Bài tập toán rời rạc đại học bách khoa hà nội

GIẢI BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC PHẦN I – LÝ THUYẾT TỔ HỢP Chapter I – Nhập Mơn Tốn Rời Rạc (Introduce) Chapter II – Bài Toán Đếm Tổ Hợp (Counting Problem) I NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN II CHỈNH HỢP, HOÁN VỊ, TỔ HỢP 13 III NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 18 IV HỆ THỨC TRUY HỒI 23 V HÀM SINH 35 Chapter III – Bài Toán Tồn Tại (Existence) 38 Chapter IV – Bài Toán Liệt Kê Tổ Hợp (Enumeration) 40 Chapter V – Bài Toán Tối Ưu Tổ Hợp 41 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt GIẢI BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC NGUYỄN ĐỨC NGHĨA PHẦN I – LÝ THUYẾT TỔ HỢP Chapter I – Nhập Môn Toán Rời Rạc (Introduce) Bài 1: Cho biết hệ thức đây, hệ thức hệ thức sai a) A  A  B b) C   A  B   C c) A  B  A  B d) A   B  A  A  B e)  A  B \  A  B  A \ B Giải a) Sai  Xét tập 𝐴 = {1, 2} tập 𝐵 = {2, 3}  Ta có A  B  {2}  Do 1  A  B  nên ta có A   A  B   Từ đó, Kết luận mệnh đề sai b) Đúng  Nếu  A  B      A  B   C  C  C  Nếu  A  B   W   A  B   C  W  C  C  Từ đó, Kết luận mệnh đề c) Sai  Xét tập 𝐴 = {1, 2} tập 𝐵 = {2, 3}  Ta có A  B  {2} A  B  {1, 2,3}  Do {1,3}   A  B  nên ta có  A  B    A  B   Từ đó, Kết luận mệnh đề sai d) Sai  Ta sử dụng mệnh đề A   B  C    A  B    A  C   Ta có A   A  B    A  A   A  B   A   A  B   A  Ta có mệnh đề A   A  B  sai (Câu a)  Từ đó, Kết luận mệnh đề sai e) Sai  Xét tập 𝐴 = {1, 2} tập 𝐵 = {2, 3}  Ta có A  B  {1, 2,3} A  B  {2}   Ta có  A  B  \  A  B   {1,3} A \ B  {1}  Ta thấy 1,3  1 Từ đó, Kết luận mệnh đề sai LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 2: Ký hiệu ℤ tập số nguyên Xét hai tập ℤ: 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ ∶ 𝑥 = 4𝑝 − với 𝑝 ∈ ℤ đó} 𝐵 = {𝑦 ∈ ℤ ∶ 𝑦 = 4𝑞 − với 𝑞 ∈ ℤ đó} Chứng minh 𝐴 = 𝐵 Giải Xét x  A  x  p  p  Xét y  B  y  4q  q  Ta có x  p    p  1  Với giá trị 𝑥 tồn giá trị 𝑞 = 𝑝 + ∈ ℤ cho 𝑥 = 4𝑞 − Từ ta có 𝐴 = 𝐵 Bài 3: Xét hai tập: A1  n  : n  0 A2  n  : n  0 Hỏi hai tập A1 A2 có tạo thành phân hoạch đưa phân hoạch hay không ? Nếu giải thích câu trả lời, sai, Giải  Ta có A1  A2  \ 0   Từ ta có A1 A2 khơng phủ kín tập nên chúng không tạo thành phân hoạch tập Ta có phân hoạch tập sau:  Xét tập A1  n  : n  0 - Tập số nguyên âm  Xét tập A2  n  : n  0 - Tập số ngun khơng âm  Từ ta thấy A1 A2 phủ kín tập nên chúng tạo thành phân hoạch tập Bài 4: Cho 𝐴 = {0, 1, 2, 3, 4} xác định quan hệ ℝ 𝐴 bởi: 𝑅 = {(0,0); (2, 1); (0, 3); (1, 1); (3, 0); (1, 4); (4, 1); (2, 2); (2, 4); (3, 3); (4, 4); (1, 2); (4, 2)} Chỉ quan hệ ℝ quan hệ tương đương hay không ? Nếu câu trả lời khẳng định đưa phân hoạch 𝐴 thành lớp tương đương theo quan hệ ℝ cho Bài 5: Xét tập với phần tử số nguyên: A0   , 10, 5,0,5,10,15, 20, 25,  ; A1   , 9, 4,1,6,11,16, 21, 26, ; A2   , 8, 3, 2,7,12,17, 22, 27,  ; A3   , 7, 2,3,8,13,18, 23, 28,  ; LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt A4   , 6, 1, 4,9,14,19, 24, 29, ; a) Chỉ tập A0 , A1 , A2 , A3 A4 tạo thành phân hoạch tập số nguyên ℤ b) Chỉ quan hệ 𝑠 tương ứng với phân hoạch LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Chapter II – Bài Toán Đếm Tổ Hợp (Counting Problem) I NGUYÊN LÝ CỘNG VÀ NGUYÊN LÝ NHÂN Bài 1: Cho ký tự 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸 a) Có xâu ký tự có độ dài lập từ ký tự cho (Nếu không cho phép lặp