Chương SỐ NGUYÊN Phần I Hướng dẫn sử dụng Maple 5.1 Phép chia Một số hàm liên quan tới phép chia biểu diễn số nguyên • iquo(a, b): tính phần thương chia a cho b • irem(a, b): tính phần dư chia a cho b • convert(n, base, b): biểu diễn theo số b số nguyên n, kết viết theo thứ tự ngược • convert([a0 , a1 , , ak−1 , ak ], base, b, c): chuyển số có dạng biểu diễn theo số b ((ak ak−1 a1 a0 )b ) sang dạng biểu diễn theo số c Lưu ý dạng biểu diễn viết theo thứ tự ngược • convert(n, binary): biểu diễn nhị phân n • convert(n, octal): biểu diễn bát phân n • convert(n, hex): biểu diễn thập lục phân n > iquo(234, 5); 46 > irem(234, 5); > convert(23234, base, 4); #Lưu ý kết thứ tự ngược lại [2, 0, 0, 3, 2, 2, 1, 1] > convert([2, 0, 0, 3, 2, 2, 1, 1], base, 4, 10); [4, 3, 2, 3, 2] > convert(2324, binary); 100100010100 > convert(2324, octal); 4424 > convert(4534, hex); 11B6 5.2 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ • igcd(a1 , a2 , ,an ): tính ước chung lớn a1 , a2 , ,an • ilcm(a1 , a2 , ,an ): tính bội chung nhỏ a1 , a2 , ,an CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt • igcdex(a, b, ‘s‘, ‘t‘): trả giá trị d =igcd(a, b) hai giá trị s, t cho d = sa + tb > igcd(8723122, 30556708); 254 > igcd(24, 12, 18); > ilcm(24, 12, 18); 72 > igcdex(712, 546, ’s’, ’t’); > s; 125 > t; −163 5.3 Số nguyên tố • isprime(a): kiểm tra a có phải số ngun tố khơng? • ithprime(n): số nguyên tố thứ n • nextprime(a): số nguyên tố nhỏ mà lớn hay a • prevprime(a): số nguyên tố lớn mà nhỏ hay a • ifactor(a): phân tích a thành thừa số nguyên tố • ifactors(a): phân tích a thành thừa số nguyên tố viết dạng danh sách > isprime(265261); true > ithprime(45); 197 > nextprime(14); 17 > prevprime(35); 31 > ifactor(29717395672536); (2)3 (3)5 (11)(13)2 (31)(265261) >ifactors(29717395672536); [1, [[2, 3], [3, 5], [11, 1], [13, 2], [31, 1], [265261, 1]]] >ifactors(-29717395672536); [−1, [[2, 3], [3, 5], [11, 1], [13, 2], [31, 1], [265261, 1]]] CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Phần II Bài tập Ký hiệu : N∗ = N \ {0} Z∗ = Z \ {0} Bài 5.1 Tìm tất k ∈ Z thỏa a) (k + 5k + 5)(k − 2k − 9) = b) (3k + 4k − 17)(−5k + k + 49) = −2 Bài 5.2 Tìm tất x, y ∈ Z thỏa a) x + y + xy = b) 3x = 4y + c) 1 y = + x d) x = + y Bài 5.3 Cho n ∈ N m, k ∈ Z Chứng minh a) | (2n − 1) ⇔ | n e) 121 không chia hết (k + 3k + 5) b) không chia hết (2n + 1) f) 11 | (6k − 7m) ⇔ 11 | (4m − 5k) c) 100 không chia hết (9n + 1) g) 13 | (m + 4k) ⇔ 13 | (10m + k) d) 11 | (k + 3k + 5) ⇔ k = 4t + 11 với t ∈ Z h) 17 | (3m + 2k) ⇔ 17 | (5m + 9k) Bài 5.4 Tìm số nguyên a cho a) a ≡ −15 (mod 27) 126 ≤ a ≤ 152 c) a ≡ 99 (mod 41) 100 ≤ a ≤ 140 b) a ≡ 24 (mod 31) − 85 ≤ a ≤ −55 d) a ≡ 16 (mod 42) 201 ≤ a ≤ 242 Bài 5.5 Cho a, b số nguyên a ≡ 11 (mod 19), b ≡ (mod 19) Tìm số nguyên c với ≤ c ≤ 18 cho a) c ≡ 13a (mod 19) c) c ≡ a − b (mod 19) e) c ≡ 2a2 + 3b2 (mod 19) b) c ≡ 8b (mod 19) d) c ≡ 7a + 3b (mod 19) f) c ≡ a3 + 4b3 (mod 19) Bài 5.6 Tìm d = (m, n), e = [m, n] theo cách khác (bằng thuật chia Eulide phân tích m thừa số nguyên tố), dạng tối giản chọn a, b, u, v ∈ Z cho d = am + bn n u v = + m n có giá trị sau đây: e m n a) 43 16 e) 936 715 i) 12096 17640 b) 128 −352 f) 6234 −3312 j) 87657 −44441 c) −442 276 g) −35298 6768 k) −654321 123456 d) −675 −459 h) −8820 −36288 l) −148500 −7114800 Bài 5.7 Chứng minh ∀k ∈ Z, a) (14k + 3, 21k + 4) = c) (18k − 12, 21 − 30k) = b) (24k + 2, −60k − 4) = d) (20−75k, 25−100k) = Bài 5.8 Cho m, n ∈ N∗ Giả sử n = pr11 pr22 prkk dạng phân tích thừa số nguyên tố n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt a) n có ước số dương có ước số ? b) Giả sử n có 2m ước số dương Chứng minh ∀j ∈ 1, 2, , k, ∃sj ∈ N∗ , rj = 2sj − Bài 5.9 Cho n = 214 39 58 710 113 138 3710 a) n có ước số dương có ước số ? b) n có ước số dương chia hết cho 23 34 57 112 372 ? c) n có ước số dương chia hết cho 166 400 000? Bài 5.10 Phân tích 15!, 20! 25! thành tích thừa số nguyên tố Bài 5.11 Cho k ∈ N∗ Tìm n ∈ N∗ cho n có k ước số dương Bài 5.12 Cho m, n ∈ N∗ n ≥ a) Chứng minh √ √ n m ∈ N ⇔ n m ∈ Q b) Giả sử m = pr11 pr22 prkk là√dạng phân tích thừa số nguyên tố m có j ∈ {1, 2, , k} thỏa rj lẻ Chứng minh n m ∈ Q Bài 5.13 Hãy biểu diễn số sau theo hệ nhị phân, bát phân thập lục phân a) 15 c) 3453 e) 45324523 b) 234 d) 24234535 f) 65646434234 Bài 5.14 Hãy biểu diễn số sau theo hệ thập phân a) (1 1011)2 e) (572)8 i) (80E)16 b) (10 1011 0101)2 f) (1604)8 j) (135AB)16 c) (11 1011 1110)2 g) (423)8 k) (ABBA)16 d) (111 1100 0001 1111)2 h) (2417)8 l) (DEF ACED)16 Bài 5.15 Hãy tính tổng tích cặp số sau biểu diễn chúng theo số tương ứng a) (100 0111)2 , (111 0111)2 i) (763)8 , (147)8 b) (1110 1111)2 , (1011 1101)2 j) (6001)8 , (272)8 c) (10 1010 1010)2 , (1 1111 0000)2 k) (1111)8 , (777)8 d) (10 0000 0001)2 , (11 1111 1111)2 l) (54321)8 , (3456)8 e) (112)3 , (210)3 m) (1AE)16 , (BBC)16 f) (2112)3 , (12021)3 n) (20CBA)16 , (A01)16 g) (20001)3 , (1111)3 o) (ABCDE)16 , (1111)16 h) (120021)3 , (2002)3 p) (E0000E)16 , (BAAA)16 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt ... > t; −163 5.3 Số nguyên tố • isprime(a): kiểm tra a có phải số ngun tố khơng? • ithprime(n): số nguyên tố thứ n • nextprime(a): số nguyên tố nhỏ mà lớn hay a • prevprime(a): số nguyên tố lớn... n có ước số dương có ước số ? b) n có ước số dương chia hết cho 23 34 57 112 372 ? c) n có ước số dương chia hết cho 166 400 000? Bài 5.10 Phân tích 15!, 20! 25! thành tích thừa số nguyên tố... pr11 pr22 prkk dạng phân tích thừa số nguyên tố n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt a) n có ước số dương có ước số ? b) Giả sử n có 2m ước số dương Chứng minh ∀j ∈ 1, 2,