnh chuyờn toỏn THPT, qua ú cng nhn mnh tm quan trng qua cỏc phng phỏp gii nú, c cỏc bi toỏn c ly t cỏc kỡ thi Olimpic v toỏn ti ny c coi nh mt chuyờn ging dy v bi dng cho hc sinh gii cỏc trng THPT Chuyờn, hc sinh d thi Quc gia v c bit l bi dng hc sinh thi vũng chn i tuyn Quc t mụn Toỏn Tỏc gii rt mong nhn c gúp ý trao i ca cỏc thy chuyờn gia, cỏc bn ng nghip chuyờn cú th sõu sc v hon thin hn na Hy vng ti s gúp mt phn nh vic ging dy phn s hc t hiu qu nht v phn no em li s yờu thớch, am mờ hn vi b mụn s hc y tớnh sỏng to B PHN NI DUNG I Mt s lý thuyt liờn quan H thng d 1.1 H thng d y v h thng d thu gn nh ngha Cho s nguyờn dng m Mt hp H gm m s nguyờn ụi mt khụng ng d vi theo modm c gi l mt h thng d y (TD) modulo m Nhn xột Mt h qu trc tip hay s dng ca h TD l vi mi s nguyờn x thỡ luụn tn ti nht n H x n(mod m) nh ngha Cho s nguyờn dng m Kớ hiu ( m ) l s cỏc s nguyờn dng nh hn m m nguyờn t cựng vi m Mt hp H gm ( m ) s nguyờn phõn bit, u nguyờn t cựng vi m v ụi mt khụng ng d vi theo modm c gi l mt h thng d thu gn (TDTG) modulo m 1.2 Tớnh cht c bn ca h thng d Tớnh cht 1.2.1 Cho s nguyờn dng m v hai h TD moun m l { x1, x2 , , xm } v { y1, y2 , , ym } Khi ú ta cú m m i =1 i =1 m m i =1 i =1 xi yi + + + m xi yi m(m + 1) (mod m) (mod m) Cho hai s nguyờn a, b v m l s nguyờn dng cho ( a, m ) = Khi ú h { ax1 + b, ax2 + b, , axm + b} l h TD moun m { } Tớnh cht 1.2.2 Cho s nguyờn dng m v x1, x2 , , x ( m ) l h TDTG moun m { } Khi ú vi a  , ( a, m ) = thỡ h ax1, ax2 , , ax ( m) cng l h TDTG moun m nh lý phn d Trung hoa Cho n s nguyờn dng b1 , b2 , , bn khỏc v ụi mt nguyờn t cựng Khi ú x a1 (mod b1 ) x a (mod b ) 2 vi cỏc s nguyờn a1, a2 , , an , tn ti s nguyờn x cho x an (mod bn ) nh lý Fermat, Euler 3.1 nh lý Fermat Cho p l s nguyờn t, a l s nguyờn, ú a p a (mod p) 3.2 nh lý Euler Cho n l s nguyờn dng, a l s nguyờn nguyờn t cựng vi n, ú n a ( ) (mod n) , ú ( n ) l hm Euler S chớnh phng modulo 4.1 nh ngha Cho s nguyờn dng n v s nguyờn a vi ( a, n ) = S nguyờn a c gi l s chớnh phng (modn) nu tn ti s t nhiờn x cho x a (mod n) Nu a l s chớnh phng modn thỡ ta cũn núi a l mt thng d bc hai (modn), nu a khụng l s chớnh phng (modn) thỡ a c gi l bt thng d bc hai (modn) 4.2 Mt s kt qu 4.2.1 nh lý Cho p l nguyờn t l, a l s nguyờn cho ( a, p ) = Khi ú a) a l s chớnh phng modp v ch a p (mod p) b) a l s khụng chớnh phng modp v ch a p (mod p ) 4.2.2 Kt qu hay s dng * S l s chớnh phng modp v ch p = 4k + * S l s chớnh phng modp v ch p = 8k * S l s chớnh phng modp v ch p = 8k + hoc p = 8k + * S l s chớnh phng modp v ch p = 12k * S l s chớnh phng modp v ch p = 6k + * S l s chớnh phng modp v ch p = 10k S m ỳng 5.1 nh ngha Cho p l s nguyờn t, a l s nguyờn v l s t nhiờn Ta