lại ký tự) Giải Ví dụ: A D E B Cách 1:  Chọn phần tử từ tập phần tử {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸} với ký tự khơng lặp lại chỉnh hợp Theo đề số cách chọn A54  120 Cách 2:   Gọi xâu ký tự a1a2 a3a4 Với  X   A, B, C, D, E  Số cách chọn phần tử thứ a1 xâu là:  Số cách chọn phần tử thứ hai a2 xâu từ tập X \ a1  Số cách chọn phần tử thứ ba a3 xâu từ tập X \ a1 , a2   Số cách chọn phần tử thứ tư a4 xâu từ tập X \ a1 , a2 , a3 Theo nguyên lý nhân số xâu ký tự có (Thỏa mãn yêu cầu) là: 5.4.3.2 = 𝟏𝟐𝟎 b) Có xâu ký tự (𝑎) 𝐵 ? Giải Ví dụ: B D E A Cách 1:  Cố định vị trí xâu ký tự 𝐵  Chọn phẩn tử từ tập phần tử lại {𝐴, 𝐶, 𝐷, 𝐸} với ký tự khơng lặp lại chỉnh hợp Theo yêu cầu toán số cách chọn A43  24 Cách 2:  Gọi xâu ký tự Ba1a2 a3 Với  X   A, C , D, E  Số cách chọn phần tử thứ a1 xâu là:  Số cách chọn phần tử thứ hai a2 xâu từ tập X \ a1 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt   Số cách chọn phần tử thứ ba a3 xâu từ tập X \ a1 , a2  Theo ngun lý nhân số xâu ký tự có (Thỏa mãn yêu cầu) là: 4𝑥3𝑥2 = 𝟐𝟒 c) Có xâu ký tự (𝑎) khơng 𝐵 ?  Số xâu ký tự mà không 𝐵 120 − 24 = 𝟗𝟖 (Cách) Bài 2: Cho 𝑋 tập 𝑛 phần tử Có có thứ tự (𝐴, 𝐵) thỏa mãn A  B  X ? Bài 3: Đồn chủ tịch họp gồm có người: 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹 cần bầu “Ban lãnh đạo” gồm chủ tịch, phó chủ tịch thư ký a) Hỏi có cách khác ? Giải Ví dụ: A  D E Số cách chọn người phân biệt từ tập người A63  120 b) Có cách mà trong hai người 𝐴, 𝐵 chủ tịch ? Giải  Nếu 𝐴 chủ tịch, Cần chọn người (1 phó chủ tịch thư ký) từ người lại {𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹} Số cách chọn A52  Do vai trò 𝐴 𝐵 nên số cách chọn 𝐴 chủ tịch hay 𝐵 chủ tịch Do đó, Số cách thỏa mãn yêu cầu tốn A52  40 c) Có cách chọn mà 𝐸 thành viên ban lãnh đạo ? Giải Ví dụ: E D A  Chọn vị trí ban lãnh đạo cho 𝐸 có vị trí (chủ tịch phó chủ tịch thư ký)  Chọn người vào vị trí cịn lại từ tập người cịn lại {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸} có số cách A52  Theo nguyên lý nhân số cách thỏa mãn yêu cầu toán là: A52  60 d) Có cách mà 𝐷 𝐹 thành viên ban lãnh đạo ? Giải Ví dụ: D  F A Chọn vị trí ban lãnh đạo cho 𝐷 𝐹 Số cách C32  Do vai trò 𝐷 𝐹 nên chúng hốn vị chức danh cho Số cách 2! LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  Chọn Vị trí cịn lại ban lãnh đạo từ tập người lại {𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐸} Số cách A41  Theo nguyên lý nhân, Số cách thỏa mãn yêu cầu toán là:  2!.C32  A14  24 Bài 4: Có xâu nhị phân có độ dài 10 𝑏í𝑡 bắt đầu 101 111 ? Giải Ví dụ:  1 0 0 0 1 0 0 0 Xâu nhị phân (Chỉ gồm bít 1) bắt đầu 101  Ba vị trí đầu xâu 101 nên xâu 10 𝑏í𝑡 cịn lại 10 − = 𝑏í𝑡  Do ô có cách chọn (chọn chọn 1) nên theo nguyên lý nhân, Số cách chọn  Xâu nhị phân (Chỉ gồm bít 1) bắt đầu 111  Ba vị trí đầu xâu 111 nên xâu 10 𝑏í𝑡 cịn lại 10 − = 𝑏í𝑡  Do có cách chọn (chọn chọn 1) nên theo nguyên lý nhân, Số cách chọn  Theo nguyên lý cộng, Số xâu nhị phân thỏa yêu cầu là: 27  27  28  256 Bài 5: Có 10 𝑐𝑢ố𝑛 𝑠á𝑐ℎ khác nhau, có 𝑐𝑢ố𝑛 sách thuộc lĩnh vực 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐, 𝑐𝑢ố𝑛 sách thuộc lĩnh vực 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 𝑐𝑢ố𝑛 sách lĩnh vực 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 Hỏi có cách chọn 𝑐𝑢ố𝑛 sách có nội dung thuộc lĩnh vưc khác từ 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách