Bài giảng Toán rời rạc - ThS. Nguyễn Thị Thúy Hạnh

Bài giảng Toán rời rạc do ThS. Nguyễn Thị Thúy Hạnh biên soạn gồm 6 chương, với các nội dung chính như sau: Bài toán đếm; Các khái niệm cơ bản về đồ thị; Đồ thi euler, hamilton, đồ thị phân đôi, đồ thị phẳng; Cây và một số ứng dụng của cây; Một số bài toán tối ưu trên đồ thị; Đại cương về toán logic.

HỌC VIỆN NƠNG NGHIỆP VIỆT NAM BỘ MƠN TỐN TIN ỨNG DỤNG _ THS NGUYỄN THỊ THÚY HẠNH BÀI GIẢNG TOÁN RỜI RẠC Hà Nội, tháng – 2017 Mục lục Chương BÀI TOÁN ĐẾM 1.1 BÀI TOÁN ĐẾM 1.1.1 Nguyên lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý bù trừ 1.1.2 Chỉnh hợp – hoán vị - tổ hợp 1.1.3 Chỉnh hợp lặp - Tổ hợp lặp 1.1.4 Định nghĩa đệ quy hệ thức truy hồi 1.2 BÀI TOÁN LIỆT KÊ 1.2.1 Phƣơng pháp sinh phần tử 1.2.2 Phƣơng pháp quay lui BÀI TẬP CHƢƠNG 11 Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ 13 2.1 BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT 13 2.1.1 Các định nghĩa 13 2.1.2 Một số dạng đơn đồ thị vô hƣớng đặc biệt 16 2.2 BIỂU DIỄN DẠNG ĐẠI SỐ CỦA ĐỒ THỊ SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC ĐỒ THỊ 17 2.2.1 Biểu diễn đồ thị danh sách kề 17 2.2.2 Biểu diễn đồ thị ma trận kề đỉnh-đỉnh 19 2.2.3 Biểu diễn đồ thị ma trận liên thuộc đỉnh-cạnh 20 2.2.4 Sự đẳng cấu đồ thị 20 2.3 TÍNH LIÊN THƠNG TRONG ĐỒ THỊ 22 2.3.1 Đƣờng chu trình 22 2.3.2 Đồ thị đồ thị phận 25 2.3.3 Đồ thị liên thông Đỉnh cắt, cạnh cắt 25 2.4 CÁC SỐ ĐẶC TRƢNG CỦA ĐỒ THỊ 27 2.4.1 Tập ổn định Số ổn định 27 2.4.2 Tập ổn định Số ổn định 29 2.4.3 Nhân đồ thị 30 2.4.4 Sắc số đồ thị - Sắc số đồ thị phẳng - Ứng dụng 31 BÀI TẬP CHƢƠNG 35 Chương 37 ĐỒ THỊ EULER, HAMILTON ĐỒ THỊ PHÂN ĐÔI ĐỒ THỊ PHẲNG 37 3.1 ĐỒ THỊ EULLER ĐỒ THỊ NỬA EULER 37 3.1.1 Định nghĩa 38 3.1.2 Nhận biết đồ thị Euler, nửa Euler Thuật tốn tìm chu trình Euler, đƣờng Euler 39 3.1.3 3.2 Ứng dụng: Bài toán ngƣời đƣa thƣ Trung Hoa 41 ĐỒ THỊ HAMILTON ĐỒ THỊ NỬA HAMILTON 43 3.2.1 Định nghĩa 43 3.2.2 Nhận biết đồ thị Hamilton, nửa Hamilton 44 3.2.3 Cây liệt kê chu trình Hamilton 47 3.2.4 Bài toán xếp chỗ ngồi 48 3.3 ĐỒ THỊ VÔ HƢỚNG PHÂN ĐÔI 49 3.3.1 Định nghĩa: 49 3.3.2 Thuật tốn nhận biết biểu diễn hình học đồ thị phân đôi 50 3.4 ĐỒ THỊ PHẲNG 51 3.4.1 Định nghĩa: 51 3.4.2 Công thức Euler 51 3.4.3 Dấu hiệu nhận biết đồ thị không phẳng 52 BÀI TẬP CHƢƠNG 53 Chương 4.1 CÂY VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CÂY 55 CÂY VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CÂY 55 4.1.1 Định nghĩa 55 4.1.2 Các tính chất 55 4.1.3 Cây có gốc 56 4.1.4 Cây m-phân 57 4.1.5 Cây định 58 4.2 CÁC PHÉP DUYỆT CÂY ỨNG DỤNG CÂY VÀO MÃ HĨA THƠNG TIN 59 4.2.1 Các thuật tốn duyệt 59 4.2.2 Ứng dụng vào mã hóa thơng tin – Thuật tốn Huffman 61 4.3 CÂY KHUNG CỦA ĐỒ THỊ 64 4.3.1 Định nghĩa 64 4.3.2 Các thuật toán xây dựng khung đồ thị 64 4.3.3 Cây khung nhỏ đồ thị có trọng số 66 BÀI TẬP CHƢƠNG 69 Chương MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƢU TRÊN ĐỒ THỊ 72 5.1 BÀI TOÁN ĐƢỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN ĐỒ THỊ 72 5.1.1 Đƣờng ngắn đồ thị khơng có trọng số 72 5.1.2 Thuật tốn DIJKSTRA tìm đƣờng ngắn đồ thị có trọng số khơng âm 73 5.1.3 5.2 Tâm bán kính đồ thị vơ hƣớng có trọng số khơng âm 75 MẠNG VÀ LUỒNG 77 5.2.1 Các định nghĩa 77 5.2.2 Bài toán luồng cực đại Thuật toán Ford – Fulkerson tìm luồng cực đại 79 5.3 BÀI TOÁN DU LỊCH 84 Thuật toán nhánh cận giải toán du lịch: 87 BÀI TẬP CHƢƠNG 90 Chương ĐẠI CƢƠNG VỀ TOÁN LOGIC 92 6.1 LOGIC MỆNH ĐỀ 92 6.1.1 Khái niệm mệnh đề 92 6.1.2 Các phép toán mệnh đề 93 6.1.3 Công thức đồng Công thức đồng sai 95 6.1.4 Điều kiện đồng Điều kiện đồng sai 97 6.1.5 Các quy tắc suy diễn logic mệnh đề 98 6.2 LOGIC VỊ TỪ 102 6.2.1 Các định nghĩa 102 6.2.2 Phủ định vị từ lƣợng từ 105 6.2.3 Dịch câu thông thƣờng thành biểu thức logic 105 BÀI TẬP CHƢƠNG 107 Tài liệu tham khảo: 109 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Chương BÀI TOÁN ĐẾM Mục tiêu: Ngƣời học biết vận dụng nguyên lý tốn đếm để tìm số lƣợng cấu hình tổ hợp Ngƣời học biết ứng dụng phƣơng pháp sinh phần tử kế tiếp, phƣơng pháp quay lui để