CHỦ ĐỀ 9: SỐ NGUYÊN TỐ - HỢP SỐ A/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ Dịnh nghĩa: * Số nguyên tố số tự nhiên lớn 1, có hai ước * Hợp số số tự nhiên lớn 1, có nhiều hai ước Tính chất: * Nếu số nguyên tố p chia hết cho số nguyên tố q p = q * Nếu tích abc chia hết cho số ngun tố p thừa số tích abc chia hết cho số nguyên tố p * Nếu a b không chia hết cho số nguyên tố p tích ab khơng chia hết cho số nguyên tố p Cách nhận biết số nguyên tố: a) Chia số cho số nguyên tố biết từ nhỏ đến lớn - Nếu có phép chia hết số khơng phải số nguyên tố - Nếu chia lúc số thương nhỏ số chia mà phép chia cịn số dư số số nguyên tố b) Một số có ước số lớn số khơng phải số ngun tố Phân tích số thừa số nguyên tố: * Phân tích số tự nhiên lớn thừa số nguyên tố viết số dạng tích thừa số nguyên tố - Dạng phân tích thừa số nguyên tố số ngun tố số - Mọi hợp số phân tích thừa số nguyên tố A = aα bβ .cγ Ví i a, b, c số nguyên tố , , , N vµ α, β, , γ ≥ Số ước số tổng ước số số: Gi¶ sư A = aα bβ .cγ Ví i a, b, c số nguyên tố , , , γ ∈ N vµ α, β, , γ ≥ 1 Số c số A là: (α+1)(β+1) (γ +1) Tỉng c¸c í c sè cđa A lµ: aα +1 − bβ+1 − cγ+1 − a − b− c−1 B/ CÁC DẠNG TOÁN DẠNG NHẬN BIẾT SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ - Căn vào định nghĩa số nguyên tố hợp số - Căn vào dấu hiệu chia hết - Có thể dùng bảng nguyên tố cuối SGK để xác định số (nhỏ 1000) số nguyên tố hay không Bài Các số sau số nguyên tố hay hợp số ? 312 ; 213 ; 435 ; 417 ; 3311 ; 67 Giải Các số 312, 213, 435 417 hợp số chúng lớn chia hết cho Số 3311 hợp số số lớn 11 chia hết cho 11 Số 67 số ngun tố lớn 1, có hai ước Bài Gọi p tập số nguyên tố Điền kí hiệu ∈ , ∉ ⊂ vào chỗ trống cho : 83 … P, 91 … P, 15 … n, 91 ∉ P, 15 ∈ n, P…n Đáp số 83 ∈ P, P⊂n Bài Dùng bảng số nguyên tố cuối SGK, tìm số nguyên tố số sau : 117 ; 131 ; 313 ; 469 ; 647 Đáp số Các số nguyên tố : 131 ; 313 ; 647 Bài Tổng (hiệu) sau số nguyên tố hay hợp số ? a) 3.4.5 + 6.7 ; b) 7.9.11.13 – 3.4.7; c) 5.7 + 11.13.17 ; d) 16354 + 67541 Giải a) Mỗi số hạng tổng chia hết cho Tổng chia hết cho lớn nên hợp số b) Mỗi số hạng hiệu chia hết cho Hiệu chia hết cho lớn nên hợp số c) Mỗi số hạng tổng số lẻ nên tổng số chẵn Tổng chia hết cho lớn nên hợp số d) Tổng tận nên chia hết cho Tổng lại lớn nên hợp số Bài Điền dấu “x ” vào thích hợp : Câu Đúng a) Có hai số tự nhiên liên tiếp số nguyên tố … b) Có ba số lẻ liên tiếp số nguyên tố … c) Mọi số nguyên tố số lẻ … d) Mọi số nguyên tố có chữ số tận chữ số 1, 3, 7, Trả lời Sai … … … … a) Đúng, ví dụ b) Đúng, ví dụ 3, c) Sai, ví dụ số nguyên tố chẵn Bổ sung thêm điều kiện để câu sau trở thành câu : Mọi số nguyên tố lớn số lẻ d) Sai, ví dụ số nguyên tố tận Bổ sung : Mọi số nguyên tố lớn tận chữ số 1, 3, 7, DẠNG VIẾT SỐ NGUYÊN TỐ HOẶC HỢP SỐ TỪ NHỮNG SỐ CHO TRƯỚC - Dùng dấu hiệu chia hết - Dùng bảng số nguyên tố nhỏ 1000 Bài Thay chữ số vào dấu * để hợp số : ; Giải Trong bảng số nguyên tố có 11, 13, 17, 19 số nguyên tố Vậy hợp số có dạng số 10, 12, 14, 15, 16, 18 Trong bảng có 31, 37 số nguyên tố Vậy hợp số có dạng Cách khác: Với số * = (để chọn * 0, 2, 4, 6, (để chia hết cho 2) chọn chia hết cho 5) Với số (để 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39 chọn * 0, 2, 4, 6, (để chia hết cho 3), * = (để chia hết cho 2), chọn * 3, chia hết cho 5) Bài Thay chữ số vào dấu * để số nguyên tố : Đáp số : 53 ; 59 ; 97 Bài a) Tìm số tự nhiên k để k số nguyên tố b) Tìm số tự nhiên k để k số nguyên tố ; Giải a) Với k = k = 0, khơng số nguyên tố, không hợp số Với k = k = 3, số nguyên tố Với k ≥ k hợp số (vì có ước khác khác nó) Vậy với k = k số nguyên tố b) Đáp số : k = DẠNG 3: TÌM SỐ NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN Bài 1: Ta biết có 25 số nguyên tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số ngun tố cịn lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố HD: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số ngun tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số ngun tố 2003 hay khơng? Vì sao? HD: Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p, cho p + p + số nguyên tố HD: Giả sử p số nguyên tố - Nếu p = p + = p + = số nguyên tố - Nếu p ≥ số ngun tố p có dạng: 3k, 3k + 1, 3k + với k ∈ N* +) Nếu p = 3k ⇒ p = ⇒ p + = p + = số nguyên tố +) Nếu p = 3k +1 p + = 3k + = 3(k + 1) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số +) Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy với p = p + p + số nguyên tố Bài 5: Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố HD: Giả sử a, b, c, d, e số nguyên tố d >e Theo ra: a =b +c =d - e (*) Tõ (*) ⇒ a >2 a số nguyên tố lẻ b +c d - e số lẻ Do b, d số nguyên tố b, d số lẻ c, e số chẵ n c =e =2 (do c, e số nguyªn tè) ⇒ a =b +2 =d - ⇒ d =b +4 Vậy ta cần tì m số nguyên tè b cho b +2 vµ b +4 cịng số nguyên tố Bi 6: Tỡm tt c số nguyên tố x, y cho: x2 – 6y2 = HD: Ta cã: x2 − 6y2 = 1⇒ x2 − = 6y2 ⇒ (x − 1)(x + 1) = 6y2 Do 6y2 M2 ⇒ (x − 1)(x + 1)M2 Mµ x - +x +1 =2x ⇒ x - vµ x +1 cã cï ng tính chẵ n lẻ x - x +1 hai số chẵ n liên tiếp (x − 1)(x + 1)M ⇒ 6y2 M ⇒ 3y2 M4 ⇒ y2 M2 ⇒ yM2 ⇒ y = ⇒ x = Bài 7: Tìm số nguyên tố p cho số sau số nguyên tố: a) p + p + 10 b) p + 10 p + 20 c) p + 10 p + 14 d) p + 14 p + 20 e) p + 2và p + f) p + p + 14 g) p + p + 10 h) p + p + 10 DẠNG CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ NGUYÊN TỐ HAY HỢP SỐ - Để chứng minh số số nguyên tố, ta chứng minh số khơng có ước khác khác - Để chứng minh số hợp số, ta tồn ước khác khác Nói cách khác, ta chứng minh số có nhiều hai ước Bài Hãy chứng minh tích hai số nguyên tố hợp số Giải Tích hai số nguyên tố giống p.p có ba ước 1, p p Tích hai số nguyên tố khác p1.p2 có bốn ước 1, p1, p2 p1.p2 Vậy tích hai số nguyên tố hợp số Bài 2: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + hợp số HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k ∈ N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 2) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số (Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 3) ⇒ p + M3 p + > Do p + hợp số Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + p + hợp số Bài 3: Chứng minh số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – HD: Mỗi số tự nhiên n chia cho có số dư: 0; 1; 2; Do số tự nhiên n viết dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + với k ∈ N* - Nếu n = 4k ⇒ n M4 ⇒ n hợp số - Nếu n = 4k + ⇒ n M2 ⇒ n hợp số Vậy số nguyên tố lớn có dạng 4k + 4k – Hay số nguyên tố lớn có dạng 4n + 4n – với n ∈ N* Bài 4: Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh p + M6 HD: Vì p số nguyên tố p > 3, nên số nguyên tố p có dạng: 3k + 1, 3k + với k ∈ N* - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) ⇒ p + M3 p + > => p + hợp số ( Trái với đề p + số nguyên tố) - Nếu p = 3k + p + = 3k + = 3(k + 1) (1) Do p số nguyên tố p > ⇒ p lẻ ⇒ k lẻ ⇒ k + chẵn ⇒ k + M2 (2) Từ (1) (2) ⇒ p + M6 Bài 5: a) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số b) Cho p 2p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 4p + hợp số c) Cho p 10p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 5p + hợp số d) Cho p p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: p + hợp số e) Cho p 4p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 2p + hợp số f) Cho p 5p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 10p + hợp số g) Cho p 8p + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p - hợp số h) Cho p 8p - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p + hợp số i) Cho p 8p2 - số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 + hợp số j) Cho p 8p2 + số nguyên tố (p > 3) Chứng minh rằng: 8p2 - hợp số Bài 6: Chứng minh rằng: a) Nếu p q hai số nguyên tố lớn p2 – q2 M24 b) Nếu a, a + k, a + 2k (a, k ∈ N*) số nguyên tố lớn k M6 ... nguyên tố nhỏ ba số nguyên tố HD: Vì tổng số nguyên tố 1012, nên số ngun tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn số nguyên tố nhỏ Vậy số nguyên tố nhỏ số nguyên tố Bài 3: Tổng số ngun tố. .. 25 số nguyên tố số chẵn hay số lẻ HD: Trong 25 số nguyên tố nhỏ 100 có chứa số nguyên tố chẵn 2, 24 số ngun tố cịn lại số lẻ Do tổng 25 số nguyên tố số chẵn Bài 2: Tổng số nguyên tố 1012 Tìm số. .. Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố Bài 4: Tìm số nguyên tố p, cho