núi p l c ỳng ca a, v gi l s m ỳng ca p khai trin ca a nu p | a v p +1 /| a Khi ú ta vit p || a v kớ hiu = v p ( a ) 5.2 Tớnh cht 5.2.1 Cho a, b l cỏc s nguyờn, ú ta cú + Nu p || a v p || b thỡ p + || ab + Nu p || a thỡ p k || a k + Nu p || a v p || b vi a b thỡ p min{ , } || a + b 5.2.2 (B nõng s m LTE) a) Cho x, y l hai s nguyờn, n l s nguyờn dng v p l s nguyờn t l cho p | x y v x, y khụng chia ht cho p Khi ú ( ) v p xn yn = v p ( x y ) + v p ( n ) b) Cho x, y l hai s nguyờn, n l s nguyờn dng l v p l s nguyờn t l cho p | x + y v x, y khụng chia ht cho p Khi ú ( ) v p xn + yn = v p ( x + y ) + v p ( n ) c) Cho x, y l hai s nguyờn l, n l s nguyờn dng chn Khi ú ( ) v2 x n y n = v2 ( x y ) + v2 ( x + y ) + v2 ( n ) II Mt s phng phỏp gii bi toỏn tn ti s hc Phng phỏp quy np T tng quy np chng minh s tn ti ca mt s nguyờn tha iu kin cho trc rừ rng rt t nhiờn v ph bin Vic xõy dng mt hp cỏc s tha yờu cu ca bi toỏn da trờn nguyờn lý quy np s khin tr lờn n gin hn Bi toỏn 1.1 ( IMO Shorlist 2013) Chng minh rng vi mi cp s nguyờn dng k v n luụn tn ti k s nguyờn dng m1 , m2 , , mk tha 2k 1+ = + ữ1 + ữ + n m1 m2 mk ữ Li gii T vic cn biu din v trỏi theo cỏc nhõn t ng dng, ta ngh ti phng phỏp chng minh bng quy np theo bin k Tht vy, vi k = thỡ kt qu l hin nhiờn Gi s bi toỏn ỳng n k , ta cn chng minh nú ỳng vi k Xột cỏc trng hp sau: Trng hp Vi n = 2t , ta cú k 2k 2k ( t + 1) 2t 1+ = = + ữ1 + ữ 2t 2t 2t t 2t (1) Theo gi thit quy np thỡ tn ti cỏc s m1 , m2 , , mk cho 1+ 2k = + ữ1 + ữ ữ + t m m m k Khi ú ta chn mk = 2t s tha yờu cu bi toỏn Trng hp Vi n = 2t , ta cú k 2k 2t + 2k 2t + 2k 1+ = = + ữ ữ.1 + k 2t 2t + 2k 2t t 2t + Theo gi thit quy np thỡ tn ti cỏc s m1 , m2 , , mk cho 1+ 2k = + ữ + ữ ữ + t m m m k (2) Khi ú ta chn mk = 2t + 2k s tha yờu cu bi toỏn Nhn xột Mu cht ca bi toỏn l quy np theo bin k v hai ng thc quan trng (1), (2) ng vi trng hp n l v chn bc quy np c n gin ta thng phi s dng thờm cỏc ng thc c bit liờn quan n cu trỳc bi toỏn, ta xột bi toỏn tip theo sau õy Bi toỏn 1.2 (Bulgarian MO) Chng minh rng vi mi s nguyờn n , tn ti cỏc s nguyờn dng l x, y cho x + y = 2n Li gii Ta s chng minh tn ti cỏc s nguyờn dng l xn , yn cho xn2 + yn2 = 2n , n Vi n = , ta cú th chn x3 = y3 = Gi s mnh ỳng vi n Ta cn xõy dng mt cp ( xn +1 , yn +1 ) cỏc s nguyờn dng l cho xn2+1 + yn2+1 = 2n+1 Tht vy, ta cú ng thc sau 2 x yn xn myn 2 n +1 n ữ + ữ = ( xn + yn ) = Chỳ ý l mt hai s x + yn xn + yn xn yn l l, gi s n l thỡ , 2 xn yn x yn = xn + n 2 cng l s l, ú ta chn xn+1 = Nu xn + yn x yn v yn+1 = n 2 xn yn x + yn x + yn = 3xn + n l, thỡ n cng l, ú ta chn 2 xn+1 = xn yn x + yn v yn+1 = n 2 Mt s bi toỏn tng t Bi 1.2.1 Chng minh rng vi mi s nguyờn n , tn ti cỏc s nguyờn