liệt kê tất cấu hình cần đếm cấu hình thỏa mãn thêm điều kiện 1.1 BÀI TỐN ĐẾM 1.1.1 Ngun lý cộng, nguyên lý nhân, nguyên lý bù trừ Kí hiệu: N(X) số phần tử tập hợp X Nguyên lý cộng: Nếu ̅ Đặc biệt Nếu ( ) { N( ( Nguyên lý bù trừ: Tổng quát : ) = N(A1) ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( … ) ( ) N(Am) ) ( ( với Nk = ∑ k tập hợp khác lấy từ m tập cho ) N(A2) ( ) ( ) ( ̅ ) ( ) ̅̅̅̅̅̅) ( ) ( Nguyên lý nhân: ( ) ) số phần tử thuộc giao Ví dụ 1: Có xâu nhị phân có độ dài bit? Giải Đặt * + Mỗi xâu nhị phân độ dài coi phần tử tích Đề-cac Do số xâu nhị phân độ dài : ( ) Ví dụ 2: Có xâu nhị phân có độ dài 10 bắt đầu 00 kết thúc 11? Giải Gọi A0 = Tập hợp tất xâu nhị phân có độ dài 10 bắt đầu 00, A1 = Tập hợp tất xâu nhị phân có độ dài 10 kết thúc 11 A0A1 = Tập hợp tất xâu nhị phân có độ dài 10 bắt đầu 00 kết thúc 11 Vậy số xâu nhị phân thỏa mãn yêu cầu toán là: ( ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ 3: Từ đến 1000 có số khơng chia hết cho số số 3, 5, 7? Toán rời rạc – Chương Bài tốn đếm Page Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Giải Gọi A3 = Tập tất số từ đến 1000 mà chia hết cho A5 = Tập tất số từ đến 1000 mà chia hết cho A7 = Tập tất số từ đến 1000 mà chia hết cho (̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) Số số thỏa mãn yêu cầu tốn là: Có : ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) Vậy số số thỏa mãn toán : 1000 – 543 = 457 (số) 1.1.2 Chỉnh hợp – hoán vị - tổ hợp Chỉnh hợp: Một chỉnh hợp chập k n phần tử có thứ tự gồm k phần tử khác lấy từ n phần tử cho (k n) ( Số chỉnh hợp chập k n phần tử : )( ) ( ) ( ) Hoán vị: Một hoán vị n phần tử cách xếp có thứ tự n phần tử Số hốn vị n phần tử : ( )( ) Tổ hợp: Một tổ hợp chập k n phần tử cách chọn tập gồm k phần tử khác không phân biệt thứ tự từ n phần tử cho ( ) Số tổ hợp chập k n phần tử : ( ) Chú ý: ( ) Ví dụ 1: Cho tập A có 10 phần tử (1) Tập hợp A có tập khác nhau? (2) Có tập A có số phần tử lẻ? Giải (1) Số tập A (2) Số tập A có số phần tử lẻ : ( Toán rời rạc – Chương Bài toán đếm ) Page Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ mơn TTƯD – NTTH Ví dụ 2: Cho lưới gồm ô vuông Các nút đánh số từ đến n theo hàng ngang từ trái qua phải từ đến m theo hàng dọc từ lên Hỏi có cách khác từ nút (0,0) đến nút (n,m) cho phép cạnh ô vuông theo chiều ngang từ trái sang phải theo chiều dọc từ lên Giải Một đường coi gồm n+m bước, bước nhận hai giá trị sang ngang từ trái qua phải từ lên Như đường tương ứng với xâu nhị phân có độ dài n+m có n bít m bít Vậy số đường : Ví dụ 3: Có cách lấy k phần tử n phần tử xếp đường thẳng cho khơng có hai phần tử kề lấy Giải Khi lấy k phần tử, ta lại n – k phần tử Giữa n – k phần tử có n – k + khoảng trống, kể hai đầu, ứng với khả vị trí k phần tử lấy Mỗi cách lấy k phần tử theo yêu cầu toán tương ứng với cách chọn k khoảng trống n – k +1 khoảng trống Vậy số cách lấy theo u cầu tốn : Ví dụ 4: Như Ví dụ n phần tử nằm đường tròn Giải Cố định phần tử A n phần tử Chia cách lấy làm nhóm: Nhóm cách có chọn phần tử A nhóm cách khơng chọn phần tử A - Nếu A chọn hai phần tử kề A không chọn cần lấy k -1 phần tử từ n – phần tử lại, phần tử coi xếp đường thẳng Theo Ví dụ trên, số cách thuộc nhóm : - Nếu khơng chọn A, bỏ phần tử A, ta phải lấy k phần tử từ n – phần tử đươc coi xếp đường thẳng Số cách thuộc nhóm : Theo nguyên lý cộng, số cách cần tìm 1.1.3 Chỉnh hợp lặp - Tổ hợp lặp Chỉnh hợp lặp: Một chỉnh hợp lặp chập k n phần tử thứ tự k phần tử (có thể lặp lại nhiều lần) lấy từ n phần tử cho (có thể k > n) - Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử ̅ = nk Tổ hợp lặp: Một tổ hợp lặp chập k n phần tử cách chọn k phần tử không phân biệt thứ tự (có thể lặp lại nhiều lần) lấy từ n phần tử cho (có thể k > n) - Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ̅ Toán rời rạc – Chương Bài tốn đếm Page Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Ví dụ 1: Số tổ hợp lặp chập phần tử * * + * + * + * + ̅ + Các tổ hợp lặp : ( ) Ví dụ 2: Tìm số nghiệm ngun khơng âm PT Giải Mỗi nghiệm nguyên không âm PT(1) tương ứng với tổ hợp lặp