1. CD Toán Kiều Đình Minh HÀM TỔNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN

HÀM TỔNG CÁC ƯỚC SỐ CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Kiều Đình Minh – Chv I ĐỊNH NGHĨA Cho số nguyên dương n Kí hiệu σ ( n ) tổng tất ước số nguyên dương n (kể d n ) Như σ ( n ) = ∑ d |n II CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN σ ( n ) hàm nhân tính, tức σ ( m.n ) = σ ( m ) σ ( n ) , ∀ ( m, n ) = α α α Giả sử n = p1 p2 pk ; pi ∈℘, α i ∈ ¥ ( i = 1, k ) Khi k pα +1 − p −1 α k +1 α1 +1 α +1 p − p2 − pk − σ ( n) = p1 − p2 − pk − σ ( pα ) = + p + p + + pα = III MỘT SỐ THÍ DỤ Thí dụ Tìm số tự nhiên n có phân tích tiêu chuẩn n = 2α 3β σ ( n ) = 403 Lời giải Ta có σ ( n) = 2α +1 − 3β +1 − = 13.31 −1 −1 Do tính dạng phân tích tiêu chuẩn ta có  2α +1 − = 31 α =  ⇒ +)  3β +1 − = 13  β =    2α +1 − = 13  ⇒ không tồn α , β +)  3β +1 − = 31   Vậy số tự nhiên cần tìm n = 24.32 = 144 Thí dụ Tìm tất số tự nhiên n cho σ ( n ) = 12 Lời giải Ta có 12 = 12.1 = 6.2 = 4.3 Để ý σ ( n ) hàm nhân tính Lại thấy 12.1 = σ ( 11) σ ( 1) = σ ( 11.1) = σ ( 11) ⇒ n = 11 4.3 = σ ( 3) σ ( ) = σ ( 3.2 ) = σ ( ) ⇒ n = Chú ý không tồn n để σ ( n ) = (và ước n, ngồi n > chắn σ ( n ) > ) Tóm lại : σ ( n ) = 12 ⇔ n ∈ { 6;11} Thí dụ Chứng minh với số tự nhiên n tồn số tự nhiên x, y cho x − y ≥ n 2 σ ( x ) = σ ( y ) Lời giải Giả sử s ≥ n, ( s,10 ) = Ta lấy x = 5s, y = 4s ta có σ ( x ) = σ ( y ) = 31σ ( s ) Thí dụ Cho số tự nhiên n > Chứng minh n ∈℘ σ ( n ) = n + Lời giải ( ⇒ ) n = p ∈℘ σ ( n ) = ( ⇐ ) Giả sử σ ( n ) = n + 2 p2 −1 = p + = n + p −1 n hợp số, n = p1α1 p2α pkα k ; pi ∈℘, α i ∈ ¥ , k > Khi σ ( n) = p1α1 +1 − pα2 +1 − pkα k +1 − = + p1 + + p1α1 + p2 + + p2α + pk + + pkα k ≥ p1 − p2 − pk − ( ( + p ) ( + p ) ( + p ) > p α1 αk k α2 α1 ) ( )( ) p2α pkα k + = n + Trái với giả thiết Vậy n ∈℘ n Thí dụ Chứng minh σ ( n ) số lẻ n số phương số phương α α α Lời giải ( ⇐ ) Nếu n = m n = 2m n = 2α p1 p2 pk , pi lẻ cịn α i chẵn Khi σ ( n ) = σ ( 2α ) σ ( p1α ) σ ( pkα ) Ta có σ ( 2α ) = 2α +1 − số lẻ, σ ( piα ) = + pi + + piα số lẻ, tổng số lẻ số lẻ Do σ ( n ) lẻ ( ⇒ ) Giả sử σ ( n ) lẻ, giả sử n = 2α p1α p2α pkα , với i, σ ( piα ) số lẻ Mặt khác 1 k k i k i i σ ( piαi ) = + pi + + piα i ≡ α i + 1( mod ) , suy α i chẵn Do đó, α chẵn n số n phương Nếu α lẻ số phương Thí dụ Chứng minh σ ( n ) = 2n + n bình phương số lẻ Lời giải Vì σ ( n ) = 2n + số lẻ nên theo thí dụ ta có n = 2α m , α ≥ m số lẻ Ta α +1 cần chứng minh α = Ta có σ ( n ) = 2n + = m + Do tính chất nhân tính hàm σ ( n ) ta lại α α +1 có σ ( n ) = σ ( ) σ ( m ) = ( − 1) σ ( m ) α +1 α +1 α +1 Vậy m + = ( − 1) σ ( m ) M2 − α +1 α +1 2 2 α +1 α +1 Lại có m + = m + − m + m = m ( − 