dng l x, y cho x 17 y = 4n Bi 1.2.2 Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n , tn ti cỏc s nguyờn x, y cho x + xy + y = n Bi 1.2.3 Chng minh rng vi mi s nguyờn n , tn ti cỏc s nguyờn dng l x, y, z cho x + y + z = 59n Bi toỏn 1.3 Chng minh rng vi mi s nguyờn n , tn ti cỏc s nguyờn dng x1 , x2 , , xn , xn+1 cho 1 n +1 + + + = x1 x2 xn xn+1 Li gii Xột n = , t 52 = 32 + 42 ta c 1 = + , suy 122 152 202 1 1 1 1 = 2 + 2 = 2 + + ữ = + + 2 12 12 15 12 20 12 15 15 20 20 ( 12.15) ( 15.20 ) ( 20.20 ) 2 Do ú ( x1; x2 ; x3 ; x4 ) = ( 12.15;15.20;20 ;2.12 ) tha Gi s tn ti b ( x1 , x2 , , xn , xn+1 ) tha Khi ú rừ rng 1 n +1 + + + = x12 x22 xn2 xn2+1 1 1 n+2 + + + + = nờn mnh cng ỳng vi (n + 1) x1 x2 xn xn+1 xn +1 Bi toỏn c chng minh hon ton Mt s bi toỏn tng t Bi 1.3.1 Chng minh rng vi mi s nguyờn n , tn ti cỏc s nguyờn dng x1 , x2 , , xn cho 1 + + + = x1 x2 xn Bi 1.3.2 Chng minh rng vi mi s nguyờn n 412 , tn ti cỏc s nguyờn dng x1 , x2 , , xn cho 1 + + + = x13 x23 xn3 Bi 1.3.3 Chng minh rng vi mi s nguyờn n , tn ti cỏc s nguyờn dng x0 < x1 < < xn cho 1 1 + + + = x1 x2 xn x0 10 Nu tn ti R j = thỡ bi toỏn c chng minh Gi s ngc li, ú cỏc s R1 , R2 , , Rn nhn giỏ tr { 1,2, , n 1} nờn R j = R j ' vi j < j ' no ú Khi ú b1 + b2 + + b j a1 a2 ak ( j ) = b1 + b2 + + b j ' a1 a2 ak ( j ') , hay b j +1 + b j + + + b j ' = ak ( j ) +1 + + ak ( j ') Bi toỏn c chng minh hon ton Bi toỏn 5.16 (IMO Shorlist 2014) Cho s nguyờn dng c v xột dóy s nguyờn dng ( an ) c xỏc nh bi a1 = c v an+1 = an3 4c.an2 + 5c an + c Chng minh rng vi mi s nguyờn n tn ti mt s nguyờn t p cho p | an nhng p /| a1 , a2 , , an1 Li gii n gin ta t x0 = 0; xn = an , n Khi ú ( xn ) tha c xn+1 = c ( xn3 xn2 + xn ) + (1) Rừ rng xn l s t nhiờn v x1 = 1; x2 = 2c + Ta cú xn+1 = c xn ( xn ) + c xn + > xn , n (2) Suy dóy ( xn ) tng ngt T (1) ta cú ( xn +1 , c ) = , ú quy v vic chng minh vi mi s n tn ti mt s nguyờn t p cho p | xn nhng p /| x1 , x2 , , xn1 Ta cn ti ba b sau: B Nu i j (mod m) vi i, j v m thỡ xi x j (mod xm ) Chng minh Ta cn chng minh xi + m xi (mod xm ) vi mi i iu ny khỏ n gin bng cỏch c nh m v quy np theo i B Nu i j (mod m) vi i, j v m thỡ xi x j (mod xm ) Chng minh Ta cng chng minh xi + m xi (mod xm2 ) vi mi i bng quy np theo i v im mu cht õy ch l trng hp i = t L = 5c thỡ t (1) ta c xm+1 5c xm +1 Lxm +1 (mod xm2 ) 55 Suy xm3 +1 xm2 +1 + xm+1 ( Lxm +1) ( Lxm +1) + ( Lxm +1) (mod xm2 ) Do ú xm+ 2c +1 x2 (mod xm2 ) , tc l mnh ỳng vi i = B Vi mi s n ta cú xn > x1 x2 xn2 (3) Chng minh Quy np theo n Vi n = 2,3 thỡ mnh l hin nhiờn Gi s (3) ỳng vi n Ta cú x2 S dng ng thc (2) ta c xn x3 x2 ( x2 ) + x2 + Do ú xn+1 > xn3 xn2 + xn > xn2 xn2 > xn2 > xn xn1 Cựng vi gi thit quy np ta c xn+1 > x1 x2 xn1 , tc l (3) ỳng vi n + Tr li bi toỏn Vi n cho trc Theo b thỡ tn ti p nguyờn t cho v p ( xn ) > v p ( x1 x2 xn2 ) Ta ch cn chng minh p /| x1 , x2 , , xn1 Tht vy, nu tn ti k { 1,2, , n 1} nh nht xk Mp Theo (1) thỡ ( xn1, xn ) = v x1 = nờn k n Ta vit n = kq + r vi q ; r < k Theo b thỡ xn xr (mod xk ) ; p | x k ; p | xn suy p | xr , t ú r = v ta c k | n Do ú theo b thỡ xn xk (mod xk2 ) (4) Bõy gi t = v p ( xk ) ; T (4) suy xk2 Mp +1 , iu ny mõu thun vi cỏch chn T ú ta cú iu phi chng minh Bi toỏn 5.17 Cho trc s nguyờn dng t > Chng minh rng tn ti vụ s s nguyờn dng n cho dóy = ni + t ; i = 1,2, khụng cha bt kỡ ly tha bc ln hn mt ca s nguyờn dng no v n tha a) gcd ( n, t ) > b) gcd ( n, t ) = Li gii a) Do yờu cu bi toỏn l gcd ( n, t ) > , nờn ta s xột c nguyờn t p ca t, ta s chn n l bi ca p t v p ( t ) = k , ta chn n cho v p ( n ) > k thỡ luụn cú 56 v p ( ni + t ) = k Khi ú nu ni + t l ly tha bc r thỡ phi cú r | k Chỳ ý rng phng trỡnh a r + t = b r s vụ nghim vi a ln Do ú, ta chn n cú dng d k vi d ln v v p ( n ) > k l tha cỏc yờu cu bi b) Ta tip tc s dng ý tng v phng trỡnh a r + t = b r i t t + = p1a1 p2a2 pmam , ta cha xỏc nh c v p ( n + t ) vi p | t nh cõu (a) nờn u tiờn ta chn cỏc s p | t + Xột s n = ( (t + 1) t + 1) vi = xa1a2 am , ú x nguyờn dng no ú Khi ú ni + t + t ( mod(t + 1) ) , i i Do vy v p j ( n + t ) = a j , vi j m T ú nu ni + t l ly tha ca mt s nguyờn dng thỡ thỡ phi cú dng d s vi s | Chn x ln thỡ s cú , A = s n ln phng trỡnh As + t = d s vụ nghim, t ú dóy khụng cú s hng no dng d s (pcm) Bi toỏn 5.18 Cho s nguyờn dng n > Chng minh rng tn ti nht mt s n2 nguyờn dng A < n cho + chia ht cho n A Li gii Ta s chng minh rng s A = n + l s nht tha n2 Vi n = thỡ A < v ch cú A = tha Nu n > thỡ + 1Mn nờn A n2 n2 + + n Suy A A n2 A = n +1+ A n + D thy vi n n n2 n2 A = n + s tha bi vỡ + = ( n 1) + = n Vi A = n thỡ n + = n + n + khụng chia ht cho n 57 n2 n2 n2 n2 Vi < A < n , gi s + = kn thỡ kn = < + = kn Do ú A A A A n < kA n2 + A < n +1 n iu mõu thun ny chng t A = n + l s nht tha yờu cu bi toỏn Bi toỏn 5.19 Vi mi s nguyờn dng n , kớ hiu p ( n ) l c nguyờn t ln nht ca nú Chng minh rng tn ti vụ hn s nguyờn dng m cho p ( m 1) < p ( m ) < p ( m + 1) Li gii Ta cú nhn xột sau: Vi q nguyờn t l v a < b l hai s t nhiờn thỡ ta cú ( a ) b gcd q + 1; q + = ( ) 2 Tht vy, ta cú q = ( q 1) ( q + 1) ( q + 1) q + , ú q + 1| q + Suy b ( a ) b ( b ) ( b b a b ) gcd q + 1; q + phi l c ca q + q + = , nờn ta cú pcm n Tr li bi toỏn, t nhn xột trờn suy s q + cú vụ hn c nguyờn t phõn bit ( k ) Do ú tn ti s nguyờn dng k nh nht cho p q + > q , nh vy tt c cỏc j c nguyờn t ca q + ( j < k ) u nh hn q Bõy gi ta xột s m = q thỡ p ( m ) = q v bng cỏch chn thỡ p ( m + 1) > q Hn na k ( ) p ( m 1) = p q < q k Do ú tn ti vụ hn s nguyờn dng m cho p ( m 1) < p ( m ) < p ( m + 1) Bi toỏn 5.20 (IMO shorlist 2011) Cho a thc P ( x) = ( x + a1 ) ( x + a2 ) ( x + a9 ) , vi l cỏc s nguyờn phõn bit Chng minh rng tn ti s nguyờn N cho vi mi x N thỡ P ( x) chia ht cho mt s nguyờn t ln hn 20 58 Li gii Ta cú th gi s cỏc s u dng Ta cú nhn xột rng cú s nguyờn t nh hn 20 l cỏc s ca S = { 2,3,5,7,11,13,17,19} , P ( x) cú nhõn t bc nht, v õy chớnh l chỡa khúa gii quyt bi toỏn ny t a = max { a1 , a2 , , a9 } v N = a8 Ta s chng minh N tha yờu cu bi toỏn Tht vy, gi s tn ti x N m P ( x) ch cú cỏc c nguyờn t thuc S Vi mi i { 1,2, ,9} cỏc s x + ch cú biu din dng x + = 21.3 198 , j Do x + > x a8 > ai8 , i = 1,8 suy x + cú mt nhõn t f i ln hn a Theo nguyờn lý irichlet thỡ tn ti hai s i j cho f i v f j tng ng l ly tha ca cựng mt s nguyờn t, cú th gi s f i f j Xột hai s x + v x + a j u chia ht cho f i , suy a j Mfi Tuy nhiờn < a j max ( , a j ) a < f i T iu mõu thun ny dn ti iu phi chng minh Nhn xột Bi toỏn cú th c tng quỏt nh sau: Bi toỏn 5.20.1 Cho a thc P ( x) = ( x + a1 ) ( x + a2 ) ( x + ak ) , ú a1 , a2 , , ak l cỏc s nguyờn phõn bit Khi ú tn ti s nguyờn dng N cho vi mi s nguyờn x N thỡ P ( x) chia ht cho mt s nguyờn t ln hn pk Ngoi chng minh nh trờn ta cng cú th a thờm mt chng minh khỏc cho bi toỏn tng quỏt ny nh sau: Kớ hiu v p (a) l s m ca s nguyờn t p phõn tớch tiờu chun ca a Gi s mnh cn chng minh khụng ỳng thỡ tn ti mt dóy tng vụ hn cỏc s nguyờn dng ( xn ) ; lim xn = + cho cỏc s xi + a1 ; xi + a2 ; ; xi + ak u ch cú c nguyờn t thuc X = { p1 , p2 , , pk 1} ( v p ( xi + a1 ) ) = + Do lim ( xi + a1 ) = + nờn phi tn ti p j no ú m ilim + j Tng t nh vy vi cỏc s x + a2 ; ; x + ak 59 Cú tt c k s p j (1 j k 1) X nờn phi tn ti hai s bng Gi s ú l p j1 = p j2 = p ng vi xi + a1 ; xi + a2 Ta thy tn ti i cho v p ( xi + a1 ) > m; v p ( xi + a2 ) > m , suy a1 a2 Mp m Cho m + ta c iu mu thun Bõy gi ta a mt bi toỏn khỏc ỏp dng kt qu ca bi toỏn trờn Bi toỏn 5.20.2 Cho A l vụ hn ca cỏc s nguyờn dng Chng minh rng luụn tn ti hai s a, b A m a + b cú c nguyờn t ln hn 20162017 Hng dn Gi s tt c cỏc s nguyờn t c lit kờ di dng p1 < p2 < p3 < < pn < Gi s s nguyờn t pk > 20162017 Ly k s nguyờn phõn bit a1 , a2 , , ak A Theo kt qu bi toỏn trờn, tn ti N nguyờn dng cho vi mi s nguyờn x N thỡ P ( x) chia ht cho mt s nguyờn t ln hn pk Chn b A m b N Khi ú s no ú v b tha yờu cu bi toỏn Bi toỏn 5.21 Chng minh rng tn ti vụ hn cỏc b ba nguyờn t ( p, q, r ) ụi mt phõn bit cho p ( mod q ) q ( mod r ) r ( mod p ) n Li gii Vi mi s khụng õm n, t Fn = 22 + l s Fecmat quen thuc Ta chng minh mt s tớnh cht c bn s dng cho bi toỏn sau: ( ) n+ B Gi p l mt c nguyờn