chập phần tử x, y, z Chẳng hạn nghiệm ( ) tương ứng với tổ hợp + ứng với nghiệm ( lặp * + Và ngược lại, tổ hợp lặp * ) ̅ Vậy số nghiệm nguyên không âm PT(1) : Ví dụ 3: Tìm số nghiệm ngun PT : ( ) Giải Viết lại PT(2) ( ) ( thỏa mãn ) ( ) ( ) ( ) số Từ suy ra, số nghiệm nguyên PT(2) thỏa mãn nghiệm nguyên không âm PT(2‟) : Vậy số nghiệm PT(2) thỏa mãn (*) : ̅ ( ) 1.1.4 Định nghĩa đệ quy hệ thức truy hồi Khái niệm định nghĩa đệ quy: Kỹ thuật xác định đối tƣợng thơng qua gọi định nghĩa đệ quy Ví dụ 1: Hàm số f xác định tập số nguyên không âm định nghĩa đệ quy sau ( ) ( ) ( ) ( ) Bảng giá trị hàm f là: n … f(n) 17 53 161 … Ví dụ 2: Dãy số Fibonacci : định nghĩa đệ quy xác định sau: ( ) Các số hạng dãy số là: Khái niệm hệ thức truy hồi: (i) Hệ thức truy hồi (hay cịn gọi cơng thức truy hồi, biểu thức truy hồi) dãy số * + công thức biểu diễn qua hay nhiều số hạng trƣớc dãy, cụ thể biểu diễn qua số hạng với n nguyên, , nguyên không âm + Một hệ thức truy hồi tuyến tính bậc k với hệ số (ii) Cho dãy số * hệ thức truy hồi có dạng : ( ) số thực Toán rời rạc – Chương Bài tốn đếm Page Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH (iii) Phƣơng trình đƣợc gọi phương trình đặc trưng (PTĐT) công thức (*) Số r thỏa mãn PTĐT đƣợc gọi nghiệm đặc trưng Ví dụ 3: (1) Trong định nghĩa đệ quy dãy Fibonacci hệ thức hệ thức truy hồi tuyến tính bậc PTĐT hệ thức r = r + Các điều kiện gọi điều kiện ban đầu dãy Fibonacci (2) Hệ thức an = 2an-3 hệ thức truy hồi tuyến tính bậc PTĐT hệ thức r3 = Ví dụ 4: Hệ thức an = 3an-2 + (an-3)2 là hệ thức truy hồi tuyến tính Hệ thức bn = 2bn-1 + không Hệ thức cn = n.cn-2 hệ số số Mơ hình hóa hệ thức truy hồi Ví dụ 5: Bài tốn lãi kép Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng ngân hàng A với lãi suất 6,8% năm Hết năm, khơng rút tiền người cộng số lãi vào gốc tính lãi cho năm (lãi kép) Hỏi sau 10 năm gửi mà trước khơng rút lần số tiền người rút gốc lẫn lãi bao nhiêu? Giải Gọi Pn tổng số tiền gốc lãi người sau n năm Số tiền Pn số tiền Pn-1 người có sau n-1 năm cộng với lãi suất năm thứ n Ta có P0 = 100 (triệu); P1 = P0 + 0,068P0 = 1,068P0 ; … ; Pn = Pn-1 + 0,068Pn-1 = 1,068Pn-1 (1) Dùng phương pháp lặp ta tìm cơng thức tính Pn sau Dễ thấy rằng: P2 = 1,068P1 = 1,0682P0 P3 = 1,068P2 = 1,0683P0 … Pn = 1,068.Pn-1 =1,068n.P0 Vậy sau 10 năm người rút số tiền P10 = 1,06810.100 = 193 (triệu) Ví dụ 6: Tìm cơng thức truy hồi tính số xâu nhị phân có độ dài n mà khơng có bít liên tiếp Giải Kí hiệu xâu nhị phân có độ dài n Gọi an số xâu nhị phân có độ dài n mà khơng có bít liên tiếp ( ) Với n = có xâu 1; => a1 = Với n = có xâu 11 ; 10 ; 01 => a2 = Với xảy hai trường hợp : - TH1: Nếu bít bên trái xâu phải có dạng Số xâu nhị phân độ dài n mà bít liên tiếp trường hợp an-1 - TH2: Nếu bít bên trái xâu phải có dạng Số xâu nhị phân độ dài n mà khơng có bít liên tiếp trường hợp an-2 Vậy : với an = an-1 + an-2 ; a1 = a2 = Toán rời rạc – Chương Bài toán đếm Page Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Giải hệ thức truy hồi tuyến tính với hệ số Định lý: Cho cơng thức truy hồi tuyến tính bậc hai : ( ) với Nếu PTĐT có hai nghiệm thực phân biệt cơng thức tính trực tiếp an hay nghiệm cơng thức (*) là: số đƣợc xác định nhờ điều kiện ban đầu cơng thức truy hồi Nếu PTĐT có nghiệm kép r1 = r2 = r0 cơng thức tính trực tiếp an ( ) số đƣợc xác định nhờ điều kiện ban đầu cơng thức truy hồi (i) (ii) Ví dụ 7: Tìm số xâu nhị phân có độ dài 10 mà khơng có bít liên tiếp Giải Theo ví dụ 6, gọi an số xâu nhị phân có độ dài n mà khơng có bít liên tiếp, ta có cơng thức truy hồi: a1 = a2 = 3; an = an-1 + an-2 ( ) √ PTĐT : Từ a1 = a2 = => { √ Công thức trực tiếp an là: √ √ / / √ / √ √ √ / / { / √ / √ / √ / √ / √ { √ √ Vậy : √ √ / √ / Với n = 10 số xâu nhị phân có độ dài 10 mà khơng có hai bít liên tiếp là: a10 = 144 Ví dụ 8: Tìm nghiệm hệ thức truy hồi sau: a) an = 2an – - an – với , điều kiện ban đầu a0 = 1; a1 = b) an = 3an – - 4an – với , điều kiện ban đầu a0 = 4; a1 = 3; a2 = Giải ( ) a) PTĐT: Công thức nghiệm Từ a0 = 1; a1 = suy { Vậy Vậy : ( a0 = 4; a1 = 3; a2 = ( – b) PTĐT: Công thức nghiệm Từ { ) ( ) ( suy { ) Toán rời rạc – Chương Bài toán đếm ) { Page Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Công thức đồng Công thức đồng sai 6.1.3 Định nghĩa: (1) Trong logic mệnh đề, mệnh đề sơ cấp p, q, r, … gọi cơng thức Nếu A, B hai cơng thức biểu thức ̅ dấu ngoặc đơn (.) công thức Hiển nhiên: Mệnh đề đúng, kí hiệu (mệnh đề có giá trị chân lý đúng); mệnh đề sai, kí hiệu (mệnh đề có giá trị chân lý sai) công thức Lưu ý: Một công thức chứa dấu đóng mở ngoặc ( ) phép tốn ̅ tự ƣu tiên từ cao xuống thấp) (thứ Tuy nhiên, để rõ ràng nên sử dụng dấu ngoặc (.) để xác định mức độ ƣu tiên (2) Công thức A gọi đồng (còn gọi đúng, hay chân lý), kí hiệu hay , A nhận giá trị với giá trị sai mệnh đề sơ cấp có A (3) Công thức A gọi đồng sai (còn gọi sai, hay mâu thuẫn), A nhận giá trị sai với giá trị sai mệnh đề sơ cấp có A (4) Hai công thức A, B gọi đồng nhau, kí hiệu , A, B nhận giá trị đúng, sai với giá trị sai mệnh đề sơ cấp có hai cơng thức A, B Hay nói cách khác, cơng thức Lưu ý: ta cịn nói hai cơng thức A B tương đương logic Kí hiệu: ta cịn nói B hệ logic A Kí hiệu: (Cần phân biệt rõ: ; ) (1) Nếu (2) Nếu Bảng 6.1 Một số luật logic (hay công thức đồng nhau) quan trọng (1) ̅ ̅ (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) ̅ - Luật phủ định phủ định Luật phần tử bù Luật lũy đẳng Luật thống trị Luật trung hịa - Luật giao hốn Luật De Morgan - Luật kết hợp (1.5) (2) (3) ̅̅̅̅̅̅̅ ) (4) ( ( ) ( (5) ( (6) ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ( ( ) ) ̅ ( ( ) ) ( ̅ ̅ ) ) ( ( ̅ ) ) ̅ - ̅) Toán rời rạc – Chương Đại cương toán logic - Luật phân phối Luật phép kéo theo Page 95 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Dễ dàng chứng minh đƣợc luật logic lập bảng giá trị chân lý (xem nhƣ BÀI TẬP) ̅ Ví dụ 1: Chứng minh luật logic phép kéo theo: (*) Giải Bảng 6.2 Bảng chân trị luật logic phép kéo theo A 1 0 Vậy ̅ B 1 ̅ 0 1 ̅ 1 1 1 hai công thức đồng Một số luật khác logic mệnh đề:  Luật đối ngẫu Định nghĩa: Cho A cơng thức có phép tốn hội, tuyển phủ định mà khơng có chứa phép tuyển loại phép kéo theo Cơng thức đối ngẫu A, kí hiệu A*, công thức thu đƣợc từ A sau đổi phép toán hội thành tuyển, tuyển thành hội, mệnh đề thành mệnh đề thành (phép phủ định giữ nguyên) Định lý 1: Nếu A = A(X1, X2, …, Xn), hàm mệnh đề chứa mệnh đề sơ cấp X1, X2, ̅̅̅̅) …, Xn A* = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (̅̅̅ ̅̅̅ Định lý (Nguyên lý đối ngẫu): Nếu (Tức là, hai công thức đồng cơng thức đối ngẫu chúng đồng nhau) Ví dụ 1: Bằng cách lấy đối ngẫu theo Định nghĩa theo Định lý 1, cặp cơng thức nhóm (1); (2); (3); (4); (5) Bảng 6.1 đối ngẫu nhau, Và đương nhiên, chúng thỏa mãn nguyên lý đối ngẫu (Định lý 2)  Luật thay Định lý: Giả sử A(p) công thức chứa mệnh đề sơ cấp p E cơng thức Nếu ( ) ( ) , với A(E) cơng thức thu đƣợc từ A(p) thay mệnh đề p cơng thức E Ví dụ 2: Từ Luật thống trị (1.4) nhóm (1) Bảng 6.1 Áp dụng Luật thay thế, suy công thức sau đồng đúng: ( )  Luật kết luận Định lý: Nếu Tốn rời rạc – Chương Đại cương tốn logic Page 96 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH 6.1.4 Điều kiện đồng Điều kiện đồng sai  Tuyển sơ cấp, hội sơ cấp Định nghĩa 1: (1) Một dạng tuyển sơ cấp (TSC) biểu thức logic chứa phép tuyển mệnh đề sơ cấp phủ định mệnh đề sơ cấp (2) Một dạng hội sơ cấp (HSC) biểu thức logic chứa phép hội mệnh đề sơ cấp phủ định mệnh đề sơ cấp Định lý 1: (1) Một dạng TSC đồng TSC chứa đồng thời mệnh đề sơ cấp phủ định (2) Một dạng HSC đồng sai HSC chứa đồng thời mệnh đề sơ cấp phủ định  Dạng tuyển chuẩn tắc dạng hội chuẩn tắc Định nghĩa 2: Cho A công thức logic mệnh đề (1) Nếu , A‟ tuyển HSC A‟ đƣợc gọi dạng tuyển chuẩn tắc (TCT) A Nói cách khác, A‟ dạng TCT A , với ( ) , A‟ hội TSC A‟ đƣợc gọi dạng HCT (2) Nếu A Nói cách khác, A‟ dạng HCT A ) , với ( Chú ý: Trong dạng HCT, TCT A chứa phép toán: hội, tuyển, lấy phủ định Định lý 2: Mọi công thức logic mệnh đề có dạng HCT TCT Các quy tắc biến đổi đưa công thức dạng HCT TCT tương đương logic : (1) (2) ̅̅̅̅̅̅̅ ( (3) ̅ ̅ ̅; ̅̅̅̅̅̅̅ ) ( ) ̅ ( ̅ ) ( ) ( ) ( ) (Quy tắc (1) khử phép kéo theo, quy tắc (2) (3) chuyển phép tuyển thành phép hội ngược lại)  Điều kiện đồng Điều kiện đồng sai: (1) Công thức dạng HCT A TSC chứa đồng thời mệnh đề sơ cấp phủ định Tốn rời rạc – Chương Đại cương toán logic Page 97 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH (2) Công thức dạng TCT A HSC chứa đồng thời mệnh đề sơ cấp phủ định Ví dụ : Sử dụng luật logic, chứng minh: , , Giải Đặt: ( ( (̅ ( ̅ ))) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅ ) ̅ ((̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ( ̅ ̅) ( ̅ ( 6.1.5 )) (( ) (Áp dụng luật De Morgan) ) ̅ ((̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ( ̅ ̅ ( (Khử phép kéo theo) (Khử phép kéo theo) ̅) ( ̅ ) ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ̅ ) ̅ Ta có biểu thức tuyển ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) ̅ Hơn tuyển ( ̅ Vậy : ( )) ( ))) )) )- ( ( ( ̅ ( ̅ )/ ) ) (̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ) ̅ ,( ) ) ̅ ,( (( ̅ (( ( ̅ ) ̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) ̅ ((̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ )- (Áp dụng luật kết hợp) ̅ ̅) (Áp dụng luật phân phối) ( ̅ ̅ )/ (Áp dụng luật kết hợp) ̅ với công thức ̅ ) có dạng có chứa mệnh đề p ̅ nên ̅ ̅ )) Các quy tắc suy diễn logic mệnh đề Trong chứng minh toán học, xuất phát từ số khẳng định p, q, r, … (gọi tiền đề), ta áp dụng quy tắc suy diễn để suy mệnh đề h (mà ta gọi kết luận) chân lý hay đồng Nói cách khác, dùng quy tắc suy diễn để chứng minh: ( ) có hệ logic h Tức là: ( ) (*) Một cách để chứng minh đồng (*) lập bảng giá trị chân lý Tuy nhiên cách làm không hiệu số biến mệnh đề lớn Để khắc phục điều này, ta sử dụng quy tắc suy diễn khẳng định để chia toán thành modul nhỏ, nghĩa từ số tiền đề suy số kết luận trung gian, coi kết luận nhƣ tiền đề để suy kết luận cuối Toán rời rạc – Chương Đại cương tốn logic Page 98 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Ta thƣờng mơ hình hóa phép suy luận dƣới dạng: ̅̅̅̅ Sau số quy tắc suy diễn quan trọng Việc chứng minh tính đắn quy tắc việc chứng minh đồng tƣơng ứng, mà ta thực cách đơn giản lập bảng chân trị Bảng 6.3 Một số quy tắc suy diễn quan trọng Các quy tắc suy diễn Quy tắc khẳng định ,( ) Dạng sơ đồ - - - Quy tắc phủ định ,( ) - ̅- ̅ ̅ ̅ Quy tắc tam đoạn luận ,( ) ( )- ( - ) - Quy tắc tam đoạn luận rời ,( ) ̅ ̅- Quy tắc nối liền ( ) ( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ) Quy tắc đơn giản ) ( ),( ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ) - ( ) Quy tắc chứng minh theo trường hợp ,( - - Toán rời rạc – Chương Đại cương tốn logic Ví dụ minh họa Nếu Hoa chăm học Hoa đạt điểm cao Mà Hoa chăm học Suy : Hoa đạt điểm cao Nếu Hoa chăm học Hoa đạt điểm cao Mà Hoa khơng đạt điểm cao Suy : Hoa không chăm học Nếu trời mƣa nhiều bạn khơng chơi Nếu bạn khơng chơi bạn học tốt Suy : Nếu trời mƣa nhiều bạn học tốt Thứ bảy, Hoa thƣờng xem phim rạp quê Thứ bảy này, Hoa không quê Suy : Thứ bảy này, Hoa xem phim rạp Hôm nay, trời mƣa nhiều Hôm nay, Hoa nhà Suy : Hôm nay, trời mƣa nhiều Hoa nhà Hôm nay, Hoa quê ngủ sớm Suy : Hôm nay, Hoa quê - Chứng minh mệnh đề: « n số tự nhiên ( ) » - Suy : Chỉ cần chứng minh mệnh đề đồng là: « n số tự nhiên chẵn ( ) » « n số tự nhiên lẻ ( ) » Page 99 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Quy tắc mâu thuẫn (Hay chứng minh phản chứng) ,( [( ) - ̅) ] ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ Quy tắc phản đảo ̅ ̅ Để chứng minh ta cần chứng ̅ ̅ minh mệnh đề phản đảo - 10 Phản ví dụ Để chứng minh phép suy luận: ( ) LÀ SAI ) hay công thức : ( đồng đúng, ta cần phản ví dụ Tức chân trị mệnh đề có cơng thức, làm cho giá trị chân lý công thức sai Trƣờng hợp đơn giản nhất, ta chọn ( ) ( ) tức trƣờng hợp tất tiền đề kết luận sai Chứng minh mệnh đề: "Tổng số hữu tỉ số vô tỉ số vô tỉ" Suy : Chỉ cần chứng minh phản chứng, tức chứng minh mệnh đề : "a số hữu tỉ, b số vô tỉ a+b số hữu tỷ" SAI (hay mâu thuẫn) Chứng minh mệnh đề : “Nếu n số tự nhiên 3n+2 số lẻ n số lẻ” Suy : Chỉ cần chứng minh mệnh đề phản đảo : “Nếu n số tự nhiên