nói ? Giải     Chọn sách (1 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐)  Chọn 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 từ tập sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐, có số cách C31  Chọn 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 từ tập sách 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐, có số cách C31  Theo nguyên lý nhân, Số cách chọn C51.C31  15 Chọn sách (1 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡)  Chọn 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 từ tập sách 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐, có số cách C31  Chọn 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 từ tập sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡, có số cách C 21  Theo nguyên lý nhân, Số cách chọn C31.C12  Chọn sách (1 Nghệ Thuật 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐)  Chọn 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 từ tập sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡, có số cách C 21  Chọn 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 từ tập sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐, có số cách C51  Theo nguyên lý nhân, Số cách chọn C21 C51  10 Theo nguyên lý cộng, Số cách chọn thỏa yêu cầu là: 15 + + 10 = 𝟑𝟏 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Bài 6: Có 10 𝑐𝑢ố𝑛 𝑠á𝑐ℎ khác nhau, có 𝑐𝑢ố𝑛 sách thuộc lĩnh vực: 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐, 𝑐𝑢ố𝑛 sách thuộc lĩnh vực 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 𝑐𝑢ố𝑛 sách lĩnh vực 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 a) Hỏi có cách xếp 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách lên giá Giải  Khi xếp lên giá 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách nhau, nên chúng đổi chỗ cho  Số cách số hốn vị 10 𝑝ℎầ𝑛 𝑡ử hay 𝟏𝟎! b) Hỏi có cách xếp 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách lên giá sách cho tất sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 xếp phía trái giá sách sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 xếp bên phải ? Giải Ví dụ: Tin  Tin Tin Tin Tin Toán Toán Toán Nghệ Thuật Nghệ Thuật Do vai trò 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 nên chúng hốn vị cho Số cách xếp 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 bên trái 5!  Do vai trò 𝑐𝑢ó𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 nên chúng hốn vị cho Số cách xếp 𝑐𝑢ó𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 bên phải 2!  Do có 10 vị trí, xếp bên trái vị trí cho 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐, bên phải vị trí cho 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 nên lại 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 tự đặt vào giá sách   Số cách xếp 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 là: 3! Theo nguyên lý nhân, Số cách phân chia công viêc thỏa mãn yêu cầu toán 5! 3! 2! = 𝟏𝟒𝟒𝟎 c) Hỏi có cách xếp 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách lên giá sách cho tất sách thuộc lĩnh vực xếp cạnh ? Giải Ví dụ: Tin  Tin Tin Toán Toán Toán Nghệ Thuật Nghệ Thuật Số cách xếp 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 𝑋 5! Coi 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 phần tử 𝑌   Tin Coi 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 phần tử 𝑋   Tin Số cách xếp 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐 𝑌 3! Coi 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 phần tử 𝑍  Số cách xếp 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 𝑍 2!  