t bt kỡ ca thỡ p mod Tht vy, Gi h l cp ca modp, ta cú 2h 1(mod p) v h | 2n +1 Do Fn l nờn p l, ú p 1(mod p) nờn h | p Ta ch cn chng minh h = 2n +1 l xong Rừ rng h cú dng h = 2k , k n + n n Nu k n thỡ p | 2h 1| 22 , m p | 22 + p | (vụ lý) Vy k = n + , tc l h = 2n +1 Do ú p 1(mod 2n +1 ) , t ú p = 8k + 60 Khi ú l s chớnh phng modp, suy n +1 Nhng ord p (2) = nờn 2n +1 | p 1(mod p ) p p 1M2n + Ta cú iu phi chng minh B Hoc Fn l s nguyờn t hoc Fn cú ớt nht hai c nguyờn t phõn bit Tht vy, ta ch cn chng minh rng nu Fn khụng l s nguyờn t thỡ nú khụng phi l mt ly tha vi s m ln hn ca mt s nguyờn no ú Trc ht, ta ch n rng Fn khụng phi l s chớnh phng Tht vy, gi s 22 + = a thỡ 22 = ( a 1) ( a + 1) Suy a l v 22 n n = a a +1 2 n T õy ta d suy iu mõu thun Bõy gi, ta gi s 22 + = a k vi a, k l cỏc s nguyờn l v k Ta cú 22 = ( a 1) ( a k + a k + + a + 1) n Tuy nhiờn a k + a k + + a + l s l ln hn v ú khụng th l c ca 22 n iu mõu thun ny cho ta iu phi chng minh Quay tr li bi toỏn Ta s ch cỏch xõy dng cỏc b ( p, q, r ) nh sau: u tiờn ly n tựy ý * Nu Fn nguyờn t thỡ ta chn p = Fn , q l mt c nguyờn t bt kỡ ca Fn +1 v r l mt c nguyờn t bt kỡ ca Fn + * Nu Fn khụng nguyờn t thỡ theo b nú cú ớt nht hai c nguyờn t phõn bit v ta chn p, q l hai c nh vy v ta chn r l mt c nguyờn t ca Fn +1 Ta chng minh p, q, r tha yờu cu bi toỏn Tht vy, nu n nguyờn t thỡ 2n p = 22 = 22 n +1 m = ( Fn+1 1) 1MFn+1 Mq (do 22 = 2n+1.m vi m chn) Do q m n l c nguyờn t ca Fn+1 nờn theo b ta c q = 2n+ 2.k + vi k chn T ú suy 2q = 22 n+2 k = ( Fn+ 1) 1MFn+ M r Cui cựng r l c nguyờn t ca k 61 Fn+ r = 2n.h + nờn vi h l mt s nguyờn chn T ú 2r = 22 h = ( Fn 1) 1MFn Mp h n Cỏc trng hp khỏc ta xột tng t ý rng cỏc s Fn ụi mt nguyờn t cựng nờn xõy dng trờn cho ta vụ hn cỏc b ( p, q, r ) (pcm) Bi toỏn 5.22 Chng minh rng vi mi s nguyờn dng y, tn ti vụ hn cỏc s nguyờn t p 3(mod 4) cho p l c ca mt s cú dng 2n y + 1, n  + Li gii Ta ch cn xột trng hp y l Gi s y + = p11 p2 pk k l s phõn tớch tiờu chun ca y + Gi s ch cú hu hn cỏc s nguyờn t p 3(mod 4) tha bi Gi pk +1 , pk + , , pk + s l cỏc s nguyờn t dng 4t + cho pi { p1 , p2 , , pk } , i = k + 1, k + s ( ) +1 +1 +1 Chn n = + p1 p2 pk k pk +1 pk + pk + s , ú theo nh lý Euler ta cú ( 2n y + y + mod p11 +1 p2 +1 pk k +1 pk +1 pk + pk + s ) Suy p11 p2 pk k chia ht ỳng 2n y + v khụng cú s nguyờn t no cỏc s pk +1 , pk + , , pk + s chia ht 2n y + c T ú suy phõn tớch tiờu chun ca 2n y + cú cha p11 p2 pk k v ly tha ca s nguyờn t ng d theo mod4 Do y l nờn ta cú 2n y + p11 p2 pk k y + (mod 4) iu ny rừ rng mõu thun vỡ t n > , ta cú 2n y + (mod 4) Bi toỏn c chng minh hon ton 62 63 C PHN KT LUN Nhng quan trng ca ti Trờn õy, chỳng tụi ó trỡnh by mt s phng phỏp gii v cỏch