chẵn 3n+2 chẵn” Chứng minh mệnh đề: “Tứ giác có hai đƣờng chéo vng góc tứ giác hình thoi”, LÀ SAI - Suy ra: Chỉ cần lấy phản ví dụ: Cho hình vng ABCD có Gọi E trung điểm OD Suy „Tứ giác ABCE có hai đƣờng chéo vng góc nhƣng khơng có cạnh đối song song nên tứ giác khơng hình thoi‟ Bộ chân trị gọi phản ví dụ phép suy luận cho Ví dụ 1: Suy luận sau có khơng? Ơng Minh nói rằng, khơng tăng lương ơng ta nghỉ việc Mặt khác, ông nghỉ việc vợ ơng việc phải bán xe Biết rằng, vợ ông hay làm trễ trước sau bị việc Nhưng ông Minh tăng lương Suy ra, ông Minh khơng bán xe vợ ơng ta khơng làm trễ Giải Toán rời rạc – Chương Đại cương tốn logic Page 100 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Kí hiệu mệnh đề sau: p: Ông Minh tăng lương Từ toán theo quy tắc phản đảo ta có tiền đề (các khẳng định đúng) quy tắc suy diễn sau: ̅ q: Ơng Minh nghỉ việc ( r: Vợ ơng Minh việc s: Ông Minh bán xe ̅ ( ) ̅ ( ̅ ) ) ( ) t: Vợ ông Minh hay làm trễ Một phản ví dụ thỏa mãn tiền đề kết luận sai là: Vậy suy luận không Tức ông Minh không bán xe vợ ông Minh làm trễ Thật vậy, ơng Minh tăng lương nên ông Minh không bỏ việc Mà ông Minh khơng bỏ việc chắn khơng phải bán xe Do việc vợ ông hay làm trễ (tức vợ bị việc) không ảnh hưởng đến việc ơng Minh khơng phải bán xe Ví dụ : Cho tiền đề : „Nếu anh đến em chơi khuya‟ „Nếu anh khơng đến em ngủ sớm‟ „Nếu em ngủ sớm mai em học giờ‟ Hãy chứng minh hệ logic: „Nếu em khơng chơi khuya mai em học giờ‟ Giải Kí hiệu mệnh đề Sơ đồ suy diễn : là: ( ) p: Anh đến ̅ ( ) q : Em chơi khuya ( ) r: Em ngủ sớm ̅ s: Em học Áp dụng quy tắc suy diễn sau: ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ (Từ (1) quy tắc phản đảo) (Tiền đề (2)) (Quy tắc tam đoạn luận) (Tiền đề (3)) (Quy tắc tam đoạn luận) Vậy : „Nếu em không chơi khuya mai em học giờ‟ đồng Chú ý : Phải dùng đồng để suy luận, dùng TIẾP LIÊN (là công thức đồng đúng, đồng sai), chúng khiến suy luận thành NGỤY BIỆN Toán rời rạc – Chương Đại cương toán logic Page 101 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Bảng 3.4 Một số suy diễn NGỤY BIỆN Tiếp liên Ngụy biện Ví dụ ,( ) - Ngụy biện khẳng định kết luận Nếu cƣới vợ có Anh ta có Vậy có gia đình ,( ) ̅- Ngụy biện phủđịnh giả thiết Nếu cƣới vợ có Anh ta khơng lập gia đình Vậy khơng thể có 6.2 ̅ LOGIC VỊ TỪ Trong khẳng định toán học ta hay gặp phát biểu có liên quan đến biến nhƣ: ; với điều kiện x, y, z số thực Ta chƣa xác định đƣợc phát biểu hay sai biến chƣa có giá trị Trong chƣơng trình máy tính (Chẳng hạn, ngơn ngữ Prolog, ngơn ngữ lập trình suy luận sở logic tốn học để giải toán lĩnh vực trí tuệ nhân tạo), ta hay gặp biểu thức chứa biến kiểu nhƣ vậy, với miền xác định biến biết Kí hiệu phát biểu là: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) chƣa phải mệnh đề Tuy vậy, Rõ ràng, thân phát biểu ( ) ( gán giá trị cụ thể cho biến miền xác định biến phát biểu trở thành mệnh đề Chẳng hạn : Phát biểu : P(2) = “22 + 3.2 – > 0”, mệnh đề ĐÚNG (gán x = 2) ( ) ( ) ( ) Phát biểu : Với mệnh đề SAI Phát biểu : Q(2,1) = “2 = + 2” mệnh đề SAI (gán x = 2, y = 1) … Ta gọi phát biểu (*) hàm mệnh đề vị từ Dạng tổng quát ta có định nghĩa sau: 6.2.1 Các định nghĩa (1) Vị từ : Cho X1; X2 ; …; Xn tập hợp đối tƣợng Đặt ̅̅̅̅̅ Một phát biểu có n biến x1; x2; …; xn đƣợc (x1; x2; …; xn) tức xi Xi , kí hiệu P(x1; x2; …; xn) đƣợc gọi hàm mệnh đề xác định X thỏa mãn : Toán rời rạc – Chương Đại cương toán logic Page 102 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH - Phát biểu P(x1; x2; …; xn) chƣa phải mệnh đề Nhƣng thay (x1; x2; …; xn) với xi Xi thành giá trị cụ thể (̅̅̅ ̅̅̅ (̅̅̅ ̅̅̅ ̅ ) mệnh đề Hàm mệnh đề P(x1; x2; …; xn) gọi vị từ n ngơi xác định ̅ ) phát biểu (2) Sự lượng hóa : Cho P(x) vị từ xác định A Các mệnh đề lượng từ hóa P(x) xác định nhƣ sau : (i) Lượng từ “với mọi” hay "phổ dụng", kí hiệu Mệnh đề “Với x thuộc A, P(x)”, kí hiệu : ( ) (2i) Mệnh đề (2i) ĐÚNG với x0 thuộc A mệnh đề P(x0) nhận giá trị Ngƣợc lại, (2i) SAI có phần tử x0 thuộc A để P(x0) sai (ii) Lượng từ “tồn tại”, kí hiệu Mệnh đề “Tồn x thuộc A, P(x)” hay “Có x thuộc A, P(x)”, kí hiệu : ( ) (2ii) Mệnh đề (2ii) ĐÚNG có giá trị x0 thuộc A để P(x0) Ngƣợc lại, mệnh đề (2ii) SAI với x0 thuộc A P(x0) ln nhận giá trị sai Tóm lại, * + : ( ) ( ) (2i) (2ii) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tức là, để xác định chân trị (2i) phải thử tất giá trị xi thuộc A; để xác định chân trị (2ii) ta cần tìm giá trị xi thuộc A Ví dụ 1: Cho P(x) = “x2 + 3x – > 0” với x số thực ; S(n) = “ ( tự nhiên – - Mệnh đề , P(x) := “ thử với x = 0, P(0) mệnh đề sai – - Mệnh đề x , P(x) (chẳng hạn với x = 2) - Mệnh đề n ( ) := ( n ) ” với n số Đây mệnh đề SAI Vì Dễ thấy, mệnh đề ĐÚNG ) Đây mệnh đề ĐÚNG Vì thử với số tự nhiên n bất kì, xảy hai trường hợp: n chẵn (n = 2k) n lẻ (n = 2k + 1) S(2k) = “2k.(2k + 1) 2” S(2k + 1) =“(2k+1).(2k+2) 2” mệnh đề - Hiển nhiên, mệnh đề n với n = 2) ( ) n ( ) ĐÚNG (Chẳng hạn Lưu ý: Thứ tự lượng từ vị từ nhiều quan trọng, ta không phân biệt thứ tự tất lƣợng từ “với mọi”, tất lƣợng từ “tồn tại” Toán rời rạc – Chương Đại cương toán logic Page 103 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Bảng 6.4 Ý nghĩa lƣợng từ vị từ hai ngơi Q(x,y) Mệnh đề lượng từ hóa Q(x,y) ( (1) Hay ( (2) Hay ( (3) Hay * Hay * Là mệnh đề sai có cặp (x,y) để Q(x,y) sai Là mệnh đề với giá trị x bất kì, có giá trị y để Q(x,y) đúng, )+ Là mệnh đề sai có giá trị x để Q(x,y) sai với y Là mệnh đề có giá trị x để Q(x,y) với y )+ Là mệnh đề sai với x bất kì, có giá trị y để Q(x,y) sai Là mệnh đề có cặp (x,y) để Q(x,y) Là mệnh đề sai Q(x,y) sai với cặp (x,y) tùy ý ) ( ( (4) )+ ) ( * Là mệnh đề Q(x,y) với cặp (x,y) tùy ý ) ( * ) ( Ý nghĩa lượng từ )+ Ví dụ : Xét hai mệnh đề lượng từ hóa vị từ Q(x,y) = “x = y + 2” với : ( ) Phát biểu : "Với số thực x, tồn số thực y thỏa mãn : x = y + 2" Đây mệnh đề ĐÚNG Vì : với số thực x tùy ý, chọn y = x – x = y + ( ) Phát biểu : "Tồn số thực y, để với số thực x ta có: x = y+2" Đây mệnh đề SAI Vì: với số thực y, chọn x = y+3 Định lý : Cho Q(x,y) vị từ theo hai biến x, y xác định (1) (2) (3) ( ( ( ) ) ) ( ( ( Khi : ) ) ) Theo Ví dụ chiều đảo (3) nói chung khơng Quy tắc đặc biệt hóa phổ dụng : Nếu mệnh đề lƣợng từ hóa chứa lƣợng từ phổ dụng ( ) trƣớc biến , LÀ ĐÚNG, thay x ta đƣợc mệnh đề ĐÚNG Ví dụ 3: Vì : "Mọi người có quê hương", mà Mai người, nên "Mai có q hương" Tốn rời rạc – Chương Đại cương tốn logic Page 104 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH 6.2.2 Phủ định vị từ lƣợng từ Từ Định nghĩa lƣợng từ "với mọi" "tồn tại" Bảng 6.4 - bảng ý nghĩa lƣợng từ vị từ hai ngôi, ta có Phủ định mệnh đề lượng từ hóa vị từ vị từ hai nhƣ sau : Bảng 6.5 Phủ định vị từ lƣợng từ Mệnh đề lượng từ hóa Phủ định mệnh đề lượng từ hóa ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) Ví dụ : Ta có định nghĩa, hàm thực y = f(x) liên tục điểm x0 : *( | | ) | ( ) ( )| + Suy ra, hàm thực y = f(x) không liên tục điểm x0 : ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ *( | | ) | ( ) ( )| + | {( *( 6.2.3 | | | ) ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ | ( ) ( )| } | ( ) ( )| + Dịch câu thông thƣờng thành biểu thức logic Sử dụng vị từ lượng từ biểu diễn đƣợc tập hợp rộng lớn câu thông thƣờng thành biểu thức logic Việc làm nhằm mục đích loại những điều chƣa rõ ràng ngƣời ta sử dụng biểu thức việc lập trình logic trí tuệ nhân tạo Xét ví dụ sau Ví dụ : Dùng vị từ lượng từ, ta biểu diễn suy luận thơng thường sau : Tốn rời rạc – Chương Đại cương toán logic Page 105 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Câu thông thường Vị từ Biểu thức logic Nếu người P(x) : x nữ nữ sinh người mẹ Q(x): x sinh người khác R(x,y) : x mẹ y Tất sư tử Nhưng số sư tử không uống cà phê Vì vậy, có số sinh vật khơng uống cà phê P(x) : x sư tử Tất chim ruồi có màu sặc sỡ Nhưng khơng có chim lớn sống mật ong Và chim không sống mật ong khơng có màu sặc sỡ Do vậy, chim ruồi nhỏ P(x) : x chim ruồi ( ) Q(x) : x lớn R(x) : x có màu sặc sỡ S(x) : x sống mật ong ( ) (A tập hợp tất loài người) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) Q(x) : x R(x) : x uống cà phê ( ) (A tập hợp tất sinh vật) ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) (A