Chủ đề 17 bội và ước số của số nguyên

Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, CHỦ ĐỀ 17: BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Với a, b ∈ Z b ≠ Nếu có số nguyên q cho a = b.q ta nói a chia hết cho b Ta cịn nói a bội b b ướccủa a Nhận xét - Nếu a = b.q ta nói a chia cho b q viết a : b = q - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên Tính chất Có tất tính chất tập N - Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c a Mb bMc ⇒ a Mc - Nếu a chia hết cho b bội a chia hết cho b a Mb ⇒ ka Mb ( k ∈ Z) - Nếu a, b chia hết cho c tổng hiệu chúng chia hết cho c a Mc, bMc ⇒ a + b Mc; a − b Mc - Nếu a, b chia cho c số dư a – b chia hết cho c Nhận xét: - Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho a a = ± b - Nếu a chia hết cho hai số m, n nguyên tố a chia hết cho m.n n - Nếu a chia hết cho số nguyên tố p a chia hết cho p - Nếu ab chia hết cho m b, m nguyên tố chung a chia hết cho m - Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN DẠNG Tìm bội ước số nguyên I PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Tập hợp bội số ngun a có vơ số phần tử - Tập hợp ước số số nguyên a Cách tìm: { k.a | k ∈ Z} ( a ≠ ) hữu hạn Trước hết ta tìm ước số nguyên dương a (làm tập số tự nhiên), chẳng hạn p, q, r Khi − p, − q, − r ước số a Do ước a p, q, r, – p, –q, –r Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Như số ước nguyên a gấp đơi số ước tự nhiên II VÍ DỤ Ví dụ 1) Tìm năm bội của: – 5; 5; 2) Tìm bội – 12, biết chúng nằm khoảng từ – 100 đến 24 Lời giải 1) Các bội số 5; –5 có dạng 5.k ( k ∈ Z) Chẳng hạn chọn năm bội số 5; –5 là: –15, –10, –5, 0, 2) Các bội số –12 có dạng 12.k ( k ∈Z) Cần tìm k cho: –100 < 12k < 24 { } Tức là: –9 < k < 2, chọn Vậy bội –12 nằm khoảng từ –100 đến 24 k ∈ −8; −7; −6; −5; −4; −3; −2; −1;0;1 −96, −84, −72, −60, −48, −36, −24, −12,0,12 Ví dụ Tìm tất ước của: 1) –3; 2) –25; 3) 12 Lời giải 1) Các ước tự nhiên 1, Do ước –3 −3, −1, 1, 2) Các ước tự nhiên 25 1, 5, 25 Do ước 25 −25, −5, −1, 1, 5, 25 3) Các ước tự nhiên 12 1, 2, 3, 4, 6, 12 Do ước 12 −12, −6, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 6, 12 Nhận xét: n m k Số tự nhiên a phân tích thừa số nguyên tố có dạng p q r (p, q, r số nguyên tố) số ước tự nhiên a ( n + 1) ( m + 1) ( k + 1) Khi số nguyên a, –a có ( n + 1) ( m + 1) ( k + 1) ước nguyên Số nguyên tố p có ước nguyên − p, −1, 1, p Ví dụ Tìm số ngun n để: 1) n chia hết cho –2; 2) chia hết cho n; 3) chia hết cho n + 1; 4) n – 18 chia hết cho 17 Lời giải 1) n chia hết cho –2, nên n bội Vậy n = 2k (k số nguyên tùy ý) 2) chia hết cho n, nên n ước Vậy n ∈ { −8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8} 3) chia hết cho n + 1, nên n + ước Suy n + ∈ { −9; −3; −1; 1; 3; 9} Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Với Với Với Với Với Với n + = −9 ⇔ n = −9 − ⇔ n = −10; n + = −3 ⇔ n = −3 − ⇔ n = −4; n + = −1 ⇔ n = −1 − ⇔ n = −2; n + = ⇔ n = − ⇔ n = 0; n + = ⇔ n = − ⇔ n = 2; n + = ⇔ n = − ⇔ n = −8; { } Vậy 4) n – 18 chia hết cho 17, nên n – 18 bội 17 Do n – 18 = 17k ( k ∈ Z) Vậy n = 18 + 17k ( k ∈ Z) III BÀI TẬP Bài 1) Tìm bốn bội –9; 2) Tìm bội –24, biết chúng nằm khoảng từ 100 đến 200 Bài Tìm tất ước của: 1) –17; 2) 49; 3) –100 Bài 1) Tìm tập hợp ƯC(–12; 16); 2) Tìm tập hợp ƯC(15;–18;–20) Bài Tìm số nguyên n để: 1) n chia hết cho 3; 2) –22 chia hết cho n; 3) –16 chia hết cho n – 1; 4) n + 19 chia hết cho 18 Bài Tìm tập hợp BC (15;–12;–30) n ∈ −10; −4; −2; 0; 2; Bài Cho hai tập hợp A = { 1; 2; 3; 4; 5} B = { −2; −4; −6} a) Viết tập hợp gồm phần tử có dạng a b với a ∈ A, b ∈ B b) Trong tích có tích chia hết cho 5? HƯỚNG DẪN Bài a) Chẳng hạn là: –18; –9; 0; b) 120; 144; 168; 192 Bài a) Ư(–17) = {–17; –1; 1; 17} b) Ư(49) = {–49; –7; –1; 1; 7; 49} c) Ư(100) = {–100; –50; –25; –20; –10; –5; –4; –2; –1; 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100} Bài a) ƯCLN(12; 16) = suy ƯC(–12; 16) = {–4; –2; –1; 2; 4} Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, b) ƯCLN(15; 18; 20) = suy raƯC(15; –18; –20) = {–1; 1} Bài a) n M3 mà (7; 3) = nên n M3 n = 3k (k ∈ ¢ ) b) −22 Mn nên n ∈ { − 22; − 11; − 2; − 1; 1; 2; 11; 22} c) −16 M(n − 1) nên (n − 1) ∈ { − 16; − 8; − 4; − 2; − 1; 1; 2; 4; 8; 16} Vậy n ∈ { − 15; − 7; − 3; − 1; 0; 2; 3; 5; 9; 17} d) (n + 19) M18 nên (n + 1) M18 suy n = 18k − (k ∈ ¢ ) Bài BCNN(15; 20; 30) = 60 Suy BC(15; –20; –30) = B(60) = 60k ( k ∈ ¢ ) Bài Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5} B = {–2; –4; –6} a) C = {ab | a ∈ A; b ∈ B} = { − 2; − 4; − 6; − 8; − 10; − 12; − 16; − 18; − 20; − 24; − 30} ( Chú ý: Các phần tử tập hợp phải khác đôi một) b) Trong tích có tích chia hết cho ứng với a = b∈ B DẠNG Vận dụng tính chất chia hết số nguyên I PHƯƠNG PHÁP GIẢI Để chứng minh biểu thức A chia hết cho số nguyên a; - Nếu A có dạng tích m.n.p cần m (hoặc n, p) chia hết cho a Hoặc m chia hết cho a1 , n chia hết cho a , p chia hết cho a a = a1a 2a - Nếu A có dạng tổng m + n + p cần m, n, p chia hết cho a, tổng số dư chia m, n, p cho a phải chia hết cho a - Nếu A có dạng hiệu m – n cần m, n chia cho a có số dư Vận dụng tính chất chia hết để làm tốn tìm điều kiện để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho hết II VÍ DỤ Ví dụ Chứng minh rằng: S = + + + + + + + chia hết cho (–6) Lời giải Nhóm tổng S thành tổng bội số (–6) cách: S = ( + 22 ) + ( 23 + 24 ) + ( 25 + 26 ) + ( 27 + 28 ) = + 22.6 + 24.6 + 6.6 Mỗi số hạng tổng S chia hết cho (–6), nên S chia hết cho (–6) Ví dụ Cho số a = −10 + Hỏi số a có chia hết cho (–9) không? Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Lời giải a = −10 + = −10 + + = − 199 +7 8 Số hạng đầu a chia hết cho 9, không chia hết a không chia hết cho gom chu so Do a khơng chia hết cho –9 Ví dụ Cho a, b số nguyên Chứng minh 6a + 11b chia hết cho 31 a + 7b chia hết cho 31 Điều ngược lại có khơng? Lời giải Ta có: 6a + 11b = ( a + 7b ) − 31b (*) a + 7b ) M31, Do 31bM31, 6a + 11bM31, từ (*) suy ( Mà 31 nguyên tố nhau, nên suy a + 7bM31 Ngược lại, a + 7bM31 , mà 31bM31, từ (*) suy 6a + 7bM31 Vậy điều ngược lại Ta phát biểu toán lại sau: “Cho a, b số nguyên Chứng minh 6a + 11b chia hết cho 31 a + 7b chia hết cho 31” Ví dụ Tìm số ngun x cho: 1) 3x + chia hết cho x − 3; 1) Nhận thấy 3x + = ( x − 3) + ( 3x + ) M( x − 3) 5M( x − 3) Suy x − ∈ { −5; −1; 1; 5} Vậy x ∈ { −2; 2; 4; 8} 2) Nhận thấy x + = x ( x + 1) − ( x + 1) + Do