tip cn vi cỏc bi toỏn v s tn ti s hc Cỏc bi toỏn c chn trỡnh by khỏ a dng v phong phỳ Qua cỏc phng phỏp v li gii c th, tỏc gi ó c gng a nhng nhn xột, nhng bi toỏn tng t hoc m rng chỳng Qua ú giỳp hc sinh tip cn v hỡnh thnh phng phỏp gii quyt mt lp cỏc bi toỏn cựng loi, c bit l giỳp cỏc em phỏt trin t v nhn dng c cỏc phng phỏp gii dng toỏn ny Cỏc bi chuyờn c chỳng tụi sp xp t d n khú v c chn lc t nhng cuc thi Olympic v toỏn gn õy nht, a phn l thi chn i tuyn ca cỏc nc, ú cú nhng bi toỏn khú, thm rt khú nhm bi dng hc sinh d thi Quc gia v thi vũng hai chn i tuyn Quc t Tỏc gi hy vng rng chuyờn ny cú th úng gúp mt phn vo vic bi dng hc sinh gii mng kin thc rt rng v khú l s hc v rt mong nhn c cỏc ý kin úng gúp ca cỏc thy chuyờn gia, cỏc thy cụ ng nghip chuyờn c sõu sc v hon thin hn na Nhng xut v kin ngh ging dy cú hiu qu chuyờn ny, giỏo viờn cn phi trang b cho hc sinh y nhng kin thc c bn ca s hc Khi ging dy chỳng ta cn chn lc nhng bi toỏn in hỡnh nht th hin c cho mt phng phỏp no ú Vic a lp cỏc bi toỏn tng t v phõn tớch tht k cng nh cỏc nh hng cú th nhn v xõy dng cu hỡnh cho bi toỏn tn ti l vic lm vụ cựng quan trng Theo tỏc gi, chuyờn ny cú th dựng dy cho hc sinh chuyờn toỏn lp 10 bt u t hc kỡ v l ti liu b ớch bi dng HSG Quc gia, Quc t mụn Toỏn Tỏc gi mnh dn kin ngh s a chng trỡnh s hc nhiu hn vo cp THCS hc sinh nm vng nhng kin thc c bn v tip cn sm cỏc bi toỏn liờn quan n s tn ti s hc Nu lm c iu ny thỡ chuyờn s rt hu ớch 64 v ỏp dng c cho nhiu i tng hn, c bit l bi dng v phỏt hin sm cỏc hc sinh cú nng khiu v Toỏn 65 Bi ỏp dng Bi (IMO Shorlist 2009) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho tn ti mt dóy cỏc s nguyờn dng a1 , a2 , , an tha món: ak2 ak +1 = vi mi k n ak + Bi (IMO Shorlist 2012) Chng minh rng vi mi s nguyờn t p > 100 v vi mi s nguyờn r luụn tn ti hai s nguyờn a, b cho a + b5 r chia ht cho p Bi Tỡm s nguyờn dng n ln nht cho vi n s nguyờn a1 , a2 , , an phõn bit bt kỡ, ta luụn chn c m nguyờn dng cho cỏc s m a1 , m a2 , , m an l cỏc s nguyờn dng ụi mt nguyờn t cựng Bi Cho dóy ( xn ) vi xn = 2n 3, n Chng minh rng dóy ( xn ) cha vụ hn cỏc cp s nguyờn t cựng Bi Chng minh rng tn ti vụ hn s nguyờn dng a cho dóy ( xn ) vi xn = n + a, n khụng cha mt s nguyờn t no Bi Cho hai s nguyờn dng m, n ln hn v gcd ( m, n ) = Chng minh rng p p tn ti vụ hn cỏc s nguyờn t p cho v p ( m n ) l Bi Xột dóy cỏc s nguyờn dng ( xn ) tha xn+1 = gcd ( xn , xn+1 ) + 2016 Chng minh rng tn ti dóy ( xn ) nh vy m cú ớt nht 20162017 s hng ụi mt phõn bit Bi Chng minh rng tn ti vụ s s nguyờn dng n cho n /| 2n + v n | 22 n +1 + Bi (USA TST 2008) Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n, tn ti cỏc s nguyờn t cựng ụi mt k0 , k1 , , kn (ki > 1) cho