tập hợp tất sinh vật) Nhận xét: Suy luận câu thứ Ví dụ đây, chứng minh suy diễn logic theo sơ đồ sau: ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅ ( ) - Khử phép kéo theo tiền đề (3.2) - Phủ định lượng từ tồn - Luật De Morgan Tiền đề (3.3) - Quy tắc phản đảo với (3.1) - Theo định nghĩa hội ( ) Quy tắc phản đảo Toán rời rạc – Chương Đại cương toán logic Page 106 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH BÀI TẬP CHƢƠNG 6.1 Cho mệnh đề sau: p: Bạn bị ốm, nghỉ học nhiều q: Bạn thi trƣợt kì thi kết thúc học phần r: Bạn đƣợc lên lớp Phát biểu mệnh đề sau theo cách nói thơng thƣờng: a) b) c) 6.2 ̅ ̅ d) ( e) ( ̅) ( ) (̅ ̅) ) Cho mệnh đề: p: Bạn nhận đƣợc điểm giỏi kì thi cuối khóa q: Bạn làm hết tập sách r: Bạn đƣợc công nhận sinh viên xuất sắc lớp Hãy viết lại mệnh đề sau thành biểu thức logic: a) Bạn đƣợc công nhận sinh viên xuất sắc lớp nhƣng bạn không làm hết tập sách b) Bạn nhận đƣợc điểm giỏi kì thi cuối khóa, bạn làm hết tập sách bạn đƣợc công nhận sinh viên xuất sắc lớp c) Để đƣợc công nhận sinh viên xuất sắc lớp bạn cần phải nhận đƣợc điểm giỏi kì thi cuối khóa d) Bạn nhận đƣợc điểm giỏi kì thi cuối khóa, nhƣng bạn khơng làm hết tập sách này, nhiên bạn đƣợc công nhận sinh viên xuất sắc lớp e) Nhận đƣợc điểm giỏi kì thi cuối khóa, bạn làm hết tập sách đủ để bạn đƣợc công nhận xuất sắc lớp f) Bạn đƣợc công nhận xuất sắc lớp bạn làm hết tập sách nhận đƣợc điểm giỏi kì thi cuối khóa 6.3 Dựa vào bảng chân trị, công thức đồng đúng? Đồng sai? Tiếp liên? ) ( ( ) e) ( ̅) a) b) ( ) f) ( ) ( ) ) (( ) ( ̅ ̅ )) g) ( ) c) ̅ ( ̅ ) ( )) ) ( h) (( ) ̅ d) ̅ ( Chứng minh công thức sau đồng cách lập bảng chân trị sử dụng điều kiện đồng ) ( a) ̅ ( ) d) ( ̅ ̅) ) ( ) b) ̅̅̅̅̅̅̅̅ e) ( , f) ( ) ( ) ( )c) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ 6.4 Toán rời rạc – Chương Đại cương tốn logic Page 107 Học viện Nơng nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH 6.5 Chứng minh tƣơng đƣơng logic sau: a) ( ) ( ) d) ( ̅ b) ( ) e) c) ( ) f) 6.6 Chứng minh suy luận sau ĐÚNG? ( ) ( a) ( g) ) ( ) ) d) ) f) ) ( c) b) ( ̅) k) h) e) ( ( ) ) ̅ 6.7 a) Tìm phản ví dụ chứng tỏ suy luận sau SAI? ( ) b) ) ( ) Cho vị từ: ( ) ( ; Hãy phát biểu mệnh đề hóa lƣợng từ sau xác định giá trị chân lý 6.8 a) b) 6.9 ( ) ( ) c) d) e) ( ( ( ) ) ) Xác định phủ định mệnh đề lƣợng từ hóa sau? Xác định giá trị chân lý mệnh đề phủ định đó? a) b) 6.10 Dịch suy diễn sau thành biểu thức logic? Suy diễn hay sai? Giải thích? a) Biết khơng có vịt sẵn lịng khiêu vũ Khơng có viên sĩ quan từ chối khiêu vũ Nhƣng toàn đàn gia cầm tơi vịt vậy, tồn đàn gia cầm sĩ quan b) Tất đứa bé không logic Mà ngƣời khơng logic bị coi thƣờng Thế nhƣng, không bị coi thƣờng cai quản đƣợc cá sấu Do đứa bé không cai quản đƣợc cá sấu c) Tất giải thích rõ ràng thỏa đáng Một số lý khơng thỏa đáng Vậy có số lý khơng phải giải thích rõ ràng Tốn rời rạc – Chương Đại cương toán logic Page 108 Học viện Nông nghiệp Việt Nam – Khoa CNTT - Bộ môn TTƯD – NTTH Tài liệu tham khảo:  Vũ Kim Thành, Toán rời rạc, NXB Đại học Sƣ phạm, 2008  Nguyễn Hữu Anh, Toán rời rạc, NXB giáo dục, 2000  Đỗ Đức Giáo, Toán rời rạc, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2008  Hồng Chí Thành, Đồ thị thuật toán, NXB giáo dục, 2007  Nguyễn Đức Nghĩa – Nguyễn Tơ Thành, Tốn rời rạc, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 Kenneth H Rosen, Toán rời rạc (Bản dịch tiếng Việt Phạm Văn Thiều – Đặng Hữu Thịnh), Nhà xuất Khoa học Kỹ Thuật Hà Nội  Page 109 ... đồ thị 30 2.4.4 Sắc số đồ thị - Sắc số đồ thị phẳng - Ứng dụng 31 BÀI TẬP CHƢƠNG 35 Chương 37 ĐỒ THỊ EULER, HAMILTON ĐỒ THỊ PHÂN ĐÔI ĐỒ THỊ PHẲNG 37 3.1 ĐỒ THỊ EULLER ĐỒ THỊ... đƣờng Hamilton đồ thị nửa Hamilton Hiển nhiên, đồ thị G đồ thị nửa Hamilton chắn khơng phải đồ thị Hamilton Toán rời rạc – Chương Đồ thị Euler, Hamilton Đồ thị phân đôi Đồ thị phẳng Page 43 Học... với điều kiện đầu nhƣ sau: a) an = an-1 + 6an-2 với ; a0 = a1 = b) an = 2an-2 với ; a0 = a1 = - c) an = – 6an-1 – 9an-2 với ; a0 = a1 = - d) an = 7an-2 + 6an-3 với ; a0 = 9, a1 = 10, a2 = 32 1.17