x ( x + 1) M( x + 1) , nên x + 7M( x + 1) 8M( x + 1) x + ∈ { −8; −4; −2; −1; 1; 2; 4; 8} Suy x ∈ { −9; − 5; − 3; − 2; 0; 1; 3; 7} Vậy Do ( x − 3) M( x − 3) , 2) x + ước số x + Lời giải nên III BÀI TẬP −39 ) Bài Chứng minh rằng: S = + + + + + + + + chia hết cho ( Bài Cho số a = 11 11 (gồm 20 chữ số 1) Hỏi số a có chia hết cho 111 không? Bài Cho a, b số nguyên Chứng minh 5a + 2b chia hết cho 17 9a + 7b chia hết cho 17 Bài Tìm số nguyên x cho: a) 2x – chia hết cho x – 1; b) x + ước số x + Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Bài Tìm cặp số nguyên x, y cho: ( x − 1) ( y + 1) = 5; x y + ) = −8; b) ( a) c) xy − 2x − 2y = Bài Tìm tất cặp số nguyên x, y cho 20x + 10y = 2010 Bài Tìm số nguyên x cho x – bội 15 x + ước số 1001 HƯỚNG DẪN Bài S = + + + + + + + + 3 = (3 + + ) + (3 + + ) + (3 + + ) = 39 + 33.39 + 36.39 = 39.(1 + 33 + 36)M39 Suy S M39 nên SM(−39) Bài Nhận thấy: a = 111.1017 + 111.1014 + 111.1011 + 111.108 + 111.105 + 111.102 + 11 17 14 11 =111.(10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 ) + 11 => a tổng hai số hạng có số chia hết cho 111, số không chia hết cho 111 nên a không chia hết cho 111 Vậy a không chia hết cho 111 Bài Xét hiệu 5.(9a + 7b) − 9.(5a + 2b) = 17b Nhận thấy 17b M17 nên: Nếu 9a + 7b M17 9.(5a + 2b) M17 , mà (9; 17) = nên 5a + 2b M17 Nếu 5a + 2b M17 5.(9a + 7b ) M17 , mà (5; 17) = nên (9a + 7b) M17 Bài a) x − = 2( x − 1) − nên (2 x − 5)M( x − 1) ⇔ 3M( x − 1) ( x − 1)∈{ − 3; − 1; 1; 3} Vậy x − ∈{ − 2; 0; 2; 4} 2 b) Do x + = x( x + 2) − 2( x + 2) + 12 nên ( x + 8) M( x + 2) ⇔ 12 M( x + 2) Do ( x + 2) ∈ { − 12; − 6; − 4; − 3; − 2; − 1; 1; 2; 3; 4; 6; 12} Vậy x ∈ { − 14; − 8; − 6; − 5; − 4; − 3; − 1; 0; 1; 2; 4; 10} Thaygiaongheo.com – Chia sẻ kiến thức THCS lớp 6, 7, 8, Bài a) Vì = 5.1 = (−1).(−5) nên ta có trường hợp sau: 1) x − = y + = ⇔ x = y = 2) x − = y + = ⇔ x = y = 3) x − = −1 y + = −5 ⇔ x = y = −6 4) x − = −5 y + = −1 ⇔ x = −4 y = −2 b) ( x; y ) = (−8; −1); (1; −10); (8; −3);(−1; 6); (−4; 0); (2; −6); (4; −4); (−2; −6) c) xy − x − y = ⇔ ( x − 2).( y − 2) = Do tìm ( x; y ) = (3; 6);(6; 3);(1; −2);(−2; 1);(4; 4);(0; 0) Bài Từ điều kiện đề suy x + y = 201 201 số lẻ 2x số chẵn, suy y số lẻ Khi y có dạng: y = 2k + ( k ∈ ¢ ) ⇒ x = 100 − k Chẳng hạn, bốn cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn: ( x; y ) = (100; 1); (99; 3); (101; − 1); (98; 5) Bài Ư(1001) = {1001; –1001; 143; –143; 91; –91; 77; –77; 13; –13; 11; –11; 7; –7; 1; –1} Ta có: x – bội 15 nên x – = 15k ( k ∈ ¢ ) ⇔ x + = 15k + ( k ∈ ¢ ) Mà x + ước 1001 nên kiểm tra thấy x + = 77 ⇔ x =76 Vậy x = 76 ... 7b) − 9.(5a + 2b) = 17b Nhận thấy 17b M17 nên: Nếu 9a + 7b M17 9.(5a + 2b) M17 , mà (9; 17) = nên 5a + 2b M17 Nếu 5a + 2b M17 5.(9a + 7b ) M17 , mà (5; 17) = nên (9a + 7b) M17 Bài a) x − = 2(... cho 17, nên n – 18 bội 17 Do n – 18 = 17k ( k ∈ Z) Vậy n = 18 + 17k ( k ∈ Z) III BÀI TẬP Bài 1) Tìm bốn bội –9; 2) Tìm bội –24, biết chúng nằm khoảng từ 100 đến 200 Bài Tìm tất ước của: 1) ? ?17; ... lớp 6, 7, 8, Như số ước nguyên a gấp đơi số ước tự nhiên II VÍ DỤ Ví dụ 1) Tìm năm bội của: – 5; 5; 2) Tìm bội – 12, biết chúng nằm khoảng từ – 100 đến 24 Lời giải 1) Các bội số 5; –5 có dạng