1) + ( m + 1) M2 − Suy m + 1M2α +1 − Nếu α > 2α +1 − có dạng 4k − 1, có ước nguyên tố p dạng 4k − Vậy m ≡ −1( mod p ) , suy m p −1 ≡ ( −1) p −1 ≡ ( −1) ( mod p ) , trái với định lý Fermat Vậy α = , hay n bình phương số lẻ Thí dụ Chứng minh n hợp số σ ( n ) > n + n Lời giải ( ⇒ ) Giả sử n hợp số Khi ngồi ước n n cịn có ước d ( < d < n ) Lúc n n ước n (rõ ràng < < n ) Khi có hai khả xảy d d n n ≠ d Khi n có bốn ước 1, n, d , Vì d d n σ ( n) ≥ + n + d + ≥ + n + n > n + n d n +) Nếu = d (tức d = n ) Khi n có ba ước 1, n , n Suy d σ ( n ) ≥ + n + n > n + n +) Nếu ( ⇐ ) Giả sử σ ( n ) > n + n Rõ ràng σ ( 1) = < + ⇒ n ≠ Ta có σ ( p ) = p + < p + p ⇒ n ≠ p ∈℘ Vậy n phải hợp số Thí dụ Chứng minh σ ( n ) < n n , ∀n > Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp sau : i) n = pα , p ∈℘, α ≥ Thật σ ( pα ) = pα +1 − Do p −1 σ ( n ) < n n ⇔ pα +1 − < p α+ α ( p − 1) ⇔ pα +1 − < p α +1+ α −p α+ α Ta có α α 1+ p ≤ p ( p − 1) ⇔ p + p ≤ p α ⇔ pα +1 + p α+ α ≤p α α + +1

> 1+ 3 < 2 p , 2 p > ≥ + p p n iv) Với ta chứng minh quy nạp Giả sử bất đẳng thức đứng với k < n Nếu n σ ( n) < n n ⇔ σ ( n) = 1+ + p + p = 3( 1+ p ) < p p ⇔ + có dạng từ i) đến iii) xét tốn giải Nếu trái lại +) Với n = ab, ( a, b ) = 1;3 < a < n, b < n Khi σ ( n ) = σ ( a ) σ ( b ) < a a b b = n n α α −1 +) Với n = p = p.2 p ( α > 1) Khi σ ( pα ) = σ ( ) σ ( pα ) = pα +1 − Dễ thấy pα +1 − < ( p + 1) ( pα − 1) Suy p −1 pα +1 − pα − < ( p + 1) < p p σ ( pα −1 ) p −1 p −1 Vậy σ ( pα ) < p p 3σ ( pα −1 ) = p p σ ( pα −1 ) < p p pα −1 pα −1 = pα pα (theo giả thiết quy nạp) Thí dụ Chứng minh bất đẳng thức σ ( n ) > 3n với tập hợp vô hạn số tự nhiên n n Lời giải Rõ ràng d ước số n ước số n Vì d 1 1  σ ( n ) = d1 + d + + d k = n  + + + ÷ dk   d1 d Ở d1 , d , , d k tất ước tự nhiên n Lấy n số tùy ý cho bội số 16! = 1.2.3 16 Dĩ nhiên số số n vơ hạn (đó số có dạng k 16! với k = 1, 2, ) Nói riêng ước n có 1, 2,3, ,16 Vì lúc 1 1  1  1 σ ( n ) = n  + + + ÷ ≥ n  + + + + ÷ ( 1) dk  16    d1 d Để ý 1 1 1 1 1 1 1 1 1  1  1   + + + = + +  + ÷+  + + + ÷+  + + ÷ > + +  ÷+  ÷+  ÷ = ( ) 16 3 4 5 8 9 16       16  Từ ( 1) ( ) suy σ ( n ) > 3n Thí dụ 10 Chứng minh tồn vơ số số tự nhiên n khác cho σ ( n) σ ( k ) > , ∀k = 1, n − n k 1+ Lời giải Chứng minh phản chứng Giả sử tồn số hữu hạn số n có tính chất Gọi N số lớn có tính chất Khi σ ( N) σ ( N +k) ≥ , ∀k = 1, 2, ( *) N N +k σ ( N + 1) σ ( N ) ≥ , mâu thuẫn với cách chọn Ta chứng minh ( *) quy nạp Với k = 1, N +1 N σ ( N + k + 1) σ ( N ) ≥ , theo nguyên lý quy nạp số N ta Giả sử ( *) với k Nếu N + k +1 N σ ( N + k + 1) σ ( m ) ≥ Với m = 1, 2, , N + k , mâu thuẫn với cách chọn N Nếu lấy p số N + k +1 m nguyên tố lớn N từ ( *) ta suy σ ( N ) σ ( pN ) σ ( p ) σ ( N )  p +  σ ( N ) ≥ = = , mâu thuẫn ! ÷ N pN pN  p  N Thí dụ 11 Cho n ∈ ¥ * Chứng minh σ ( 1) + σ ( ) + + σ ( n ) ≤ n Lời giải Số hạng thứ i vế trái tổng tất ước i Nếu ta viết tất số hạng n bên vế trái chi tiết, số d , với ≤ d ≤ n, xuất   lần, lần cho bội d d  mà nhỏ n Vì vế trái bất đẳng thức địi hỏi n n n n n n n n   +   +   + + n   ≤ + + + + n = n n 1 2 3 n Ta xét tốn thi chọn đội tuyển trường phổ thơng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2003 mạnh sau: 7n +  ÷ Dấu xảy nào?   n n 7n + n n VT = i Lời giải Theo thí dụ ∑  i  Ta phải chứng minh ∑ i  i  ≤ n Với i =1 i =1 n n n n = 2k + r ( r = 0,1) , ta có i   ≤ i = n, ∀1 ≤ i ≤ k j   = j với k + ≤ j ≤ n Do i i   j  Thí dụ 12 Chứng minh σ ( 1) + σ ( ) + + σ ( n ) ≤ n  n n VT = ∑ i   ≤ kn + ( k + 1) + + n = kn + ( + + + n ) − ( + + + k ) = kn + ( n ( n + 1) − k ( k + 1) ) ≤ i =1  i  1 n−r n−r  n + 2n ( n − r ) n + n ( n + 1) −  + 1÷ = 7 n + 2n − ( r + 2rn − 2r )  ≤ 2 2    2r − r − 2rn = ( 1)  Dấu   n  i   = n, ∀1 ≤ i ≤ k ( )  i  Từ ( 1) suy r = ⇒ n = 2k Từ ( ) suy ( k − 1)  n  = n ⇒ n M( k − 1) , k ≥ ⇒ 2k M( k − 1) ⇒ k − 1∈ { 1; 2} ⇒ k ∈ { 2;3} ⇒ n ∈ { 4;6}  k −  7.6 + ⇒ n = khơng thỏa mãn Với n = VT = 23 ≠ Với n = thỏa mãn Với k = ⇒ n = thỏa mãn Vậy dấu xảy n ∈ { 2; 4} Thí dụ 13 Cho n ∈ ¥ * Chứng minh σ ( 1) σ ( ) σ ( n) + + + ≤ 2n n i i/d = Ta có ước i d i d σ ( i) = ∑ , ∀i ∈ ¥ * i d |i d Lời giải Nếu d ước i Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 n n n 1 n ∑ d + ∑ d + + ∑ d ≤ 2n ⇔   +   +   + + n  n  < 2n d |1 d |2 d |n   Với i ∈ ¥ * , ta có   < = Vì ta cần + + + < 2n, bất i i i i i n đẳng thức tầm thường n n n n Thí dụ 14 Cho a, b ∈ ¥ * Chứng minh σ ( a ) σ ( b ) = n n  ab  d σ  ÷ d  d |( a ,b ) ∑ a b Lời giải Đặt a = ∏ pi , b = ∏ pi ci = ( , bi ) , i = 1, 2, , k Trước hết ta chứng minh i i ci ∏∑ p σ ( p pi j =0 c Sau xem xét tổng có dạng + bi − j i j i ∑( p a +b − j j =0 ) = ∑ d σ  dab ÷ ( ) d | a ,b + p a +b − j −1 + + p j ) với c = ( a, b ) ý số lần xuất thừa số nguyên tố σ ( a ) σ ( b ) Từ suy điều phải chứng minh Thí dụ 15 Cho p, q số nguyên tố lẻ a, b số nguyên dương cho p a > q b a b a b a Chứng minh σ ( p ) σ ( q ) Mp σ ( q ) = p a a a a a b a Lời giải Ta có σ ( p ) = + p + + p ≡ 1( mod p ) ⇒ ( σ ( p ) , p ) = Do đó, σ ( p ) σ ( q ) Mp σ ( q b ) Mp a Mặt khác σ ( q b ) = + q + + q b = qb − b + q < 2q b < p a Từ < σ ( q b ) < p a σ ( q b ) Mp a q −1 suy σ ( q ) = p Thí dụ 16 (Putnam 1969) Cho số nguyên dương n cho n + chia hết cho 24 Chứng minh tổng tất ước n chia hết cho 24 Lời giải Từ giả thiết 24 | n + 1, n ≡ theo modulo d ≡ 1,3,5 modulo b a n d  ÷ ≡ −1(mod 3) ( mod ) là: d  n d ≡ 1, ≡ ( mod 3) ngược lại d n