Số cách xếp 𝑋, 𝑌, 𝑍 vào vị trí 3!  Theo nguyên lý nhân, Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán (5! 3! 2!) 3! = 𝟖𝟔𝟒𝟎 d) Hỏi có cách xếp 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách lên giá sách cho 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 không xếp cạnh LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt Giải Ví dụ: Tin  Tốn Tin Tốn Tin Tin Tốn Tin Nghệ Thuật Nghệ Thuật Ta xếp 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách lên giá cho 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 xếp cạnh  Coi 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 phần tử 𝑋 Số cách xếp 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑁𝑔ℎệ 𝑇ℎ𝑢ậ𝑡 𝑋 2!  Xếp 𝑐𝑢ố𝑛 sách lại (5 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑖𝑛 𝐻ọ𝑐 𝑐𝑢ố𝑛 sách 𝑇𝑜á𝑛 𝐻ọ𝑐) với 𝑋 vào 𝑣ị 𝑡𝑟í Số cách xếp chúng 9!  Theo nguyên lý nhân, Số cách xếp thỏa mãn 2! 9!  Ta có số cách xếp 10 𝑐𝑢ố𝑛 sách vào giá 10!  Theo nguyên lý bù trừ, Số cách xếp thỏa mãn yêu cầu toán là: 10! − 2! 9! = 𝟐𝟗𝟎𝟑𝟎𝟒𝟎 Bài 7: Có số có 𝑐ℎứ 𝑠ố tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, thỏa mãn a) Khơng có chữ số lặp lại Giải Ví dụ Cách 1:  Gọi số cần tìm a1a2 a3a4 ,  a j a1  Có  X  0,1, 2,3, 4,5  Do a1  nên a1 1, 2,3, 4,5 Số cách chọn a1  Do khơng có chữ số lặp lại nên ta cần lấy 𝑐ℎữ 𝑠ố cho a2 , a3 , a4 từ tập gồm chữ số X \ a1 Số cách chọn A53  Theo nguyên lý nhân, Số số thỏa mãn yêu cầu toán A53  300 Cách 2:  Gọi số cần tìm a1a2 a3a4 ,  a j a1  Có  X  0,1, 2,3, 4,5  Số số có 𝑐ℎữ 𝑠ố tạo thành từ 𝑐ℎữ 𝑠ố tập X  0,1, 2,3, 4,5 A64  Số số có 𝑐ℎữ 𝑠ố mà bắt đầu chữ số  Ví dụ LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt  Do số tạo thành khơng có chữ số đươc lặp lại nên ta cần lấy 𝑐ℎữ 𝑠ố cho a2 , a , a4 từ tập gồm chữ số X \ 0 Số cách chọn A53  Do số mà bắt đầu chữ số số vô nghĩa.Nên Theo nguyên lý bù trừ, Số số thỏa mãn yêu cầu toán là: A64  A53  300 b) Các chữ số lặp lại Giải  Gọi số cần tìm a1a2 a3a4 , a1  Có  X  0,1, 2,3, 4,5  Do a1  nên a1 1, 2,3, 4,5 Số cách chọn a1  Do chữ số lặp lại, nên chữ số a2 , a3 , a có cách chọn từ tập 𝑋.Do đó, số cách chọn  a2 , a3 , a  63  Theo nguyên lý nhân, số số thỏa mãn yêu cầu toán 5.63  1080 c) Các số chẵn (𝑏) Giải  Gọi số cần tìm a1a2 a3a4 , a1  Có  X  0,1, 2,3, 4,5  Do số cần tìm chẵn nên a4  0, 2, 4 Số cách chọn a4  Do a1  nên a1 1, 2,3, 4,5 Số cách chọn a1  Do chữ số lặp lại, nên chữ số a2 , a3 có cách chọn từ tập 𝑋 Do đó, số cách chọn  a2 , a3   Theo nguyên lý nhân, Số số thỏa mãn yêu cầu toán là: 5.62.3  540 d) Các số chẵn mà chữ số khơng lặp lại Giải  Gọi số cần tìm a1a2 a3a4 ,  a j a1  Có  X  0,1, 2,3, 4,5  Do số cần tìm chẵn nên a4  0, 2, 4  Nếu a4   Do số tạo thành khơng có chữ số đươc lặp lại nên ta cần lấy 𝑐ℎữ 𝑠ố cho a1 , a , a3 từ tập gồm chữ số X \ 0 Số cách chọn A53   Theo nguyên lý nhân, Số số trường hợp là: 1.A53 Nếu a4  2, 4  Số cách chọn a4  Do a1  nên a1  X \ 0, a4  Số cách chọn a1 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 10 https://fb.com/tailieudientucntt  Gọi Qn số chỉnh hợp lặp chập 𝑛 từ ba chữ số 0, 1, không chứa xâu 00, xâu 11  Với 𝑛 = 1, Ta có chỉnh hợp lặp chập thỏa mãn là: 