k0 k1 kn l tớch ca hai s nguyờn liờn tip 66 Bi 10 (IMO Shorlist 2002) Vi mi n nguyờn dng khụng phi l ly tha bc ba ta xột cỏc s a = n ; b = 1 ; c= Chng minh rng tn ti vụ hn cỏc s a [ a] b [ b] n tha tớnh cht sau: Tn ti cỏc s nguyờn r , s, t (khụng ng thi bng 0) cho + sb + tc = Bi 11 (IMO Shorlist 2002) Tỡm cp s nguyờn dng ( m, n ) , m, n cho tn am + a ti vụ hn s nguyờn dng a m n l s nguyờn a + a2 n Bi 12 (IMO Shorlist 2005) Cho a thc P ( x ) = an x + + a1 x + a0 h s nguyờn, an > 0, n Chng minh rng tn ti s nguyờn dng m P ( m!) l hp s Bi 13 (IMO Shorlist 2008) Cho cỏc s nguyờn dng phõn bit a1 , a2 , , an ( n ) Chng minh rng tn ti i j cho + a j khụng l c ca s no cỏc s 3a1 ,3a2 , ,3an Bi 14 (China TST 2012) Cho trc s nguyờn n Chng minh rng tn ti hu hn cỏc b n s nguyờn dng ( a1 , a2 , , an ) tha ng thi ba iu kin sau: i) a1 > a2 > > an ; ii) gcd ( a1 , a2 , , an ) = ; n iii) a1 = ( , +1 ) , coi an+1 = a1 i =1 Bi 15 (IMO 2003) Cho p nguyờn t Chng minh rng tn ti mt s nguyờn t q cho vi mi n nguyờn thỡ n p p khụng l bi ca q Bi 16 Chng minh rng vi mi n nguyờn dng, tn ti s t nhiờn k cho k 5n = am am1 a1 vit h thp phõn tha iu kin v i cú cựng tớnh chn l vi mi i = 1, m 67 Bi 17 Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n cho tn ti s nguyờn m tha 2n 1| m + Bi 18 Chng minh rng tn ti dóy s nguyờn dng ( an ) n0 tha iu kin: Vi mi s nguyờn dng k, dóy ( k + an ) n0 ch cha hu hn cỏc s nguyờn t Bi 19 a) Chng minh rng tn ti mt cp s cng cú di hu hn tựy ý cho mi s hng ca cp s cng ny u l ly tha ca mt s nguyờn t no ú b) Chng minh rng khụng tn ti mt cp s cng vụ hn tha iu kin trờn Bi 20 Chng minh rng vi mi s t nhiờn n, luụn tn ti n s t nhiờn liờn tip cho bt kỡ s no cỏc s ú cng cú c nguyờn dng dng 2k Bi 21 Cho hai s nguyờn dng p, q nguyờn t cựng Chng minh rng tn ti s nguyờn k cho ( pq 1) n k + l hp s vi mi s nguyờn dng n Bi 22 Chng minh rng tn ti s nguyờn k cho 2n k + l hp s vi mi s nguyờn dng n Bi 23 Cho a thc f ( x ) = 64 x + 21x + 27 Chng minh rng vi mi s nguyờn dng n luụn tn ti s t nhiờn x cho f ( x ) chia ht cho 2n Bi 24 Cho l mt s nguyờn t, chng minh rng cú vụ s cỏc s n Ơ * cho chia ht cho p 68 Ti liu tham kho [1] H Huy Khoỏi Nhng chng minh khỏc ca nh lý Euclid v s tn ti vụ hn ca hp s nguyờn t [2] Mt s thi hc sinh gii v chn i tuyn ca cỏc tnh nm 2015-2016 [3] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng October 25, 2006 104 Number Theory Problems [4] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu, An Introduction to Diophantine Equations [5] Titu Andreescu, Dorin Andrica Number Theory Structures, Examples, and Problems [6] Tp Crux nm 2015, 2016 [7] Ti liu t Internet: www.matlinks.ro, diendantoanhoc.net, matscope.org, imo.org.yu 69