d ≡ 1, ≡ ( mod ) ngược lại d n d ≡ 3, ≡ ( mod ) ngược lại d n n n Trong tất trường hợp d + ≡ ( mod 3) ( mod 8) , từ 24 | d + với d ≠ , không ước d d d 24 | ∑ d = σ ( n ) sử dụng hai lần cặp Suy d |n Thí dụ 17 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 2, ta có σ ( n ) + ϕ ( n ) ≥ 2n Lời giải Giả sử ước n = d1 < d < < d k = n Trong số tự nhiên không vượt n số bội di Mỗi số không vượt n không nguyên tố với n phải di bội ước lớn n Và ta có n, có n − ϕ ( n) ≤ n n n n n + + + d d3 dk n Mặt khác d + d + + d = d k −1 + d k −2 + + d1 = σ ( n ) − n k Vậy n − ϕ ( n ) ≤ σ ( n ) − n, hay σ ( n ) + ϕ ( n ) ≥ 2n Khi n số nguyên tố ta có đẳng thức xảy Lời giải Nếu n = 1, n = pα dễ thấy bất đẳng thức Nếu n Ta chứng minh nhận xét sau : Khẳng định với m, n ( m, n ) = khẳng định với mn Thật σ ( n ) ≥ ϕ ( n ) , σ ( m ) ≥ ϕ ( m ) ⇒ ( σ ( n ) − ϕ ( n ) ) ( σ ( m ) − ϕ ( m ) ) ≥ ( σ ( n ) + ϕ ( n ) ) ( σ ( m ) + ϕ ( m ) ) ≥ 2n.2m = 4nm Cộng theo vế hai bất đẳng thức ta σ ( mn ) + ϕ ( mn ) ≥ 2mn Bài tốn chứng minh xong Thí dụ 18 (T6/256 THTT) Cho m ∈ ¥ * có phân tích tiêu chuẩn m = p1k p2k prk ; pi ∈℘, i = 1, r Chứng minh r − p1k1 +1 − p2k2 +1 − prkr +1 < m ( + ln m ) − p1 − p2 − pr Lời giải Ta có − p1k1 +1 − p2k2 +1 − prkr +1 σ ( m) = − p1 − p2 − pr m m m Mặt khác, d1 , d , , dt tất ước m d , d , , d tất ước m t 1 1   Vậy σ ( m ) = m  + + ÷ ≤ m 1 + + + ÷ ( 1) dt  m   d1 1 n dx m dx dx dx m dx dx 1 1 >∫ = ⇒ ln m = ∫ =∫ +∫ + + ∫ > + + + ( ) n −1 x n −1 n x x x m −1 x n m σ m < m + ln m ( ) Từ ( ) ( ) suy ( ) * Nhận xét : Ta có kết mạnh σ ( m ) < m ln m, ∀m ∈ ¥ , m > Lại có ∫ n BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm tất số tự nhiên n cho σ ( n ) = 18 Tìm tất số tự nhiên n cho σ ( n ) = 84 Chứng minh phương trình σ ( n ) = n + k với k > số tự nhiên cố định có số hữu hạn nghiệm n (Dirichlet) Chứng minh n n n k =1 j =1   ∑ σ ( k ) = ∑ j  j , ∀n ∈ ¥ * 2010 Hỏi tổng ∑σ ( k) k =1 số chẵn hay số lẻ ? σ ( n !) σ ( n !) 1 ≥ + + + + , ∀n ∈ ¥ * Từ suy lim = +∞ n! n n! σ ( a ) σ ( b )  σ ( ab ) σ ( a ) σ ( b ) ; ≤ Chứng minh Max  ≤ b  ab ab  a Chứng minh ... Lại có ∫ n BÀI TẬP TỰ LUYỆN Tìm tất số tự nhiên n cho σ ( n ) = 18 Tìm tất số tự nhiên n cho σ ( n ) = 84 Chứng minh phương trình σ ( n ) = n + k với k > số tự nhiên cố định có số hữu hạn nghiệm...   d1 d Ở d1 , d , , d k tất ước tự nhiên n Lấy n số tùy ý cho bội số 16! = 1.2 .3 16 Dĩ nhiên số số n vơ hạn (đó số có dạng k 16! với k = 1, 2, ) Nói riêng ước n có 1, 2,3, ,16 Vì lúc 1 1.. . 3n Thí dụ 10 Chứng minh tồn vô số số tự nhiên n khác cho σ ( n) σ ( k ) > , ∀k = 1, n − n k 1+ Lời giải Chứng minh phản chứng Giả sử tồn số hữu hạn số n có tính chất Gọi N số lớn có tính chất