𝟎, 𝟏, 𝟐 Do Q1   Với 𝑛 = Ta có chỉnh hơp lặp chập thỏa mãn là: 𝟎𝟏, 𝟎𝟐, 𝟏𝟎, 𝟏𝟐, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟐 Do Q2   Với 𝑛 > Phân tập chỉnh hợp lặp cần đếm thành tập  Tập 𝐴 – Tập chỉnh hợp lặp bắt đầu Ví dụ … … … Do chỉnh hợp lặp 𝐴 chứa vị trí nên 𝑛 − phần tử lại tạo thành chỉnh hợp lặp cần đếm độ dài 𝑛 − Ta A  Qn1  Tập 𝐵 – Tập chỉnh hợp lặp bắt đầu Nếu vị trí thứ hai chỉnh hợp lặp Còn lại 𝑛 − phần tử tạo thành chỉnh hợp lặp cần đếm độ dài 𝑛 − Ta Qn  o Ví dụ … … Nếu vị trí thứ hai chỉnh hợp lặp ta lại tiếp tục xét đạt chỉnh hợp lặp ngắn có độ dài o Ví dụ  … … Tập 𝐶 – Tập chỉnh hợp lặp bắt đầu Do vai trò nên Số chỉnh hợp lặp bắt đầu sé số chỉnh hợp lặp bắt đầu   Ta thấy tập 𝐴, 𝐵, 𝐶 tạo thành phân hoạch tập tất chỉnh hợp lặp cần đếm Theo nguyên lý cộng, ta có Qn  A  B  C  n  Ta thấy Qn  Qn1   Qn2  Qn3  Qn4   1 n  Ta thấy Qn1  Qn2   Qn3  Qn4   1 Trừ vế cho ta có Qn  Qn1  Qn1  Qn2  2Qn2  Qn  2Qn1  Qn2  Phương trình đặc trưng: t  2t   Phương trình có nghiệm phân biệt 1   2,        b 1   n   Q  a 1    b 1    a    b 1    Q        Q  Q  a 1    b 1     a 1   1    1     1        Công thức tổng quát Qn  a  n 1 2 Rút gọn a  n 2 1 1 , b 2 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 27 https://fb.com/tailieudientucntt   Công thức tổng quát: Qn   2  n 1   1 2  n 1 n   1 Bài 5: Xét ma trận vuông A     1  Fn 1 a) Chứng minh An    Fn Fn   Trong Fn số hạng thứ 𝑛 dãy số Fibonaci Fn 1  Giải   Fn  Fn 1  Fn  Dãy số Fibonaci:   F0  0, F1    F0 Với 𝑛 = Ta có A    F1   Fk 1 Giả sử công thức với 𝑛 = 𝑘 với 𝑘 ≥ Ta có Ak    Fk  Ta chứng minh công thức với 𝑛 = 𝑘 + n  F1   1  F2   1 Fk 1  Fk   Fk  Fk  Fk 1   Fk 1   Fk 1 Ta có Ak 1  Ak A    Fk  Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh Fk   1  Fk   Fk 1   1  Fk 1 Fk   Fk 1  Fk 1   Fk   b) Tính det  An  Từ đó, suy cơng thức Fn1Fn   Fn    1 n Giải  Ta có det  An    Mặt khác det  AB   det  A det  B  Do det  An    det  A    Ta có det  A    Đồng hệ số ta có điều phải chứng minh Fn 1 Fn Fn Fn 1 1  Fn 1.Fn 1   Fn    n  1 Do det An   1 n Bài 6: Tính số thứ tự Dn Có 𝑛 thư 𝑛 phong bì ghi sẵn địa Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì Hỏi số cách để xảy không thư bỏ địa ? Số cách bỏ thư gọi số thứ tự Giải  Đánh số thư phong bì từ đến 𝑛 (thư 𝑖 gửi địa bỏ vào phong bì 𝑖) Một cách bỏ thư đồng với hoán vị  a1 , , an  tập 1, 2, , n LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 28 https://fb.com/tailieudientucntt  Một thứ tự định nghĩa hoán vị  a1 , a2 , ,a n  cho  i i  Thành phần a1 nhận 𝑛 − giá trị từ đến 𝑛, ngoại trừ giá trị  Với giá trị 𝑘 (𝑘 ≠ 1) a1 , ta xét hai trường hợp  Nếu ak  , thành phần cịn lại xác định thứ tự 𝑛 − phần tử Ví dụ: a1  k ak  … a2 … an Số thứ tự thuộc loại Dn   Nếu ak  , thành phần từ đến 𝑛 xác định thứ tự 𝑛 − phần tử (Coi giá trị giá trị 𝑘 ) Ví dụ: a1  k ak  … a2 … an Số thứ tự thuộc loại Dn 1  Do a1 nhận 𝑛 − giá trị nên Ta có cơng thức đệ quy: Dn   n  1 Dn1  Dn2  n   Ta có D1  Có thư phong bì nên ln chuyển thư cho phong bì tương ứng  Ta có D2  Một thứ tự thỏa mãn  2,1  Để công thức đệ quy với 𝑛 = 2, ta công nhận D0   Ta thấy Dn   n  1 Dn1  Dn2   Dn  nDn1    Dn1   n  1 Dn2  Đặt Vn  Dn  nDn 1 Ta có Vn  Vn1    1  Ta có Vn  Dn  nDn1   1 n n 1 V1   1 (Do V1  D1  1.D0   1.0  1 ) n  1 D D hay n  n 1  n !  n  1 ! n! n  1 D D D Dn 2 D D  1  1 Ta có: n  n 1  n 1         n !  n  1!  n  1!  n  ! 1! 0! n! 1!  n  1! n n 1  1  1 D D 1 D 1 Rút gọn n      hay n      n ! 0! 1! 2! n! n! 1! 2! n! n  n n  1 1   Công thức tổng quát Dn  n !1      n   1! 2!  n !   Bài 7: Trên mặt phẳng, kẻ 𝑛 đường thẳng cho khơng có đường chéo song song với đường đồng quy Hỏ mặt phẳng chia thành phần ? Giải LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 29 https://fb.com/tailieudientucntt  Ví dụ  Gọi số phần mặt phẳng chia 𝑛 đường thẳng S n  Ta thấy S0  (Một mặt phẳng có phần nhất)  Ta thấy S1  (Một đường thẳng chia mặt phẳng thành phần)  Giả sử ta kẻ 𝑛 − đường thẳng, mặt phẩng chia thành Sn 1 phần  Kẻ đường thẳng thứ 𝑛  Đường thẳng cắt 𝑛 − đường thẳng vẽ 𝑛 − giao điểm  Các giao điểm chia đường thẳng thứ 𝑛 làm 𝑛 phần Mỗi phần chia phần sinh 𝑛 − đường thẳng vẽ trước làm hai phần   Sau vẽ đường thẳng thứ 𝑛, số phần tăng them 𝑛 Công thức đệ quy Sn  Sn1  n n   Phương trình đặc trưng: 𝑡 − = Có nghiệm 𝑡 =  Công thức tổng quát Sn  a.1n  bn2  cn  d n  Hay Sn  pn2  qn  r n   S0   S2  S1   Ta có   S1  2  S0   p.0  q.0  r     p  q  Ta có  S1    p.1  q.1  r    2  S   p.2  q.2  r    r 1    Công thức tổng quát: Sn  n2  n  n  Bài 8: Tìm hệ số tổ hợp Cnk Giải  Gọi số cách lấy 𝑘 phần tử từ tập gồm 𝑛 phần tử Cnk LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 30 https://fb.com/tailieudientucntt  Chọn phần tử cố định 𝒙 𝑛 phần tử xét  Xét số cách chọn tập có 𝑘 phần tử tập 𝑛 phần tử thành lớp: có chứa 𝑥 khơng chứa 𝑥  Nếu tập có chứa 𝑥    Bổ sung thêm 𝑘 − phần tử tập gồm 𝑛 − phần tử lại  Số cách chọn tập có chứa 𝑥 Cnk11 Nếu tập không chứa 𝑥  Bổ sung thêm 𝑘 phần tử từ tập gồm 𝑛 − phần tử lại  Số cách chọn tập không chứa 𝑥 C nk1 Theo ngun lý cộng, Ta có cơng thức đệ quy Cnk  Cnk11  Cnk1  Trong Cn0  Cnn  Bài 9: Bài toán Tháp Hà Nội – Hanoi Tower Có cọc 𝑎, 𝑏, 𝑐 Trên cọc 𝑎 có chồng gồm 𝑛 đĩa đường kính giảm dần từ lên Cần phải di chuyển chồng đĩa từ cọc 𝑎 sang cọc 𝑐 tuân thủ quy tắc: “Mỗi lần chuyển đĩa xếp đĩa có đường kính nhỏ lên đĩa có đường kính lớn Trong trình chuyển phép dung cọc 𝑏 làm cọc trung gian” Tính số lần di chuyển đĩa cần thực để di chuyển tồn đĩa từ cọc 𝑎 sang cọc 𝑐 ? Giải  Ví dụ  Gọi hn số lần di chuyển đĩa cần thực để giải xong toán Tháp Hà Nội Với n   Ta thấy h1   Xét cách chuyển n  đĩa  Chuyển 𝑛 − đĩa phía từ cọc 𝑎 sang cọc 𝑏 sử dụng cọc 𝑐 làm trung gian Theo giả thuyết quy nạp, bước cần hn 1 lần  Chuyển đĩa lớn từ cọc 𝑎 sang cọc 𝑐 Bước cần lần chuyển  Chuyển 𝑛 − đĩa từ cọc 𝑏 sang cọc 𝑐 Sử dụng cọc 𝑎 làm trung gian Theo giả thuyết quy nạp, bước cần hn 1 lần LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 31 https://fb.com/tailieudientucntt  Theo ngun lý cộng, ta có cơng thức đệ quy: hn  2hn1  n   Phương trình đặc trưng: 𝑡 − = Có nghiệm 𝑡 =  Cơng thức tổng quát: hn  a.2n  bn  c n  Ta có h2  2h1   2.1   Ta có h3  2h2   2.3    h1   a.2  b.1  c   a 1    Ta có  h2   a.2  b.2  c    b  h   a.23  b.3  c  c  1     Công thức tổng quát: hn  2n  n  Bài 10: Xây dựng công thức đệ quy cho Qn số lượng cách phủ lưới vng kích thước x 𝑛 quân Domino ? Giải  Qn Domino: qn có kích thước x đặt dọc, kích thước x nằm ngang  Với 𝑛 = 1, Ta có lưới vng kích thước x Số cách phủ 1.Do Q1   Với 𝑛 = Ta có lưới vng kích thước x Số cách phủ (Ví dụ) Do Q2   Xét 𝑛 > Phân tập cách phủ cần đếm thành tập:  Tập 𝐴 – tập cách phủ góc trái phủ quân nằm đứng Ví dụ … … … Cịn lại 𝑛 − cần phủ (Từ 2, 3, …) Ta A  Qn1  Tập 𝐵 – tập cách phủ góc trái phủ quân nằm ngang Ví dụ … … … Cịn lại 𝑛 − cần phủ (Từ 3, 4, …) Ta B  Qn 2 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 32 https://fb.com/tailieudientucntt   Ta thấy 𝐴 𝐵 tạo thành phân hoạch tập tất cách phủ cần đếm Theo nguyên lý cộng ta có Qn  A  B Hay Qn  Qn 1  Qn 2  Phương trình đặc trưng: t  t   Có hai nghiệm phân biệt 1  1 1 , 2  2 n  n   1   1  Công thức tổng quát: Qn  a     b       n n    1   1   a 1  b 1   Q1  a    b          Q1      1  1 1  1 Có  2 Q2    1   1    2 a  Q  a  b  2                 Rút gọn a      5 5 , b 10 10  1  Công thức tổng quát: Qn      n 1  1       n 1 n  Bài 11: Xây dựng công thức đệ quy cho f n số chỉnh hợp lặp chập 𝑛 từ hai phần tử 0, (cũng xâu nhị phân độ dài 𝑛) không chứa hai số liền Giải  Với 𝑛 =   Với 𝑛 =   Ta có hai xâu nhị phân độ dài không chứa hai số liền 𝟎 𝟏 Do f1  Ta có xâu nhị phân độ dài khơng chứa hai số liền là: 𝟎𝟏, 𝟏𝟎, 𝟏𝟏 Do f  Với 𝑛 > Phân tập chỉnh hợp cần đếm thành tập:  Tập 𝐴 – tập chỉnh hợp cần đếm chứa vị trí Ví dụ … … … Do chỉnh hợp 𝐴 chứa vị trí nên 𝑛 − phần tử lại tạo thành chỉnh hợp cần đếm độ dài 𝑛 − Ta A  f n 1  Tập 𝐵 – tập chỉnh hợp cần đếm chứa vị trí Ví dụ … … Do chỉnh hợp 𝐵 chứa vị trí nên vị trí thứ hai phải số Còn lại 𝑛 − phần tử tạo thành chỉnh hợp cần đếm độ dài 𝑛 − Ta B  f n2 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 33 https://fb.com/tailieudientucntt   Ta thấy 𝐴 𝐵 tạo thành phân hoạch tập tất chỉnh hợp cần đếm Theo nguyên lý cộng, ta có f n  A  B Hay f n  f n 1  f n 2  Phương trình đặc trưng: t  t   Có hai nghiệm phân biệt 1  1 1 , 2  2 n  n   1   1  Công thức tổng quát: f n  a     b       n n    1   1   a 1  b 1   f1  a    b          f1      1  1 1  Có  2  f2    1   1    a   1  f  a  b  2                 Rút gọn a     53 53 , b 10 10  1  Công thức tổng quát: Qn      n2  1       n2 n  LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com  34 https://fb.com/tailieudientucntt V HÀM SINH Một vài chuỗi hội tụ a)    x  x    x n 1 x n0 b)  n   x  x     1 x n 1 x n0  x 1  x 1 Bài 1: Viết công thức dạng giải tích cho hàm sinh dãy số sau: a) an  3n , n  0,1, Giải  b) Hàm sinh f  x    3x  32 x     3x    3x    1  3x a0 , a1 ,a ,a ,   0,1,0,1,  Giải    Hàm sinh f  x   x  x  x   x 1  x  x    x  x   x    x x  1 x  x2 Bài 2: Tìm công thức cho Số hạng tổng quát an dãy số an  có hàm sinh a) G  x   1 2x Giải    x   x     x  x    an x n 1 2x n 0  Ta có  Từ có an  2n b) G  x   n  0,1, 2, 1  x  Giải  1  x  x    1  x  x  1  x  x     x  3x  x3   Ta có  Từ thấy G  x    Cnn 21 x n   Cnn1 x n    n  1 x n   an x n  1  x      n 0 n 0 n 0 n 0 Từ có an  n  n  0,1, 2, LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 35 https://fb.com/tailieudientucntt c) G  x   1  x  x2 Giải 1 1     x  2x 1  x 1  x   x  x  Ta có  n 1   n   1  n  n n x   an x n Ta thấy G  x     1  x    x   n 0 n 0 n n 0 n   1 2n 1 n  Từ có an  n  0,1, 2, Bài 3: Sử dụng hàm sinh để tìm cơng thức dạng cho dãy số cho công thức đệ quy sau đây:  an 1  an  a)  a0  3 Giải   Gọi f  x    an x n hàm sinh dãy số n0  Ta có f  x   a0  a1 x  a2 x   xf  x   a0 x  a1x  a2 x3   Từ có f  x  1  x   a0   a1  a0  x   a2  a1  x   3  x  x    a0  3 Thay  an  an 1  n   Ta có 1  x  f  x    1  x  x    1  x  f  x     Từ có f  x    Vậy an  2n  n  1  x   1 x      2  n  1 x n  5 x n    2n    x n    2n  3 x n 1 x n 0 n 0 n 0 n 0 2an 1  an  an 1 n  b)   a0  0, a1  Giải   Gọi f  x    an x n hàm sinh dãy số n0   Ta có f  x   a0  a1 x   an x n  x  n2    n n a  a x  x  a x  an  x n  n1 n2     n 1 n2 n2 n2 LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 36 https://fb.com/tailieudientucntt     x x2 n 1 n2 n n a x  a x  x  x a x  x a x  x  f x  a  f x      n  n  n  n n 1 n 0 n 2 n 0  Có f  x   x   Từ f  x   x   Có f  x     n 2  1  Vậy an  1      n      x  x  1 2 x f  x  f  x    x  x2 x  x 1 n n  2   2  1  n1      1   x n   x n   1      x n 1 x 1 x n 0 n 0 2 n       an   3an 1  2an  2.3n c)  a0  1, a1  n  Giải   Gọi f  x    an x n hàm sinh dãy số n0    n2 n2 Ta có f  x   a0  a1 x   an x n   x    3an 1  2an   2.3n   x n       n2 n2 n2 Có f  x    x  3 an 1 x n  2 an  x n  2. 3n  x n    n2 n2 n2 Có f  x    x  x  an 1 x n 1  x  an  x n   x  3n  x n   Thay vào f  x    x  x  f  x   a0   x f  x   x   3x  n n 0  Hay f  x    x  3x   3x  x  f  x   x2  3x    5x2  x  1 1 n n      x n    x     3x   x  1 x  11  3x   x  x  3x n0 n 0 n 0  Từ f  x    Rút gọn f  x    1  2n  3n  x n  n 0  Vậy an  3n  2n  n  LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 37 https://fb.com/tailieudientucntt Chapter III – Bài Toán Tồn Tại (Existence) Bài 1: Trên mặt phẳng cho 𝑛 ≥ điểm, khoảng cách cặp điểm khác đôi Mỗi điểm nối với điểm gần Chứng minh điểm nối với không điểm Giải  Bài 2: Một trung tâm máy tính có 151 máy vi tính Các máy trung tâm đặt tên số nguyên dương khoảng từ đến 300 cho khơng có hai máy đặt tên trùng Chứng minh ln tìm máy có tên số nguyên liên tiếp Giải  Bài 3: Các học sinh lớp học gồm 45 𝑛𝑎𝑚 35 𝑛ữ xếp thành hàng ngang Chứng minh rằng, hàng ln tìm hai học sinh nam mà họ có người đứng xen vào Giải  Bài 4: Có 12 cầu thủ bóng rổ đeo áo với số từ đến 12 đứng tập trung thành mọt vòng tròn sân Chứng minh ln tìm người liên tiếp có tổng số áo lớn 20 Giải  Bài 5: Chứng minh số 10 người bào tìm hai người có tổng số tuổi chia hết cho 16, hai người mà hiệu số tuổi họ chia hết cho 16 Giải  Bài 6: Cần có có thứ tự gồm số nguyên (𝑎, 𝑏) cho chắn tìm số hai (𝑐, 𝑑) (𝑒, 𝑓) cho 𝑐 − 𝑒 𝑑 − 𝑓 số có chữ số tận ? Giải  Bài 7: 17 nhà bác học đôi viết thư trao đổi cho chủ đề, cặp trao đổi với chủ đề Chứng minh tìm nhà bác học đơi viết thư trao đổi cho chủ đề Giải  LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 38 https://fb.com/tailieudientucntt Bài 8: Trong khơng gian cho điểm có tọa độ ngun Chứng minh số điểm cho tìm điểm cho đoạn thẳng nối chúng qua điểm có tọa độ nguyên Giải  Bài 9: Chứng minh số 10 người ln tìm người đơi quen người đôi không quen người đôi không quen người đôi quen Giải  LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 39 https://fb.com/tailieudientucntt Chapter IV – Bài Toán Liệt Kê Tổ Hợp (Enumeration) LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 40 https://fb.com/tailieudientucntt Chapter V – Bài Toán Tối Ưu Tổ Hợp LÊ ĐỒNG – ATTT-K60 CuuDuongThanCong.com 41 https://fb.com/tailieudientucntt ...GIẢI BÀI TẬP TOÁN RỜI RẠC NGUYỄN ĐỨC NGHĨA PHẦN I – LÝ THUYẾT TỔ HỢP Chapter I – Nhập Mơn Tốn Rời Rạc (Introduce) Bài 1: Cho biết hệ thức đây, hệ thức hệ thức... A1 A2 khơng phủ kín tập nên chúng khơng tạo thành phân hoạch tập Ta có phân hoạch tập sau:  Xét tập A1  n  : n  0 - Tập số nguyên âm  Xét tập A2  n  : n  0 - Tập số ngun khơng âm... ngun liên tiếp Giải  Bài 3: Các học sinh lớp học gồm 45